【4月九江市二模文数】江西省九江市2020届高三第二次高考模拟统一考试文科数学试卷含答案
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文科数学答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回. 第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{2,1,0,1,2}A=--，2{|2}Bxx=<，则AB=I(C) A.{0,1} B.{1,1}- C.{1,0,1}- D.{0} 解:{|}22Bxx=-<，{1,,1}0AB\=-I，故选C.
2.已知复数z满足()103iz-=，则z=(D) A.3i-- B.3i-+ C.3i- D.3i+
解:1010(3i)3i3i(3i)(3i)z+===+
--+，故选D.
3.已知等差数列{}na的前n项和为nS，若11a=，46S=，则7S=(D) A.7 B.9 C.11 D.14
解:法一:由11a=，46S=，得4(41)4162d´-´+=，解得13d=，77(71)1711423S´-\=´+´=，故选
D. 法二:1444()62aaS+==Q，又11a=，42a\=，17477()721422aaaS+´\===，故选D.
4.已知sin21cosaa=
+，则tana=(A)
A.43- B.34- C.43 D.2
解:22sincossin22tan21cos22cos2aaaaaa===+Q，22tan42tan31tan2aaa\==--，故选A. 5.已知01ab<<<，则下列结论正确的是(B) A.abbb< B.bbab< C.abaa< D.aaba< 解:法一:01ab<<故选B.
法二:取14a=，12b=，则12aa=，12ba=，12bb=，4
1
2ab=，显然bbab<，故选B.
6.将函数2cos(2)6yxp=+的图像向左平移6p个单位得到函数()fx，则函数()sinfxyxx=的图像大致为(D) 解:依题意得()2cos[()]2cos()2sin222662fxxxxppp=++=+=-，则()2sin24cossinsinfxxxyxxxxx--===， xk¹p，kÎZ，显然该函数为奇函数，且当π(0,)2xÎ时，0y<，故选D.
7.如图，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，过AC且与截面ABCD垂直的平面 截该圆柱表面所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为(C) A.1 B.2 C.2 D.22 解:ACQ为椭圆的长轴，222a\=，2a=，短轴长等于圆柱的底面圆直径，即22b=，1b\=，2221cab=-=，22c\=，故选C.
8.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为(C)
A.8 B.195 C.163 D.13 解:依题意得输出S的值为1,2,3,5,8,13的平均数，即12358131663S+++++==，故选C. 9.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2222:1yxEab-=(0,0ab>>)的右焦点F，若存在平行于x轴的直 线l，与双曲线E相交于,AB两点，使得四边形ABOF为菱形，则该双曲线E的离心率为(B) A.231+ B.31+ C.3 D.23
解:如图，由对称性知OAOB=，OAF\D为边长为c的等边三角形，3(,)22cc\
在双曲线E上，22223144ccab\-=，2222234cccaa\-=-，222341eee\-=-，解得 31e=+，故选B.
10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称 “档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算
D B C
A
x y O A
F B
x y O 2p p 1- -p
2- 2-p
1 2
D x
y
O 2p p 1- -p
2-
2-p 1 2
C
B
x y O 2p p 1- -p
2- 2-p
1 2
A x
y
O 2p p
1- -p
2-
1 2 2-p
否 是
cab=+ 开始 输出S 结束
,abbc==
(1)iScSi-+= 5i>
1ii=+
1i= 0a=1b= 0S=珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个、十、百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为(C)
A.13 B.49 C.59 D.23 解:依题意得所拨数字可能为6106015111601511151066116，，，，，，，，，共9个，其中有5个是奇数，则所拨数
字为奇数的概率为59，故选C. 11.已知函数()lnfxxaxa=-+(RaÎ)有两个零点，则a的取值范围是(B) A.(e,+)¥ B.2(e,)+¥ C.23(e,e) D.22(e,2e)
解:()1axafxxx-¢=-=(0x>),当0a£时，()0fx¢>，()fx\在(0,+)¥上单调递增，不合题意，
当0a>时，0xa<时，()0fx¢>，()fx\在(0,)a上单调递减，在(,)a+¥上单调递增，min()()2lnfxfaaaa\==-，依题意得2ln0aaa-<，2ea\>，取1ex=，22xa=，则1xa<，2xa>，且1()(e)e0fxf==>，222()()2ln(2ln1)fxfaaaaaaaa==-+=-+，令
()2ln1gaaa=-+，则2()10gaa¢=->，()ga\在2(e,)+¥上单调递增，22()(e)e30gag\>=->，
2()0fx\>
，故a的取值范围是
2(e,)+¥
，故选B.
12.现有边长均为1的正方形、正五边形、正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周， 它们的中心的运动轨迹长分别为1234,,,llll，则(B) A.1234llll<<< B.1234llll<<= C.1234llll=== D.1234llll==<
解:正n边形的中心运动轨迹是由n段圆弧组成，每段圆弧的圆心角为2np，每段圆弧的半径r为顶点到中
心的距离，所以当它们滚动一周时，中心运动轨迹长22lnrrnp=××=p，圆的中心运动轨迹长也为2rp，依题意得边长均为1的正方形、正五边形、正六边形的顶点到中心距离及圆的半径满足1234rrrr<<=，1234llll\<<=，故选B.
第Ⅱ卷（非选择题90分） 本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，学生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量,ab满足1=a，2=b，()^-aab，则a与b的夹角为60°.
解:()^-Qaab，20\-×=aab，112cos,0-´<>=ab，1cos,2\=<>ab，\a与b的夹角为60°.
