1.3 线段的垂直平分线(原卷版)
1.3线段的垂直平分线(2)
证明：三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且
这一点到三角形三个顶点的距离相等．
点拨：要证明三条直线相交于一
怎样证明这个 结论呢? 点，只要证明其中两条直线的交
点在第三条直线上即可
证明：三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三 角形三个顶点的距离相等． 已知：如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点P, 求证：点P也在AC的垂直平分线上，且PA=PB=PC
这样的等腰三角形只有两个，并且它 们是全等的，分别位于已知底边的两侧． 所以满足这一条件的三角形是唯一确 定的。 你能尝试着用尺规作出这个三角形吗?
例3.已知一个等腰三角形的底及底边上的高,求作 这个等腰三角形
a
点和直线的位置关系有几种？
①点在直线上 ②点在直线外 Nhomakorabea过一点作已知直线的垂线：
①过直线上一点作已知直线的垂线 ②过直线外一点作已知直线的垂线
1.3 线段的垂直平分线 (2)
回顾
思考
C
1.线段的垂直平分线的性质定理和
判断定理。
2.线段的垂直平分线的作法。
A D
B
1.如图，在△ABC中， ∠C=90°，∠A=30°，AB的 垂直平分线交AB于点D，交AC 于点E， 求证：AE=2CE．
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的 垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发 现同样的结论?与同伴交流．
①经过已知直线上的一点作已知直线的垂线 已知:直线AB和AB上一点C 求作:AB的垂线,使它经过点C.
A
C
B
②经过已知直线l外一点作已知直线的垂线 已知:直线l和l外一点C 求作:l的垂线,使它经过点C.
C
l
P26 习题1.8 第2题
1.3线段的垂直平分线
回顾 思考 线段的垂直平分线
我们曾经利用折纸的方法得到:
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
你能证明这一结论吗?
已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB.
P是MN上任意一点.
求证:PA=PB.
M P
分析:要证明PA=PB,
1.3线段的垂直平分线
第１课时
驶向胜利 的彼岸
• 1. 掌握线段垂直平分线的性质定理和判 定定理的证明方法．
• 2.会用尺规作已知线段的垂直平分线．
• 3、会用线段垂直平分线的性质定理和 判定定理进行计算或证明。
1.什么是线段垂直平分线？
垂直 并且 平分 一条线段的直线称为这条 线段的垂直平分线，简称 中垂线 .
这条线段的垂直平分线上.
P
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条
线段两个端点距离相等的点,在这条
线段的垂直平分线上).
A
B
老师提示:这个结论是经常用来
证明点在直线上(或直线经过某一点) 的根据之一.
从这个结果出发,你还能联想到什么?
你能根据上述定
M
理和逆定理，说出
线段的垂直平分线
A
AE
B D
E BD C
2.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点,且 BE=CE,则ABC为 等腰 三角形.
巩固练习 ２
挑战自我
3.如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如
果AC=5cm,BC=4cm,则△BDC的周长为
_９__cm__。
C
P
Байду номын сангаас
M
1.3 线段的垂直平分线(2)三角形的垂心
B
复习回顾
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 距离相等. 距离相等 M 如图, 如图 ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN ⊥ 是 上任意一点(已知 已知), 上任意一点 已知 ∴PA=PB(线段垂直平分线上 A 线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点距离 相等). 相等
P
C N
B
老师提示: 老师提示 这个结论是经常用来证明两条线
引入新知
命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点 命题 三角形三条边的垂直平分线相交于一点. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点
