柱坐标系、球坐标系与直角坐标系之间单位矢量的转换
三种常用的正交坐标系程
张量分析
z
1、直角坐标系 坐标变量
z z0 （平面）
ez
x, y, z
o
坐标单位矢量 ex , e y , ez
位置矢量 线元矢量
ex
P
ey
点 P(x0,y0,z0)
y y y0（平面）
r ex x e y y ez z
dl ex dx ey dy ez dz
o
x
dx d y dSx exdydz
y
体积元
南京工业大学
dV dxdydz
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
张量分析 2、圆柱面坐标系
坐标变量
, , z
坐标单位矢量 e , e , ez r e ez z 位置矢量 线元矢量 dl e d e d ez dz
x1 x 2 x 3 g1 1 i 1 j 1 k x x x x1 x 2 x 3 g2 2 i 2 j 2 k x x x x1 x 2 x 3 g3 3 i 3 j 3 k x x x
3
1
x3' g3 g2 O
1 v1 v v 2 r 2 v 2 0 r sin 2 v 3 r sin 2 v 3
面元矢量
dS e dl dl z e ddz dS e dl dl z e ddz dS z ez dl dl ez dd
体积元
南京工业大学
dV dddz
张量分析 3、球面坐标系 坐标变量
坐标单位矢量 er , e , e
球坐标系与直角坐标系的矢量转换例题
球坐标系与直角坐标系的矢量转换例题首先要搞清楚r, phi, theta是什么。
r很清楚，就是向量的本身的长度，也就是，r = 根号(x^2 + y^2 + z^2)，r的方向是 radial direction,就是本身那个向量的方向。
phi和theta是两个角度。
物理书中，一般习惯是，theta是向量和z轴的夹角。
phi是向量在xy平面上的投影和x轴的夹角。
（你可以根据我的描绘自己画张图，比较好看出来。
）那么，很明显，z = r * cos(theta)xy 平面上那个投影的长度 = r * sin(theta)所以，x = r * sin(theta) * cos(phi)y = r * sin(theta) * sin(phi).theta和phi也是有方向的。
他们的方向不是那么重要。
是逆时针走的话是他们增加的方向（正方向）。
你的那个例子，w向量＝w乘以z向量, 是说，w在直角坐标系中，是指向z轴正方向的一个向量。
r是任意一个向量。
所以，w向量叉乘r向量＝ w向量长度 * r向量长度 * w、r的夹角（很明显就是theta,画图看出) * 一个方向向量。
这个方向向量用右手定则判定，右手从w 握向r，拇指方向。
仔细想想，这个方向就是phi的方向。
我也可以简单说下原因，基本上一个3维的右手坐标系，比如xyz直角坐标系，两个坐标系方向叉乘会得到第三个方向。
x 叉 y = z方向，y 叉 z = x方向，z 叉 x = y 方向。
在球坐标系也是一样的，theta方向，phi方向和r方向。
w和r 的夹角就是theta，所以你可以看作，w的方向和theta的方向有关系。
所以w 叉 r 的方向是phi的方向。
（但做题的时候这个方向是谁的方向不那么重要，你会用右手定则判定就可以了）。
球坐标柱坐标
【七】 ( A B ) B A A B 【八】 (fA ) f A f A 【九】 ( A B ) ( B ) A B ( A ) ( A ) B A ( B ) 【一0】 ( A B ) ( B ) A ( A ) B B ( A ) A ( B )
三、二重算子
f x22(eˆxeˆx)f y22(eˆyeˆy)f z22(eˆzeˆz)f 2f 2f 2f 2f x2 y2 z2
【例题一.三.四】 证明一个标量场的梯度必无旋!!一个矢量场 的旋度必无散？？ F lr r ＝ e ˆx y z z y e ˆy z x x z e ˆx x y y x ＝ 0
F (r ) r 1 2 r(r 2 F r) rs i 1 n (s inF ) rs i 1 n F
eˆr reˆ rsineˆ
1 A
r2 sin r Ar rA rsin A
【例题一.三.一】
求矢量场
A (r ) x 2 e ˆx y 2 e ˆy z 2 e ˆz 沿xy平
面内一闭合回路C的线积分!!此闭合回路
由【0!!0】和【 】之间2, 的2 一段抛物线
和两段平行y2于 坐x 标轴的直线段组成？？ 再计算 的旋度？？A
【例题一.三.二】
求二维标量场 u(x,y)的梯y2度x!!并取一闭合 回路C!!证明
udl 0
C
【例题一.三.三】
若 Rrr' R R
