离散数学演讲
离散数学图论基础知识文稿演示
图的定义
定义8.1 一个图是一个序偶<V,E>，记为 G＝<V,E>，其中： 1) V＝{v1,v2,v3,…,vn}是一个有限的非空集合，
vi(i＝1,2,3,…,n)称为结点,简称点，V为结 点集； 2) E＝{e1,e2,e3,…,em}是一个有限的集合， ei(i＝1,2,,…,m)称为边，E为边集，E中的 每个元素都有V中的结点对与之对应。即对任 意e∈E，都有e与<u,v>∈VV或者(u,v)∈ V&V相对应。
图论
▪ 一个图就是一个离散的拓扑结构,经常用于描 述和研究许多领域中的各种问题。
▪ 随着计算机科学的飞速发展,图论组合和算法 的研究在近代也成为计算机科学和数学中发 展最快的基础学科之一,也受到国际上的学术 界和高新技术企业方面特别重视。
图论
▪ 理论计算机科学中的算法理论经典问题(图中点对之 间最短路,货郎担问题,图重抅问题,HAMILTON 问 题,P-NP问题等)，通信网络通讯(网络设计, 通讯速度 和容量, 网络可靠性和容错性等) ；
图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经 被好多位数学家各自独立地建立过。关于图论的文字 记载最早出现在欧拉1736年的论着中，他所考虑的原 始问题有很强的实际背景
图论
图论起源于著名的哥尼斯堡七桥 问题。
欧拉证明了这个问题没有解，并 且推广了这个问题，给出了对于 一个给定的图可以某种方式走遍 的判定法则。 这项工作使欧拉成为图论〔及拓 扑学〕的创始人。
1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学 的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了 100亿判断，终于完成了四色定理的证明。
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认 为应该有一种简捷明快的书面证明方法。
学习《离散数学》心得体会模板（三篇）
学习《离散数学》心得体会模板学习《离散数学》的过程中，我深深感受到了它的重要性和广泛应用的意义。
离散数学作为一门重要的数学基础课程，不仅能够培养我们的逻辑思维能力，还可以为我们理解和解决实际问题提供很多方法和工具。
在学习过程中，我积累了不少心得体会，今天我将分享给大家。
首先，我认为《离散数学》这门课程非常重要的一点就是培养了我的逻辑思维能力。
在学习过程中，我们需要学习和掌握数理逻辑、集合论、函数与关系、图论等一系列的基本概念和方法。
这些内容都是以形式化的推理和证明为基础的，要求我们对问题进行严密的思考和分析。
通过解题和习题训练，我逐渐掌握了一些基本的证明技巧和思考方法，提高了我的逻辑思维和分析能力。
其次，学习《离散数学》让我深刻理解了数学与现实世界的联系。
离散数学的理论和方法广泛应用于计算机科学、信息科学、通信工程、物理学等领域。
学习离散数学的过程，不仅让我学到了一些基本的数学知识，还让我了解到这些知识在实际应用中的重要性和作用。
比如在计算机网络中，我们需要用到图论的知识来解决网络路由问题；在密码学中，我们需要用到数论的知识来解决加密算法的设计；在数据库中，我们需要用到集合论和关系代数的知识来进行数据查询和操作。
通过学习《离散数学》，我对数学与实际问题的联系有了更深的认识。
另外，学习《离散数学》还让我锻炼了一种系统性的学习方法。
离散数学的内容非常广泛而且抽象，需要我们建立起一个完整的知识体系。
在学习过程中，我发现只有把每个概念、定理等都串起来，形成一个完整的知识链条，才能更好地理解和掌握。
因此，我养成了先学习基本概念和定理，再进行习题训练和实战演练的学习方法。
这种方法让我更加系统地掌握了离散数学的核心内容，提高了我的学习效率。
除此之外，学习《离散数学》还对我培养了一种严谨的学术态度和方法。
离散数学是一门严谨而抽象的学科，要求我们在处理问题时要严肃认真，不能有丝毫马虎。
在解题和习题训练中，我不断反思自己的解题思路和方法，发现解题中的错误和不足之处，不断调整和改进，直至找到正确的答案。
《离散数学》,屈婉玲、耿素云-KefeiChen陈克非
离散数学课程介绍
• 研究对象：离散量（自然数、真假值、字母 表等）
• 研究内容：离散量的结构与关系（数理逻
辑、集合论、图论、代数系统、组合计数、初 等数论、离散概率、有限自动机、图灵机等）
• 预修课程：线性代数（高等代数） • 后继课程：数据结构、数据库等
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教材与参考书
• 教材：《离散数学》,屈婉玲、耿素云、张立昂 编,清华大学出版社, 2013年第三版；
