第1讲-柱坐标系和球坐标系
坐标系柱坐标系与球坐标系简介
坐标系柱坐标系与球坐标系简介pptxx年xx月xx日contents •引言•坐标系柱坐标系•坐标系球坐标系•柱坐标系与球坐标系的比较•如何选择合适的坐标系•坐标系在科学领域的应用及发展目录01引言描述物体位置和运动的基本工具为定量描述提供基础应用于不同领域如物理、地理、工程等坐标系在科学领域的重要性坐标系基本概念及分类直角坐标系极坐标系Array基于距离和角度基于三个互相垂直的坐标轴圆柱坐标系球坐标系基于距离、角度和高度基于距离、角度和极角本次报告的主要内容比较两种坐标系的优缺点和适用范围举例说明在物理学和工程学中的应用柱坐标系与球坐标系的定义、性质和应用02坐标系柱坐标系1柱坐标系基本概念23是三维坐标系的一种，利用长度、角度和高度来描述点的位置。
柱坐标系以长度为r、角度为θ、高度为z三个参数来表示点的位置。
圆柱坐标系以球半径R、角度θ和 φ来表示点的位置，其中θ表示经度，φ表示纬度。
球面坐标系通过将直角坐标系的x、y坐标值分别替换为r和θ角度值，将z 坐标值保持不变即可实现转换。
直角坐标系转换为柱坐标系需要将r、θ和z三个参数转换为x、y、z三个方向的坐标值，其中x=r*cos(θ)，y=r*sin(θ)，z=z。
柱坐标系转换为直角坐标系柱坐标系与直角坐标系转换1柱坐标系应用举例23在地球物理学中，柱坐标系常被用于描述地球表面和内部的结构和特征。
在电磁学中，柱坐标系常被用于描述圆柱形导体中的电场和磁场分布。
在流体力学中，柱坐标系常被用于描述管道内的流体流动和传热等物理现象。
03坐标系球坐标系球坐标系是三维坐标系的一种，由一个原点、一个在原点正上方的北极点以及一条从原点出发，指向北极点的极轴构成。
球坐标系基本概念定义径向距离、角度和高度。
三个基本元素在球坐标系中，点的位置由径向距离、角度和高度三个参数确定。
坐标表示直角坐标系转换为球坐标系通过将直角坐标系的三个轴分别投影到球坐标系的三个元素上，可以得到球坐标系表示的点。
柱坐标与球坐标的区别
柱坐标与球坐标的区别在数学和物理学领域中，柱坐标和球坐标是描述空间中点位置的两种常见方法。
它们在表示和计算上有一些重要的区别，下面将介绍柱坐标和球坐标的基本概念以及它们之间的不同之处。
柱坐标柱坐标系统是三维笛卡尔坐标系的一种扩展，通常用来描述平面内的点的位置。
柱坐标系由三个坐标$(r, \\theta, z)$组成，其中r表示点到z轴的距离，$\\theta$表示点在x−y平面上的极角，z表示点在z轴上的高度。
具体而言，$(r, \\theta,z)$可以通过以下关系转换为笛卡尔坐标(x,y,z)：$$ \\begin{align*} x &= r\\cos(\\theta),\\\\ y &= r\\sin(\\theta),\\\\ z &= z.\\end{align*} $$球坐标球坐标系统是另一种表示三维空间中点的方法，通常用来描述球面坐标或空间点的位置。
球坐标系也由三个坐标$(r, \\theta, \\phi)$组成，其中r表示点到原点的距离，$\\theta$表示点在x−y平面上的极角，$\\phi$表示点到z轴正方向的夹角。
球坐标系转换为笛卡尔坐标系的关系如下：$$ \\begin{align*} x &= r\\sin(\\phi)\\cos(\\theta),\\\\ y &=r\\sin(\\phi)\\sin(\\theta),\\\\ z &= r\\cos(\\phi). \\end{align*} $$ 区别与比较柱坐标和球坐标之间的主要区别在于坐标系的选择和坐标值的表示。
柱坐标主要适用于描述轴对称的物体或问题，如圆柱体或旋转体问题；而球坐标更适合描述球对称的问题，如球体或球壳问题。
柱坐标中的极角$\\theta$通常是一个平面内的角度，而球坐标中的两个角度$\\phi$和$\\theta$则涉及到空间的倾斜和旋转角度。
人教版高中数学选修4-4--第一讲-坐标系-1.4--柱坐标系与球坐标系简介ppt课件
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
柱坐标和球坐标
柱坐标和球坐标柱坐标和球坐标是数学中常用的两种坐标系，它们在描述空间中点的位置时有各自的特点和应用。
本文将介绍柱坐标和球坐标的定义、表示方法以及它们之间的转换关系。
柱坐标柱坐标是三维空间中表示点位置的坐标系之一。
柱坐标通常使用径向距离r、极角 $\\theta$ 和高度z来描述一个点的位置。
在柱坐标系中，点 $(r, \\theta,z)$ 表示距离原点的长度为r，与x轴正向的夹角为 $\\theta$，高度为z的点。
柱坐标系下，点 $(r, \\theta, z)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= r \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= r \\cdot\\sin(\\theta) \\\\ z &= z \\end{aligned} $$球坐标球坐标是另一种用于表示三维空间中点位置的坐标系。
球坐标通常使用球径ρ、极角 $\\phi$ 和方位角 $\\theta$ 来描述点的位置。
在球坐标系中，点$(ρ, \\phi,\\theta)$ 表示距离原点的长度为ρ，与z轴正向的夹角为 $\\phi$，与x轴正向的夹角为 $\\theta$ 的点。