证明： ( 1) '( 1)
e ˆ e ˆ zz
➢球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系
eˆ eˆ sincoseˆ sinsineˆ cos
r
x
y
z
eˆ
eˆ x
三个坐标系
o
x
d y dS x ex dydz
dx
y
体积元
dV dxdydz
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
2、圆柱面坐标系
坐标变量
, , z
坐标单位矢量 e , e , ez r e ez z 位置矢量 线元矢量 dl e d e d ez dz
散度的表达式：
Fx Fy Fz 直角坐标系 F x y z ( F ) F Fz 柱面坐标系 F z
C C 0 (C为常矢量) (Cf ) C f 散度的有关公式： (kF ) k F (k为常量) f ( f F ) f F F ( F G ) F G
u 1 u u e ez 圆柱面坐标系 u e z
球面坐标系
u 1 u 1 u u er e e r r r sin
C 0 (Cu ) Cu 梯度运算的基本公式： (u v) u v (uv ) uv vu f (u ) f (u )u
面元矢量
dS e dl dl z e ddz dS e dl dl z e ddz dS z ez dl dl ez dd
体积元
dV dddz
3、球面坐标系 坐标变量
坐标单位矢量 er , e , e
标量场的梯度 的旋度恒为零
C 0 (Cf ) f C ( fF ) f F f F ( F G ) F G ( F G ) G F F G F ) 0 ( (u ) 0
球坐标基矢与直角坐标基矢变换推导
球坐标基矢与直角坐标基矢变换推导球坐标基矢与直角坐标基矢变换推导一、引言在物理学和工程学中，我们经常会遇到涉及坐标系和坐标变换的问题。
球坐标系和直角坐标系是两种常见的坐标系，它们之间的坐标变换是一个重要的内容。
本文将从球坐标基矢和直角坐标基矢入手，深入探讨它们之间的变换关系。
二、球坐标基矢和直角坐标基矢在球坐标系中，位置矢量可以用径向、极角和方位角来描述，对应的基矢分别为 r^、θ^、φ^。
在直角坐标系中，位置矢量可以用 x、y、z 来描述，对应的基矢分别为î、ĵ、k。
下面，我们将从数学角度出发，详细推导球坐标基矢与直角坐标基矢的变换关系。
三、球坐标基矢到直角坐标基矢的转化我们将球坐标系的基矢用直角坐标系的基矢表示，即 r^、θ^、φ^ → î、ĵ、k。
根据基矢的定义和坐标变换的定义，我们可以得到：1) r^ 的表达式r^ = sinθcosφî + sinθsinφĵ + cosθk2) θ^ 的表达式θ^ = cosθcosφî + cosθsinφĵ - sinθk3) φ^ 的表达式φ^ = -sinφî + cosφĵ接下来，我们将直角坐标系的基矢用球坐标系的基矢表示，即î、ĵ、k → r^、θ^、φ^。
根据基矢的定义和坐标变换的定义，我们可以得到：1) î 的表达式î = sinθcosφ r^ + cosθcosφθ^ - sinφφ^2) ĵ 的表达式ĵ = sinθsinφ r^ + cosθsinφθ^ + cosφφ^3) k 的表达式k = cosθ r^ - sinθθ^四、总结与回顾通过以上推导，我们得到了球坐标基矢与直角坐标基矢之间的变换关系。
这对于理解空间中物体的运动、力学问题以及电磁学问题等具有重要的意义。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的坐标系和变换方法，以简化问题的求解过程。
(数学补充)柱坐标系、球坐标系与直角坐标系之间单位矢量的转换
er r
0,
e 0, r
e 0 r
er
e ,
e
er ,
e 0
er
e sin ,
e
e cos ,
e
er sin e cos
7、球坐标系中两矢量间的夹角公式
cos cos1 cos 2 sin1 sin 2 cos(1 2 )
A
B
C
B
C
A
C
A
B
以A、B、C为棱的平行六面体的
Ax Ar sin cos A cos cos A sin
Ay
Ar
sin
sin
A
cos
sin
A
cos
Az
Ar
cos
A
sin
Ar Ax sin cos Ay sin sin Az cos
A
Ax cos cos
A
cos sin
Az sin
A
Ax sin
Ay cos
6、球坐标系单位矢量的偏导数
z
x 2 y 2 z 2
tan 1
y x
er ex sin cos ey sin sin ez cos
e
ex cos cos
ey cos sin
ez sin