14.设,xy满足约束条件220220xyxyyx+-ìï-+íïî≤≥≥，则32zxy=-的最大值是23. 解: 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当目标函数过22(,)33时取得最大值， 即max22232333z=´-´=．
yx–1–21
–1
12O 15.ABCD中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若2228tanabcC+-=，则ABCD的面积为 2 . 解:由余弦定理知2222cosabcabC+-=，82costanabCC\=，sin4abC\=,1sin22ABCSabCD\==. 16.如图，在一个底面边长为2,侧棱长为10的正四棱锥PABCD-中，大球1O内切于 该四棱锥，小球2O与大球1O及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O的体积为224p. 解:设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接,,PMOMPO，则1OM=， 221013PMPAAM=-=-=，9122PO=-=，如图，在截面PMO中，
设N为球1O与平面PAB的切点，则N在PM上，且1ONPM^，设球1O的半径 为R，则1ONR=，1sin3OMMPOPMÐ==Q，11
1
3NO
PO\=，则13POR=，
11
422POPOOOR=+==
，22R\=，设球1O与球2O相切于点Q，则PQ=
22PORR-=，设球2O的半径为r，同理可得4PQr=，224Rr\==，故小球2O的
体积342324Vr=p=p. 三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
已知数列{}na满足11a=，212a=，122nnnaaa+++=． (Ⅰ)求证:1{}nnaa+-为等比数列； (Ⅱ)求{}na的通项公式． 解:(Ⅰ)由122nnnaaa+++=，得2112()()nnnnaaaa+++-=--，即+21+11()2nnnnaaaa+-=--…………2分
又2112aa-=-，+21+112nnnnaaaa+-\=--…………4分
1{}nnaa+\-是以12-为首项，12-为公比的等比数列………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知1+1111()()()222nnnnaa--=-×-=-………6分 111()2nnnaa--\-=-
,2121()2nnnaa----=-，…，211()2aa-=-(2n³)，
累加得221111()111112122()()()()()122223321()2nnnnnaa------=-+-++-+-==-----
L………9分
又11a=，1212211()()332332nnna\=---=--(2n³)………11分 又11a=也符合上式，221()332nna\=--………12分 18.(本小题满分12分) BMI指数（身体质量指数，英文为BodyMassIndex，简称BMI）是衡量人体胖瘦程度的一个标准，BMI=
体重(kg)/身高(m)的平方.根据中国肥胖问题工作组标准，当BMI28≥时为肥胖.某地区随机调查了1200名35岁以上成人的身体健康状况，其中有200名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：
2O O 1O 2O P M Q N
1O P C B A
D
百千联考解析版：2020届高三第二次模拟考试卷 文数(一)
4
9．【答案】D
【解析】根据选项 D 运行程序得，第一次循环， S = 0 +1 = 1， i = 2 ，
第二次循环， S = 1+ 1 ， i = 3， 3
第三次循环， S =1+ 1 + 1 ， i = 4 ， 35
…，
依次类推，第1010 次循环， S =1+ 1 + 1 +L + 1 ， i = 1011，
3．【答案】C
【解析】∵ 0 <=a log8 7 < 1， 0 <=b log3 2 < 1，=c π0.1 > 1， 3a = log2 7 > log2 4 = 2 ， 3b = log3 8 < log3 9 = 2 ， ∴ b < a ，∴ b < a < c ．
4．【答案】D 【解析】如下图所示，
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．
1．若复数 z 满足 (1+ 2i)z = 1− i ，则 z = （ ）
A． 2
B． 10 5
C． 10 3
D． 3 2 5
明理由．
二模测试卷 第 6 页（共 8 页）
（1）写出曲线 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知 a ， b ， c 为正数，且满足 abc = 8 ，证明： （1） (4 + a)(4 + b)(4 + c) ≥ 216 ； （2） (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ≥ 48 ．
江西省2020版高三数学二模试卷(II)卷
江西省2020版高三数学二模试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高三上·石城月考) 已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A . {2，4}B . {0，2}C . {0，2，4}D . {x|x=2n，n∈N}2. （2分） (2019高三上·新余月考) 复数，其中为虚数单位，则的虚部为（）A . -1B . 1C . iD . -i3. （2分） (2019高三上·深圳月考) 甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖丙预测说：甲和丁中有一人获奖；丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（）A . 甲和丁B . 乙和丁C . 乙和丙D . 甲和丙4. （2分）抛物线的准线方程是（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二下·黑龙江开学考) 已知函数f（x），（x∈R）上任一点（x0 ， y0）的切线方程为y ﹣y0=（x0﹣2）（x02﹣1）（x﹣x0），那么函数f（x）的单调递减区间是（）A . [﹣1，+∞）B . （﹣∞，2]C . （﹣∞，﹣1）和（1，2）D . [2，+∞）6. （2分）下列关于算法的说法不正确的是（）A . 算法必须在有限步操作之后停止．B . 求解某一类问题的算法是唯一的．C . 算法的每一步必须是明确的．D . 算法执行后一定产生确定的结果．7. （2分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A . +πB . +2πC . 2 +2πD . 2 +π8. （2分） (2017高一上·鞍山期末) 已知△ABC， = ， = ，AD与CE的交点为G，= ， = ，若=λ +μ ，则λ+μ=（）A .B .C .D .二、多选题 (共4题；共10分)9. （2分） (2019高二上·思明期中) 下列说法中正确的是（）A . 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等.B . 若A、B为互斥事件，则A的对立事件与B的对立事件一定互斥.C . 某个班级内有40名学生，抽10名同学去参加某项活动，则每4人中必有1人抽中.D . 若回归直线的斜率，则变量与正相关.10. （3分） (2019高一上·张家港月考) 下列说法中正确的有（）A . 若函数是偶函数,且在[0,2]上是增函数,在[2,+∞)上是减函数,则B . 函数在R上,有最大值为0,无最小值C . 不等式的解集为D . 既是奇函数,又是定义域上的减函数11. （3分） (2020高一下·苏州期末) 已知函数在区间上单调递增，则实数的可能值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高一下·沭阳期中) 已知表示直线，表示平面，下列正确的是（）A .B .C .D . 或三、填空题 (共3题；共4分)13. （1分） (2019高一下·杭州期末) 向量，且，则 ________；________．14. （1分） (2019高一上·苏州月考) 已知，，，，求________.15. （2分） (2016高二下·三亚期末) 如图，用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有________种．四、双空题 (共1题；共1分)16. （1分） (2019高一上·大名月考) 已知，又，若满足的有三个，则的取值范围是________．五、解答题 (共6题；共57分)17. （10分） (2016高一下·南京期末) 如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AC=3，△ABC的面积等于，D为边长BC上一点．（1）求BC的长；（2）当AD= 时，求cos∠CAD的值．18. （10分） (2017高一下·黄山期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且Sn=2n2+n，n∈N* ，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N* ．（1）求an ， bn；（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn ．19. （2分）(2019·江西模拟) 如图，在四棱锥中，底面是正方形，且，平面平面，，点为线段的中点，点是线段上的一个动点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）设二面角的平面角为，试判断在线段上是否存在这样的点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20. （10分）(2019·湖州模拟) 已知函数，，曲线与有且仅有一个公共点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若存在实数，，使得关于的不等式对任意正实数恒成立，求的最小值.21. （15分）某微商赠品费用支出与销售额之间有如下对应数据：x（万元）12345y（万元）2430384251（1）求回归直线方程；（2）试预测该微商赠品费用支出为8万元时，销售额多大．参考公式：回归直线方程 = x+ ，其中 = ， = ﹣．22. （10分）(2017·湘潭模拟) 已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2 ，l1⊥l2 ，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、多选题 (共4题；共10分)9-1、10-1、11-1、12-1、三、填空题 (共3题；共4分)13-1、14-1、15-1、四、双空题 (共1题；共1分) 16-1、五、解答题 (共6题；共57分) 17-1、17-2、18-1、18-2、21-1、21-2、22-1、。
全国数学2卷2020届高三第二次模拟试题文科以及答案.docx
