【人教A版】2018版高中数学必修一精品学案全集(含答案)

§2.3 幂函数2学习目标1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数y＝x，y＝x，1123 y＝x，y ＝，y＝x的图象，掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大x小(重点)．预习教材P77－P78，完成下面问题：知识点1 幂函数的概念α一般地，函数y＝x叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”) 4－(1)函数y＝x是幂函数．( ) 5x－(2)函数y＝2是幂函数．( ) 12 (3)函数y＝－x是幂函数．( ) 45 －提示(1)√ 函数y＝x符合幂函数的定义，所以是幂函数；x－(2)× 幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y＝2不是幂函数； 12α (3)× 幂函数中x的系数必须为1，所以y＝－x不是幂函数．知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质：1231－幂函数 y＝x y＝x y＝x y＝x 2 y＝x (－∞，0)∪定义域 [0，＋∞) R R R (0，＋∞) *0，＋∞) 值域 [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} R R 偶奇奇偶性奇非奇非偶奇 x∈[0，＋∞)，增增单调性增增 x∈(0，＋∞)，减

x∈(－∞，0]，减x∈(－∞，0)，减公共点都经过点(1,1) 【预习评价】5 3 (1)设函数f(x)＝x，则f(x)是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数33－－(2)3.17与3.71的大小关系为________．解析(1)易知f(x)的定义域为R，又f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．13－(2)易知f(x)＝x＝在(0，＋∞)上是减函数，又 3.17<3.71，所以

f(3.17)>f(3.71)，即3.173x33－－>3.71. 33－－答案(1)A (2)3.17>3.71 题型一幂函数的概念222－【例1】(1)在函数y＝x，y＝2x，y＝(x＋1)，y＝3x中，幂函数的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 2m(2)若f(x)＝(m－4m－4)x是幂函数，则m＝________. 2－解析(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x是幂函数，所以选B．22(2)因为f(x)是幂函数，所以m－4m－4＝1，即m－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1. 答案(1)B (2)5或－1 规律方法判断函数为幂函数的方法α(1)只有形如y＝x(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．α(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝x(α为常数)的形式，函数的解α析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y＝(3x)，ααy＝2x，y＝x＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式． 1 【训练1】若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________． 2ααα解析设f(x)＝x，因为f(4)＝3f(2)，∴4＝3×2，解得：α＝log3，

223

2111 ∴f＝log3＝. 2

1答案3题型二幂函数的图象及应用 1n【例2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝x在第一象限的图象，已知n取±2，±2四个值，则相应于C，C，C，C的n依次为( ) 1234 1111A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 22221111 D．2，C．－，－2,2，，－2，－22221 －2，－分别在幂函数

f(x)，(2)点(2，2)与点g(x)的图象上，问当x为何值时，分别有： 2①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)0时，n越大，y ＝x递增1速度越快，故C的n＝2，C的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C的n＝12321－，曲线C的n ＝－2，故选B．42答案B 1αβαβ2(2)解设f(x)＝x，g(x)＝x.∵(2)＝2，(－2)＝－，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x，g(x)21－＝x.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：①当

x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；②当x＝1时，f(x)＝g(x)；

③当x∈(0,1)时，f(x)

(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于1213 －y＝x或y＝x或y＝x)来判断．m n* 【训练2】如图是函数y＝x (m，n∈N，m，n互质)的图象，则( ) mA．m，n是奇数，且<1 nmB．m是偶数，n是奇数，且>1 nmC．m是偶数，n是奇数，且<1 nmD．m 是奇数，n是偶数，且>1 n m n解析由图象可知y＝x是偶函数，而m，n是互质的，故m是偶数，n是奇数，又当x m m n ∈(1，＋∞)时，y＝x的图象在y＝x的图象下方，故<1. n答案

C 典例迁移题型三利用幂函数的性质比较大小【例3】比较

0.30.311－－

下列各组数中两个数的大小：2123

－－与. (1)与；(2)

53350.3解(1)因为幂函数y＝x

0.30.3又>，所以>.

在(0，＋∞)上是单调递增的，2121

53531－(2)因为幂函数y＝x在(－∞，0)上是单调递减的，

2323 11－－－－>. 又－<－，所以 353521 0.30.3－【迁移1】(变换条件)若将例1(1)中的两

53如何？

数换为“与”，则二者的大小关系

1 0.30.30.3－解因为＝3，而y＝x在(0，＋∞)上是单调递增的， 3221

2 0.30.30.30.3－又<3，所以<3.即<.

