弹性力学3应变分析
合集下载
弹性力学基本理论
15
1.1.3 应变的概念
(a) x方向的线应变
(b) y方向的线应变
(c) xy面内的剪应变
图 1-3 单元体应变的几何描述
在图1-3(a)中，单元体在x方向上有一个的伸长量。微分单元 体棱边的相对变化量就是x方向上的正应变。即
x
u x x
y
u y x
（1.9）
u y y
ux y
相应地，y轴方向的正应变为： x-y 平面内的剪应变：
tan 1
（1.10）
; tan 2
（1.11）
16
1.1.3 应变的概念
因此，剪应变 xy 为
xy
u x 1 2 x y u y
（1.12）
应变分量的矩阵型式
x xy ij yx y zx yy
2 2 Tn n n 2
m A
B T
G
P A
n
o
y
图1-1 物体内任意点处的应力
（1.6）
12
1.1.2 应力的概念 应力状态
在物体内的同一点处，不同方向截面上的应力是不同的。只有 同时给出过该点截面的外法向方向，才能确定物体内该点处此截面 上应力的大小和方向，才能表示这一点的应力状态。
x' ' y z'
=
0 1 0 cos 0 sin
0 x1 sin y1 cos z1
（b）
将第一式代入上式，可得
x ' 1 0 0 cos sin 0 x ' y y 0 cos sin = sin cos 0 z' z 0 sin cos 0 0 1
岩土弹塑性力学教学课件(共13章)第3章_应变状态
§3.1 应变状态11
• 三个刚性转动分量及6个应变分量合在一起，才全 面反映了物体变形
xyz x y z xy yz zx
B
B’’ 刚性转动
B’’’
B’
变形
A 刚性平动 A`
§3.1 应变状态12
• 工程应变： ln l0
l0
变形后长度 原始长度
不适用于大变形
• 自然应变/对数应变：
在塑性变形较大时，用-曲线不能真正代表加载和变形的状态。
x y z
• ——弹性体一点的体积改变量
• 引入体积应变有助于简化公式。
• 大于零表示体积膨胀，小于零体积压缩。
• 注意：土力学中塑性体应变符号约定相反。
§3.2 主应变与应变主方向8
应变Lode参数: 为表征偏量应变张量的形式，引入应变Lode参数：
22 3 1 3
1
(1.66)
如果两种应变状态με 相等，表明它们所对应的应变莫尔圆 相似，也即偏应变张量的形式相同。
Vz y
;
zx
Vz x
Vx z
;
§3.3 应变率张量 2
小变形情况下，应变速率分量与应变分量间存在如下关系:
x
Vx x
du x dt
d dt
u x
x
u x
y
Vy y
dv y dt
d v
dt
y
y
v y
z
Vz z
z
dw dt
d w dt z
z
w z
线应变速率
j
Vj,i )
(1.56)
§3.3 主应变与应变主方向 4
由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因
弹性力学平面应力平面应变问题 ppt课件
系，即 σx = Eεx 这就是虎克定律。 应力
（Hooke‘s Law）
Y
弹塑性范围
弹性范围
斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
xE 1xyz yE 1yzx
xy
1
G
xy
yz
1
G
yz
zE 1zxy
zx
1
G
zx
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
x 1 E 1 1 2 x 1 y 1 z
1
0
对 1 0
称
1
2
对于平面应变问题的弹性矩阵，只须在上式
中，以 E
1 2
代E，
1
代μ即可。
小结
则有
uu vv ww (在 u 上)
用矩阵形式表示为：
uu (在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回顾
平衡微分方程 σb0 (在 内)
几何方程 物理方程
ε tu σDε
(在 内) (在 内)
边界条件
nσt
(在 t 上)
uu
(在 u 上)
其中 t u ， 为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题
平面应变问题
位移：按平面应变的定义，三个方向的位移函数是
uux,y vv(x,y) w0
应变：由几何方程应变-位移关系，得
x
u x
1x,
y,
y
v y
3x,
y,
xy yz
u y
v x
2x,
v w0 z y
y
z
w0, z
zx
u z
弹性应变概念及意义
通过监测土木工程结构的振动、变形等响应信息，识别结构的损 伤位置和程度，评估结构的安全性。
加固与改造设计
