高等数学利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
三重积分在柱面及球坐标系下的计算
= ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
1 2 1 4 2 ( R − ρ ) ρdρ = πR . 2 4
思考： 思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
π
4
θ
y
,0 ≤ ρ ≤ R.
x
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /4
0
dϕ
∫
R
0
ρ 2 ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2− 2 5 = πR . 5
练习 试用三种坐标系分别计算三重积分
z
2
σz
I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.
(V )
解法1 解法 直角坐标系(切片法)
1
= 2π ∫ ρ ⋅ 2 1 − ρ 2 dρ
1
4π = . 3
0
解法3 解法 球面坐标系计算
∫∫∫ zdv
(V )
z
2
x2 + y2 + z2 = 2z
球面为 : ρ = 2 cos ϕ , 其中
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
ϕ
o
π
2
,0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .
θ
ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕdρ
z
• •
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.
柱面坐标系和球面坐标系求三重积分
z x2 y2所围 .
分析 (V )为由半球面与锥面所围,
故可用球面坐标,
y
此 ,0 时 2 ,0 ,0R . x
4
2
I d
/4
d
R22sind
0
0
0
2 2 R5.
5
练习 试用三种坐标系算 分三 别重 计积分
I zdv,其中(V): x2 y2 z2 2z. (V)
解法1 直角坐标(切 系片法 )
x
则 (V )f(c o,s si,n z)d d dz ,
]d d
[ z2(,)f(co ,ssin,z)dz
( ) z1(,)
例1 计算三重积I分 (Vz)dv,
其中(V)由z R2 x2 y2与 z 0所围.
解 (V )向 xo 面 y 投 (x)y 为 影 :0 圆 R , 02 x
I d d
zdz
0
0 1 1 2
x
2012 12d
4 . 3
•1
xy
解法3 球面坐标系计算zdv (V) x2y2z22z
z
2
球面 : 为 2co,s其中
02 ,0,02co .s
2
o
y
I 2d /2d 2coscos2sxind
0
0
0
2/24co5ssind 4 .
0
3
z
h•
此,时 2zh.
I [ h 2dz ]dd ( xy ) 2
•
o•
x
y
( xy )
2d h(3h5)d
0
0
1 h3.
6
思考：本题是否也可考虑用切片法来求解？
4-2-2 球面坐标系下三重积分的计算
柱面坐标求三重积分
柱面坐标求三重积分引言积分在数学和科学中起着非常重要的作用，它可以帮助我们求解曲线、曲面和体积等问题。
在三维空间中，我们经常遇到需要求解三重积分的情况。
本文将介绍柱面坐标系下求解三重积分的方法和步骤。
什么是柱面坐标系柱面坐标系是一种常用的三维坐标系，它使用极径r、极角θ和z轴坐标z来描述空间中的点。
在柱面坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r,θ,z)，其中r表示点到z轴的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，z表示点在z轴上的高度。
柱面坐标系下的坐标变换在求解柱面坐标系下的三重积分之前，我们需要了解柱面坐标系和直角坐标系之间的坐标变换关系。
根据几何关系可以得到以下变换公式：•x=rcos(θ)•y=rsin(θ)•z=z这些公式可以帮助我们将直角坐标系下的积分问题转换为柱面坐标系下的积分问题。
柱面坐标系下的积分元素在柱面坐标系下，积分元素可以表示为dV=r dr dθ dz，其中r表示点到z轴的距离，dr表示r的微小变化量，θ表示点在平面上的极角，dθ表示θ的微小变化量，dz表示z轴坐标的微小变化量。