基本想法是这样的:我们知道 两条直线相交只有一个交点 基本想法是这样的 我们知道,两条直线相交只有一个交点 要 我们知道 两条直线相交只有一个交点.要 想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第 想证明三条直线相交于一点 只要能证明两条直线的交点在第 三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理 这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理. 三条直线上即可 这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理 如图,在 如图 在△ABC中,设AB,BC的垂直平 中设 的垂直平 A 分线相交于点P,连接 连接AP,BP,CP. 分线相交于点 连接 在线段AB的垂直平分线上 ∵点P在线段 的垂直平分线上 在线段 的垂直平分线上, 的中点,). ∴PA=PB (或AB的中点 或 的中点 P 同理,PB=PC. 同理 B ∴PA=PC. ∴点P在线段 的垂直平分线上, 在线段AB的垂直平分线上 在线段 的垂直平分线上 的垂直平分线相交于一点. ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点 的垂直平分线相交于一点 想一想:若作出 若作出∠ 的角平分线 结论是否也可以得征? 的角平分线,结论是否也可以得征 想一想 若作出∠P的角平分线 结论是否也可以得征
1.3 线段的垂直平分线(含答案)-
1.3 线段的垂直平分线练习【同步达纲练习】一、判断(4分×6=24分)( )1.三角形两边的垂直平分线交点在三角形一边上，则该三角形为等边三角形.( )2.到三角形三顶点距离相等的点在三角形内.( )3.到三角形距离三边相等的点是三条中垂线的交点.( )4.四边形ABCD 中共有一点P ，使PA=PB=PC=PD ，则∠A+∠C=180°.( )5.和线段两端距离相等的点只有线段的中点.( )6.和线段两端相等的点不一定在线段上.二、选择题(5分×6=30分)1.到三角形三个顶点距离相等的是( )A.三条中线交点B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.三条中垂线的交点2.线段AB 外有两点C ，D(在AB 同侧)使CA=CB ，DA=DB ，∠ADB=80°, ∠CAD=10°,则∠ACB=( )A.90°B.100°C.110°D.120°3.BD 为CE 的中垂线，A 在CB 延长线上，∠C=34°,则∠ABE=( )A.17°B.34°C.68°D.136°4.O 为△ABC 三边中垂线的交点，则O 称为△ABC 的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心5.若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为( )A ．钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形6. 如图,△ABC 中，∠ACB=90°, ∠A=30°AC 的中垂线交AC 于E.交AB 于D ，则图中60°的角共有( )A ．6个 B.5个 C.4个 D3个三、填空(5分×6=30分)1.△ABC 中，AB=AC ，P 为形内一点，PB=PC ，则P 在 的中垂线上，P 还在∠ 的平分线上.2.△ABC 中，AB=AC=14，腰AB 的中垂线交AC 于D ，△BCD 周长为4cm,则BC= .3.△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°,AB 中垂线交BC 于E ，则BCBE = . 4.正△ABC 内一点O 到三边距离相等，且OA=OB=OC.则∠BOC= .5.△ ABC 的边AC 、BC 的中垂线交于AB 上一点O ，且OC=BC ，则∠A= .6.若PA=PB ，DA=DB ，则PD 是AB 的 .四、解答(8分×2=16分)1.△ABC 中，∠C=90°,AB 的中垂线交AB 于D ，AC 于E.且∠EBC=40°,求∠A 及∠BED2.已知O 为等边三角形三边中线交点，求证BO 与CO 的中垂线必三等分BC.【素质优化训练】1.AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AC,交AB 于E.过E 作AD 的垂线交BC 延长线于F(图3.14-8),求证21（∠BAC+∠AFC ）=90°-∠B.图3.14-82.如图，△ABC 中，AB=AC ，AE ∥BC,D 为直线AE 上任一点.求证DB+DC ＞2AB.【同步达纲练习】一、× × × √ × √二、D B C A C B三、1.BC,BAC 2.10 3.1∶3 4.120° 5.30° 6.中垂线四、1. ∠C=180°, ∠EBC=40°∴∠BEC=50°又AE=BE∴∠A=25° ∠DEB=65°2.提示：设CB 中垂线交BC 于D ，OC 中垂线交BC 于E ，连OD ，OE. ∴OD=BD OE=EC. 再证∠BOC=120° ∠BOD=COE=30°∴∠DOE=60° ∠ODE=60°∴OD=OE=DE 得BD=DE=EC.【素质优化训练】1. AD 为角平分线，DE ∥AC∴∠EAD=∠EDA EF 为中垂线∴∠ADF=∠ADF=∠B+∠BAD∴∠CAF=∠B ∠BAC+∠CAF+∠AFC+∠B=180° ∴21(∠BAC+∠AFC)=90°-∠B.2.延长BA 至F ，使BA=AF ，连FD ，AD ∥BC,AB=AC ∠FAD=∠ABC=∠ACB=∠DAC.AF=AC △FAD ≌△CAD FD=DC ，FD+DB ＞FB∴DB+DC ＞2AB.。
1.3 线段的垂直平分线(1)-
理由是什么？ PA=PC
3.已知∠BAC=120 °, ∠C=30 ° ,DE是线段AC的垂 直平分线,求∠1多少度?