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷（全国2卷）( 第二次模拟考试 )注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{}{}1|B 3,2,1,0,1-A >==x x ，，则A B I 的元素个数为 A ．0B ．2C ．3D ．52．复数ii z 2)2(-=(i 为虚数单位)，则A ．5B ．5C ． 25D ．41 3．函数1cos 22sin )(2+-=x x x f 的最小正周期为 A. πB. 2πC. 3πD. 4π4. 已知向量＝(－1,2)，＝(3,1)，）（4,x c =，若⊥-)(，则x ＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 2=,则其离心率为A ．2B ．3C ．2D ．3 6．已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示， 则该几何体的体积是A ．1B ．32 C ．2 D ．3 7．若x 、y 满足约束条件，⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤-+00203y y x y x 则y x z 34-=的最小值为A ．0B ．-1C ．-2D ．-38．已知x ＝ln π，y ＝log 52，12=ez -，则A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x9．在数学解题中，常会碰到形如“xyyx -+1”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设b a ,是非零实数，且满足158tan 5sin5cos 5cos5sin π=π-ππ+πb a b a ，则a b ＝A ．4B ．15C ．2D ．3 10．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A ．i i ,iS S ,i 2120=-=< B ． i i ,iS S ,i 2120=-=≤ C ．1220+==<i i ,S S ,i D ．1220+==≤i i ,S S ,i 11．从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是 A ．101 B ．103C ．53 D ．52 12. 已知点A (0,2)，抛物线C 1：)0(2>=a ax y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值为 A ．14 B ．12 C ．1 D ．4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数x x x f sin 2)(-=，当[]1,0∈x 时，函数)(x f y =的最大值为_________. 14．已知函数)x (f 是奇函数，当))(f (f ,x lg )x (f x 10010则时，=>的值为_________. 15．已知直三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=6，AC=10，AC AB ⊥,,521=AA 则球O 的表面积为 .16．在△ABC 中，已知 (a ＋b )∶(c ＋a )∶(b ＋c )＝6∶5∶4，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1532. 其中正确结论的序号是 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分) 17．(12分)已知等差数列{}n a 中，1673-=a a ，064=+a a （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求{}n a 的前n 项和n S . 18．(12分)如图所示，四棱锥S-ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，CD AB //,,3===AB AC AD ,4==CD SA P 为线段AB 上一点，,2PB AP = SQ=QC . （1）证明：PQ//平面SAD ; （2）求四面体C-DPQ 的体积. 19．(12分)某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x (万人)与餐厅所用原材料数量y (袋)，得到如下统计表：第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 参会人数x (万人) 13 9 8 10 12 原材料y (袋)3223182428（1）根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程a x by ˆˆ+=； （2）已知购买原材料的费用C （元）与数量t (袋)的关系为⎩⎨⎧∈≥∈<<-=)(36,380)(360,20400N t t t N t t t C ，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L ＝销售收入－原材料费用）.参考公式： x b y axn x yx n yx x x y y x xbni i ni ii ni i ni i iˆˆ,)())((ˆ1221121-=--=---=∑∑∑∑====. 参考数据：511343i i i x y ==∑，521558ii x ==∑，5213237i i y ==∑.20．(12分)已知椭圆14522=+y x 的右焦点为F ，设直线l :5=x 与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线1l 与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线1l 的倾斜角为π4，求|AB |的值； (2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 21．(12分)已知函数).1ln()(+-=x a x x f （1）的单调区间；求时当)(,2x f a =;（2）当a =1时，关于x 的不等式)(2x f kx ≥在），∞+0[上恒成立，求k 的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题记分. 22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴，已知曲线的方程为1)1(22=+-y x ，的方程为3=+y x ，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求与的极坐标方程；（2）若与的一个公共点为（异于点），与的一个公共点为， 求OBOA 3-的取值范围.O A O B23．[选修4－5：不等式选讲](10分) （1）,1,,,=++∈+c b a R c b a 且已知证明；9111≥++cb a （2）,abc ,R c ,b ,a 1=∈+且已知证明cb ac b a 111++≤++.全国2卷2020届高三第二次模拟数学(文科)试题答案一.选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BAAABBCDDDCD13．2－sin1 14．2lg - 15． 16 ②③17解：设{a n }的公差为d ，则1111(2)(6)16,350,a d a d a d a d ++=-⎧⎨+++=⎩1212181216,4.a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩即118,8,2 2.a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩解得或 （1）a n = 2n-10， a n= －2n +10.（2）S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9). 18 解析：(1)证明: 由已知得AP ＝23AB ＝2.如图，取DS 的中点T ，连接AT ，TQ ，由N 为PC 中点知TQ ∥DC ，TQ ＝12DC ＝2.又AB ∥DC ，故TQ ||=AP ，,,//SAD AT AT MN 平面又⊂∴Θ从而证得PQ//平面SAD ;(2)因为SA ⊥平面ABCD ，Q 为SC 的中点，所以Q 到平面ABCD 的距离为12SA .如图，取DC 的中点E ，连接AE .由AD ＝AC ＝3得AE ⊥DC ，则AE ＝ 5.故S △BCP ＝12×4×5＝2 5.所以四面体C-DPQ 的体积V C-DPQ ＝13×S △D CP ×PA 2＝453.S 球＝4πR 2＝36π.19【答案】（1）15.2-=x y ；（2）餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元.【解析】 (1)由所给数据可得：1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，························2分515222151343510.425 2.5558510.45i ii ii x yx y bxx==--⨯⨯===-⨯-∑∑$，$25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-$， 则y 关于x 的线性回归方程为$$2.51y x =- (2)由(1)中求出的线性回归方程知，当15x =时，36.5y =，即预计需要原材料36.5袋， 因为40020,036,380,36,NNt t t C t t t -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，所以当36t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+， 当35t =时, 利润L=300×35+20=10520 当36t ≥时，利润L ＝700t －380t ，当36t =时，利润.L=700×36-380×36=11520 当t=37时，利润L=700×36.5-380×37=11490综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元. 20．由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)．(1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1. ∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53. ∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×354)910(2⨯+＝1659.(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2. 设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3.