高等数学之柱坐标系和球坐标系下的计算法
三重积分在柱面及球坐标系下的计算
= ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
1 2 1 4 2 ( R − ρ ) ρdρ = πR . 2 4
思考： 思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
π
4
θ
y
,0 ≤ ρ ≤ R.
x
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /4
0
dϕ
∫
R
0
ρ 2 ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2− 2 5 = πR . 5
练习 试用三种坐标系分别计算三重积分
z
2
σz
I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.
(V )
解法1 解法 直角坐标系(切片法)
1
= 2π ∫ ρ ⋅ 2 1 − ρ 2 dρ
1
4π = . 3
0
解法3 解法 球面坐标系计算
∫∫∫ zdv
(V )
z
2
x2 + y2 + z2 = 2z
球面为 : ρ = 2 cos ϕ , 其中
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
ϕ
o
π
2
,0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .
θ
ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕdρ
z
• •
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.
柱面坐标系和球面坐标系求三重积分
z x2 y2所围 .
分析 (V )为由半球面与锥面所围,
故可用球面坐标,
y
此 ,0 时 2 ,0 ,0R . x
4
2
I d
/4
d
R22sind
0
0
0
2 2 R5.
5
练习 试用三种坐标系算 分三 别重 计积分
I zdv,其中(V): x2 y2 z2 2z. (V)
解法1 直角坐标(切 系片法 )
x
则 (V )f(c o,s si,n z)d d dz ,
]d d
[ z2(,)f(co ,ssin,z)dz
( ) z1(,)
例1 计算三重积I分 (Vz)dv,
其中(V)由z R2 x2 y2与 z 0所围.
解 (V )向 xo 面 y 投 (x)y 为 影 :0 圆 R , 02 x
I d d
zdz
0
0 1 1 2
x
2012 12d
4 . 3
•1
xy
解法3 球面坐标系计算zdv (V) x2y2z22z
z
2
球面 : 为 2co,s其中
02 ,0,02co .s
2
o
y
I 2d /2d 2coscos2sxind
0
0
0
2/24co5ssind 4 .
0
3
z
h•
此,时 2zh.
I [ h 2dz ]dd ( xy ) 2
•
o•
x
y
( xy )
2d h(3h5)d
0
0
1 h3.
6
思考：本题是否也可考虑用切片法来求解？
4-2-2 球面坐标系下三重积分的计算
圆柱坐标系和球坐标系
圆柱坐标系和球坐标系1. 圆柱坐标系圆柱坐标系是一种常用的三维坐标系，由一个水平的圆柱面和一个垂直的直线轴线组成。
在圆柱坐标系中，一个点的位置由径向距离、角度和高度三个参数来确定。
下面分别介绍这三个参数的定义和使用。
1.1 径向距离径向距离是指从原点（轴线的起点）到点的距离，通常用r表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)到坐标原点的距离可以用勾股定理来计算：$r = \\sqrt{x^2 +y^2}$。
在圆柱坐标系中，点$(r, \\theta, z)$到坐标原点的距离就是径向距离r。
1.2 角度角度参数$\\theta$表示从正向x轴逆时针转到点所在的平面的角度，通常用弧度表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)的角度可以用反正切函数来计算：$\\theta = \\arctan(\\frac{y}{x})$。
在圆柱坐标系中，点$(r, \\theta, z)$的角度就是参数$\\theta$。
1.3 高度高度参数z表示点在垂直轴线上的位置。
高度可以为正、负或零。
在圆柱坐标系中，一个点的位置可以用三个参数$(r, \\theta, z)$来表示。
2. 球坐标系球坐标系是另一种常用的三维坐标系，由一个球面和一个垂直的直线轴线组成。
在球坐标系中，一个点的位置由极径、极角和方位角三个参数来确定。
下面分别介绍这三个参数的定义和使用。
2.1 极径极径是指从原点到点的距离，通常用r表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)到坐标原点的距离可以用勾股定理来计算：$r = \\sqrt{x^2 + y^2}$。
在球坐标系中，点$(r, \\theta, \\phi)$到坐标原点的距离就是极径r。
2.2 极角极角参数$\\theta$表示从正向x轴逆时针转到点所在的平面的角度，通常用弧度表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)的角度可以用反正切函数来计算：$\\theta = \\arctan(\\frac{y}{x})$。