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包含与相等
包含(子集) A B x (xA xB) 不包含 A ⊈ B x (xA xB) 相等 A=BABBA 不相等 ABA⊈BB⊈A 真包含(真子集) A B A B A B 例如, A={1,2,3}, B={ x | xR|x|1 }, C={ x | xRx2=1 }, D={-1,1}, C B, C B, C ⊈ A, A ⊈ B, B ⊈ A, C = D 性质 (1) A A (2) A B B C A C
离 散 数 学
Discrete Mathematics
陈克非 杭州师范大学理学院 kfchen@
https:///s/1mXVWVKfYtUnjaiZUhmNulQ
为什么要离散数学
不离散化就无法 跟上时代步伐
• 工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地 位已经发生了变化 • 信息时代离散数学的重要性逐渐被人们认识。离散数 学的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相 关专业的诸领域
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四色问题
计算机的作用不仅 仅是计算，还有逻 辑推演、决策、AI
• 离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科 • 离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四 色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在 1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯· 格思里提出的
《离散数学》讲义(胡盛)
小结
合式公式（命题公式）及其判定 自然语言的翻译（符号化形式）
列出原子命题，并符号化 不同的原子命题使用不同的符号，符号使用最少 选择合适的联结词，根据命题表达的真实含义，而不 拘泥于形式
离散数学
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1-3 命题公式与翻译
P12(3)(5)ad(7)
离散数学
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第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
(PQ) (PQ) T F F T
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1、真值表
例题4 给出(PQ)(PQ)的真值表 公式不论命题变元做何种指派，其真值永为真， 我们把这类公式记为T。
P Q PQ (PQ) P Q PQ T T T F F T F F T F F F F T T T F F T T F T F T F T T T (PQ)( PQ) T T T T
定义1-5.1
给定一命题公式，若无论对分量作怎样的指派，其对 应的真值永为T，则称该命题公式为重言式或永真公 式。 例如：表1-4.4
明天下雨
2. 我们去看电影
房间里有十张凳子
二元运算
离散数学 17
1-2 联结词
析取(),其定义可用如下真值表表示
P T T F Q T F T PQ T T T 今天我在家看电视或去剧场看戏
她可能是100米或400米赛跑的冠军
他昨天作了二十或三十道习题 可兼或
F
F
F
排斥或
二元运算
离散数学 18
它可以是有意义的一般论证，也可以是科学理论中的数学证 明或结论。建立逻辑学的主要目的在于探索出一套完整的规 则，按照这些规则，就可以确定任何特定论证是否有效。这 些规则，通常称为推理规则。
离散数学
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离散数学讲稿
• 谓词逻辑： 一、基本概念 为什么研究谓词逻辑 . 例: 1、李华是大学生 H(l) 2、王芳是大学生 H(w) 3、松树是植物 谓词：描述个体性质的部分. 个体：被描述的对象 . 命题逻辑最小单位是原子命题 (大写字母表谓词)… 谓词字母 谓词逻辑可以分为谓词和个体 (大写字母表个体)…客体 谓词：①命题的逻辑形式 H(w) H—谓词 w—客体 ②复合命题的谓词形式 “a是P且b是Q” ——P(a)∧Q(b) “若a是P则b是Q“——P(a)Q(b) “a是P当且仅当b为Q”——P(a)Q(b)