A
1
E
B
D
C
4.等腰△ABC中,ED是AB的垂
直平分线. AB = AC = 18cm,
BC = 10cm .
A
求: △BCD
的周长.
E
D
B
C
线段的垂直平分线(中垂线)的概念
线段垂直平分线上的点到线段两 端点的距离相等(中垂线的性质)
垂直平分线:垂直并且平分
一条线段的直线称为这条线段 的垂直平分线,或中垂线.
MA ? MB
Ｃ M
A
NA ? NB
Ｏ
N Ｄ
经过再 次对折 同学们 手中的 白纸可 以得到
B…
MA = MB
Ｃ M
A
NA = NB
Ｏ
N Ｄ
B
画板 中垂演线示上
其它点呢？
线段垂直平分线上的点 到这条线段两个端点的 距离相等.
课前思考
线
段
复习提问
的
回忆 提问
垂
动动手
直
平
新课讲授
定义
分
画板演示
线
练习与小结
重点性质
三鑫学校为了方便学
生的生活，计划在三栋宿
A
舍A、B、C之间修建一个
购物中心,试问,该购物中
心应建于何处,才能使得
它到三栋宿舍的距离相等。
B
C
什么样的图形叫做轴对称图形?
线段是轴对称图形吗?
A
B
线段是轴对称图形吗? 如果是, 它的对称轴是哪一条直线呢?
和一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上
1.3线段的垂直平分线(2)
A
P C
议一议
挑战自我
已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作出三
角形吗? 如果能,能作出几个所作出的三角形都全等吗?
已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作
出等腰三角形吗?能作几个?
驶向胜利 的彼岸
做一做P29 2
1.已知一个等腰三角形底边及底边上的高,求作这 个等腰三角形. 已知:如图线段 a, h. a
第一章
三角形的证明
1.3线段的垂直平分线（2）
三角形三条边的垂直平分线相交于一点.
已知：如图在△ABC中，边AB垂直平分 线与边BC的垂直平分线相交于点P. 求证:边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PC. 证明： ∵点P在线段AB的垂直平分线上, ∴PA=PB (或AB的中点,). B 同理,PB=PC. ∴PA=PB=PC. ∴点P在线段AB的垂直平分线上, ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.
2.如图，如果点C不在直线l上，试和同学讨 论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线l的 垂线？
图 24.4.10
作法：
图 24.4.10 (1)以点C为圆心，以适当长为半径画弧，交直 线l于点A、B； (2)以点A为圆心，以CB长为半径在直线另一侧 画弧． (3)以点B为圆心，以CB长为半径在直线另一侧画 弧，交前一条弧于点D． (4)经过点C、D作直线CD．
h
求作: △ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h..