柱面坐标系下的三重积分使用柱面坐标系求解三重积分的步骤如下：1.确定积分区域：首先需要确定积分区域，可以通过图形来确定。
在柱面坐标系下，积分区域可以使用极坐标和直角坐标的关系来表示。
2.写出被积函数：根据问题的具体要求，将被积函数用柱面坐标系下的变量表示。
3.确定积分限：根据积分区域的几何性质，确定积分区域的上下限。
4.变量代换：根据柱面坐标系和直角坐标系之间的坐标变换关系，将被积函数和积分元素用柱面坐标表示。
5.进行积分计算：根据确定的积分限和变量代换，进行积分计算。
柱面坐标系下的应用举例例子1：求解柱面体的体积柱面体是由一个半径为R的圆在z轴上从z=a到z=b旋转一周形成的立体。
我们希望求解柱面体的体积。
1.积分区域：由于柱面体是由圆旋转形成的，因此积分区域可以用圆的极坐标来表示：0≤r≤R,0≤θ≤2π,a≤z≤b。
利用柱面坐标计算三重积分x^2+y^2dv
利用柱面坐标计算三重积分 x^2 + y^2 dv在数学中，三重积分是一种计算多变量函数在三维空间内某个区域上的积分的方法。
本文将探讨如何利用柱面坐标系统来计算三重积分x2+y2。
首先，让我们回顾一下柱面坐标。
在三维空间中，柱面坐标由极径r、极角$\\theta$ 和高度z来描述一个点的位置。
其中，$x = r\\cos(\\theta)$，$y =r\\sin(\\theta)$，z保持不变。
假设我们需要计算的三重积分为：$$ \\iiint_D x^2 + y^2 \\, dV $$其中D为一个柱面和平面z=0所围成的区域。
我们可以通过柱面坐标来简化这个积分。
首先，将x和y换成柱面坐标表示：$x = r\\cos(\\theta)$，$y = r\\sin(\\theta)$。
然后，计算体积元素dV。
在柱面坐标下，体积元素dV可表示为：$dV = r\\, dr\\, d\\theta\\, dz$。
将x和y用柱面坐标表示，将dV替换为 $r\\, dr\\, d\\theta\\, dz$，我们可以将原积分转换为柱面坐标下的积分形式：$$ \\iiint_D (r^2\\cos^2(\\theta) + r^2\\sin^2(\\theta)) \\, r\\, dr\\,d\\theta\\, dz $$即$$ \\iiint_D r^3\\, dr\\, d\\theta\\, dz $$接下来，我们可以按照柱面坐标系下的积分计算方法进行计算：$$ \\int_0^{2\\pi} \\int_0^R \\int_0^H r^3\\, dr\\, dz\\, d\\theta $$，其中R代表柱面的半径，H代表柱面的高度。
继续计算得到$$ \\int_0^{2\\pi} \\int_0^R \\left. \\frac{1}{4}r^4 \\right|_0^H dz\\,d\\theta \\\\ = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^R \\frac{1}{4}H^4 dz\\, d\\theta \\\\ =\\int_0^{2\\pi} \\frac{1}{4}H^4R d\\theta \\\\ = \\frac{1}{4}H^4R\\int_0^{2\\pi} d\\theta \\\\ = 2\\pi \\cdot \\frac{1}{4}H^4R \\\\ =\\frac{1}{2}\\pi H^4R $$因此，利用柱面坐标计算三重积分 $\\iiint_D x^2 + y^2 \\, dV$ 的结果为$\\frac{1}{2}\\pi H^4R$。
柱坐标、球坐标下的三重积分
解：由图知：直角系：
D
y
x
2
4 x2
6x2 y2
I dx
dy
f (x, y, z)dz
2
4x2
x2 y2
柱标系： I
2
d
2
rdr
6r 2
f (r cos , r sin , z)dz
0
0
r
杂例
在三种坐标系下化三重积分 f (x, y, z)dv为三次积分，
z
其中：z 6 x2 y2, z x2 y2 z 6 x2 y2 6
四、柱坐标、球坐标下的三重积分
1. 柱坐标：(θ,r,z)
zz
变换为：x r cos , y r sin , z z
即：(x, y, z) (r cos , r sin , z),其中：
0 r ,0 2 ,| J || (x, y, z) | r ( , r, z)
x
注：柱坐标— 极坐标平面竖起一根Z轴。x
上顶： z 1 x2 y2
下底： z = 0
z
Dxy: x 2 y 2 1
x y
I dxdy
zdz
Dxy
用哪种坐标？ 柱面坐标 .