而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k (x 1－1)x 1－3－k (x 2－1) ＝3k (x 1＋x 2)－kx 1x 2－5k x 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0. ∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .21.解：（1）当a=2时，),x ln(x )x (f 12+-=11121+-=+-=x x x )x (f '，()()是减函数，（时，当x f )x f ,x '011<-∈， 是增函数函数；，，，)x (f )x (f ),(x '01>+∞∈()),1[1,1)(+∞-，增区间为的减区间为所以，x f（1）.0)1ln()()1ln()(122≥++-≥+-==x x kx x f kx x x x f a ，即，时，当.)0[0)(0)1ln()(2恒成立即可，在，则只需，设∞+≥≥++-=x g x x x kx x g易知.x xx x ]x k [x x kx )x (g )(g '0101112111200≥+≥+-+=++-==，所以，因为）（， ）上单调递减，，在，此时时，当∞+<≤0[)(0)(0'x g x g k 与题设矛盾；所以,0)0()(=<g x g)(2110(02110)(210''<+-∈>+-==<<x g kx k x x g k ）时，，，当得时，由当，与题设矛盾；时，，（上单调递减，所以，当，在，此时时，，当0)0()()2110)2110()(0)()211('=<+-∈+->∞++-∈g x g kx k x g x g k x 0)0()(0[)(0)(21'=≥∞+≥≥g x g x g x g k ）上单调递增，所以，在，故时，当恒成立.综上，.21≥k22.解：（1）曲线的方程为1)1(22=+-y x ，1C 的极坐标方程为θρcos 2=的方程为3=+y x ，其极坐标方程为θθρsin cos 3+=（2）是一条过原点且斜率为正值的直线，的极坐标方程为⎪⎭⎫⎝⎛∈=20πααθ，，联立1C 与3C 的极坐标方程⎩⎨⎧==αθθρcos 2，得αρcos 2=，即αcos 2=OA联立1C 与2C 的极坐标方程⎪⎩⎪⎨⎧α=θθ+θ=ρsin cos 3，得α+α=ρsin cos 3，即α+α=sin cos OB 3 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛π+α=α-α-α=-4223cos sin cos cos OB OA又⎪⎭⎫ ⎝⎛π∈α20，，所以),(OB OA 113-∈-23. 证明： （1）因为=++++++++=++cc b a b c b a a c b a c b a 111 111++++++++c bc a b c b a a c a b 时等号成立，当3193===≥++++++=c b a a c c a b c c b b a a b （2）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=++bc ac ab c b c a b a c b a 1212122111111121111 又因为,abc 1=所以c ab =1，b ac =1，a bc =1()a b c cb a ++≥++∴111当1===c b a 时等号成立，即原不等式成立。
2020届高三第二次模拟考试卷 文科数学(四) 含答案解析
2020届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{2,}xA y y x ==∈R ，{1}B x y x ==-，则A B =I （ ）A ．{1}B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．(0,1]2．已知复数2i z =+，则1iz+在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在等差数列{}n a 中，若35a =，424S =，则9a =（ ） A ．5-B ．7-C ．9-D ．11-4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（ ）A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值 5．已知函数()(1)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，则(3)0f x -<的解集为（ ） A ．(2,4) B ．(,2)(4,)-∞+∞U C ．(1,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞U6．设α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线．下列说法正确的是（ ） ①若a b ∥，a c ∥，则b c ∥； ②若a α⊥，b α⊥，则a b ∥； ③若a α⊥，a β⊥，则αβ∥；④若αβ⊥，b αβ=I ，a α⊂，a b ⊥，则a β⊥． A ．①③B ．②③④C ．①②④D ．①②③④7．已知向量(1,1)=-a ，OA =-u u u r a b ，OB =+u u u ra b ，若OAB △是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB △的面积为（ ） A ．1B ．2C ．2D ．228．如图所示，在平面直角坐标系中，角α和角β均以Ox 为始边，终边分别为射线OA 和OB ， 射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34(,)55A ，(1,0)C -．若π6BOC ∠=，则cos()βα-的值 是（ ）A ．34310- B ．34310+ C ．43310- D ．43310+ 9．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）与函数(0)y x x =≥的图象交于点P ，若函数y x=的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点(4,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）A ．1744+ B ．1734+ C ．1724+ D ．1714+ 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则线段MN 长的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．22D ．3 11．过抛物线2:4C x y =的焦点F 的直线l 交C 于M ，N ，点M 处的切线与x 、y 轴分别交于点A 、B ，若AOB △的面积为2，则MF =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有2()()x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若(21)(1)ae f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2[0,]3B ．2[,0]3-C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足1OA =u u u r ，2OB =u u u r ，点C 为线段AB 的中点，若32OC =u u u r ，则AOB ∠= ．14．计算：2sin 503sin 20︒-︒= ．15．若ABC △的三边长a ，b ，c 满足23b c a +≤，23c a b +≤，则ba的取值范围为 ． 16．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四件参衰作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A 、D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“C 作品获得一等奖”．若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{}n a 的公差为2，且11a -，21a -，41a -成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11()n n n b n a a +=∈*N ，数列{}n b 的前n 项和n S ，求使215n S <成立的最大正整数n 的值．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD CDA ∠=∠=︒，PA ⊥面ABCD ，1PA AD DC ===，2AB =． （1）证明：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）求点D 到平面PBC 的距离．19．（12分）某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况,利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查．已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”．（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”．从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良的概率．附表及公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．20．（12分）已知1F，2F是椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点，圆222:O x y c+=（122F F c=）与椭圆有且仅有两个交点，点66(在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）过y正半轴上一点P的直线l与圆O相切，与椭圆C交于点A，B，若PA AB=u u u r u u u r，求直线l的方程．21．（12分）已知函数21()ln 12f x x x =-+． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设21()ln 2g x x ax x =-+，证明：曲线()y g x =没有经过坐标原点的切线．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是222813(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πcos()4ρθ+=．（1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()241f x x x =-++，x ∈R ． （1）解不等式()9f x ≤；（2）若方程2()f x x a =-+在区间[0,2]有解，求实数a 的取值范围．2020届高三第二次模拟考试卷文科数学（四）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】∵集合{2,}(0,)xA y y x ==∈=+∞R，{(,1]B x y ===-∞，∴(0,)(,1](0,1]A B =+∞-∞=I I ． 