球坐标系下，点$(ρ, \\phi, \\theta)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\sin(\\theta) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi)\\end{aligned} $$柱坐标和球坐标之间的转换要将柱坐标转换为球坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{aligned} ρ &= \\sqrt{r^2 + z^2} \\\\ \\phi &=\\arctan\\left(\\frac{r}{z}\\right) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$ 类似地，要将球坐标转换为柱坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{ali gned} r &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$应用和总结柱坐标和球坐标在不同的场景中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机图形学领域。
柱坐标系与球坐标系
球坐标系
坐标系是联系形与数的桥梁，利用 坐标系可以实现几何问题与代数问题 的相互转化，从而产生了坐标法.
其中 r 0, 0 , 0 2
空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标 (r,φ,θ)之间的变换关系为
x r sin cos
y
r
sin
sin
z
P(r,φ,θ)
z r cos
oφ r θ
y
x
Q
设点的球坐标为(2，3 ，3 )，求
它的直角坐标.
44Biblioteka x2sin3
4
cos
ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的.
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐
标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为
x cos
y
s
in
z z
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它
在柱坐标系中的坐标.
3
4
2
2 （－
2
2）－1
2
y
2sin
3
4
sin
3
4
2
2 2
2 1 2
z
2cos
3
4
2(－
2）－
2
2
点在直角坐标系中的坐标为
（ －1 ，1 ，－ 2 ）.
z
P(x,y,z)
z P(ρ,θ,Z)
o
z
y
θ
x
P(r,φ,θ) x
oφ r
θ
y
x
Q
y
Q
小结 数轴
平面直角坐标系
柱坐标与球坐标系简介
柱坐标与球坐标系简介
在数学和物理学中，柱坐标和球坐标系是描述三维空间中点的两种常用坐标系。
它们为研究三维问题提供了方便的工具，可以使问题的表达和求解更加简洁。
柱坐标系
柱坐标系是一种用圆柱形式来描述三维空间中的点的坐标系。
在柱坐标系中，
一个点的位置由距离原点的长度、与正向x轴的夹角和z坐标组成。
通常用(r, θ, z)来表示一个点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，z表示点在z轴上的坐标。
柱坐标系在求解具有轴对称性的问题时特别有用，例如旋转体的体积和表面积
的计算等问题。
球坐标系
球坐标系是通过球坐标来描述三维空间中的点的坐标系。
在球坐标系中，一个
点的位置由距离原点的长度、与正向z轴的夹角和在x-y平面上的极角组成。
通常用(r, θ, φ)来表示一个点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，φ表示点在z轴上的极角。
球坐标系常常用于处理具有球对称性或球体几何的问题，例如电场和磁场的计
算等。
它也在计算机图形学和三维建模中被广泛应用。
无论是柱坐标系还是球坐标系，它们都是解决特定类型的问题时十分有效的工具。
通过灵活运用这两种坐标系，我们可以更好地理解和分析三维空间中的问题，为实际问题的求解提供更多的可能性和方法。
柱坐标和球坐标系给了我们描述空间中点位置的不同视角，为解决相关问题提
供了更多的数学工具。
通过学习和掌握这两种坐标系的原理和应用，我们可以在数学和物理领域中更加灵活地处理复杂的三维问题。
圆柱坐标系和球坐标系
圆柱坐标系和球坐标系球坐标系的定义：球坐标是三维坐标系的一种，用以确定三维空间中点、线、面以及体的位置，它以坐标原点为参考点，由方位角、仰角和距离构成。
假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，θ，φ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，r∈[0，+∞)θ为有向线段OP与z轴正向的夹角，θ∈[0，π]φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，φ∈[0，2π]这里M为点P在xOy面上的投影。
这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标。
当r，θ或φ分别为常数时，可以表示如下特殊曲面：r = 常数，即以原点为心的球面；θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；φ= 常数，即过z轴的半平面。
