第五章习题课给学生
工程热力学-第五章 习题课
3
简答题（1）
• 若工质从同一初态，分别经可逆和不可逆
6
2、系统从初态1经过可逆和不可逆过程达到相同
终态，则两过程中外界熵的变化S, S有' 什么关系
取系统与外界则组成孤立系统
Siso S12 S 0, Si'so S12 S ' 0 S S '
2
3、如果热源温度不变，增大卡诺循环输出功，则 卡诺循环热效率将: B 卡诺循环效率公式 A 增大 B 不变 C 减少 D 不定
过程，到达同一终态，已知两过程热源相 同，问传热量是否相同？对外做功？
s
q
T
=：可逆过程 >：不可逆过程
相同初终态，s相同
热源T相同
D S1- 2 = S g + Sf ,Q
qR qIR
q u w 相同 wR wIR
4
简答题（2）
ห้องสมุดไป่ตู้
• 若工质从同一初态出发，从相同热源吸收
相同热量，问末态熵可逆与不可逆谁大？
s
q
T
=：可逆过程 >：不可逆过程
相同热量，热源T相同
D S1- 2 = S g + Sf ,Q
相同初态s1相同
sIR sR
s2,IR s2,R
5
简答题（3）
• 理想气体绝热自由膨胀，熵变？
Siso
S2
S1
m cv
ln
第五章课后习题
第五章课后习题5-1利用逆向卡诺循环机作为热泵向房间供热，设室外温度为5C -︒ ，室内温度保持20C ︒ ，要求每小时向室内供热42.510KJ ⨯ ，试问：（1）每小时从室外吸收多少热量？ （2）此循环的供暖系数多大？（3）热泵由电动机驱动，如电动机效率为95% ，电动机的功率多大？（4）如果直接用电炉取暖，每小时耗电多少（kW h ）?解：已知 1412273202935273268 2.510/Q T K T K q KJ h =+==-+==⨯（1）是逆向卡诺循环时，1212Q Q q q T T =2144212682.510 2.28710/293Q Q T q q KJ h T ==⨯⨯=⨯ （2）循环的供暖系数 '11229311.72293268T T T ε===-- （3）每小时耗电能()12442.5 2.287100.21310/w Q Q q q q KJ h =-=-⨯=⨯。
电机效率为95%，因而电机功率为：40.213100.623360095%N KW ⨯==⨯ （4）若直接用电炉取暖，则42.510/KJ h ⨯的 热能全部由电能供给，耗电力 442.5102.510// 6.943600P KJ h KJ s KW ⨯=⨯== 5-2 设有一由两个定温过程和两个定压过程组成的热力循环，如图5-34所示。
工质加热前的状态为110.1,300p MPa T K == ，定压加热到 21000T K = ，再在定温下每千克工质加热400KJ 。
试分别计算不采用回热和采用极限回热循环的热效率，并比较它们的大小。
工质的比热容 1.004/()p c KJ kg K =。
解：（1）不回热时（2）采用极限回热时，1-2 过程所需热量由 3-4 过程供给，所以或5-3 试证明：同一种工质在参数坐标图（例如图）上的两条绝热线不可能相交。
（提示：若相交的话，将违反热力学第二定律。
第5章 习题课 (1)
3、按酸碱质子理论，Na2HPO4 是 （D）
A. 中性物质
B. 酸性物质
C. 碱性物质
D. 两性物质
20
4、共轭酸碱对的Ka和Kb的关系是 （C）
A. Ka=Kb
B. Ka·Kb =1
C. Ka·Kb= KW D. Kb/Ka = KW
5、H2PO4-的共轭碱是 （B）
A. H3PO4
B. HPO42-
18
质子理论
19
1、提出酸碱质子理论的科学家是 （A）
A. Bronsted－Lowry
B. Arrhennius
C. Debye Huckel
D. Lewis
2、按酸碱质子理论，下面哪个物质是酸？（A）
A. Fe(H2O)63+ C. NaAc
B. (CH2)6N4 D. H2NCH2COO-
H2SO4的两个H+全部被滴定，H3PO4被滴定3/2个H+
pH=9.78，H3PO4被滴定2个H+
cH3PO4 50.00 (30.00 26.00) 1.000 2
2cH
2
SO4
3 2 cH 3PO4
50.00
26.00 1.000
cH3PO4 0.16mol L1 cH2SO4 0.14mol L1
C. PO43-
D. OH-
6、已知H3PO4的pKa1 - pKa3分别 为2.12、
7.20、12.36，则PO43-的pKb1为 （C）
A. 11.88
B. 6.80
C. 1.64
D. 2.12
21
7、下列阴离子的水溶液，若浓度相同， 则何者碱度最强？（B）
水力学5章习题课
V12 V22 5.3 3.7 2g 2g
hw h f
V2 5.3 1.43 1.20 V1 3.7
Q Q2 Q1 V2 A V1 A V2 V1 Q1 Q1 V1 A V1
V2 1 1.20 1 0.20 20% V1 即流量增加了20%。
p1 p2 Hg g hp
Hg 13600 hf 1 0.3 4.23m 1h p 900
4Q 设为层流 V 2.73m / s 2 d
LV2 64 L V 2 hf Vd d 2 g d 2g
Q 4Q 4 0.025 2 1.415 m / s 2 A1 d1 3.14 0.15
V2
Q 4Q 4 0.025 2 2.037 m / s 2 A2 d 2 3.14 0.125
V3
4 0.025 3.183 m / s 2 3.14 0.1
L V2 1000 1.22 2 hf 0.031 9.42 mH 2 O d 2g 0.25 2 9.81