5、间接证明法：（反证法） 相容（一致性）：若H1、H2 …… Hm皆为前提且存在一组真值 指派使得H1、H2 …… Hm皆为T，则称H1、H2 …… Hm为相容的 或一致的，否则不相容的或非一致. 定理 : 设前提集合 {H1、H2 …… Hm}是相容并且设C是一个公式, 若前提集合{H1、H2 …… Hm、 C }是不相容的,即它蕴含着一个 永假式 , 则可从前提集合{H1、H2 …… Hm}推出来. 证明：≧ H1∧H2∧……∧Hm∧ C R∧ R ≨ H1∧H2∧……∧Hm∧ C为永假式 又≧前提集合{H1、H2 …… Hm}是相容 . ≨使得H1∧H2∧……∧Hm为T的那些真值指派 , 使得 C为F , 则C为T, 因此 , H1∧H2∧……∧Hm C
例: Q (PQ) 证明: Q (PQ) Q ( P∨Q) Q∨ P∨Q T ≨ Q P Q 推理的方法证明:前提蕴含结论的正确性. 推理的规则 : Ⅰ、前提引用规则：P在任何推理步骤上皆可引用前提. Ⅱ、结论引用规则：T在任何推理步骤所得到结论在后续推理 步骤中皆可引用. Ⅲ、臵换规则：E1~E24 Ⅳ、代入规则； Ⅴ、推理的定理(CP)： 若H1∧H2∧……∧Hm∧Q R 则有 H1∧H2∧……∧Hm QR Ⅵ、基本蕴含式可使用：I1 ~ I14 例（略）
离散数学讲义(第7章)
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7-1 图的基本概念（续）
术语 孤立点(isolated vertex) ：图中不与任 何结点相邻接的结点。 零图：仅由孤立点组成的图。（E=, Nn） 平凡图：仅由一个孤立点构成的图。（1 阶零图, N1） 环（自回路loop）：关联于同一结点的一 条边。（环的方向无意义）。
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7-1 图的基本概念（续）
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7-1 图的基本概念（续）
有向图
D1
D2
D3
D1D2, D2D3
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7-1 图的基本概念（续）
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7-2 路与回路
在无向图(或有向图)的研究中，常常 考虑从一个结点出发，沿着一些边(或弧) 连续移动而达到另一个指定结点，这种依 次由结点和边(或弧)组成的序列，便形成 了链(或路)的概念。
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7-1 图的基本概念（续）
图的同构
定义：设G=〈V,E 〉和G’=〈V’,E’ 〉是两个图， 若存在一双射函数： g： V V’，当且仅当 e’＝ {g(vi), g(vj)}是G’中的一条边，才能使e＝{vi, vj} 是 G 中的一条边，则称 G’ 和 G 同构 。 记作 G1G2
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图论（续）
哥尼斯堡七桥问题(Seven bridges of Königsberg problem): River Pregel, Kaliningrad, Russia
18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼 斯堡，那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛A 与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两 支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。 当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人 怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次， 最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案， 但是谁也解决不了这个问题………… 这个问题无 解
《离散数学讲义》课件
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
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06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
