高等数学期末复习：3-3n 泰勒公式
泰勒公式与三阶
泰勒公式与三阶泰勒公式（TaylorFormula）是数学中一种使用级数计算函数值的方法，由英国数学家蒂姆泰勒于1715年发现。
泰勒公式的形式为由n项的级数展开构成的公式，它可用于计算函数在某一点的值，以及函数在某一点的极限。
泰勒公式有无限项，但实际应用中只需要计算有限多个项即可。
具体取几项，取决于计算的精度要求。
当取到第三项时，可以构成三阶（third order）的泰勒公式。
三阶泰勒公式的标准形式是：f(x)=f(x_0)+f(x_0)(x-x_0)+frac{1}{2!}f(x_0)(x-x_0)^2+frac{1 }{3!}f(x_0)(x-x_0)^3+…其中x_0是函数f(x)的一点，f(x_0)表示f(x)的导数在点x_0的值，f’(x_0)表示f(x)的二阶导数在点x_0的值，f’’’(x_0)表示f(x)的三阶导数在点x_0的值。
三阶泰勒公式在实际应用中可以用来计算复杂函数的极限和值。
它是数值分析中一种常用的有限差分（finite difference）方法，广泛应用于工程中。
在数学研究中，三阶泰勒公式用来计算函数的变化趋势，主要有两种用法：一是用来估计函数的局部极大值、极小值；二是用来估计函数的极限值。
首先，可以判断f(x_0)的正负，从而进一步确定函数在点x_0附近是极大值还是极小值。
首先，如果f(x_0)>0，则说明函数在x_0附近是增加的，即f(x)是极小值；反之，如果f(x_0)＜0，则说明函数在x_0附近是减少的，即f(x)是极大值。
再以f(x_0)判断，如果f(x_0)>0，则f(x_0)>0；如果f(x_0)＜0，则f(x_0)＜0。
其次，可以用三阶泰勒公式估计函数的极限值。
如果函数f(x)在点x_0附近是可导的，并且f(x_0)和f(x_0)的绝对值越来越小，那么函数在点x_0附近的极限值就可以用三阶泰勒公式估计出来，因此可以用三阶泰勒公式估计函数在某一点的极限值。
常见函数泰勒公式展开式大全
常见函数泰勒公式展开式大全常见函数的泰勒公式展开式大全在数学中，泰勒公式是将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的方法，它是微积分中的重要工具之一。
泰勒公式的展开可以帮助我们近似计算函数在某一点的值，进而研究函数的性质和行为。
下面是一些常见函数的泰勒公式展开式大全。
1.指数函数的泰勒公式展开式指数函数的泰勒公式展开式是：$$e^x = 1 + x + %frac{x^2}{2!} + %frac{x^3}{3!}+ %frac{x^4}{4!} + Íots$$这个展开式在$x=0$附近是收敛的，并且对于任意实数$x$都成立。
2.三角函数的泰勒公式展开式正弦函数的泰勒公式展开式是：$$%sin(x) = x - %frac{x^3}{3!} + %frac{x^5}{5!} -%frac{x^7}{7!} + Íots$$余弦函数的泰勒公式展开式是：$$%cos(x) = 1 - %frac{x^2}{2!} + %frac{x^4}{4!} -%frac{x^6}{6!} + Íots$$这两个展开式在$x=0$附近是收敛的，并且对于任意实数$x$都成立。
3.对数函数的泰勒公式展开式自然对数函数的泰勒公式展开式是：$$%ln(1+x) = x - %frac{x^2}{2} + %frac{x^3}{3} -%frac{x^4}{4} + Íots$$这个展开式在$x=0$附近是收敛的，并且对于$-1<x%leq 1$都成立。
4.幂函数的泰勒公式展开式幂函数的泰勒公式展开式是：$$(1+x)^a = 1 + ax + %frac{a(a-1)}{2!}x^2 + %frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + Íots$$这个展开式在$x=0$附近是收敛的，并且对于任意实数$a$和$-1<x%leq 1$都成立。
5.反正弦函数的泰勒公式展开式反正弦函数的泰勒公式展开式是：$$%arcsin(x) = x + %frac{x^3}{3}+ %frac{1}{2}Íot%frac{3}{4}Íot%frac{x^5}{5}+ %frac{1Íot3}{2Íot4}Íot%frac{3Íot5}{4Íot6}Íot%frac{x^7}{7} + Íots$$这个展开式在$x=-1$到$x=1$之间是收敛的，并且对于任意实数$x$都成立。
泰勒公式详解范文
泰勒公式详解范文泰勒公式是数学中非常重要的一种展开方法，它能将一个函数在其中一点的附近展开成一个无穷级数。
这个无穷级数称为泰勒级数。
泰勒公式的应用非常广泛，对于求函数的近似值、证明函数的性质、研究函数的变化等都有很大的帮助。
在本文中，我将详细介绍泰勒公式的原理、展开形式以及应用。
一、泰勒公式的原理泰勒公式是基于函数的光滑性原理建立的。
如果一个函数在其中一点附近有足够多的导数存在，那么该函数在该点附近能够用一个无穷级数来表示。
泰勒公式的原理可以用下面的数学表达式来表示：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f(x)是要展开的函数，a是展开点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等表示在a点处的一阶、二阶、三阶导数。
展开后的级数中的每一项都包含了函数在该点附近的其中一阶导数。