.
2π
1
1r 2
I = 0 dθ 0 rdr0 zdz
Dxy 0
1
4
x
z0
1y
注：用柱坐标求 fdv分成两个步骤：
第一步：先一后二，对z积分后将二重积分化为极坐 标下的二重积分；
元素区域由六个坐标面围成：
半平面及+d ;
半径为r及 r+dr的园柱面；
平面 z及 z+dz；
dz
柱面坐标和球面坐标计算定积分
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三 个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 r ,
0 2,
z .
• M(x, y,z)
or
•
y
P(r, )
x
如图，三坐标面分别为
r 为常数
三个有次序的数r，， 来确定，其中r 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按
逆时针方向转到有向线段 OP 的角，这里 P 为
点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三个数 r，， 就叫做点 M 的球面坐标．
规定： 0 r , 0 , 0 2.
y
r
sin
sin
,
z r cos .
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为
dv r2 sindrdd ,
f ( x, y, z)dxdydz
dr
d r sin
r
o
d
x
r sind rd
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
例 3 计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中 是锥面
1 8
I1 rdrd r2 fdz
D1
2
2
d
0
2
4
dr
0
8
r2
r
r
2dz
2
45 3
,
2
I2 rdrd r2 fdz
D2
2
利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
2
D2 : x2 y 2 4, 2 :
D1 D2
0 2
0 r 2
r
2
z
. 2
2
I I1 I2
( x2 y2 )dxdydz ( x2 y2 )dxdydz,
1 8
I1 rdrd r2 fdz
D1
2
2
d
0
2
4
dr
0
8
r2
r
r
2dz
2
45 3
,
2
3.5 利用柱面坐标和球面坐标 计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分
三、小结
一、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三 个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 r ,
0 2,
z .
• M(x, y,z)
or
•
y
P(r, )
x
如图，三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面；
z
为常数
z 为常数
半平面； 平 面．
• M (x, y, z)
z
柱面坐标与直角坐 标的关系为
or
• P(r, )
y
x r cos ,
y
r
sin
,
x
z z.
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
x2 y2 z2， 与平面z a (a 0) 所围的立体.
解: 采用球面坐标
za r a , cos
x2 y2 z2 ,
4
: 0 r a , 0 , 0 2,
利用柱面坐标计算三重积分
z
j r
zdv
dvΒιβλιοθήκη zdvO
dv
a 2 0 2
．
q
x
a y
dv 2 dj dq
2
0
0
2a 3 , r sin jdr 3
a
1 a4 , zdv 2 dj dq r cos j r 2 sin jdr 2 0 0 0 2 4 3a 3a 因此`z ．重心为(0，0， )． 8 8
§9．5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标、 柱面坐标系的坐标面 直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素
柱面坐标系中的三重积分
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标、球面坐标系的坐标面 直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素 球面坐标系中的三重积分
，r sin q ，z) rdrdqdz．
例1 例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz，其中是由曲
面 zx2y2 与平面 z4 所围成的闭区域．
z 4 zx2y2 或 zr2
解 闭区域可表示为：
r 2z4，0r2，0q2． 于是
zdxdydz zrdrdqdz
2 r sin jdrdjdq dq sin j dj r 4 dr a 2 M , 0 0 0 5
4 3
2
3
a
4 3 其中 M a 为球体的质量． 3
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． z 这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r<， 0 q 2 ， < z<． O x r y P(r, q ) y z
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4 (
2 1)a3 .
0
3
3
补充：利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的 奇偶性．
一般地，当积分区域关于 xoy平面对称，且 被积函数 f ( x, y, z)是关于z的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x, y, z)是关于z的偶函数，则 三重积分为在 xoy平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.