驶向胜利 的彼岸
1.如图，点C在直线l上，试过点C画 出直线l的垂线．
能否利用画线段垂直平分线的方法解 图 24.4.8 决呢？试试看，完成整个作图．
1.如图，点C在直线l上，试过点C画 出直线l的垂线．
作法：(1)以点C为圆心，任一线段的长为半径 24.4.8 画弧，交直线l于点图 A、 B； (2)以点A为圆心，以CB长为半径在直线一侧画弧; (3)以点D为圆心，以同样的长为半径在直线的 同一侧画弧，两弧交于点D； (4)经过点C、D作直线CD． 直线CD即为所求．
八年级数学下册试题一课一练1.3《线段的垂直平分线》-北师大版(含答案)
1.3《线段的垂直平分线》一、选择题1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝80°，∠C ＝70°，分别以点A 和点B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠DAC 的度数为( )A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°2．如图，△ABC 中，∠B =55°，∠C =30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N 作直线MN ，交BC 于点D ，连结AD ，则∠BAD 的度数为( )A ．65°B ．60°C ．55°D ．45°3．如图，已知△ABC (AC ＜BC )，用尺规在BC 边上确定一点P ，使得PA +PC =BC ，则下列四种不同的作图方法中，正确．．的是( ) A ．B ．C ．D ．4．如图，长方形ABCD 中∠DAC ＝68°，请依据尺规作图的痕迹，求出∠α等于1212( )A ．34°B ．44°C ．56°D ．68°5．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接，交于点D ，连接，若的周长为，，则的周长为( )A ．B ．C ．D ．6.如图，在Rt △ABC 中∠C ＝90°，AB ＞BC ，分别以顶点A 、B 为圆心，大于AB 长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M 、N ，作直线MN 交边CB 于点D ．若AD ＝5，CD ＝3，则BC 长是( )A ．7B ．8C ．12D ．137.如图，在△ABC 中，DE 是边AB 的垂直平分线，垂足为E ，交BC 边于D 点，若AC ＝5 cm ，△ADC 的周长为17 cm ，则BC 的长为( )ABC ∆A B 12AB M N MN BC AD ADC ∆107AB =ABC∆714172012A．7 cm B．10 cm C．12 cm D．22 cm8.如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于( )A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm9.如图，点A,B,C表示某公司三个车间的位置，现在要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在( )A．△ABC三边的中线的交点上B．△ABC三内角平分线的交点上C．△ABC三内高线的交点上D．△ABC三边垂直平分线的交点上，我们知道按如图所作10.如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF GH的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是( )．A．l是线段EH的垂直平分线B．l是线段EQ的垂直平分线C．l是线段FH的垂直平分线D．EH是l的垂直平分线11.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，以A为圆心，任意长为半径画弧MN的长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于12两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②CD是△ADC的高；③点D在AB的垂直平分线上；④∠ADC=61°．其中正确的有( ).A．1个B．2个C．3个D．4个12.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD ⊥BE于D，下列结论：①AC-BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=3AD，其中正确的个数有( )A．4个B．3个C．2个D．1个13.已知锐角∠AOB如图，(1)在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；(2)以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；(3)连接FG，CG．作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( )A ．∠BOG ＝∠AOBB ．若CG ＝OC ，则∠AOB ＝30° C ．OF 垂直平分CGD ．CG ＝2FG14.如图，△ABC 中，AC ＝BC ，直线l 经过点C ，则( )A ．l 垂直ABB ．l 平分ABC ．l 垂直平分ABD ．不能确定二、填空题 1.如图，分别以线段的端点和为圆心大于的长为半径作弧，连接两弧交点，得直线，在直线上取一点，使得，延长至， 的度数为__________．2.如图，在中，分别以点A 和点C 为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ；作直线MN 分别交BC 、AC 于点D 、点E ，若，的周长为13cm ，则的周长为________.AB A B 12AB l l C 25CAB ∠=︒AC M BCM∠ABC ∆12AC 3AE m =ABD ∆ABC ∆3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，S：S△ABC＝_____．△AED4．如图，在△ABC中，AC＝5 cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是8 cm，则线段BC的长为________ cm.5．如图，△ABC 中，∠BAC＝108°，E，G 分别为AB，AC 中点，且DE⊥AB，FG⊥AC，则∠DAF＝_________°．三、解答题1.已知△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°．(1)尺规作图：在AB边上找一点D使得DB＝DC(要求：不写作法，保留作图痕迹)；(2)求∠ADC．2.如图，在的边上求作点，做得与的面积相等．(保留作图痕迹，不写作法)3.如图，已知△ABC ，点 P 为 BC 上一点．(1)尺规作图：作直线 EF ，使得点 A 与点 P 关于直线 EF 对称，直线 EF 交直线 AC 于 E ，交直线 AB 于 F ；(保留作图痕迹，不写作法)(2)连接 PE ，AP ，AP 交 EF 于点 O ，若 AP 平分∠BAC ，请在(1)的基础上说明 PE =AF ．4.如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，用圆规分别以A 、C 为圆心，大于AC 的一半的长度为半径画弧，产生如图所示的两个交点M 、N ，作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ． ABC BC D ABD △ACD△(1)根据作法判断直线DE为线段AC的线；(2)连接AE，若∠C=36°，求∠BAE的度数．5.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．(1)求BC的长；(2)分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为13cm，求OA的长．6．如图，已知∠BAC=60° ,∠B=80° ,DE垂直平分AC交BC于点D,交AC于点E.(1)求∠BAD的度数；(2)若AB=10,BC=12,求△ABD的周长.7.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，(1)若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；(2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．8.已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。
