机械振动 第五章3

1
2 2
2 2
•当响应的相位角滞后激励力的相位角时系统 发生共振。
•在位移、速度和加速度响应幅值保持不变而 激励力幅值最小时系统发生共振。
图 5.2 F - ω曲线
第5章 离散系统振动理论应用
5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定
固有频率的确定
共振 ( ω=ωn )时
1 2
第5章 离散系统振动理论应用
5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定
阻尼比的确定
t an d t

1
2
t / d 出现一次极值， t 2 / d
相邻两个极大值之比( 衰减率 )为
xn Rcos d t n e
出现一次极大值。
t x n 1 R cos d t n 2 d e
2
1) 偏心质量在正上方，即 t / 2 ，结构向上通过静平衡位置， ， xt 0 则有， t 0 /2 1 。
n
粘性阻尼：
（系统），900 2
2me X0 2M
/6030 94.25 rad/s
2me 2X 0 M
( t )
0.6835
0.0271855
(2)固有圆频率：
x := 11.8e 0.6 cos( 2 1 t ) 2 1 6 ( 0.6 ) 11.8e 7.182 {31.426823830.02633215701 , }

4
2 2
lnx1 / x2 ln1.180.1655144
0.1655144 4 0.1655144
2 2
0.0263332
第5章 离散系统振动理论应用
5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定
固有频率的确定
面积法：n =4
A 174 174 0.725 12 20 240
第5章 离散系统振动理论应用
5.2 旋转失衡
解：方程 M cxk x2me sin t x M = 20 + 160 = 180 kg，m e = 4.5 kg-cm
2
稳态响应为
x t M
2 m e
2
sin t
2 2
1
2
5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定
固有频率的确定
共振时最大动能与最大势能相等 对粘性阻尼 通过测试手段获得每 周期耗能及共振振幅
1 2 1 2 m n X 0 k X 0 2 2
2 k X 0 /2
1 Q 2 2 c n X 0 c n 2
对结构阻尼
k
ce h/ n k 1 Q h/ n n
固有频率的确定
2 当 1 时， 可略去， 2 1 2
，
12 12
由幂级数展开公式(
1 x 1 x
1 2
22 12
1 x/2 )：
1 1 2 1
n
2 1 2 2 1 2 n
2 1

2 1 2
x1 1 2 ln n 1 xn 1 2

阻尼较小时：
2
4 2 2
图 5.1 ζ- δ曲线
第5章 离散系统振动理论应用
5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定
阻尼比的确定 2、面积法
自由振动衰减曲线的包络线为
xt Re
n t
机 械 振 动 学
第5章 离散系统振动理论应用
5.1 单自由度系统阻尼比和
固有频率的确定 5.2 旋转失衡 5.3 旋转轴的临界转速 5.4 振动隔离
第5章 离散系统振动理论应用
5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定
阻尼比的确定 1、对数衰减率
对于阻尼未知的系统或阻尼特性未知的 材料组成的单自由度系统，给定初始扰 动后测定其自由振动的时间历程，当阻 尼较小时，一般可等效为具有粘性阻尼 的系统。
xt Re
n t
cos d t
图 3.6 弱阻尼系统x - t 曲线
xt 的极值发生位置 xt 0
xt R n e
n t
cos d t Re
n t
sin t 0
d d
n t 1 2
2 n t 1 n 1 d Rcos d t1 n1 e d
n
2
e

d
n1 两边取对数
ln
x1 xn
n1
n n d n n
2 n 1
2
＝n
2 1
2


4 2 n 2 2
当t1为 n 倍准周期时， / n 就是对数衰减率。
第5章 离散系统振动理论应用
5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定
固有频率的确定
测量第一个和第n+1个极大值出现的时间间隔 nτd ， 2 n n d 1 2 例1 某系统自由振动衰减曲线中相邻的四个极大值分别为：x1=11.8mm, x2=10mm, x3=8.475mm, x4=7.182mm, t4 - t1=0.6s。求系统的阻尼比和固有 圆频率。 解：(1)阻尼比：
如果能测得ω=ωn时的X0，并已知此时激励力幅值F0与弹簧刚度 k，则 F F0 0 阻尼比 或损耗因子 kX0 2k X 0
Q因子
共振时系统最大动能或位能与系统每循环耗散能量之比的倍称为Q因子。 共振时粘性阻尼每循环耗能：
2 E c n X 0
第5章 离散系统振动理论应用
xn x n 1 e
n
2 2

n n
n
t n 2
d

2 1
2
d
e
1
2
对数衰减率为
ln
xn x n 1

第5章 离散系统振动理论应用
5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定
阻尼比的确定
当阻尼较小时，取第一个和第n个极大值来计算对数衰减率
x1 xn Rcos d t1 e

4.5 0.01 2.5 180
第5章 离散系统振动理论应用
5.2 旋转失衡
2me X0 结构阻尼： M
2me X 0M
2 4.5 0.02 2.5 180
2)
2 2 n k m1 m2 ， k n m1 m2 ，
k m1 n m1 m2 m1 100 rad/s n
0.25
0.20
0.19
第5章 离散系统振动理论应用
5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定
阻尼比的确定 计算步骤：
1) 测得自由振动衰减曲线； 2) 作上包络线；
A
A 1 e A Rt1
Rt1
3) 选 t1 n d 作图得到面积A，并计算 A ；
4) 查表5 - 1得 ； 5) 计算阻尼比：
M h xk xme 2 sin t x
对结构阻尼
第5章 离散系统振动理论应用
5.2 旋转失衡
设解
X0
xt X 0 sint
k 1

m e 2
2 2
2
2 2

2
M
1

me 2
2 2
2 2
2 arctan 1 2
振动微分方程
设广义坐标为机器的位移x，向上为 正，坐标原点在机器静平衡时转子 的旋转中心o。 转子质心位移为 加速度为
xesint
旋转失衡力学模型
e 2 sint x
k xcxM m m e 2 sint x x


整理
M cxk xme 2 sint x
M X0 me

1
M X0 me
2
2 2
2

2
对结构阻尼
1
2 2
2
arctan 1 2

第5章 离散系统振动理论应用
5.2 旋转失衡
讨论： 相位角同简谐激励下的响应，
而无量纲振幅随无量纲频率的变化如下 表。
粘性阻尼
旋转失衡 M X 0 me
结构阻尼
2 2
第5章 离散系统振动理论应用
5.1 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定
固有频率的确定
2. 对结构阻尼系统
n
由半功率 点的定义
F0 k
2
X 0ma x
1
F0 1 k
2 F0 2 k
1
2 2
1
2 2
2
2 2
1
2
2
谐激励
X 0 k F0
谐激励 旋转失衡
X 0 k F0
M X 0 me
0
0
0
1 2
1
1
1 2
1

最大值 位置
1 2
0
1
1
1
0
1
幅频和相频响应曲线
1
1
1
1
第5章 离散系统振动理论应用
5.2 旋转失衡
例2 偏心激振器两轴反向旋转，每个偏心轮
旋转失衡为4.5 kg-cm，用它测量结构的动力 特性。设结构质量为160 kg，激振器质量为
20 kg。当偏心轮转速为900 rpm，偏心质量
在正上方时，结构向上通过静平衡位置，振 幅为2.5 cm。 求 1)整个系统的固有圆频率； 2)结构的固有圆频率和阻尼比（或损耗因子）； 3)偏心轮转速为1200 rpm时结构的振幅及结构向上通过平衡位 置时，偏心质量与水平面的夹角。 偏心激振器模型