二、泰勒公式的展开形式根据泰勒公式的原理，我们可以得到几种不同的展开形式。
具体展开的形式取决于我们希望展开到多少项以及展开点的选择。
下面是一些常见的泰勒公式展开形式：1.泰勒一阶展开（线性近似）f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)2.泰勒二阶展开（二次近似）f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!3.泰勒三阶展开（三次近似）f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!4.泰勒四阶展开（四次近似）f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+f''''(a)(x-a)^4/4!根据需要，我们可以选择展开到任意阶数，展开点的选择也可以根据实际情况来定。
高数 3-3(Taylor公式)
就与f ( x )充分接近 . pn ( x )的系数a0 , a1 , ... , an (全为1)
可由前述类似公式表示：
1 a0 = f (0), a1 = f '(0), a2 = f ''(0), 2! 1 ( n) ... , an = f (0). n!
由此可见，若f ( x )在x0 处具有n阶导数， 则可据此作出多项式 pn ( x )，表示为：
x2 2
2
7 4 x + o( x4 ) 7 = . 原式 = lim12 4 12 x→0 x
思考题 利用泰勒公式求极限
e sin x − x (1 + x ) lim 3 x →0 x
x
x x ∵e = 1 + x + + + o( x 3 ) 思考 2! 3! 3 题解 x 3 答 sin x = x − + o( x )
二、泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 (Taylor)
泰勒(Taylor)中值定理 泰勒 (Taylor)中值定理 如果函数 f (x)在含有 x0 的 (Taylor) 内时, 某个开区间 (a, b)内 (n + 1)阶可导,则当 x在 (a, b)内时, f (x)可以表示为( x − x0 )的一个 n次多项式与一个余项 Rn(x)之和: 之和:
一、引言
本节研究，给定函数 f ( x ), 寻找某一高次 多项式使之与 f ( x ) 密切相关.
先看看多项式的一些简单表示法.
设pn ( x )为一 n 次多项式，
pn ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + ... + an x
泰勒公式详解
泰勒公式详解
泰勒公式是18th世纪英国数学家兼物理学家泰勒提出的重要的数学公式，即f(x)=0的函数求根的准确方法，常用来求解方程的根。
它对数学领域起到了重要作用，提出了根据曲线曲率来求函数根的新思路。
泰勒公式是一种近似解方程的方法，它假设函数f（x）在x=a
处可以用一个多项式精确地表示，这个多项式来源于泰勒级数展开。
这个级数是将函数f（x）展开为一系列不断减小的项，而其中的系数则由f（a），f（a），f（a）……等决定。
泰勒公式的正确性是由拉格朗日的切线定理证明的，并且它的近似性是根据泰勒展开式中系数的取值情况给出的。
泰勒公式可以通过求微积分来获得，它主要有以下几种形式：
1.一阶公式：f（x）=f（a）+f（a）（x-a）
2.二阶公式：f（x）=f（a）+f（a）（x-a）+1/2f（a）（x-a）^2
3.三阶公式：f（x）=f（a）+f（a）（x-a）+1/2f（a）（x-a）^2+1/6f （a）（x-a）^3
泰勒公式的优点非常明显，它可以给出准确的解，而且能更好地把握函数的精确性，能同时应用于多个函数，更方便地获取正确结果。
但也有局限性，比如当它被用于求解多元函数时，就可能出现不精确的情况，还存在收敛性问题，所以需要使用者慎重选择。
综上所述，泰勒公式作为一种重要的数学准确方法，有着广泛的应用。
它可以用来求解多类型的函数，它的优点是准确且简洁，但也
存在一定的不足，需要使用者根据实际情况进行合理选择。
未来可以在此基础上研究出更多的数学方法，从而更好地解决数学问题。
高考数学泰勒公式
高考数学泰勒公式泰勒公式是高等数学中的一个重要定理，它在数学分析和应用数学中有着广泛的应用。
在高考数学中，泰勒公式被广泛地应用于函数的近似计算和函数的性质研究等方面。
我们来了解一下泰勒公式的基本形式。
对于任意光滑函数f(x)，如果它在某一点x=a处具有n阶导数，那么在该点的附近，函数f(x)可以用一个n次多项式来逼近。
具体来说，泰勒公式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + Rn(x)其中，f(a)表示函数f(x)在点x=a处的函数值，f'(a)表示f(x)在点x=a处的一阶导数值，以此类推，f^n(a)表示f(x)在点x=a处的n 阶导数值。
而Rn(x)表示余项，它是一个与(x-a)^n有关的函数，用于衡量n次多项式逼近的误差。
泰勒公式的这种逼近性质使得我们可以用简单的多项式来近似复杂的函数。
这在高考数学中非常有用。
例如，在计算机中常用的sin(x)、cos(x)、e^x等函数，实际上都可以通过泰勒公式展开来进行计算。
当我们需要计算这些函数的具体值时，可以根据泰勒公式展开式中的有限项来进行近似计算，从而得到一个较为准确的结果。