柱坐标和球坐标散度公式的区别
柱坐标和球坐标散度公式的区别在数学和物理学中，我们经常会遇到柱坐标和球坐标这两种坐标系。
这两种坐标系在描述空间中的点和向量时具有独特的优势，但它们也有不同的特点和应用。
本文将重点探讨柱坐标和球坐标下的散度公式，并比较它们之间的区别。
柱坐标系下的散度公式首先，我们来看柱坐标系下的散度公式。
柱坐标系是一个二维极坐标系，它由径向和角度组成。
在柱坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r, θ, z)，其中 r 是从原点到点的距离，θ 是与正 x 轴的夹角，z 是与 xy 平面的垂直距离。
在柱坐标系下，一个矢量场 F 可以表示为(Fr, Fθ, Fz)，它分别表示在 r、θ 和 z方向上的分量。
该矢量场的散度可以用以下公式表示：∇ · F = (1/r) ∂(rFr)/∂r + (1/r) ∂Fθ/∂θ + ∂Fz/∂z其中∇ · F 是 F 的散度，∂ 是偏导数运算符。
球坐标系下的散度公式接下来，我们来看球坐标系下的散度公式。
球坐标系是一个三维极坐标系，它由径向、极角和方位角组成。
在球坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r, θ, φ)，其中 r 是从原点到点的距离，θ 是与正 x 轴的夹角，φ 是与正 z 轴的夹角。
在球坐标系下，一个矢量场 F 可以表示为(Fr, Fθ, Fφ)，它分别表示在 r、θ 和φ 方向上的分量。
该矢量场的散度可以用以下公式表示：∇ · F = (1/r2) ∂(r2Fr)/∂r + (1/(r sinθ)) ∂(sinθFθ)/∂θ + (1/(r sinθ)) ∂Fφ/∂φ其中∇ · F 是 F 的散度，∂ 是偏导数运算符。
区别与应用从上述公式可以看出，柱坐标系和球坐标系下的散度公式有明显的区别。
在柱坐标系下，散度公式中只有前两项与 r 和θ 有关，而与 z 无关。
这意味着在柱坐标系下，矢量场的变化主要由径向和角度的变化引起。
而在球坐标系下，散度公式包含了三项，分别与 r、θ 和φ 相关。
柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的简单推导
柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的简单推导[摘 要]：本文采用多元微积分，利用球坐标与柱坐标、柱坐标与直角坐标变量转换的相同关系，以拉普拉斯算符为例，简化了在柱坐标和球坐标系下拉普拉斯算符表达式的推导。
本文提出了此法在柱坐标和球坐标系下梯度、旋度、散度算符表达式的推导中的适用性，适合广大非数学专业本科生学习与掌握。
[关键词]：拉普拉斯算符；球坐标；柱坐标；多元微积分[中图分类号]：O13 [文献标识码]：A [文章编号]: 1672-1452(2015)**-****-041 引 言在材料科学基础、近代物理、量子力学等课程的内容中，菲克第二定律和薛定谔方程中的拉普拉斯算符在柱坐标系和球坐标系中的表达式十分重要。
在近代物理的课本[1]和材料科学基础的课本[2]上，提到了拉普拉斯算符在柱坐标和球坐标系下的表达式，但没有给出具体的推导过程。
在电动力学课本[3]中,这方面的内容是通过引入“正交曲线坐标系”得出关于拉普拉斯算符的一般结论，再推导出球坐标和柱坐标下的表达式。
但是利用正交曲线坐标系的一般结论进行推导比较抽象，对于非数学专业的同学来说，理解一般性的结论需要较高的数学水平。
现有的文献[4][5]中，有采用多元复合函数微商法则完成推导的，虽然此法在对学生的微积分要求较低，但是所给出的证明计算繁琐，无助于学生直接理解公式的正确性和自主完成推导。
本文给出了用多元微积分导出拉普拉斯算符在柱面坐标系和球面坐标系中表达式的简单方法。
此法仅要求学生掌握基本的多元微积分知识，计算过程简洁美观，便于广大的非数学系专业的学生掌握和理解。
建议在近代物理、量子力学、材料科学基础等课程教材和教学中应用。
2 柱坐标和球坐标下拉普拉斯算符的推导2.1 柱坐标系下的拉普拉斯算符表达式的推导首先，直角坐标系的分量()z y x ,,与柱坐标系的分量()z ,,ϕρ有如下的转换关系：222y x +=ρ（1） x =ϕρcos （2） y =ϕρsin（3） z z =（4）（1）式两端分别对x 和y 求偏导，得ϕρρcos ==∂∂xx（5）ϕρρsin ==∂∂yy（6）（2）两端对x 求偏导，并将（5）式代入，得1sin cos =∂∂-∂∂xx ϕϕρϕρρϕϕsin -=∂∂x（7）同理可知， ρϕϕcos =∂∂y（8）假设所研究的函数为),,(z y x f f =由于z 关于x ，y 是独立的变量，故ρϕϕϕρϕϕρρsin cos ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂f f x f x f x f （9）同理 ρϕϕϕρϕϕρρcos sin ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂f f y f y f y f（10）利用公式（5）（7）（9），对f 求x 的二次偏导2222222222222222222cos sin 2sin sin cos sin 2cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos ρϕϕϕρϕρρϕϕρϕϕϕρϕρρϕρϕϕρϕϕϕϕρϕρϕρϕϕρϕϕρϕρϕϕρρ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂∂+∂∂-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂-∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∂∂f f f f f f f f f f f f x f x x f x xf （11）类似地，计算f 关于y 的二阶偏导数。