可见，用舍维列夫公式计算的沿程水头损失是最大的，在 工程上偏于安全。
例2：有一串联铸铁管路，d1=150mm d2=125mm d3=100mm
L1=25m L2=10m，沿程阻力系数：λ1=0.030 λ2=0.032
1 2 Q A3V3 d 3 7.23 0.0568 m3 / s 56.8L / s 4
例题2：有一段直径d=100mm的管路长10m，其中有两个
900弯管（其ζ=0.80 ），管段的沿程水头损失系数λ=0.037，
高等数学 第五章定积分习题课
∫
b
a
f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx
a
b
⑧估值定理：设M 和 m 分别是函数 f ( x )在区间[a, b ]上的 估值定理： 最大值和最小值， 最大值和最小值，则
m (b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a )
a b
上连续, ⑨定积分中值定理：如果函数 f ( x ) 在闭区间[a, b ] 上连续 定积分中值定理： 则至少存在一点ξ ∈(a , b) ,使下式成立： 使下式成立： 使下式成立
b b b
b
a
b
b
∫
b
a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
⑤区间长： ∫ 1dx = b − a 区间长：
a
b
保号性： ⑥保号性：如果在区间[a, b ]上, f ( x ) ≥ 0 ，则∫ a f ( x )dx ≥ 0
b
⑦单调性：如果在区间 [a, b ] 上, f ( x ) ≤ g ( x ) 则 单调性：
b
∫
b
a
f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx −
t →b a
t
设 c ( a < c < b ) 为 f ( x ) 的瑕点，则有 的瑕点，
∫
b a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
= lim ∫ f ( x )dx + lim ∫ f ( x )dx − +
∫
b
a
f ′( x )dx = [ f ( x )] a = f (b) − f (a ) = a − b
第五章课后习题答案
5.10 假设对指令Cache 的访问占全部访问的75%；而对数据Cache 的访问占全部访问的25%。
Cache 的命中时间为1 个时钟周期，失效开销为50 个时钟周期，在混合Cache 中一次load 或store 操作访问Cache 的命中时间都要增加一个时钟周期，32KB 的指令Cache 的失效率为0.39%，32KB 的数据Cache 的失效率为4.82%，64KB 的混合Cache 的失效率为1.35%。
又假设采用写直达策略，且有一个写缓冲器，并且忽略写缓冲器引起的等待。
试问指令Cache和数据Cache容量均为32KB 的分离Cache和容量为64KB 的混合Cache 相比，哪种Cache 的失效率更低？两种情况下平均访存时间各是多少？解：（1 ）根据题意，约75%的访存为取指令。
因此，分离Cache的总体失效率为：（75%× 0.15%）＋（25%× 3.77% ）＝1.055%；容量为128KB 的混合Cache 的失效率略低一些，只有0.95%。
（2）平均访存时间公式可以分为指令访问和数据访问两部分：平均访存时间＝指令所占的百分比×（读命中时间＋读失效率×失效开销）＋数据所占的百分比×（数据命中时间＋数据失效率×失效开销）所以，两种结构的平均访存时间分别为：分离Cache的平均访存时间＝75%×（1＋0.15%×50）＋25%×（1＋3.77%×50）＝（75%×1.075）＋（25%×2.885）＝1.5275混合Cache的平均访存时间＝75%×（1＋0.95%×50）＋25%×（1＋1＋0.95%×50）＝（75%×1.475）＋（25%×2.475）＝1.725因此，尽管分离Cache 的实际失效率比混合Cache的高，但其平均访存时间反而较低。
自动控制原理及其应用课后习题第五章答案
ω
20 0 -20
10 ωc
1
2 -20dB/dec
ω
-60dB/dec
10 ≈1 ω2 0.5 c
ω c=4.5
5 ≈1 ω c=7.9 ω 0.01 c3
第五章习题课 (5-17)
-20
低频段曲线： 低频段曲线： 20lgK=20dB φ (ω ) 0 ω1=5 ω2=15 -90 相频特性曲线： 相频特性曲线： -180 -270 φ ( )= -90o ω ω=0 φ ( )= -270o ω ω=∞
-60dB/dec
ω
第五章习题课 (5-2)
10(s+0.2) 1.33(5s+1) (5) G(s)= s2(s+0.1)(s+15)=s2(10s+1)(0.67s+1) 解： 低频段曲线： 低频段曲线： 20lgK=2.5dB
第五章习题课 (5-7)
5-7 已知奈氏曲线，p为不稳定极点个数， 已知奈氏曲线， 为不稳定极点个数 为不稳定极点个数， υ为积分环节个数，试判别系统稳定性。 为积分环节个数，试判别系统稳定性。 Im υ=2 (b) p=0 (a) p=0 Im υ=0
ω=0 Re -1 0 ω=0+ -1 0 ω=0 Re
第五章习题课 (5-1)