北师大版数学八年级下册：1.3 线段的垂直平分线 同步练习(附答案)
3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知线段PA＝3 cm，则线段PB的长为（）A．6 cm B．5 cmC．4 cm D．3 cm第1题图第2题图2．如图，AB是CD的垂直平分线．若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是（）A．3.9 cm B．7.8 cmC．4 cm D．4.6 cm3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.若BC＝6，AC ＝5，则△ACE的周长为（）A．8 B．11C．16 D．17第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB＝∠AED.6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB第6题图第7题图7．如图，已知△ABC，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA＋PC＝AB.下列描述正确的是（）A．P是AC的垂直平分线与AB的交点B．P是BC的垂直平分线与AB的交点C．P是∠ACB的平分线与AB的交点D．P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：点D在AB的垂直平分线上．9．在△ABC中，AB＝AC，边AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠C的度数为．10．下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA＝EB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE是线段AB的垂直平分线；③若EA＝EB，则直线EP是线段AB的垂直平分线；④若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6 cm，且△ABD的周长为13 cm，则△ABC的周长为（）A．13 cm B．19 cmC．10 cm D．16 cm第11题图第12题图12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．第13题图第14题图14．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC＝．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．16．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点(点D与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD垂直平分BC；(2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择________题．A：如图1，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；B：如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的等量关系，并证明你的结论．第2课时三角形三边的垂直平分线1．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定（）A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上2．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（）A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点3．如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．直角三角形4．如图，已知直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线．若AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，当顶点A的位置移动时，点O始终在（）A．直线MN上B．直线MN的左侧C．直线MN的右侧D．直线MN的左侧或右侧5．下列作图语句正确的是（）A．过点P作线段AB的垂直平分线B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝ACC．过直线a和直线b外一点P作直线MN，使MN∥a∥bD．过点P作直线AB的垂线6．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（）A．l是线段EH的垂直平分线B．l是线段EQ的垂直平分线C．l是线段FH的垂直平分线D．EH是l的垂直平分线第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，分别与AC ，BC 交于点D ，E ，连接AE ，则：(1)∠ADE ＝ ；(2)AE EC ；(填“＝”“＞”或“＜”)(3)当AB ＝3，AC ＝5时，△ABE 的周长等于 ．8．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P ，使P 到该镇A 村、B 村、C 村所属的村委会所在地的距离都相等(A ，B ，C 不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P 的位置．要求：写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹．9．在平面内，到三点A ，B ，C 距离相等的点（ ） A ．只有一个B ．有两个C ．有三个或三个以上D ．有一个或没有10．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＞AC.按下列步骤作图：①分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ；②作直线MN ，与边AB 相交于点D ，连接CD. 下列说法不一定正确的是（ ）A ．∠BDN ＝∠CDNB ．∠ADC ＝2∠B C ．∠ACD ＝∠DCB D ．2∠B ＋∠ACD ＝90°A 村 ·B 村 ·C 村 ·11．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则（）A．点P在三角形内B．点P在三角形外C．点P在三角形底边上D．点P的位置与三角形的边长有关12．如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案．13．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a＜b，尺规作图，保留作图痕迹)．14．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.(1)若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数；(2)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长；(3)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．【变式】如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.(1)求∠PAQ的度数；(2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．参考答案：第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知线段PA＝3 cm，则线段PB的长为(D)A．6 cm B．5 cmC．4 cm D．3 cm第1题图第2题图2．如图，AB是CD的垂直平分线．若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是(B)A．3.9 cm B．7.8 cmC．4 cm D．