柱坐标和球坐标
柱坐标和球坐标柱坐标和球坐标是数学中常用的两种坐标系，它们在描述空间中点的位置时有各自的特点和应用。
本文将介绍柱坐标和球坐标的定义、表示方法以及它们之间的转换关系。
柱坐标柱坐标是三维空间中表示点位置的坐标系之一。
柱坐标通常使用径向距离r、极角 $\\theta$ 和高度z来描述一个点的位置。
在柱坐标系中，点 $(r, \\theta,z)$ 表示距离原点的长度为r，与x轴正向的夹角为 $\\theta$，高度为z的点。
柱坐标系下，点 $(r, \\theta, z)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= r \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= r \\cdot\\sin(\\theta) \\\\ z &= z \\end{aligned} $$球坐标球坐标是另一种用于表示三维空间中点位置的坐标系。
球坐标通常使用球径ρ、极角 $\\phi$ 和方位角 $\\theta$ 来描述点的位置。
在球坐标系中，点$(ρ, \\phi,\\theta)$ 表示距离原点的长度为ρ，与z轴正向的夹角为 $\\phi$，与x轴正向的夹角为 $\\theta$ 的点。
球坐标系下，点$(ρ, \\phi, \\theta)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\sin(\\theta) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi)\\end{aligned} $$柱坐标和球坐标之间的转换要将柱坐标转换为球坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{aligned} ρ &= \\sqrt{r^2 + z^2} \\\\ \\phi &=\\arctan\\left(\\frac{r}{z}\\right) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$ 类似地，要将球坐标转换为柱坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{ali gned} r &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$应用和总结柱坐标和球坐标在不同的场景中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机图形学领域。
三重积分中的柱坐标与球坐标
三重积分中的柱坐标与球坐标在数学中，三重积分是一种用来计算三维空间内物体特定属性（例如体积、质量、质心等）的重要工具。
传统的笛卡尔坐标系在解决一些问题时并不总是方便，于是人们引入了柱坐标和球坐标系，这两种坐标系在三重积分中有着特殊的应用。
本文将介绍三重积分中的柱坐标与球坐标，以及它们的计算方法和在实际问题中的应用。
一、柱坐标中的三重积分柱坐标是一种常见的极坐标系，它由径向$r$、极角$\theta$和高度$z$三个变量构成。
在三重积分中，柱坐标系的转换公式为：$$x = r\cos\theta$$$$y = r\sin\theta$$$$z = z$$$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz$$其中$dV$表示体积元素，$r$的范围为$r_1 \leq r \leq r_2$，$\theta$的范围为$\theta_1 \leq \theta \leq \theta_2$，$z$的范围为$z_1 \leq z \leq z_2$。
对于函数$f(x, y, z)$在柱坐标系下的三重积分，则有：$$\iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z) dV = \int\limits_{z_1}^{z_2}\int\limits_{\theta_1}^{\theta_2} \int\limits_{r_1}^{r_2} f(r\cos\theta,r\sin\theta, z) r\,dr\,d\theta\,dz$$柱坐标系的三重积分常用于具有柱对称性的问题，例如计算柱体的体积、质心等属性。
它将空间问题简化为平面问题，使得计算更加便捷高效。
二、球坐标中的三重积分球坐标是另一种常见的极坐标系，它由径向$r$、极角$\theta$和方位角$\phi$三个变量构成。