球坐标系与直角坐标系间的转换1).球坐标系(r，θ，φ)与直角坐标系(x，y，z)的转换关系:x= r sinθ cosφy= r sinθsinφz = r cosθ球坐标系下的微分关系在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：dl(r)=dr，dl(θ)=rdθ，dl(φ)=rsinθdφ球坐标的面元面积是：dS=dl(θ)* dl(φ)=r^2*sinθdθdφ体积元的体积为：dV=dl(r)*dl(θ)*dl(φ)=r^2*sinθdrdθdφ圆柱坐标系的定义：它是二维极坐标系往z-轴的延伸。
添加的第三个坐标专门用来表示P点离xy-平面的高低。
按照国际标准化组织建立的约定(ISO 31-11) ，径向距离、方位角、高度，分别标记为。
如图右，P 点的圆柱坐标是。
是P 点与z-轴的垂直距离。
是线OP 在xy-面的投影线与正x-轴之间的夹角。
与直角坐标的等值。
圆柱坐标系与直角坐标系间的转换1).圆柱坐标系(r，φ，z)与直角坐标系(x，y，z)的转换关系:x=r co sφy=r sinφz=z圆柱坐标系下的微分关系在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：dl(r)=dr，dl(φ)=rdφ，dl(z)= dz球坐标的面元面积是：dS=dl(θ)* dl(z)=r dφ dz体积元的体积为：dV=dl(r)*dl(φ)*dl(z)=r dr dφ dz。
第1讲-柱坐标系和球坐标系讲解
究
业
系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组.
菜单
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点的柱坐标与直角坐标互化
课
当
前
堂
自 主
(1)设点 M 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标
双 基
导
达
学 系中的坐标．
标
(2)设点 N 的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．
课
【思路探究】 (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱
课 堂 互 动
∴|P1P2|＝
0＋322－ 262＋
3－12＝
30－ 2
10 .
课 时
探
作
究
业
柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解
决．
菜单
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在球坐标系中，求两点 P(3，π6，4π)，Q(3，π6，34π)的距离．
课
【解】 将 P、Q 两点球坐标转化为直角坐标．设点 P 当
2．球坐标系
课
当
前
堂
自
双
主
基
导
达
学
标
图 1－4－2
课
堂 互
建立如图 1－4－2 所示的空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空 课
动
时
探 究
间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的
作 业
角为 φ.
菜单
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设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转
菜单
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1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点 M 的球
课 前
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当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
个是距离． 2．在柱坐标系中，方程 ρ＝1 表示空间中的什么曲面？ 在球坐标系中，方程 r＝1 分别表示空间中的什么曲面？ 【提示】 ρ＝1 表示以 z 轴为中心，以 1 为半径的圆柱 面；球坐标系中，方程 r＝1 表示球心在原点的单位球面．
M 的直角坐标． 【解】 设 M 的直角坐标为(x，y，z)．
课 堂 互 动 探 究
5π 5π 3 x＝rsin φcos θ＝3sin cos ＝ ， 6 3 4 5π 5π 3 3 则y＝rsin φ sin θ＝3sin 6 sin 3 ＝－ 4 ， 5π 3 3 z＝rcos φ＝3cos 6 ＝－ 2 . 3 3 3 3 3 ∴点 M 的直角坐标为(4，－ 4 ，－ 2 )．
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
y 又 tan θ＝ ＝1， x π ∴θ＝4. π 因此点 C 的柱坐标为( 2，4，0)．
菜 单
课 时 作 业
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课 前 自 主 导 学
(2)由 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋12＋0＝ 2. z ∴cos φ＝ ＝0， r π ∴φ＝ . 2
课 堂 互 动 探 究
一点到原点的距离和两个角刻画点的位置． (2)空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标 系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组.