5535

22 50.3 ”，则二者的大小关系【迁移2】 (变换条件)若将

例1(1)中的两数换为“与0.3 5如何？22222 5x0.3 >，又因为函数y解因为y＝在(0，＋∞)为上减函数，又

2155552222222 55550.3 0.3<，所以

＝x在(0，＋∞)上为增函数，且>0.3，所以>0.3，所以>0.3.

555规律方法比较幂值大小的三种基本方法【训

与；(2)

练3】比较下列各组数的大小：23 0.50.533(1)

－3.14与－π； 353113 42 (3)与.

解(1)∵y＝x在[0，＋∞)上是增函数且＞，

24230.5

∵y＝x是R上的增函3523 0.50.5

∴＞. 353(2)

数，且 3.14＜π，3333∴3.14＜π，∴－3.14＞－π. 31111

4

2x (3)∵y＝是R上的减函数，∴＜.

＝x是[0，＋∞)上的增函数，

2221y

4222 .∴＞. ∴＞231113131

4242课堂达标1 4，，则f(2)＝( ) 1．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点 212A．B．4 C． D．2 42

1111 2αα －4，，解析设幂函数为y＝x，∵幂函数的图象经过点∴＝4，∴α＝－，

∴y＝x， 22212 2 －∴f(2)＝2＝，故选C． 2答案C 2．下列函数中，其定

义域和值域不同的函数是() 11523233 －A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x解析

A中定义域值域都是R；B中定义域值域都是(0，＋∞)；C中定义域值域都是R；D中定义

域为R，值域为[0，＋∞)．答案D 1 a－1，1，，33．设a∈，则使函数y＝x的定义

域是R，且为奇函数的所有a的值是() 2 A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 1－解析当a＝－1时，y＝x的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当a＝1时，函数y＝

x的11 2 定义域是R且为奇函数；当a＝时，函数y＝x的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非

偶函数．当23a＝3时，函数y＝x的定义域是R且为奇函数．故选A．答案A 1 3 4．函数y＝x的图象是() 1 3 解析显然代数表达式“－f(x)＝f(－x)”，说明函数是奇

函数．同时由当0x，1 3 当x>1时，x

9367777711111 88888 －解(1)－8＝－，函数y＝x在

88989771 88 －从而－8<－. (0，＋∞)上为增函数，又>，则>.

9

222222ππ224

333333 －－－－－－－－＝＝，＝.因为函数y＝x在(0，＋∞)上为减(2)

33666函数，22π2π4 33 －－－－<. 又>，所以 3666课堂小结α1．幂函数y＝x的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1. (2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．(3)如果α＜0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．§2.1指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算学习目标 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化(重点).3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质(重点)．预习教材P49－P53，完成下面问题：知识点1 根式1．n次方根n*(1)定义：一般地，如果x＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N. (2)个数：a>0 x>0 n n是奇数 x 仅有一个值，记为a a<0 x<0

n a>0 x有两个值，且互为相反数，记为±a n是偶数a<0 x不存在 2．根式n(1)定义：式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a

叫做被开方数．a，n为奇数 nnnn*(2)性质：(a)＝a，a＝(其中n>1且n∈N)． |a|，n为偶数 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)()*nn(1)当n∈N时，都有意义．( ) －16(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．( ) nn (3)a＝a.( ) ()nn提示(1)× 当n是偶数时，没有意义；－16(2)× 负数没有偶次方根；nn(3)× 当n为偶数，且a<0时，a＝－a. 知识点2 指数幂及其运算性质 1．分数指数幂的意义m分正分数指数幂nnm* 规定：a＝a(a>0，m，n∈N，且n>1) 数m11n* －指规定：a＝＝(a>0，m，n∈N，且n>1) 负分数指数幂m n nm aa数0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义幂 2．有理数指数幂的运算性质rsrs＋(1)aa＝a(a>0，r，s∈Q)．rsrs(2)(a)＝a(a>0，r，s∈Q)．rrr(3)(ab)＝ab(a>0，b>0，r∈Q)．3．无理数指数幂α一般地，无理数指数幂a(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【预习评价】11 201 －2的结果为( ) 计算：(π－3)＋3× 437A． B．22