e ex sin ey cos
、球坐标系与笛卡儿坐标系中矢量的坐标变换
A Axex Ayey Az ez Ar er A e A e
r
e
1 r
e
1
r sin
u
er
u r
e
1 r
u
e
1
r sin
u
1
柱坐标系、球坐标系与直角坐标系之间矢量的转换
tan 1
y x
er e
ex ex
sin cos ey sin sin ez cos cos cos ey cos sin ez sin
e ex sin ey cos
A Axex Ayey Azez Ar er A e A e
Ax Ar sin cos A cos cos A sin
f
f
fg
f
g
f gffgg
f
g
g
f
f
g
g
f
fg
f
f
f
S
f
ds
V
f dV
L
f
dl
S
f
ds
S ds V 2 dV S ds V 2 2 dV
r r
rr 0
r 3
f r f
'
r
r
1 r r r3
f rr 0
2 1 rr 4r
r
r3
r r3
0
ei a r i aei a r
av rv ar rv av
ex
x
ey
y
ez
z
ex
x
ey
y
ez
z
A
Ax
Ay
Az
x y z
ex ey ez
A
x y z
2 2 2 2
x 2 y 2 z 2
Ax Ay Az
2A
2 Ax
ex
2 Ay
2A
2
Ar
er
2
A
e
2 A
e
其中
2A r
2 Ar
2 r2
柱坐标系、球坐标系与直角坐标系之间单位矢量的转换 PPT
笛卡儿坐标系 圆柱坐标
x r cos
ex er cos e sin
y
r
sin
ey er sin e cos
z z
ez ez
圆柱坐标 笛卡儿坐标系
r x2 y2
tan 1 y
x
z
z
er ex coseysin e ex siney cos
ez ez
A A x e x A y e y A z e z A r e r A e A z e z
定义：标量场中的某点上定义一个矢量，其方向为 函数在该点变化率最大的方向，其大小等于这个最 大变化率的值，这个矢量叫做函数在该点的梯度。
函数在该点附近沿 l 方向的增量为
dr g r r a d l d
fd if v
fro f t
grad
2
2 f f f
f f 2 f
f g f g f g g f f g g f f g
f f f
Sf d s V f dV
Lf d l S f d s
S d s V 2 dV
Ax Ar cos A sin Ay Ar sin A cos
Az Az
Ar Ax cos Ay sin A Ax sin Ay cos
Az Az
er
er
r er z
e , e
r e
z
e
er ,
ez 0 r
ez 0 z
ez 0
x r sin cos 源自A A x e x A y e y A z e z A r e r A e A e
Ax Ars incosAcoscosAs in Ay Ars ins inAcoss inAcos Az ArcosAs in
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笛卡儿坐标系 圆柱坐标
x r cos
ex er cos e sin
y
r
sin
ey er sin e cos
z z
ez ez
圆柱坐标 笛卡儿坐标系
r x2 y2
tan1 y x
z z
er ex cos ey sin e ex sin ey cos
ez 0 z
ez 0
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
ex er sin cos e cos cos e sin
ey
er sin
sin
e
cos
sin
e
cos
ez er cos e sin
r x 2 y 2 z 2
cos1
z
x 2 y 2 z 2
r
r3
r r3
0
ei a r i aei a r
av rv ar rv av
ex
x
ey
y
ez
z
ex
x
ey
y
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z
A
Ax
Ay
Az
x y z
ex ey ez
A
x y z
2 2 2 2
x 2 y 2 z 2
Ax Ay Az
2A
2 Ax
ex
2 Ay
2A
2
Ar
er
2
A
e
2 A
e
其中
2A r
2 Ar
2 r2
Ar
1
sin
sin A
1
sin
A
2A
2 A
2 r2
Ar
A
2sin 2
cos sin 2
A
2A
2 A
2
r 2 sin
Ar
ctg
A
2
A sin