在三重积分中，球坐标系的转换公式为：$$x = r\sin\phi\cos\theta$$$$y = r\sin\phi\sin\theta$$$$z = r\cos\phi$$$$dV = r^2\sin\phi\,dr\,d\theta\,d\phi$$其中$dV$表示体积元素，$r$的范围为$r_1 \leq r \leq r_2$，$\theta$的范围为$\theta_1 \leq \theta \leq \theta_2$，$\phi$的范围为$\phi_1 \leq \phi \leq \phi_2$。
§135 三重积分及柱坐标计算法与球坐标计算法
§13-5 三重积分及柱坐标计算法与球坐标计算法§13-5 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法158 158§13-5 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法1.柱坐标计算法 当积分区域Ω在直角坐标系中向某个坐标平面的垂直投影是圆或圆的一部分时，时常采用柱坐标计算三重积分。
读者从图13-26中看出，点(,,)P r z θ的柱坐标实际上是它到Oxy 坐标平面上垂足N 的平面极坐标(,)r θ与点P 的竖坐标z 的组合。
根据定理13-5和二重积分的极坐标计算法，可得下面关于三重积分的柱坐标计算法。
定理13-6 在定理13-5的假设条件下，则有21(cos ,sin )(cos ,sin )(,,)d d d d d (cos ,sin ,)d r z r r D z r r f x y z x y z r r f r r z z θθθΩθθθθθ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(13-28)其中rD θ是Ω在Oxy 坐标平面上的垂直投影（图13-27）。
例17 求三重积分d d d z x y z Ω=⎰⎰⎰I ，其中Ω是由球面2224x y z ++=的上半球面与抛物面223xy z+=围成的区域cos ,sin )r θθ图图cos ,sin )r θθ§13-5 三重积分的柱坐标计算法与球坐标计算法 159159（图13-28⑴）。
解 题中球面与抛物面的柱坐标方程依次为2222r z +=与23r z =。
它们围成的区域Ω在Oxy 坐标平面上的垂直投影为圆(3)rD r θ≤。
根据式（13-28），222422π320031d d d d (4)d 29rz r r D z r r r z z r r θθθ=-=⎡⎤==--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰I354633209113π4d π2π6π9454424r r r r r r r ⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰2.球坐标计算法 当积分区域Ω是球体或球体的一部分时，时常采用球坐标计算三重积分。
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3
3 ( x , y, z ) | ( x , y, z ) , x 0
三、小结
三重积分换元法
柱面坐标 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrd dz
2
（2） 球面坐标的体积元素 dxdydz r sindrdd （3） 对称性简化运算
思考题
若为R 3中关于xy面对称的有界闭区域， ( x , y , z )为 f 上的连续函数, 则
当f ( x , y, z )关于 ____为奇函数时, f ( x, y, z )dv 0;
z
当f ( x , y , z )关于 ____为偶函数时,
z
2 f ( x , y , z )dv ___ f ( x , y , z )dv
1
其中1为在xy面上方的部分.
练习题
一、填空题: 1、若 由曲面 z 2 3( x 2 y 2 )和 x 2 y 2 z 2 16 所 围,则三重积分 f ( x , y , z )dv 表示成直角坐标下
的三次积分是_________________;在柱面坐标下 的三次积分是_________________;在球面坐标下 的三次积分是__________________. 由 曲 面 z 2 x 2 y 2 及 z x 2 y 2 所 围, 2、若 将 zdv 表为柱面坐标下的三次积分_________,
dz
x
r
f ( x , y, z )dxdydz
o
d
f (r cos , r sin , z )rdrddz.
y
x
然后再把它化为三次积分来计算
积分次序一般是先 z 次 r 后 积分限是根据 r , , z 在积分区域中的变化范围来确定 例1 解
( x 2 y 2 z 2 )dv , : z
1 ( x , y , z ) | ( x , y, z ) , z 0 ② 若 关于 xoz 面对称
(1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z ) 时 I 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时
x y
2 2
z
, 4
: 0 r 2a ,
0 , 4
0 2 ,
由三重积分的性质知 V
dxdydz ,
V d d
0 0
2
4
2a
0
r 2 sin dr
3
2
4 0
4 ( 2a ) sin d ( 2 1)a 3 . 3 3
六、求半径为a ,高为h 的均匀圆柱体对于过中心而垂 直于母线的轴的转动惯量 (设密度 1) .