数学演讲稿[五篇]
![数学演讲稿[五篇]](https://img.taocdn.com/s3/m/92d35d0e657d27284b73f242336c1eb91a3733d1.png)
数学演讲稿[五篇]第一篇：数学演讲稿《数学可以这样学》是一本以学生的角度去写的书。
让学习与学生没有了距离。
作为一名数学老师，我对于数学学习方法多了一份额外的关注。
也在其中找到一些学习数学行之有效的方法。
学习要循序渐进的原则，当然这是大家耳熟能详的一句话。
学习过程的思想往往急于求成，而控制自己稳步前进的好方法是边读边做笔记，一动手就会发现许多问题，动脑加动手，实是精读的好方法。
对于这一点，深有同感。
问题是数学的心脏，发现问题是认识上的进步，问题获解是知识水平的提高，数学的学习就是生疑、释疑的过程。
数学教师不但要为学生解疑，还应指导学生如何生疑、用疑。
学生学习中有了疑问当然不会轻易放过，其中很多问题可能不会立即获释，《数学可以这样学》读后感需经过反复的甚至长时间的思考，有还需与同学讨论，向老师请教或查阅资料。
这时，老师就应及时指导学生准备一本记录本随身携带，及时记录。
数学的有些内容表达较为抽象，理解困难；有些方法分类复杂，变化多端难以把握；有些数学题一题多解或多题一解显得妙趣无穷。
对于这些突出的数学难点，教师可指导学生准备一本专门的笔记本见难就记，勤作小结归纳，力求使他们对某类问题的认识不断充实从而得到完全的解决。
防止学生做题失误，这本身的确也有自己的见地。
防审题错误，防手忙脚乱，防草率收兵，防不求甚解都是老师经常在嘴上叮嘱的最多的。
但在检查题目时，我以前就是瞻前顾后的方法检查，后头检查都是验算。
这里可以看到，其实学生的学习方法有很多种，老师的干涉要适可而止，适合自己的方法，才是好方法。
确实不能一套死方法。
的确，现在的学习是复习的时间比学习的时间更长，复习才是我们行为的主体。
如何有效复习？第一，要重视基础知识、基本技能、基本方法的巩固和提高。
第二，要重视对学生分析问题和解决问题的能力的培养。
课堂教学要引导学生深层次地参与教学过程，让学生在观察、实验的活动中，通过比较、分析、归纳、类比、抽象等思维过程，完成知识的猜想和证明，使学生既加深对知识的理解，又学习到创造的策略和方法，从而激起求知欲望和创新的热情。
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字问题(word problem)：是否存在一个算法来判断群G中的元素是不是单位元。
一个问题是算法上可解的(algorithmically solvable)是指存在一组计算机程序，通过计算，对该问题的结果是“是”或“否”做出明确的回答。
如果不存在这样的程序，就称这个问题是算法上不可解的(algorithmically unsolvable)。
关于字问题对于某些群是否是算法上不可解的，Novikov-Boone定理（见②）对此做出了肯定的回答，
定理中利用了有限表示的群，这也是用字问题作为困难问题构造加密算法的基础。
Novikov-Boone定理：存在有限表示的群G有着算法上不可解的字问题，
并且存在有效的算法B，如果输入有限表示的一个系统T，且该系统有着不可解的字问题，
通过算法B将会输出有限表示的群B(T)，使得B(T)有着算法上不可解的字问题。
第一次提出利用组合群论的思想来构造的[Wag84]密码体制就利用了Novikov-Boone定理。
有限域的理论是编码理论的数学基础，在通讯中发挥了重要作用。
域系windows NT/2000活动目录的核心单元，系计算机、用户等对象的容器，而域内的对象有相同的安全需求、复制过程和管理。
如果想有建立一个域，首先要有一台机安装活动目录，成为域控主机。
我理解为域与工作组差不多，只不过域比工作组高级好多，管理的单元要多、复杂（包括共享内容、用户管理、安全策略管理、文件分派。
）域用户就系计算机用户，不过加入域后的用户权限由域控主机的管理员重新分配，所以不确定。
但当用域用户身份登陆入域后，就可以共享域里的共享！
在计算机图形学中有所应用,主要在光栅算法原理部分
光栅化就是把顶点数据转换为片元的过程。
片元中的每一个元素对应于帧缓冲区中的一个像素。
光栅化其实是一种将几何图元变为二维图像的过程。
该过程包含了两部分的工作。
第一部分工作：决定窗口坐标中的哪些整型栅格区域被基本图元占用；第二部分工作：分配一个颜色值和一个深度值到各个区域。
光栅化过程产生的是片元。
把物体的数学描述以及与物体相关的颜色信息转换为屏幕上用于对应位置的像素及用于填充像素的颜色，这个过程称为光栅化，这是一个将离散信号转换为模拟信号的过程。
布尔代数
计算机中的数字逻辑电路的基础是布尔代数。
计算机中的一切操作都是涉及到布尔代数，如1代表真，0代表假。