2．【答案】D【解析】2i z =+，∴2i 13i 1i 1i 22z -==-++，在复平面对应的点的坐标为13(,)22-， 所在象限是第四象限． 3．【答案】B【解析】{}n a 为等差数列，设首项为1a ，公差为d ，由414624S a d =+=，3125a a d =+=，解得19a =，2d =-， 所以112n a n =-，97a =-． 4．【答案】D【解析】在A 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故A 错误；在B 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性，没有减弱，故B 错误； 在C 中，从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差大于11月份的方差，故C 错误； 在D 中，从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值． 5．【答案】B【解析】∵2()()f x ax b a x b =+--为偶函数，所以0b a -=，即b a =， ∴2()f x ax a =-，由()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以0a <，∴2(3)(3)0f x a x a -=--<，可化为2(3)10x -->， 即2680x x -+>，解得2x <或4x >． 6．【答案】D【解析】由平行公理知①对，由线面垂直的性质定理知②对， 由线面垂直及面面平行定理知③对，由面面垂直性质定理知④对． 7．【答案】B【解析】设(,)x y =b ，则(1,1)OA x y =---u u u r ，(1,1)OB x y =-++u u u r，由题意，得2222(1)(1)(1)(1)x y x y --+-=-+++，22110x y -+-=，解得1x y ==±，则2OA OB ==u u u r u u u r，故2OAB S =△． 8．【答案】C【解析】依题意，有3cos 5α=，4sin 5α=，cos β=，1sin 2β=，所以314cos()cos cos sin sin 525βαβαβα-=+=+⨯=． 9．【答案】D【解析】设P的坐标为(m ，由左焦点(4,0)F -，函数的导数()f x '=，则在P处的切线斜率()4k f m m '===+， 即42m m +=，得4m =，则(4,2)P ，设右焦点为(4,0)A，则21)a PF PA =-==，即1a =，∵4c =，∴双曲线的离心率c e a ==10．【答案】D【解析】作1MM AD ⊥于点1M ，作1NN CD ⊥于点1N ， ∵线段MN 平行于对角面11A ACC ，∴11M N AC ∥， 设11DM DN x ==，则1MM x =，11NN x =-，在直角梯形11MNN M，222211)(12)6()33MN x x =+-=-+，∴当13x =时，MN 的最小值为3．11．【答案】C【解析】设点11(,)M x y ，抛物线C 对应的函数的解析式为24x y =，求导得2xy '=，所以，抛物线C 在点M 处的切线AB 的方程为111()2x y y x x -=-，即21124x x x y =-， 令0x =，得214x y =-；令0y =，得12xx =，则点1(,0)2x A ，21(0,)4x B -，AOB △的面积为23111||1||222416AOBx x x S =⨯⨯==△，解得122x =±， ∴21124x y ==，所以1||13MF y =+=． 12．【答案】B 【解析】∵2()()x f x e f x -=，∴()()()x x xf x e f x e f x e--==-， 含()()xg x e f x =，()()g x g x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，∴()[()()]0xg x e f x f x ''=+>，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递减， ∵(21)(1)ae f a f a +≥+，∴211(21)(1)a a ef a e f a +++≥+，∴(21)(1)g a g a +≥+，211a a +≤+，解得203a -≤≤，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】120︒【解析】∵点C 为线段AB 的中点，∴1()2OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，2221(2)4OC OA OB OA OB =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1(14212cos )4AOB =++⨯⨯⨯∠，解得1cos 2AOB ∠=-，∴120AOB ∠=︒． 14．【答案】1 【解析】2sin 503sin 202sin(3020)3sin 20cos 20cos 20︒-︒︒+︒-︒=︒︒2sin 30cos 202cos30sin 203sin 20cos 203sin 203sin 20cos 20cos 20︒︒+︒︒-︒︒+︒-︒==︒︒cos 201cos 20︒==︒．15．【答案】35(,)43【解析】令b x a =，cy a =，由23b c a +≤，23c a b +≤，得23x y +≤，①32x y -≥，②又c a b c -<-<及a b c +>，得1x y -<，③1x y ->-，④1x y +>，⑤由①②③④⑤可作出图形，得到以点31(,)44D ，(1,0)C ，52(,)33B ，(1,1)A 为顶点的四边形区域，由线性规划可得3543x <<，01y <<，则b a 的取值范围为35(,)43，故答案为35(,)43．16．【答案】B【解析】若A 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意；若B 为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意； 若C 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意； 若D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意， 综上所述，故B 获得一等奖．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）21n a n =+，n ∈*N ；（2）5． 【解析】（1）由题意知，2214(1)(1)(1)a a a -=--，即2111(1)(1)(5)a a a +=-+，解得13a =，故21n a n =+，n ∈*N ．（2）由1111()(21)(23)22123n b n n n n ==-++++， 得1231111111111()()2355721232323n n S a a a a n n n =++++=-+-++-=-+++L L 3(23)nn =+，由23(23)15n n <+，解得6n <，故所求的最大正整数n 为5．18．【答案】（1）证明见解析；（2）66． 【解析】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，由90BAD CDA ∠=∠=︒，1AD DC ==，2AB =， 得2AC =，2BC =，∴222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥，又PA ⊥面ABCD ，∴PA BC ⊥，PA AC A =I ，∴BC ⊥平面PAC ，BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ． （2）由（1）得BC PC ⊥，3PC =，11632222PBC S PC BC =⨯=⨯⨯=△，11111222DBCS DC AD =⨯=⨯⨯=△，111113326P BDC DBC V S PA -=⨯=⨯⨯=△． 设点D 到平面面PBC 的距离为h ， 则1166133266D PBC PBC P DBC V S h h h V --==⨯===△，∴66h =， ∴点D 到平面PBC 的距离为6． 19．【答案】（1）列联表见解析，有超过99%的把握认为；（2）35． 【解析】（1）由题意可知拥有驾驶证的人数为：10040%40⨯=人， 则拥有驾驶证且得分为优秀的人数为：402515-=人，由频率分布直方图知得分优秀的人数为：10010(0.0150.005)20⨯⨯+=人， 一没有驾驶证且得分优秀的人数为：20155-=人， 则没有驾驶证且得分不优秀的人数为：10040555--=人， 可得列联表如下：∴22100(1555255)122512 6.6354060208096K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，∴有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关．（2）由频率分布直方图可求得70以上（含70）的人数为：100(0.0200.0150.005)1040⨯++⨯=， ∴按分层抽样的方法抽出5人时，“安全意识优良”的有2人，记为1，2； 其余的3人记为a ，b ，c ，从中随机抽取3人，基本事件有：(1,2,)a ，(1,2,)b ，(1,2,)c ，(1,,)a b ，(1,,)a c ，(1,,)b c ，(2,,)a b ，(2,,)a c ，(2,,)b c ，(,,)a b c 共10个，恰有一人为“安全意识优良”的事件有6个， ∴恰有一人为“安全意识优良”的概率为63105P ==． 20．【答案】（1）2212x y +=；（2）143222y x =±+． 【解析】（1）依题意，得c b =，所以222a b c b =+，所以椭圆C 为222212x y b b+=，将点66代入，解得1b =，则2a =所以椭圆的椭圆方程为2212x y +=．（2）由题意知直线l 的斜率存在，设l 斜率为k ，(0,)(1)P m m >， 则直线l 方程为y kx m =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 与圆O1=，即221m k =+，联立直线与椭圆方程，消元得222(12)4220k x kmx m +++-=，因为PA AB =u u u r u u u r，所以212x x =，即1243(12)km x k =-+，221212k x k=+， 所以221619(12)m k =+，解得272k =，即k =±m =，所求直线方程为22y x =±+21．【答案】（1）()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增；（2）证明见解析． 【解析】（1）()f x 定义域为(0,)+∞，1(1)(1)()x x f x x x x+-'=-=． 当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>， 所以()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增．（2）因为()g x 定义域为诶(0,)+∞，所以y 轴不是曲线()y g x =的切线．