练习题答案
一、1、 dx
2 2 4 x 2 4 x 2 2
dy
16 x 2 y 2 3( x 2 y 2 )
f ( x , y , z )dz f ( x , y , z )dz ,
r , , z
, r 的范围容易定出 0 2 ,0 r 2
z 呢？
注意到
当 0 r 1时 1 z 2
当1 r 2时
2 1 2 z 2
rz2
2 z
e e I d [ dr rdz dr rdz] r r 0 0 1 1 r
x
然后把它化成对 r , , 的三次积分
具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示 积分次序通常是
先r次后
例 3 计算 I ( x 2 y 2 )dxdydz ，其中 是锥面
x 2 y 2 z 2 ， 与平面 z a
解一 用球坐标
(a 0) 所围的立体.
就叫做点 M 的球面坐标．
x r sin cos , y r sin sin , z r cos .
z
x
r
M ( x, y, z )
z
o
0 , 0 2.
r 为常数
为常数
为常数
, r 0
球 面 圆锥面 半平面
规定：
z
M ( x, y, z )
0 r ,
0 2,
x
o
r
P(r , )
y
z .
z
圆柱面 半平面 平 面
z
为常数
z 为常数
z
rd
如图，柱面坐标系中的体积元
数常为 r
dr
M ( x, y, z )
o
r
P(r , )
y
dv rdrddz,
其值为_______.
3、若空间区域 为二曲面x 2 y 2 az 及 z 2a x 2 y 2 所围,则其体积可表为三重积分 _______________; 或 二 重 积 分 ______________; 或柱面坐标下的三次积分___________________. 4 、 若 由 不 等 式 x 2 y 2 (z a)2 a 2 , x 2 y 2 z 2 所确定,将 zdv 表为球面坐标下的三次积分为
_______________________；其值为__________.
二、计算下列三重积分: 1、 ( x 2 y 2 )dv ,其中 是由曲面4z 2 25( x 2 y 2 ) 及平面z 5 所围成的闭区域.
2、 ( x 2 y 2 )dv ,其中 由不等式
a4 a5 5 3 2 r (a r )dr 2[a ] a . 0 4 5 10
a
例 4 求曲面 x 2 y 2 z 2 2a 2 与 z 所围 成的立体体积.
x2 y2
解 由锥面和球面围成，
采用球面坐标，
由x
2
y 2 z 2 2a 2 r 2a,
1 3
注
若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、 圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考 虑使用柱坐标来计算。
例2
ez 2 2 dxdydz, : z x y , z 1, z 2 2 2 x y
解
x r cos y r sin , zz
关键在于定出 的变化范围
注
若 积分区域为球体、球壳或其一部分
被积函数呈 通常采用球坐标。
x y z
2 2
2
而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单
补充：利用对称性简化三重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性．
一般地，当积分区域 关于 xoy 平面对称，且 被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的偶函数，则 三重积分为 在 xoy 平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.
规定
A
y
y
x
P
Байду номын сангаас z
如图，球面坐标系中的体积元素为d
r sin
dr
r sin d rd d
dv r sindrdd ,
2
r
f ( x , y, z )dxdydz
o
d
y
f ( r sin cos , r sin sin , r cos )r 2 sindrdd .
f ( r cos , r sin , z )dz ,
2
0
2
d d f (r sin cos ,
0
6 0
4
r sin sin , r cos )r 2 sin dr
“你对称，我奇偶”
对 I f ( x , y , z )dv
① 若 关于 xoy 面对称
(1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z , ) 时 I 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时 I 2 f ( x , y , z )dv
0 a x 2 y 2 z 2 A, z 0 所确定. x2 y2 z2 3、 ( 2 2 2 )dxdydz , a b c x2 y2 z2 ( x , y , z ) 2 2 1 . 其中 2 a b c z 5 x 2 y 2 及 x 2 y 2 4 z 所围成的立 三、求曲面 体的体积. 2 2 2 2 2 2 四、曲面 x y az 4a 将球体 x y z 4az 分 成两部分,试求两部分的体积之比. 五、求由曲面 z x 2 y 2 , x y a , x 0, y 0, z 0 所围成立体的重心(设密度 1 ).
za
x y
2
2
a r , cos 2 z , 4
a : 0 r , 0 , 0 2 , cos 4
I ( x y )dxdydz d d
2 2
2
5 1 a5 3 2 sin ( 5 0)d a . 10 5 cos 解二 用柱坐标
2 (e e ) 2 (e e )dr 2e