根据安全性评估结果，对土木工程结构进行加固与改造设计，提 高结构的承载能力和安全性。
05
弹性应变数值模拟与仿真技术
有限元法基本原理及软件实现过程
有限元法基本原理
将连续体离散化为有限个单元，通过单元节点相互连接，形 成单元刚度矩阵和整体刚度矩阵，进而求解弹性力学问题。
跨学科交叉融合创新点挖掘
力学与材料科学
深入研究材料在弹性应变过程中的力学行为和失效机制，为新型弹性应变材料的研发提供 理论指导。
电子信息与计算机科学
将电子信息技术和计算机科学技术应用于弹性应变领域，推动智能化测量技术和自动化测 试系统的发展。
生物医学工程
借鉴生物医学工程中的仿生学原理和方法，研发具有生物相容性和生物活性的新型弹性应 变材料。
动力学特性
考虑航空航天器在飞行过程中的动力学特性，如 振动、冲击等，确保结构在复杂环境下的稳定性 和可靠性。
热弹性效应
针对航空航天器在极端温度环境下的热弹性效应 ，进行结构优化设计，降低热应力对结构的影响 。
汽车零部件疲劳寿命预测方法
应力-寿命曲线
通过实验测定汽车零部件在不同应力水平下的疲劳寿命，绘制应力 -寿命曲线，预测零部件的疲劳寿命。
陶瓷材料一般具有较低的弹性，但 在某些特定条件下，如高温或高压 下，其弹性形变能力会发生变化。
橡胶材料
橡胶材料具有显著的弹性和可恢复 性，其弹性形变能力主要来源于分 子链的卷曲和拉伸。
复合材料弹性应变机制
基体与增强相相互作用
界面效应
复合材料中基体与增强相之间的相互作用 对其弹性应变行为具有重要影响。
加固与改造设计
根据安全性评估结果，对土木工程结构进行加固与改造设计，提 高结构的承载能力和安全性。
05
弹性应变数值模拟与仿真技术
有限元法基本原理及软件实现过程
有限元法基本原理
将连续体离散化为有限个单元，通过单元节点相互连接，形 成单元刚度矩阵和整体刚度矩阵，进而求解弹性力学问题。
跨学科交叉融合创新点挖掘
力学与材料科学
深入研究材料在弹性应变过程中的力学行为和失效机制，为新型弹性应变材料的研发提供 理论指导。
电子信息与计算机科学
将电子信息技术和计算机科学技术应用于弹性应变领域，推动智能化测量技术和自动化测 试系统的发展。
生物医学工程
借鉴生物医学工程中的仿生学原理和方法，研发具有生物相容性和生物活性的新型弹性应 变材料。
动力学特性
考虑航空航天器在飞行过程中的动力学特性，如 振动、冲击等，确保结构在复杂环境下的稳定性 和可靠性。
热弹性效应
针对航空航天器在极端温度环境下的热弹性效应 ，进行结构优化设计，降低热应力对结构的影响 。
汽车零部件疲劳寿命预测方法
应力-寿命曲线
通过实验测定汽车零部件在不同应力水平下的疲劳寿命，绘制应力 -寿命曲线，预测零部件的疲劳寿命。
陶瓷材料一般具有较低的弹性，但 在某些特定条件下，如高温或高压 下，其弹性形变能力会发生变化。
橡胶材料
橡胶材料具有显著的弹性和可恢复 性，其弹性形变能力主要来源于分 子链的卷曲和拉伸。
复合材料弹性应变机制
基体与增强相相互作用
界面效应
复合材料中基体与增强相之间的相互作用 对其弹性应变行为具有重要影响。
第二章 固体弹性力学基础
应力定义为：单位面积上所受的内力，是在面力或 体力作用下，物体内部假想面上单位面积上的一对 大小相等、方向相反的力，是作用在该面上力的大 小的度量。
应力也称为胁强(力的强度)：应力并不是一个 “力”，因为它的量纲不是力而是单位面积上的力。
应力的方向与作用力的方向相反。
6
2.1 应力分析
16
2、非均匀变形 用物体内部变形 单元体（应变椭 圆）表示非均匀 变形 ——褶皱
17
2.2.3 应变分类
应变---当弹性体受到应力作用后，将发生体积和形 状的变化，即应变。
体积形变----指物体只发生体积变化而无形状变化的 应变。它是受正应力作用的结果。 形状形变-----物体只发生形状的变化。它是剪切应力 作用的结果。 理论力学是研究物体的整体运动。把物体作为一种刚 体，在外力作用下只能产生整体平移和转动。 弹性力学不仅要考虑物体的整体运动，而且要研究物 体内部各质点的相对运动，相对运动是产生应变的必 要条件。
设N为M 邻近点，其向径 为 r dr 。受力后N点位移 到 N ，它的位移向量记 为 u(r dr) 。 N点对M点的相对位移是
z
N (x+dx,y+dy,z+dz)
dr
M （x,y,z)
u (r )
u( r )
u (r dr)
N
u(r dr) u(r)
dx 1。由 （1-9） ds
u e e xx x
同理可求得沿y和z轴上单位长度得伸长值
e e yy
e e zz
v y w z
28
（2）切应变：变形体不仅在三个坐标方向上有相对伸长(或 压缩)，而且还会产生旋转，即夹角也会发生变化。(见下图) 假设两个正交线元素 MN和MP。受力后， 相对位移分别是du1 和du2。假设： dx=|MN|=|dr1| dy=|MP|=|dr2| MN、MP的相对位移 du1和du2对可由（11）式求出。