Ay
Ar
sin
sin
A
cos
sin
A
cos
Az
Ar
cos
A
sin
Ar Ax sin cos Ay sin sin Az cos
A
Ax cos cos A
cos sin Az sin
A
Ax sin
Ay
cos
err r err
err
0,
er ,
B
C
A
CLeabharlann BABC
A
B
C
A
C
B
B
C
A
定义：设闭合曲面S 包围着体积V ，穿过S 的 矢量场的通量与V 之比，在V 0 时的极限称
为矢量场的散度。
div f lim
S f dS
V 0 V
dS 的正方向沿S 的外法线方向。
定义：在矢量场的某点上定义一个矢量，其方向为 该点有最大环量面密度的方向，其大小等于这个最 大环量面密度的值，这个矢量叫做该点的旋度。
r e
sin
,
er r er
er
0,
er 0
r
err ,
er 0
r e
cos
,
er
err sin
r e
cos
cos cos1 cos2 sin 1 sin 2 cos(1 2 )
A
B
C
B
C
A
C
A
B
Ax Ay Az
A B C Bx By Bz Cx Cy Cz
A
f dl
rot f
n
lim S 0
L
S
面元的法线方向与沿边界的绕行方向成右手螺旋 关系。 上式表明：旋度矢量在任一方向上的投影，等于 该方向上的环量面密度。
定义：标量场中的某点上定义一个矢量，其方向为 函数在该点变化率最大的方向，其大小等于这个最 大变化率的值，这个矢量叫做函数在该点的梯度。
ey
2 Az
ez
er
r
e
1 r
ez
z
A
1 r
r
rAr
1 r
A
Az z
u
er
u r
e
1 r
u
ez
u z
er r
e
ez r
A
r z
2u
1 r
r r
u r
1 r2
2u
2
2u z 2
2A
2
Ar
er
2
A
e
2
A
z
ez
Ar rA Az
er
r
e
1 r
函数在该点附近沿 l 方向的增量为
d r
grad
r
d
l
f div f
f rot f
grad
2
2 f f f
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2
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F fv gv Ffvgv
gv
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v f
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S ds V 2 dV S ds V 2 2 dV
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r
r
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f rr 0
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Ar er
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Ax Ar cos A sin
Ay
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Ar Ax cos Ay sin
A
Ax sin
Ay
cos
Az
Az
er
er
r er
z
e , e
r e
z
e
er ,
ez 0 r
e
1
r sin
u
er
u r
e
1 r
u
e
1
r sin
u
A
1 r2
r
r 2 Ar
1
r sin
sin A
1
r sin
A
er
e
e
r 2 sin r sin
r
A
r
Ar
rA
r sin A
2u
1 r2
r
r 2
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u
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2
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y x
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sin cos ey sin sin ez cos cos cos ey cos sin ez sin
e ex sin ey cos
A Axex Ayey Azez Ar er A e A e
Ax Ar sin cos A cos cos A sin