当经过坐标原点的直线不是y 轴时，设y kx =是曲线()y g x =的切线，切点是00(,)x y ，因为21()g x x a x '=-+，所以0000001ln 21x ax x kx x a k x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，消去k ，得2001ln 102x x -+=，即0()0f x =．由（1）知()f x 在1x =处取得最小值，则3()(1)02f x f ≥=>，所以0()0f x =无解，因此曲线()y g x =没有经过坐标原点的切线．22．【答案】（1）22:1(3)169x y C y +=≠-，:6l x y -=；（2）22d ≤≤． 【解析】（1）222241:131x k k C y kk ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，平方后得221169x y+=， 又263(3,3]1y k =-+∈-+，C 的普通方程为221(3)169x y y +=≠-，πcos()4ρθ+=cos sin 6ρθρθ-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入即可得到:6l x y -=．（2）将曲线C 化为参数方程形式为4cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），则d ==3tan 4ϕ=，所以22d ≤≤． 23．【答案】（1）[2,4]-；（2）19[,7]4． 【解析】（1）()9f x ≤可化为2419x x -++≤，故2339x x >⎧⎨-≤⎩或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩或1339x <-⎧⎨-+≤⎩，综上，不等式的解集为[2,4]-．（2）由题意：22()5f x x a a x x =-+⇔=-+，[0,2]x ∈．故方程2()f x x a =-+在[0,2]有解⇔函数y a =和函数25y x x =-+的图象在区间[0,2]上右焦点，∵当[0,2]x ∈时，2195[,7]4y x x =-+∈， ∴实数a 的取值范围是19[,7]4．。
2020年江西省九江市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
A. 1
B. 0
C. 2
D. -1
8. 在△ABC 中，若 2 2=
，则△ABC 是（ ）
A. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形
B. 直角三角形 D. 等边三角形
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9. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的 是某几何体的三视图，且侧视图中的曲线都为圆弧线，则 该几何体的表面积为（ ）
6.答案：B
解析：【分析】 本题考查了圆锥与球体的结构特征应用问题，也考查了表面积计算问题，是基础题． 设圆锥底面圆半径为 R，球的半径为 r，根据题意画出图形，结合图形求出 R 与 r 的关 系，再计算球与圆锥的表面积和它们的比值． 【解答】 解：设圆锥底面圆半径为 R，球的半径为 r，
由题意知，圆锥的轴截面是边长为 2R 的等边三角形，球的截面是该等边三角形的内切 圆，
本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题．
11.答案：B
解析：解：由 x2+y2（lny-lnx）-axy=0（a∈R）成立，可得 x＞0，y＞0； 同时除以 xy，
可得
存在实数解；
令 ，（t＞0）
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可得函数 f（t）=
，
∴f′（t）=
令 f′（t）=0， 可得 t=1， 当 t 在（0，1）时，f′（t）＜0，那么 f（t）在（0，1）上单调递减； 当 t 在（1，+∞）时，f′（t）＞0，那么 f（t）在（1，+∞）上单调递增； ∴f（t）min=f（1）=1； 使得 x2+y2（lny-lnx）-axy=0（a∈R）存在实数解， 则 a≥1， 故选：B． 存在性问题转化为有解问题求解，利用到函数研究其单调性求解最小可得 a 的范围； 本题主要考查了函数恒成立问题的求解，转化思想的应用，导函数的单调性的应用．
2020届江西省九江市2017级高三第二次高考模拟统一考试数学(文)试卷无答案
1200 名 35岁以上成人的身体健康状况，其中有 200 名高血压患者，被调查者的频率分布直方图如下：
C
截该圆柱表面所得曲线为一个椭圆，则该椭圆的焦距为( )
A. 1
B. 2
A
B
C. 2
D. 2 2
8.执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为( )
开始
a =0
b =1 i =1 c =a+b S =0
i =i +1 a = b, b = c
S = (i -1)S + c i
否
是
i> 5
输出 S
结束
A. 8
B. 19
C. 16
D.13
5
3
9.在平面直角坐标系
xOy
中，已知双曲线 E :
x2 a2
-
y2 b2
=1( a
>
0,b
>
0 )的右焦点 F
，若存在平行于
x 轴的直
线 l ，与双曲线 E 相交于 A, B 两点，使得四边形 ABOF 为菱形，则该双曲线 E 的离心率为( )
A. 2 3 +1
绝密 ★ 启封并使用完毕前
九江市 2020 届第二次高考模拟统一考试
文科数学试题
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上. 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.
江西省2020年高考数学二模试卷(文科)D卷
江西省2020年高考数学二模试卷（文科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·雨花模拟) 若复数z为纯虚数且（1+i）z=a﹣i（其中i是虚数单位，a∈R），则|a+z|=（）A .B .C . 2D .2. （2分）设全集U={x|x＜4，x∈N}，A={0，1，2}，B={2，3}，则B∪∁UA等于（）A . {3}B . {2，3}C . ∅D . {0，1，2，3}3. （2分）某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二上·拉萨期中) 设是等差数列的前项和，若，则（）A . 21B .C .D .5. （2分）(2016·安徽模拟) 曲线的一条切线l与y=x，y轴三条直线围成三角形记为△OAB，则△OAB外接圆面积的最小值为（）A .B .C .D .6. （2分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点和，若c是a与m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·汽开区期末) 一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（）A .B .C .D .8. （2分）执行如图所示程序框图所表达的算法，若输出的x值为48，则输入的x值为（）A . 3B . 6C . 8D . 129. （2分）已知函数为R上的奇函数，且在上单调递增，则的值可能是（）A .B .C .D .10. （2分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A . 函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）B . 函数f（x）有极大值f（﹣3）和极小值f（1）C . 函数f（x）有极大值f（﹣3）和极小值f（3）D . 函数f（x）有极大值f（3）和极小值f（﹣2）11. （2分） (2018高一下·濮阳期末) 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体放入体积为，则为（）A .B .C .D .12. （2分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立，则实数t的取值范围是（）A . [2，+∞）B . (1,)C . (2,)D . [1，2]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·中山模拟) 已知向量，若向量与的夹角为 ,则实数的值为________.14. （1分）(2017·芜湖模拟) 已知点P（x，y）在不等式组（a为常数）表示的平面区域上运动，若z=4x+3y的最大值为8，则a=________．15. （1分）(2017·深圳模拟) 若数列{an}，{bn}满足a1=b1=1，bn+1=﹣an ， an+1=3an+2bn ，n∈N* ．则a2017﹣a2016=________．16. （1分） (2020高二上·慈溪期末) 已知椭圆和双曲线有相同焦点，且它们的离心率分别为，设点是与的一个公共点，若，则的最小值为________.三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）(2019高三上·长春月考) 在中,角所对的边分别为 ,且．（1）求角的值；（2）若的面积为 , ,求的值．18. （10分）(2019·金山模拟) 如图，三棱锥中，底面ABC，M是 BC的中点，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为 . 求：（1）三棱锥的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）19. （10分）某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如表的2×2列联表：优秀非优秀合计甲班10b50乙班c d50合计70（1）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班10名优秀学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号，试求抽到8号的概率；（2）请求出列联表中的数据b，c，d，并根据数据判断是否有99%的把握认为“成绩与班级有关系”．参考公式与临界值表：P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001 k 2.706 3.841 5.024 6.63510.82820. （10分）已知点F为抛物线E:的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|=3．（1）求抛物线E的方程；（2）已知点G(-1，0) ，延长AF交抛物线E于点B ，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．21. （10分）(2014·辽宁理) 已知函数f（x）=（cosx﹣x）（π+2x）﹣（sinx+1）g（x）=3（x﹣π）cosx﹣4（1+sinx）ln（3﹣）证明：（1）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；（2）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0 ，有x0+x1＜π．22. （10分） (2019高二下·廊坊期中) 在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足 ,P点的轨迹为曲线C2（1）求C2的方程（2）在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求 .23. （10分）已知函数f（x）=|mx﹣2|﹣|mx+1|（m∈R）．（1）当m=1时，解不等式f（x）≤1；（2）若对任意实数m，f（x）的最大值恒为n，求证：对任意正数a，b，c，当a+b+c=n时， + + ≤n．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2020届高三第二次模拟考试卷 文科数学(四) 解析版
