年普通高中创新素养培养实验班招生考试试卷及答案

E D CBA 2014年普通高中创新素养培养实验班招生考试试卷数学试题一、选择题（共6题，每题4分，共24分）1、从1，2，3，4，5这五个数字任取两个数字，使其乘积为偶数的概率为（ ）（A ）45 （B ）710 （C ）35 （D ）12解： 总数=4+3+2+1=10，符合条件的为：2×1；2×3；2×4；2×5；4×1；4×3；4×5共7个（或只有1×3；1×5；3×5共3个例外），∴概率为710或1－310＝710 2、已知锐角△ABC 角平分线AD 与高线BE 交于点M ，△CDE 是等边三角形，则S △DEM ∶S △ABM 的值为（ ）（A ）2∶2 （B ）1∶2 （C ）1∶3 （D ）1∶4∵∠C =600，∠BEC =900，∴∠EBC =300，又∠CDE =600，∴∠BED =300， ∴ED =BD =CD ，∴AD 即是∠BAC 的平分线，又是BC 上的中线， ∴AB =AC ，∴△ABC 为正三角形，∴AD 与BE 的交点为△的重心 ∴S △DEM ∶S △ABM =1∶4。

3、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在第二象限，点B在x轴负半轴上，△OAB的面积是9，P是AB中点，若函数y＝kx（x<0）的图像经过点A、P，则k的值为（）（A）－6 （B）－4 （C）－3 （D）－2设点A坐标为（m，n），点B（a，0），∵S△OAB=9，∴－12an＝9，∵P是AB的中点，∴点P坐标为（m＋a2，n2），∵k＝xy，∴代入A、P坐标得：k＝mn，k＝(m＋a)n4，∴mn＝(m＋a)n4，∴3mn＝an，∵－an＝18，∴mn＝－6∴k＝－6（本例考点为点与函数的关系、中点坐标的应用，中点坐标是解压轴题的重要工具）※ 同类测试题：如在直角坐标系中，存在一个平行四边形，其中平行四边形的三个项点的坐标为（1，3），（2，2）和（3，4），求另一顶点的坐标？4、对于任意的有理数a，方程2x2＋(a＋1)x－(3a2－4a＋b)＝0的根总是有理数，则b的值为（）（A）1 （B）－1 （C）2 （D）0解：方程的△＝(a＋1)2＋8(3a2－4a＋b)＝(5a－3)2＋8b－8≥0，∴当8b－8≥0时，PG FED C B A 必定△≥0，即方程必有实根，∴b ≥1，当b ＝1时，3a 2－4a ＋1＝(3a －1)(a －1)， ∴十字因式分解得方程为（(x －a ＋1)(2x ＋3a －1)＝0，∴b ＝1成立，当b ＝2时，3a 2－4a ＋b ＝3a 2－4a ＋2不能因式分解，∴方程有可能为无理数解， （在一元二次方程中，运用方程的判别式和因式分解是解决方程有理根和整数根 重要工具，）※同类测试题：使得m 2＋m ＋7是完全平方数的所有整数m 的积的值。

5、如图，△ABC 内接于⊙O ，过BC 的中点D 作直线l ∥AC ，l 与AB 交于点E ，与⊙O 交于点G 、F ，与⊙O 在点A 处的切线交于点P ，若PE =3，ED =2，EF =3，则PA 的长度为（ ） （ A ） 2 （B ） 5 （C ） 6 （D ）7解：∵BD =CD ，DE ∥AC ，∴AE =BE ，又PE =EF ，∴四边形PBFA 是平行四边形，∴PA =BF ，PB ∥AF ，PF ∥AC ∴∠BPF =∠FAC ，又∠FBC =∠FAC ，∴∠FBC =∠BPF ， ∴△BFD ∽△PFB ，∴DF BF ＝BF PF，∴BF 2＝DF ·PF =6。

∴PA =BF = 6 。

（考点为中位线、平行四边形的判定，与圆有关的角的运用在解决圆问题中，具有N 相当重要的地位）6、如图，已知锐角∠A =∠B ，AA 1、PP 1、BB 1均垂直于A 1B 1，垂足分别是A 1、P 1、B 1，且AA 1=17，AP +PB =13，BB 1=20，A 1B 1=12，则PP 1的长度为（ ）（（C ）15（D ）16 E ，过P 作MN ∥A 1B 1，∵AA 1∥BB 1，∠AEP =∠B =∠A ，∴PA =PE ∴BE =PB +PA =PB +PE =13，EF =A 1B 1＝12，∴BF =BE 2－EF 2＝132－122＝5，∴B 1F ＝BB 1－BF =20－5=15，∴EA 1＝15，∴AE =2，∴ME =1，∴PP 1＝MA 1＝16二、填空题（共6题，每题4分，共24分）7、已知a 是方程x 2－3x ＋1＝0的根，则2a 2－5a －2＋3a 2＋1的值为 。

∵a 2－3a ＋1＝0，∴a 2＋1＝3a ，a ＋1a＝3 ∴原式=2(a 2－3a ＋1)＋a －4＋33a ＝a ＋1a－4＝3－4＝－1， （本例代数的整式运算法，即以代数多项的值参与运算，而代数多项需根题型进行配制）※同类测试：已知x ＝3＋52，求x 10＋x 5＋1x 5＋1x 10的值。