5-1(1) 已知单位负反馈系统开环传递函数， 已知单位负反馈系统开环传递函数， 当输入信号r(t)=sin(t+30o)，试求系统的稳态 当输入信号 ， 输出。 输出。 10 G(s)=(s+1) 10 解： φ(s)= (s+11) 10 = 10 = 10 ω A( )= 2 2 112+1√ 122 =0.905 √ 11 +( ) √ ω φ ( )=-tg-1ω =-tg-1 1 =-5.2o ω 11 11 cs(t)=0.9sin(t+24.8o)
高中数学第五章-习题课
习题课 复 数明目标、知重点1．巩固复数的概念和几何意义．2．理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．1．复数的四则运算若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R ) (1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ； (4)除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)；(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况； (6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算； (1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.2．共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)． (2)复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2， 且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2. 3．复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数． (2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．题型一 复数的四则运算例1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i；(2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模．解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 006＋(4－8i ＋8i －4)(4－8i ＋4－8i )11－7i＝i ＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i 2＋i ＝1－i ，∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2.反思与感悟 复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化． 跟踪训练1 (1)已知z1＋i＝2＋i ，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i答案 B解析 方法一 ∵z1＋i ＝2＋i ，∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴z ＝a －b i ， ∴a －b i1＋i ＝2＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3，z ＝1－3i. (2)i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011等于( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1答案 A解析 因为1＋i 1－i ＝(1＋i )21－i 2＝i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011＝i 2 011＝i 4×502＋3＝i 3＝－i ，故选A.题型二 复数的几何意义的应用例2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值．解 点集D 的图像为以点C (－1，－3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z |.由图知，当OP 过圆心C (－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z |的最小值是|OA |＝|OC |－1＝(－1)2＋(－3)2－1＝2－1＝1，即|z |min ＝1；|z |的最大值是|OB |＝|OC |＋1＝2＋1＝3，即|z |max ＝3.反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离． 跟踪训练2 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1－z 2|＝10，求|z 1＋z 2|的值．解 如图所示，设z 1，z 2对应点分别为A ，B ，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则OC →对应的复数为z 1＋z 2.这里|OA →|＝3，|OB →|＝5，|BA →|＝10. ∴cos ∠AOB ＝|OA →|2＋|OB →|2－|BA →|22|OA →||OB →|＝32＋52－102×3×5＝45.∴cos ∠OBC ＝－45.