除了近似计算外，泰勒公式还可以用于研究函数的性质。
例如，通过泰勒公式展开，我们可以推导出函数的极值点、拐点等重要性质。
这对于解决一些函数相关的最优化问题非常有帮助。
同时，泰勒公式还可以用于证明一些数学定理，如拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
在高考数学中，泰勒公式经常被用于构造近似解、证明数学定理以及解决实际问题。
因此，掌握泰勒公式的基本概念和应用方法对于高考数学的学习非常重要。
在考试中，如果遇到需要进行函数逼近或者研究函数性质的问题，我们可以灵活运用泰勒公式，通过逼近多项式的计算来得到答案。
3-3s 泰勒公式
如果当x (a,b)时,f(n+1)( x) M
f ( n 1) ( ) M n 1 n 1 Rn ( x) ( x x0 ) x x0 (n 1)! (n 1)! 而
x x0 ( x
lim
Rn ( x) x0 )
n
0
故 当x x0时, Rn ( x) 是比( x x0 ) n高阶的无穷小，
[1 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ] o[(x 1) ]
2 3 3
例2 写出
解：
f ( x) 阶麦克劳林公式 e x的n .
f ' ( x) f ' ' ( x) f ( n ) ( x) e x f (0) f ' (0) f ' ' (0) f
所以
1 x 1 f (0) x
1 1 f (0) x 2 f ( ) x3 2! 3!
(0 1)
5 1 1 2 1 1 x x (1 ) 2 x3 2 8 16
R2 ( x)
x3 16(1 )
5 2
1 16
(n)
(0) 1
f ( n 1) (x) ex 2 n x x x e ex 1 x x n 1 2! n! (n 1)!
(0 1)
x ex e n 1 Rn ( x) x n 1 x (n 1)! (n 1)!
(0 1)
可得
( x0 ) f ( x0 ), pn ,
(n) pn ( x0 ) f ( n ) ( x0 )
对（3.3.1）式求各阶导数，然后分别代入以上等式，
常见泰勒公式展开式
常见泰勒公式展开式泰勒公式是用来将一个函数表达式在一些点处展开成一系列无穷次的幂级数的公式。
这个公式在数学和物理领域中很常见，并且经常被用来进行函数逼近和近似计算。
泰勒公式的一般形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+⋯其中，f(x)是要展开的函数，a是展开的点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)分别表示f(x)在点a处的一阶、二阶和三阶导数。
通过不断迭代，我们可以将泰勒公式展开到任意阶。
不同阶的展开式有不同的表示形式，下面我将介绍几种常见的泰勒公式展开式。
1.一阶泰勒展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)这个展开式将函数f(x)在点a处展开到一阶，也就是通过函数在点a 处的函数值和一阶导数来近似函数的取值。
2.二阶泰勒展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!这个展开式将函数f(x)在点a处展开到二阶，也就是通过函数在点a 处的函数值、一阶导数和二阶导数来近似函数的取值。
3.三阶泰勒展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!这个展开式将函数f(x)在点a处展开到三阶，也就是通过函数在点a处的函数值、一阶导数、二阶导数和三阶导数来近似函数的取值。
4.n阶泰勒展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+⋯+f^(n)(a)(x-a)^n/n!这个展开式将函数f(x)在点a处展开到n阶，也就是通过函数在点a处的函数值、一阶导数、二阶导数直到n阶导数来近似函数的取值。
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Pn和 Rn的确定
分析:
1.若在 x0 点相交
y
近
似 程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度 越
2.若有相同的切线
来 越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
o
x0
y f (x)
x
假设 Pn(k) ( x0 ) f (k) ( x0 ) k 1,2,, n
lim
x x0
Rn (x) n( x x0 )n1
lim
x x0
n(n
Rn( x ) 1)( x
x0
)n2
lim
xx0
R( n1) n
(
x
)
n!(x x0 )
Rn(n) ( x0 )
0
麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
x0 )2
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
定理1 （泰勒(Taylor)公式）
如果函数 f ( x)在 x0处具有 n 阶导数,则当 x
在 x0的邻域内时, f ( x)可以表示为:
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x 2!