H G F E D C B AFE D C B AM G 8、“*”表示一种运算，规定x *y ＝1xy －1(x ＋1)(y ＋A )。

若1*3＝112，则2013*2014= 。

1*3＝11×3－1(1＋1)(3＋A )＝112，解得A ＝－1， 2013*2014=12013×2014－1(2013＋1)(2014－1)＝0 9、如图，Rt △ABC 的硬纸片，∠BAC =90°，AB =3，BC =5，AD 为BC 边上的高，从这张硬纸片上剪下一个如图所示的内接正方形EFGH ，则正方形EFGH 的边长为 . 解：由勾股定理得AC =4，由面积公式得AB ·AC =BC ·AD ，∴AD =125，设正方形的边长为x ，∵HG ∥BC ，∴HG BC ＝AH AB ， ∵HE ∥AD ，∴HE AD ＝BH AD， 两式相加得：x 5＋x 125＝AH ＋BH AB ＝1，解得x ＝6037。

10、如图，在△ABC 中，AB =AC ，CM 平分∠ACB ，与AB 交于点M ，AD ⊥BC 于点D ，ME ⊥BC 于点E ，MF ⊥MC 与BC 交于点F ，若CF =10，则DE =解：取CF 的中点G ，连接MG ，设DE =x ，EF =y ，可得DC =CF －EF －DE =10－x －y ，∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴BD=DC=10－x－y，BE=BD－DE=10－2x－y……①∵FG=CG=5，∴EG=FG－EEF=5－y……②∵MG是Rt△MFC斜边上的中线，∴∠FGM=2∠BCM=∠ACB∠FGM=∠B，又ME⊥BG，∴BE=EG，∴由①、②得10－2x－y＝5－y，∴x＝5 2（本例题中信息量较多，容易使从误入歧途而不得解，但题中只有一个已知量即CFED又在CF上，所以我们可设想在BC上存在某个隐性变量，只要消去此变量即可）11、已知a，b是不为零的实数，对于任意实数x，y，都有(a2＋b2)(x2＋y2)＋8bx＋8ay－k2＋k＋28≥0其中k是实数，则k的最大值为 .解：不等式由两部分组，即(a2＋b2)(x2＋y2)＋8bx＋8ay与－k2＋k＋28，前者决定后者，＝(ay＋bx)2＋(ax－by)2＋8(ay＋bx)＝(ay＋bx＋4)2＋(ax－by)2－16，∴当－k2＋k＋28≥－16时，不等式恒成立，∴k2－k－12≤0，解得－3≤k≤4∴k的最大值为4，（本例是代数求值中非负法的应用，即代数式表达成平方式，）※同类测试题：实数x,y满足方程3(x2＋2x＋3)(3y2＋2y＋1)＝4 求x，y的值12、一个平面把空间分为2个部分，两个平面最多把空间分成4个部分，三个平面最多把空间分为个部分，四个平面最多把空间分成个部分.三、解答题（共4题，每题13分，共52分）13、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图像与x轴有两个交点A(－1,0)，B（n，0），交y轴于点C（0，p），已知p＝－3a(n－2).（1）求点B坐标；（2）若抛物线上存在点M，使△ABM为直角三角形，求a的取值范围.⑴ 解：∵x＝－1，x＝n是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，故令函数为：y＝a(x＋1)(x－n)展开得y＝ax2＋(a－an)x－an，∴当x＝0时，p＝－an，又已知p＝－3a(n－2)∴－an＝－3a(n－2)，得n＝3，∴点B坐标（3，0），∴y＝a(x2－2x－3)⑵由⑴得AB=4，当∠AMB=900时，则AB是△AMB的外接圆的直径，∴圆心N坐标为（1，0），设点M坐标（m，n），∴MN2＝(m－1)2＋n2＝22＝4…①，∵点M是抛物线上的点，∴a(m2－2m－3)＝n……②，由①得：m2－2m－4＝－n2，代入②得：－n2·a＝n，∴n＝－1a，代入①得(m－1)2＝4－1a2，∴4－1a2≥0，∴a2≥14，得a≤－12（∵a＞0，故舍去），a≥12。

（根与函数系式的关系、两点距离的的确应用，它们都是解压轴题的基础和工具）※两点距离的逆命题的应用：测试题：求函数y＝x2＋2x＋2＋x2－4x＋8 求y的最小值。

14、某学生为了培养自己的自主学习能力，采用级别制的自我激励方法管理，级别标志是：全天自主学习时间累计满2小时就算学习1天，学习满5天时，级别标志为1颗星星：又满7天时，再增加1颗星星，级别标志为2颗星星；……（得到第n颗星星要比得到第n－1颗星星时多耗时2天）.每够4颗星星就改用1个月亮，每够4个月亮就改用1个太阳（即16颗星星为1个太阳）。

如果从2011年9月1日入初中第一天开始，每天不间断学习至今天（2014年2月13日），级别标志是什么？解：2012年9月1日至2014年8月31日共365×2天，9月（30），10（31），11（30）12（31），1（31），2（13）共166天，∴总天数=730+166=896天，每次天数累计之和S=5+7+9+……＋2n＋3＝2n＋3＋52×n，∴n(n＋4)＝896∴(n＋2)2＝900，∴n＝28，即期间共得28个星，换算成月亮共7个，7=4+3EPDC B A F ∴1太阳，3个月亮15、如图，在四边形ABCD 中，已知BA =AD =DC ，AC ≠BD ，AC 与BD 交于点P ，∠ABC +∠BCD =120°，求证：PB =PC 。

（提示：在解答本题时可能用到一下结论：对交互补的四边形内接于圆，简称四点共圆）。