又|BC →|＝|OA →|＝3，∴|z 1＋z 2|＝|OC →| ＝|OB →|2＋|BC →|2－2|OB →||BC →|cos ∠OBC ＝58.题型三 有关两个复数相等的问题例3 设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．因为4z ＋2z ＝33＋i ，所以2z ＋(2z ＋2z )＝33＋i. 2z ＋2z ＝2(a ＋b i)＋2(a －b i)＝4a ，整体代入上式， 得2z ＋4a ＝33＋i.所以z ＝33－4a 2＋i2.根据复数相等的充要条件，得 ⎩⎨⎧a ＝33－4a2，b ＝12.解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝12.所以z ＝32＋i2. 反思与感悟 两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．跟踪训练3 z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i答案 D解析 方法一 设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 方法二 ∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i.1．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 B2．已知复数z ＝1＋2i1－i ，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 014为( )A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．1答案 C3．设复数z 满足关系：z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋i B.34＋i C ．－34－i D.34－i答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34b ＝1，故z ＝34＋i.4．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为________． 答案 34解析 z 1z 2＝(1＋2i)[m ＋(m －1)i]＝[m －2(m －1)]＋[2m ＋(m －1)]i ＝(2－m )＋(3m －1)i ，所以2－m ＝3m －1，即m ＝34，且能使2－m ＝3m －1>0，满足题意．5．设复数z ＝1＋i ，且z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值．解 因为z ＝1＋i ，所以z 2＋az ＋b ＝(a ＋2)i ＋a ＋b ，z 2－z ＋1＝i ， 所以z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝a ＋b ＋(a ＋2)i i ＝(a ＋2)－(a ＋b )i.又z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1，－(a ＋b )＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.[呈重点、现规律]1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化； 2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．一、基础过关1．复数1－2＋i ＋11－2i 的虚部是( )A.15iB.15 C ．－15iD ．－15答案 B解析1－2＋i ＋11－2i＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B.2．设z ＝10i3＋i ，则z 的共轭复数为( )A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i答案 D解析 由z ＝10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝1＋3i ，得z ＝1－3i.3．若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0或2 C ．2 D ．0 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋4>0m 2－2m ＝0，得m ＝0.4．设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( ) A ．b 2＝3a 2 B ．a 2＝3b 2 C ．b 2＝9a 2 D ．a 2＝9b 2答案 A解析 若(a ＋b i)3＝(a 3－3ab 2)＋(3a 2b －b 3)i 是实数，则3a 2b －b 3＝0.由b ≠0，得b 2＝3a 2.故选A.5．设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a ＝______.答案 2解析 设1＋a i2－i＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则1＋a i ＝b i(2－i)＝b ＋2b i ，所以b ＝1，a ＝2.6．