12020届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{2,}xA y y x ==∈R ，{1}B x y x ==-，则A B =I （ ）A ．{1}B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．(0,1]【答案】D【解析】∵集合{2,}(0,)xA y y x ==∈=+∞R ，{1}(,1]B x y x ==-=-∞，∴(0,)(,1](0,1]A B =+∞-∞=I I ． 2．已知复数2i z =+，则1iz+在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】2i z =+，∴2i 13i 1i 1i 22z -==-++，在复平面对应的点的坐标为13(,)22-， 所在象限是第四象限．3．在等差数列{}n a 中，若35a =，424S =，则9a =（ ） A ．5- B ．7-C ．9-D ．11-【答案】B【解析】{}n a 为等差数列，设首项为1a ，公差为d ，由414624S a d =+=，3125a a d =+=，解得19a =，2d =-，所以112n a n =-，97a =-．4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（ ）A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值 【答案】D【解析】在A 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故A 错误；在B 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性，没有减弱，故B 错误； 在C 中，从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差大于11月份的方差，故C 错误； 在D 中，从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值． 5．已知函数()(1)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，则(3)0f x -<的解集为（ ） A ．(2,4) B ．(,2)(4,)-∞+∞U C ．(1,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞U【答案】B【解析】∵2()()f x ax b a x b =+--为偶函数，所以0b a -=，即b a =，∴2()f x ax a =-，由()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以0a <，∴2(3)(3)0f x a x a -=--<，可化为2(3)10x -->，即2680x x -+>，解得2x <或4x >．6．设α，β是两个不同的平面，a ，b 是两条不同的直线．下列说法正确的是（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号2①若a b ∥，a c ∥，则b c ∥； ②若a α⊥，b α⊥，则a b ∥； ③若a α⊥，a β⊥，则αβ∥；④若αβ⊥，b αβ=I ，a α⊂，a b ⊥，则a β⊥． A ．①③ B ．②③④ C ．①②④ D ．①②③④【答案】D【解析】由平行公理知①对， 由线面垂直的性质定理知②对， 由线面垂直及面面平行定理知③对， 由面面垂直性质定理知④对．7．已知向量(1,1)=-a ，OA =-u u u r a b ，OB =+u u u ra b ，若OAB △是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB △的面积为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．22【答案】B【解析】设(,)x y =b ，则(1,1)OA x y =---u u u r ，(1,1)OB x y =-++u u u r，由题意，得2222(1)(1)(1)(1)x y x y --+-=-+++，22110x y -+-=，解得1x y ==±，则2OA OB ==u u u r u u u r，故2OAB S =△．8．如图所示，在平面直角坐标系中，角α和角β均以Ox 为始边，终边分别为射线OA 和OB ， 射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34(,)55A ，(1,0)C -．若π6BOC ∠=，则cos()βα-的值 是（ ）A ．34310- B ．34310+ C ．43310- D ．43310+ 【答案】C【解析】依题意，有3cos 5α=，4sin 5α=，3cos β=，1sin 2β=， 所以3314433cos()cos cos sin sin 252510βαβαβα--=+=-+⨯=． 9．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）与函数(0)y x x =≥的图象交于点P ，若函数y x=的图象在点P 处的切线过双曲线左焦点(4,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）A ．1744+ B ．1734C ．1724D ．1714【答案】D【解析】设P 的坐标为()m m ，由左焦点(4,0)F -，函数的导数()2f x x'=，则在P 处的切线斜率()2mk f m m '===， 即42m m +=，得4m =，则(4,2)P ，设右焦点为(4,0)A ，则2644042(171)a PF PA =-=++=， 即171a =，∵4c =，∴双曲线的离心率1714c e a ==． 10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在对角线1A D 上取点M ，在1CD 上取点N ，使得线段MN 平行于对角面11A ACC ，则线段MN 长的最小值为（ ） A 2 B ．1C ．22D ．33【答案】D【解析】作1MM AD ⊥于点1M ，作1NN CD ⊥于点1N ， ∵线段MN 平行于对角面11A ACC ，∴11M N AC ∥，设11DM DN x ==，则1MM x =，11NN x =-，在直角梯形11MNN M ，222211(2)(12)6()33MN x x x =+-=-+，3∴当13x =时，MN．11．过抛物线2:4C x y =的焦点F 的直线l 交C 于M ，N ，点M 处的切线与x 、y 轴分别交于点A 、B ，若AOB △，则MF =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】设点11(,)M x y ，抛物线C 对应的函数的解析式为24x y =，求导得2x y '=， 所以，抛物线C 在点M 处的切线AB 的方程为111()2x y y x x -=-，即21124x x x y =-， 令0x =，得214x y =-；令0y =，得12xx =，则点1(,0)2x A ，21(0,)4x B -，AOB △的面积为23111||1||22416AOB xx x S =⨯⨯==△，解得1x =± ∴21124x y ==，所以1||13MF y =+=． 12．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有2()()x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若(21)(1)a e f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2[0,]3B ．2[,0]3-C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞【答案】B 【解析】∵2()()x f x e f x -=，∴()()()x xxf x e f x e f x e--==-， 含()()xg x e f x =，()()g x g x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，∴()[()()]0xg x e f x f x ''=+>，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递减， ∵(21)(1)ae f a f a +≥+，∴211(21)(1)a a ef a e f a +++≥+，∴(21)(1)g a g a +≥+，211a a +≤+，解得203a -≤≤，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足1OA =u u u r ，2OB =u u u r ，点C 为线段AB 的中点，若OC =u u u r ，则AOB ∠= ．【答案】120︒【解析】∵点C 为线段AB 的中点，∴1()2OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，2221(2)4OC OA OB OA OB =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1(14212cos )4AOB =++⨯⨯⨯∠，解得1cos 2AOB ∠=-，∴120AOB ∠=︒． 14= ．【答案】1【解析】2sin 50202sin(3020)20cos 20cos 20︒-︒︒+︒-︒=︒︒2sin 30cos 202cos30sin 2020cos 202020cos 20cos 20︒︒+︒︒-︒︒︒-︒==︒︒cos 201cos 20︒==︒．15．若ABC △的三边长a ，b ，c 满足23b c a +≤，23c a b +≤，则ba的取值范围为 ． 【答案】35(,)43【解析】令b x a =，cy a=，由23b c a +≤，23c a b +≤，得23x y +≤，① 32x y -≥，②又c a b c -<-<及a b c +>，得1x y -<，③1x y ->-，④1x y +>，⑤由①②③④⑤可作出图形，4得到以点31(,)44D ，(1,0)C ，52(,)33B ，(1,1)A 为顶点的四边形区域，由线性规划可得3543x <<，01y <<，则b a 的取值范围为35(,)43，故答案为35(,)43．16．