弹性力学-应力和应变
σ x τ xy τ xz σ xx σ xy σ xz τ xy σ y τ yz 或σ xy σ yy σ yz τ z τ yz σ z σ xz σ yz σ zz
写法： 采用张量下标记号的应力写法 写法： 把坐标轴x、 、 分别 把坐标轴 、y、z分别 表示， 用x1、x2、x3表示， 或简记为x 或简记为 j (j=1,2,3),
s j = σ j −σm, ( j = 1,2,3)
应力偏张量也有三个不变量： 应力偏张量也有三个不变量：
(3 −13)
J1 = s1 + s2 + s3 = σ1 +σ2 +σ3 −3σM = 0 1 2 2 2 J2 = −(s1s2 + s2s3 + s3s1) = (s1 + s2 + s3 ) 2 J3 = s1s2s3
3
偏张量的第二不变量 J2 有关。 有关。
四、等效应力 1.定义： 定义： 定义 相等的两个应力状态的力学效应相同， 如果假定 J2相等的两个应力状态的力学效应相同，那么
对一般应力状态可以定义： 对一般应力状态可以定义：
σ ≡ 3J2 =
1 2
(σ1 −σ2 )2 + (σ2 −σ3 )2 + (σ3 −σ1)2
三、等斜面上的应力 等斜面：通过某点做平面 ，该平面的法线与三个应力主轴
夹角相等 坐标轴与三个应力主轴一致， 设在这一点取 x1, x2 , x3 坐标轴与三个应力主轴一致， σ 3 则等斜面法线的三个方向余弦为
l1 = l2 = l3 =1/ 3
(3 − 20)
八面体面： 八面体面：
满足（3-20）式的面共有八个，构成 满足（ 20）式的面共有八个， 一个八面体，如图所示。 一个八面体，如图所示。 等斜面常也被叫做八面体面。 等斜面常也被叫做八面体面。 若八面体面上的应力向量用F 表示，则按（ 若八面体面上的应力向量用F8表示，则按（3-3）式有 1 2 2 2 2 2 2 2 F = (σ1l1) + (σ2l2 ) + (σ3l3) = (σ1 +σ2 +σ3 ) (3− 21) 8 3
试说明弹性力学中应力,应变,位移三者之间的关系
试说明弹性力学中应力,应变,位移三者之间的关系.
应变,就是物体受到外力而产生的局部或全部物理状态变化的现象。
如面团,轻微压一下再松手 ,面团可以恢复原状,如弹簧,在-定拉力或压下,弹簧长度发生变化，去掉这个力, 弹簧恢复原状。
但是,如果这个大了,团不能恢复原状,弹簧也同样不能恢复原状。
应变=单位度伸或缩短量。
励=单位面积所用力。
按照你说的应变与位移,应该与弹簧或具有弹性的物体有关。
这样来说，弹簧的应变就能够计算到位移。
虎克定律。
弹性力学平面应力平面应变问题
在工程和机械中，许多结构或构件属于这一类问
题。如直的堤坝和隧道；圆柱形长管受到内水
（油）压力作用；圆柱形长辊轴受到垂直于纵轴
的均匀压力等，均可近似的视为平面应变问题。
y
y
o z
y
o z
y
o
x
o
x
平面应变问题
还有一种情况，当构件的纵向尺寸不很大 但两端面被刚性光滑面固定，不能发生纵向位 移时，若其他条件与上面所述相同，也属于平 面应变问题。 通常，只要是长的等直柱体或板，受到垂直于 其纵轴而且沿长度方向无变化的载荷作用时， 都可以简化为平面应变问题。下面是这种情况 下的应力、应变以及弹性力学的基本方程式。
各个方向上具有相同特性； (4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用力的关系是线性的，
外力去除后，物体可恢复原状； (5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸。
以上基本假定将作为问题简化的出发点。
§2-2 弹性力学基本方程
回顾
b’ a’
b
zx zx
xz
a
xy
c
zy zy
c’ yz yz
xz
d
研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz 的分析方法（针对任意 变形体）
dz
dy
dx
弹性体的基本假设
回顾
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
(1) 物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述； (2) 物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性； (3) 物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在
yx
xy
yx
d’
a’