复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|＝________. 答案13解析 设D 点对应复数为z ，∵AB →＝DC →， ∴1－i ＝－z ＋(4＋2i)，∴z ＝3＋3i ， ∴BD →对应的复数为2＋3i ，∴|BD →|＝13.7．已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？解 ∵a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，∴复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2(x ≥3)． ∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)． 二、能力提升8．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限． 9．设i 是虚数单位.z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i答案 A解析 设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R代入z ·z i ＋2＝2z ，整理得：(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a 2＋b 2＝2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，因此z ＝1＋i. 10．已知互异的复数a ，b 满足ab ≠0，集合{a ，b }＝{a 2，b 2}，则a ＋b ＝________. 答案 －1解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝a 2，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝a 2， 因为a ≠b ，ab ≠0， ⎩⎨⎧a ＝－12＋32i ，b ＝－12－32i 或⎩⎨⎧b ＝－12＋32i ，a ＝－12－32i ，因此a ＋b ＝－1.11．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝(3－i )(2－i )5＝1－i. 因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ， 所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. 所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4.即实数a ，b 的值分别是－3,4.12．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i. (1)如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数； (2)如果(1)中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B 的坐标为(a ，b )． 已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1. 所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )， 则C (c ，d )．由(1)，得B (2，－1)． 由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1. 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i. 三、探究与拓展13．是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋a i ？如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －y i)＝3＋a i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a .消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0. 所以当Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫a24－3＝16－a 2≥0，即－4≤a ≤4时，复数z 存在． 故存在满足条件的复数z ，且实数a 的取值范围为－4≤a ≤4.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
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单位正电荷置于该点所具有的电势能 单位正电荷从该点经任意路径移到电势零点处电场力所作的功
1、关于高斯定理的理解有以下几种说法，其中正确的是：
（A）如果高斯面上的场强处处为零，则该面内必无电荷。 （B）如果高斯面内无电荷，则高斯面上的场强处处为零。 （C）如果高斯面上的场强处处不为零，则该面内必有电荷。 （D）如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必 不为零。
E
ds
V S
1
4π 0 1
4π 0
er dV
r2
σ er ds r2