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四件参衰作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A 、D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“C 作品获得一等奖”．若这四位同学中有且只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ． 【答案】B【解析】若A 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均错误，不满足题意； 若B 为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意； 若C 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意； 若D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意， 综上所述，故B 获得一等奖．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{}n a 的公差为2，且11a -，21a -，41a -成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11()n n n b n a a +=∈*N ，数列{}n b 的前n 项和n S ，求使215n S <成立的最大正整数n 的值． 【答案】（1）21n a n =+，n ∈*N ；（2）5． 【解析】（1）由题意知，2214(1)(1)(1)a a a -=--，即2111(1)(1)(5)a a a +=-+，解得13a =，故21n a n =+，n ∈*N ．（2）由1111()(21)(23)22123n b n n n n ==-++++，得1231111111111()()2355721232323n n S a a a a n n n =++++=-+-++-=-+++L L 3(23)nn =+，由23(23)15n n <+，解得6n <，故所求的最大正整数n 为5．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD CDA ∠=∠=︒，PA ⊥面ABCD ，1PA AD DC ===，2AB =．（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）求点D 到平面PBC 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）66【解析】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，由90BAD CDA ∠=∠=︒，1AD DC ==，2AB =， 得2AC =，2BC =∴222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥，又PA ⊥面ABCD ，∴PA BC ⊥，PA AC A =I ，∴BC ⊥平面PAC ，BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ． （2）由（1）得BC PC ⊥，3PC =，11632222PBC S PC BC =⨯==△，11111222DBC S DC AD =⨯=⨯⨯=△，111113326P BDC DBC V S PA -=⨯=⨯⨯=△． 设点D 到平面面PBC 的距离为h ，5则1166133266D PBCPBC P DBC V S h h h V --==⨯===△，∴66h =， ∴点D 到平面PBC 的距离为66．19．（12分）某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况,利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查．已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”．（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”．从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良的概率．附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）列联表见解析，有超过99%的把握认为；（2）35． 【解析】（1）由题意可知拥有驾驶证的人数为：10040%40⨯=人， 则拥有驾驶证且得分为优秀的人数为：402515-=人，由频率分布直方图知得分优秀的人数为：10010(0.0150.005)20⨯⨯+=人，一没有驾驶证且得分优秀的人数为：20155-=人， 则没有驾驶证且得分不优秀的人数为：10040555--=人， 可得列联表如下：∴22100(1555255)122512 6.6354060208096K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，∴有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关．（2）由频率分布直方图可求得70以上（含70）的人数为：100(0.0200.0150.005)1040⨯++⨯=， ∴按分层抽样的方法抽出5人时，“安全意识优良”的有2人，记为1，2； 其余的3人记为a ，b ，c ，从中随机抽取3人，基本事件有：(1,2,)a ，(1,2,)b ，(1,2,)c ，(1,,)a b ，(1,,)a c ，(1,,)b c ，(2,,)a b ，(2,,)a c ，(2,,)b c ，(,,)a b c 共10个，恰有一人为“安全意识优良”的事件有6个，∴恰有一人为“安全意识优良”的概率为63105P ==． 20．（12分）已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，圆222:O x y c+=（122F F c =）与椭圆有且仅有两个交点，点66(在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程；（2）过y 正半轴上一点P 的直线l 与圆O 相切，与椭圆C 交于点A ，B ，若PA AB =u u u r u u u r，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）1432y x =±+【解析】（1）依题意，得c b =，所以222a b c b =+，所以椭圆C 为222212x y b b+=，6将点代入，解得1b =，则a =所以椭圆的椭圆方程为2212x y +=．（2）由题意知直线l 的斜率存在，设l 斜率为k ，(0,)(1)P m m >， 则直线l 方程为y kx m =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 与圆O1=，即221m k =+，联立直线与椭圆方程，消元得222(12)4220k x kmx m +++-=，因为PA AB =u u u r u u u r，所以212x x =，即1243(12)km x k =-+，221212k x k =+， 所以221619(12)m k =+，解得272k =，即2k =±，2m =，所求直线方程为22y x =±+21．（12分）已知函数21()ln 12f x x x =-+． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设21()ln 2g x x ax x =-+，证明：曲线()y g x =没有经过坐标原点的切线． 【答案】（1）()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增；（2）证明见解析．【解析】（1）()f x 定义域为(0,)+∞，1(1)(1)()x x f x x x x+-'=-=．当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>， 所以()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增．（2）因为()g x 定义域为诶(0,)+∞，所以y 轴不是曲线()y g x =的切线．当经过坐标原点的直线不是y 轴时，设y kx =是曲线()y g x =的切线，切点是00(,)x y ，因为21()g x x a x '=-+，所以0000001ln 21x ax x kx x a k x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，消去k ，得2001ln 102x x -+=，即0()0f x =． 由（1）知()f x 在1x =处取得最小值，则3()(1)02f x f ≥=>，所以0()0f x =无解， 因此曲线()yg x =没有经过坐标原点的切线．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是222813(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πcos()4ρθ+=．（1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围．【答案】（1）22:1(3)169x y C y +=≠-，:6l x y -=；（2）22d ≤≤． 【解析】（1）222241:131x k k C y k k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，平方后得221169x y+=， 又263(3,3]1y k =-+∈-+，C 的普通方程为221(3)169x y y +=≠-，πcos()4ρθ+=cos sin 6ρθρθ-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入即可得到:6l x y -=．（2）将曲线C 化为参数方程形式为4cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），则d ==3tan 4ϕ=，所以22d ≤≤． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()241f x x x =-++，x ∈R ．7（1）解不等式()9f x ≤；（2）若方程2()f x x a =-+在区间[0,2]有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[2,4]-；（2）19[,7]4． 【解析】（1）()9f x ≤可化为2419x x -++≤，故2339x x >⎧⎨-≤⎩或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩或1339x <-⎧⎨-+≤⎩， 综上，不等式的解集为[2,4]-．（2）由题意：22()5f x x a a x x =-+⇔=-+，[0,2]x ∈．故方程2()f x x a =-+在[0,2]有解⇔函数y a =和函数25y x x =-+的图象在区间[0,2]上右焦点，∵当[0,2]x ∈时，2195[,7]4y x x =-+∈， ∴实数a 的取值范围是19[,7]4．8。