4.6 cm3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.若BC＝6，AC ＝5，则△ACE的周长为(B)A．8 B．11C．16 D．17第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为30°．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB＝∠AED.证明：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB.∴∠EAB＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠CAB ＋∠B ＝90°. 又∵∠AED ＋∠EAB ＝90°， ∴∠CAB ＝∠AED.6．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有(A) A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与CD 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ACB第6题图 第7题图7．如图，已知△ABC ，AB ＞AC ＞BC ，边AB 上存在一点P ，使得PA ＋PC ＝AB.下列描述正确的是(B)A ．P 是AC 的垂直平分线与AB 的交点 B ．P 是BC 的垂直平分线与AB 的交点 C ．P 是∠ACB 的平分线与AB 的交点D ．P 是以点B 为圆心，AC 长为半径的弧与边AB 的交点8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D.求证：点D 在AB 的垂直平分线上．证明：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴∠ABC ＝90°－30°＝60°. ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝12∠ABC ＝30°.∴∠A ＝∠ABD. ∴DA ＝DB.∴点D 在AB 的垂直平分线上．9．在△ABC 中，AB ＝AC ，边AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠C 的度数为20°或70°．10．下列说法：①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则EA ＝EB ；②若PA ＝PB ，EA ＝EB ，则直线PE 是线段AB 的垂直平分线；③若EA ＝EB ，则直线EP 是线段AB 的垂直平分线；④若PA ＝PB ，则点P 在线段AB 的垂直平分线上．其中正确的有(C)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AC ＝6 cm ，且△ABD 的周长为13 cm ，则△ABC 的周长为(B)A ．13 cmB ．19 cmC ．10 cmD ．16 cm第11题图 第12题图12．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，将AB 边沿AD 折叠，发现B 点的对应点E 正好在AC 的垂直平分线上，则∠C ＝30°．13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为76．第13题图 第14题图14．(2020·南京)如图，线段AB ，BC 的垂直平分线l 1，l 2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC ＝78°．15．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是BC 延长线上一点，E 是BD 的垂直平分线与AB 的交点，DE 交AC 于点F.求证：点E 在AF 的垂直平分线上．证明：∵E 是BD 的垂直平分线上的一点， ∴EB ＝ED. ∴∠B ＝∠D.∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D.∴∠CFD＝∠A.又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AFE＝∠A.∴EF＝EA.∴点E在AF的垂直平分线上．16．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点(点D与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD垂直平分BC；(2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择________题．A：如图1，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；B：如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的等量关系，并证明你的结论．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．∴AD垂直平分BC.(2)选择A，证明：由(1)，得AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.∵DE∥AC，∴∠CAF＝∠ADE.∴∠BAF＝∠ADE.∴DE＝AE.选择B，线段DE，AC，BE之间的等量关系为DE＝BE＋AC.证明：由(1)，得AF⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAF.∴∠BAF＝∠EDA.∴AE＝DE.∵AE＝EB＋AB，AB＝AC，∴DE＝BE＋AC.第2课时三角形三边的垂直平分线1．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定(D)A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上2．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形(C)A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点3．如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是(D) A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．直角三角形4．如图，已知直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线．若AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，当顶点A的位置移动时，点O始终在(A)A．直线MN上B．直线MN的左侧C．直线MN的右侧D．直线MN的左侧或右侧5．下列作图语句正确的是(D)A．过点P作线段AB的垂直平分线B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝ACC．过直线a和直线b外一点P作直线MN，使MN∥a∥bD ．过点P 作直线AB 的垂线6．如图，点E ，F ，G ，Q ，H 在一条直线上，且EF ＝GH ，我们知道按如图所作的直线l 为线段FG 的垂直平分线．下列说法正确的是(A)A ．l 是线段EH 的垂直平分线B ．l 是线段EQ 的垂直平分线C ．l 是线段FH 的垂直平分线D ．EH 是l 的垂直平分线第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，分别与AC ，BC 交于点D ，E ，连接AE ，则：(1)∠ADE ＝90°；(2)AE ＝EC ；(填“＝”“＞”或“＜”) (3)当AB ＝3，AC ＝5时，△ABE 的周长等于7．8．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P ，使P 到该镇A 村、B 村、C 村所属的村委会所在地的距离都相等(A ，B ，C 不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P 的位置．要求：写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹．解：已知：A ，B ，C 三点不在同一直线上． 求作：作一点P ，使PA ＝PB ＝PC. 如图所示，点P 即为所求的点．9．