D1
8
2 fdz
2
2
d
0
2
4
d
0
8
2 2
2dz
45 3
,
I2 dd
D2
2
2 fdz
2
2
d
0
2
d
0
2
r2
2dz
2
25 , 6
原式I 45 25 336 . 36
二、利用球面坐标计算三重积分
设 M(x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用
三个有次序的数r，， 来确定，其中r 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x2 y2 16,
0 2
1 :
0 4
,
2
2
z
8
D2 : x2 y2 4, 2 :
D1 D2
0 2
0 2
.
2
2
z
2
I I1 I2
( x2 y2 )dxdydz ( x2 y2 )dxdydz,
1
I1 d d
I
2
d
0
3
d
0
4 2
2 zdz
3
13 . 4
例２ 计算 I ( x2 y2 )dxdydz， 其中
是曲线 y2 2z ，x 0 绕oz 轴旋转一周而成
的曲面与两平面z 2,z 8 所围的立体.
解
由
y
2
2z
绕 oz
轴旋转得，
x0
旋转面方程为 x2 y2 2z,
所围成的立体如图，
例1 计算I zdxdydz，其中 是球面
x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z
所围的立体.
x cos
解
由
y
sin
,
z z
知交线为
2 z2 4
2 3z
z 1, r 3,
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图，
:
2
z
4 2，
3
0 3,
0 2 .
dxdydz
0.
例 6 计算 ( x y z)2dxdydz其中 是由抛物
面 z x2 y2和球面x2 y2 z2 2所围成的空 间闭区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx)
其中 xy yz 是关于y 的奇函数,
且 关于zox 面对称, ( xy yz)dv 0,
§3.3 利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,,，则这样的三
个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 ,
0 2 , ( )
z .
• M(x, y,z)
o
•
y
P(, )
x
如图，三坐标面分别为
r • M(x, y,z)
点 P 在 x 轴上的投影为 A，
z
o
则 OA x, AP y, PM z.
x
A
xy
•
P
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为
dv r2 sindrdd ,
f ( x, y, z)dxdydz
dr
d r sin
r
o
d
x
r sin d rd
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r 2 sin drd d .
例 3 计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中 是锥面
x2 y2 z2， 与平面z a (a 0) 所围的立体.
解 1 采用球面坐标
逆时针方向转到有向线段 OP 的角，这里 P 为
点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三个数 r，， 就叫做点 M 的球面坐标．
规定：
0 r , 0 , 0 2 .
如图，三坐标面分别为
r 为常数 为常数 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为P，
为常数 为常数
圆柱面； 半平面；
z 为常数
平 面．
柱面坐标与直角坐 标的关系为
x cos ,
y
sin
,
x
z z.
z
• M (x, y, z)
z
o
• P(, )
y
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
dv d ddz,
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
y
d
x
f ( cos , sin , z)d ddz.
x2 y2 z2 z r, D : x2 y2 a2,
: r z a, 0 r a, 0 2,
I
( x2 y2 )dxdydz
2
a
d rdr
a r 2dz
0
0
r
2 a r 3(a r)dr 2[a a4 a5 ] a5 .
0
4 5 10
例 4 求曲面 x2 y2 z2 2a2与z x2 y2 所围 成的立体体积.
同理 zx 是关于x 的奇函数,
za r a , cos
x2 y2 z2 ,
4
: 0 r a , 0 , 0 2,
cos
4
I ( x2 y2 )dxdydz
2
d
4 d
a
cos r 4 0
sin
3
1 5
(
a5 cos5
0)d
a5. 10
解 2 采用柱面坐标
解 由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
由 x 2 y2 z 2 2a 2
r 2a,
z x2 y2 ,
4 : 0 r 2a, 0 ,
4
0 2,
由三重积分的性质知 V dxdydz,
V
2
d
4 d
2a r 2 sin dr
0
0
0
2
4
sin
(
2a )3 d
例５ 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {( x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)