电荷线密度 dq
dl
E
l
1
4π 0
er
r2
dl
注意这种方法的解 cosdS
3、高斯定理
Φe
E dS
1
S
0
n
qi
i 1
若电荷连续分布，则
高斯定理表明静电场是有源场-用此方法解题注意取合适的高斯面
典型电荷分布的电势公式
均匀带电球面的电势:
+ ++
+ +
R
+ +
+
+
++
Q
Q
V外 (r) 4π 0r
Q
V内(r) 4π 0R
V
Q
4 π 0R
oR
Q
4π 0r
r
均匀带电环轴线上的电势
VP
4π 0
q x2 R2
比较→电场公式
E
4π
0
qx (x2
R2
)3
2
y dq dl
qR
o
z
r
x
P x E
E 20 er
注意补偿法在高斯定理 中的应用。
(5)、均匀带电环轴线上的电场强度
E
4π
0
qx (x2
R2
)3
2
方向？
y dq dl
qR
o
z
r
x
P x E
均匀带电环可作为带 电园盘、无限大平面、
球面等的微元
2R E
2
o 2R x 2
4、静电场的环路定理
环路定理的积分形式 E dl 0 l
(A) 1 qa qb
4 0 r
(C) 1 ( qa qb )
4 0 r Rb
(B) 1 qa qb
4 0 r
(D) 1 ( qa qb )
4 0 Ra Rb
答：D
（13）两个平行无限大均匀带电平面，其电荷面密度分 别为+σ和+2σ，如图所示，则A、B、C三个区域的电场 强度分别为： EA _____; EB _____; EC _____ 2
__表明静电场是保守场
5、电势能和电势 电势能：电荷在电场中某点的电势能，在数 值上等于把电荷从该点移至电势能零点时， 电场力所做的功。
0
Wa a q0E dl
电势：电场中某点的电势，在数值上等于把单位正
的点电荷从该点沿任意路径移至电势零点时，电场 力所做的功。
VP
Ep q0
0 E dl
P
电势零点的选取
有限体
无限体
无穷远处 视具体问题定
电势差
E dl AB
VA VB
6、点电荷电场电势及叠加原理
点电荷 点电荷系
V q
4 0r
VP
VPi
i
i
qi
4π 0ri
dq
电荷连续分布
VP 4π 0r
9、电场强度和电势的关系
0
VP P E dl E V
注意用此两方法求电势分布的步骤及注意事项
（B）电场力作正功，负电荷的电势能增加．
（C）电场力作负功，负电荷的电势能减少．
（D）电场力作负功，负电荷的电势能增加［ ］
B
答：D
E
A
（12）、静电场中某点的电势，其数值等于 ______________________________ 或
_______________________________________．
均匀带电环可作为带电园盘、无限大平面、球面等的微元
求 E 的三种方法
利用电场强度叠加原理
利用高斯定理 利用电势与电场强度的微分关 系
求电势 的方法
➢ 利用
VP
dq
4π 0r
E ➢ 若已知在积分路径上 的函数表达式，
则
V 0点
VA E dl
A
(13)两个同心均匀带电球面，半径分别为Ra和Rb（ Ra<Rb ）, 所带电荷分别为qa和qb。设某点与球心相距r，当r< Ra时， 取无穷远处为零电势，该点的电势为：
在闭合曲S 面上任一
3、下列几种说法哪个正确？
（A）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场
力的方向。
（B）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处
处相同。 （C）场强可由
E
F q
定出，其中q 为试验电荷可正可负，F 为试
验电荷所受的电场力。
（D）以上说法都不正确。
4场强、强。如度图通点量电荷qE和 -dqS被=包围在高斯，面式S内中，E则为通过该高斯处面的的场电 S S q q
1、电场强度和场强叠加原理
电场中某点处的电场强度 E 等于位于该点
处的单位试验电荷所受的力，其方向为正电荷受
力方向.
E
F
E
E
q q0
4 0r 2 er
i
qi
4 0ri2
eri
点电荷 点电荷系
电荷连E续分d布E带电4体π1的0场re强r2 dq
电荷体密度 dq
E
dV
电荷面密度 dq
2、图中实线为某电场中的电场线，虚线为等势面，由图可看出：
( A)EA EB EC ,U A U B UC (B)EA EB EC ,U A U B UC (C)EA EB EC ,U A U B UC (D)EA EB EC ,U A U B UC
（答：D；D）
CB A
几种典型电荷分布的场强公式
（1）均匀带电球面的场强
E
q
4 0r
0 2 er
E
r R r R
O
R
r
（2）均匀带电球体的场强
E
qr
4 0R3 er
q
4 0r 2 er
r R r R
E
O
R
r
（3）无限长均匀带电直线的场强
R
r
E 2π 0r er
h
（4）无限大均匀带电平面的电场强度
题答：C；0；高斯面上的各点
5、由一根绝缘细线围成的边长为 l 的正方形线框，使它均
匀带电，其电荷线密度为 ，则在正方形中心处的电场强
度的大小E=
。
6 、如图点电荷q1、q2、 q3和q4 在真空中的分布如图所示，图中S
为闭合曲面，则通过该闭合曲面的电场强度通量 E dS
=
，式中的 E 是点电荷
（设方向向右为正）
答 3 , , 3 20 20 20
ABC
（13）一半径为R的均匀带电圆环，电荷线密度为λ
（），总电量为q，设无穷远处为零电势点，则圆环中
心O点的电势VO=
。
答q
4 0 R
（12）、
在匀强电场中，将一负电荷从A移到B，如图所示．则：
（A）电场力作正功，负电荷的电势能减少．