在平面内，到三点A ，B ，C 距离相等的点(D) A ．只有一个B ．有两个C ．有三个或三个以上D ．有一个或没有10．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＞AC.按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD.下列说法不一定正确的是(C)A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B＋∠ACD＝90°11．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则(B)A．点P在三角形内B．点P在三角形外C．点P在三角形底边上D．点P的位置与三角形的边长有关12．如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案③．13．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a＜b，尺规作图，保留作图痕迹)．解：作法：(1)作线段AD＝a；(2)过点D作直线MN⊥AD于点D；(3)以点A为圆心，b为半径画弧，交MN于B，C两点，连接AB，AC，△ABC即为所求，如图所示．14．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.(1)若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数；(2)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长；(3)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．解：(1)∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，CN＝BN.∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN.∴∠MCN＝180°－(∠CMN＋∠CNM)＝180°－(2∠A＋2∠B)＝180°－2(180°－∠ACB)＝60°.(2)∵AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长为CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB.∵△CMN的周长为15 cm，∴AB＝15 cm.(3)∵∠MFN＝70°，∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°.∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD＋∠BNE＝∠NMF＋∠MNF＝110°.∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝70°.又∵∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)＝40°.【变式】如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.(1)求∠PAQ的度数；(2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．解：(1)设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝PB，AQ＝CQ.∴∠B＝∠BAP＝x＋z，∠C＝∠CAQ＝x＋y.∵∠BAC＝80°，∴∠B＋∠C＝100°，即x＋y＋z＝80°，x＋z＋x＋y＝100°.∴x＝20°.∴∠PAQ＝20°.(2)∵△APQ周长为12，∴AQ＋PQ＋AP＝12.∵AQ＝CQ，AP＝PB，∴CQ＋PQ＋PB＝12，即BC＋2PQ＝12.∵BC＝8，∴PQ＝2.。
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第一单元
第3课时线段的垂直平分线
一、选择题
1．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知∠BAE=10°，则∠C 的度数为（ ）
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
2．如图，在△ABC 中，DE 是边AB 的垂直平分线，BC=8cm ，AC=5cm ，则△ADC 的周长为（ ）
A ．14cm
B ．13cm
C ．11cm
D ．9cm
3．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的中垂线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF ．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF 的度数为（ ）
A ．48°
B ．36°
C ．30°
D ．24°
4．如图，已知直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，E 为AB 上一点，且CE=EB ，ED ⊥CB 于D ，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A ．AE=BE
B ．CE=21AB
C ．∠CEB=2∠A
D ．AC=2
1AB
5．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）
A、80°
B、70°
C、60°
D、50°
6.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）
A、6
B、5
C、4
D、3
7.如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：
（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；
（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）
A、两人都正确
B、两人都错误
C、甲正确，乙错误
D、甲错误，乙正确
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）
A、AE=BE
B、AC=BE
C、CE=DE
D、∠CAE=∠B
9.如图，AC=AD，BC=BD，则有（）
A、AB垂直平分CD
B、CD垂直平分AB
C、AB与CD互相垂直平分
D、CD平分∠ACB
10.如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（）
A．点P在∠ABC的平分线上 B．点P在∠ACB的平分线上
C．点P在边AB的垂直平分线上 D．点P在边BC的垂直平分线上
二、填空题
11．如图，ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．
（1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_____；
（2）若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则ΔPBC的周长＝_____．
12．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC 的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为．
13.如图:已知,在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE
的周长等于_________ ．
14.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD=BD=BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC中点．其中正确的命题序号是．
三、解答题
15.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE
与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求证：BG2-GE2=EA2．
16.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．。