0
)
(
x
x0
)2
f
(
n) (x0 n!
(1 x)100 1 100x 100 99 x2 o( x2 ) 2
(1
1 2 x )40
1 40 (2x)
(40)(41) (2x)2 2
o( x2 )
(1
1 2 x )60
1 60 2x
(60)(61) (2x)2 2
o( x2 )
分子 1 60x 1950x2 o( x2 ) 1 60x
原式 lim(1 1 o( 1 )) 1 x 2 3x x 2
例4.估计当n 时 (1 1 )n e 0 的阶数. n
解.
(1
1
)n
e
nln(1 1 )
en
e
n
由于ln(1 x) x x2 o( x2 ), 2
nln(1 1 )
e n
e
en(
1 n
1 2n2
o(
1 n2
))
a f ( x ),
0
0
1 a f ( x ),
1
0
2!a f ( x )
2
0
, n!a f ( x (n) )
n
0
得
ak
1 k!
f (k)( x0 )
(k 0,1,2,, n)
代入Pn ( x)中得
Pn( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
f ( x0 )( x 2!
e
1 1 o( 1 )
e 2n n
e
1 o( 1 )
e(e 2n n 1)
e
o( 1 ).
2n n
例5.估计当n 时 1 ln(1 1 ) 0 的阶数.
n
n
解. 1 n
ln(1 1 ) 1 nn
1 n
1 2n2
1 o( n2
)
1 (1 (1 1 o( 1 ))12
原式
lim
x0
1950x2 x2
o(
x2
)
1950.
例3 求极限lim[ x x2 ln(1 1 )]
x
x
解
ln(1 x) x x2 x3 o(x3 ) 23
111 1
1
ln(1
) x
x
2x2
3x3
o( x3 )
x2 ln(1 1 ) x 1 1 o( 1 )
x
2 3x x
2!
n!
O( xn )
常用函数的麦克劳林公式
sin x x x 3 x5 (1)n x 2n1 o( x 2n2 )
3! 5!
(2n 1)!
cos x 1 x 2 x4 x6 (1)n x 2n o( x 2n )
2! 4! 6!
(2n)!
ln(1 x) x x 2 x 3 (1)n x n1 o( x n1 )
23
n1
1 1 x x2 xn o( xn ) 1 x
(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1)(m n 1) xn o( xn ) n!
例1
计算
e x2 lim
x0
2cos x 3. x4
解 e x2 1 x2 1 x4 o( x4 ) 2!
n
2n n
1 (1 (1 1 1 o( 1 )) 1 o( 1 ))
n
2 2n n 4n n n n
例 6 设二阶可导，计算
f ( x h) f ( x h) 2 f ( x)
lim
h0
x2
.
解. f ( x h) f ( x) f ( x)h f ( x)h2 o(h2 ), 2
例如, 当 x 很小时, e x 1 x , ln(1 x) x
不足: 1、精确度不高； 2、误差不能估计。
问题: 寻找函数P( x),使得 f ( x) P( x) 误差 R( x) f ( x) P( x) 可估计
设函数 f ( x)在含有 x0的开区间(a, b) 内具有直到 (n 1)阶导数,P( x) 为多项式函数 Pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n
f ( x h) f ( x) f ( x)h f ( x)h2 o(h2 ), 2
3.3 泰勒(Taylor)公式
3.3.1 带佩亚诺余项的泰勒公式
1.设 f ( x)在x0处连续,则有
f (x) f (x0 )
[ f (x) f (x0 ) ]
2.设 f ( x)在x0 处可导,则有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
[ f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) o( x x0 )]
cos x 1 x2 x4 o( x5 ) 2! 4!
e x2 2cos x 3 ( 1 2 1 )x4 o( x4 ) 2! 4!
原式
lim
x0
7 12
x
4
o( x4
x
4
)
7 12
例2
计算
lim
x0
(1
(1 x)100 2x)40 (1 2x)60
x2
1
60 x
.
解
)
(
x
x0
)
n
o((x x0 )n )
带皮亚诺余项的泰勒公式
证明 记 Rn (x) f (x) Pn (x) , 在 x0 具 有 n
阶导数,且
Rn ( x0 ) Rn ( x0 ) Rn( x0 ) Rn(n) ( x0 ) 0
lim
x x0
Rn ( x ) (x x0 )n