课 时 作 业
菜
单
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点的柱坐标与直角坐标互化
课 前 自 主 导 学
(1)设点 M 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标 系中的坐标． (2)设点 N 的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．
课 时 作 业
菜
单
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3．空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别
课 前 自 主 导 学
有哪些？
【提示】 (1)柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标 系为背景，柱坐标系中一点在平面 xOy 内的坐标是极坐标， 竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以
当 堂 双 基 达 标
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菜
单
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将点的球坐标化为直角坐标
课 前 自 主 导 学
3 3 已知点 M 的球坐标为(2，4π，4π)，求它的直角 坐标．
x＝rsin φcos θ，y＝rsin φ sin θ， 【思路探究】 球坐标 ――――――――――――――→ z＝rcos φ 直角坐标
当 堂 双 基 达 标
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球坐标系(或空间极坐标系)． 有序数组(r，φ，θ)叫做点 P 的球坐标，记做 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π)．
课 时 作 业
菜
单
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3．空间直角坐标与柱坐标的转化
课 前 自 主 导 学
空间点 P(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z . 4．空间直角坐标与球坐标的关系
求 ρ；
当 堂 双 基 达 标
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y 也可以利用 ρ ＝x ＋y ，求 ρ.利用 tan θ＝ ，求 θ，在求 θ 的 x 时候特别注意角 θ 所在的象限，从而确定 θ 的取值． 2．点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．
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菜
单
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根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：
当 堂 双 基 达 标
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π π 故点 C 的球坐标为( 2， ， )． 2 4
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菜
单
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柱坐标系、球坐标系的应用
π π 已知点 P1 的球坐标是 P1(2 3， ， )，P2 的柱 3 4 π 坐标是 P2( 6， ，1)，求|P1P2 |. 6
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x＝rsin φcos θ， 坐标为(r，φ，θ)，再利用变换公式y＝rsin φ sin θ， z＝rcos φ. θ，φ.
求出 r，
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
y z 2．利用 r ＝x ＋y ＋z ，tan θ＝ ，cos φ＝ .特别注意由 x r
2 2 2 2
直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取 值，才能无误．
菜 单
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若本例中条件不变，求点 C 的柱坐标和球坐标． 【解】 易知 C 的直角坐标为(1,1,0)．
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设点 C 的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r，φ，θ)，其中 0≤φ≤π，0≤θ<2π. (1)由于 ρ＝ x2＋y2＝ 12＋12＝ 2.
当 堂 双 基 达 标
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【思路探究】 (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱 x＝ρcos θ， 坐标，利用公式y＝ρsin θ， z＝z，
菜 单 课 时 作 业
求出 ρ，θ 即可．
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(2) 已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式
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当 堂 双 基 达 标
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空间点 P(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为
x＝rsin φcos θ， y＝rsin φ sin θ， z＝rcos φ
菜 单
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.
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1．要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什 么限制？
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因此，点 N 的直角坐标为(－π，0，π)．
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菜
单
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1．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点 x＝ρcos θ， M 的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式 y＝ρsin θ， z＝z，
2 2 2
菜 单
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空间点的直角坐标化为球坐标
已知长方体 ABCD － A1B1C1D1 中，底面正方形
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ABCD 的边长为 1，棱 AA1 的长为 2，如图 1－4－3 所示， 建立空间直角坐标系 Axyz，Ax 为极轴，求点 C1 的直角坐标 和球坐标．
单
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1．柱坐标系
课 前 自 主 导 学 当 堂 双 基 达 标
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图 1－4－1 如图 1－4－1 所示， 建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 P 是空 间 任 意 一 点 ． 它 在 Oxy 平 面 上 的 射 影 为 Q ， 用 (ρ ， θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标， 这时点 P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．
当 堂 双 基 达 标
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1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系， 首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角 φ，θ 的边与数轴 Oz， Ox 的关系，注意各自的限定范围，即 0≤φ≤π， 0≤θ<2π. 2．化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运
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单
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2．球坐标系
课 前 自 主 导 学 当 堂 双 基 达 标
图 1－4－2
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建立如图 1－4－2 所示的空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空 间任意一点，连接 OP，记 |OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的 角为 φ.
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x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， 求出 x，y，z 即可． z＝z， 【自主解答】 (1)设 M 的柱坐标为(ρ，θ，z)，
当 堂 双 基 达 标
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1＝ρcos θ， 则由1＝ρsin θ， z＝1，
π 解之得，ρ＝ 2，θ＝4.
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π 因此，点 M 的柱坐标为( 2，4，1)．
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(2)设 N 的直角坐标为(x，y，z)， x＝ρcos θ， 则由y＝ρsin θ， z＝z， x＝－π， ∴y＝0， z＝π. x＝πcos π， 得y＝πsin π， z＝π，
当 堂 双 基 达 标
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四
课 前 自 主 导 学
柱坐标系与球坐标系简介
当 堂 双 基 达 标
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课标 解读
1.了解柱坐标系、球坐标系的意 义，能用柱坐标系、球坐标系 刻画简单问题中的点的位置． 2．知道柱坐标、球坐标与空间 直角坐标的互化关系与公式， 并用于解题.
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菜
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图 1－4－3
菜 单
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【思路探究】 先确定 C1 的直角坐标，再根据空间直角 坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标． 【自主解答】 点 C1 的直角坐标为(1,1， 2)．
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设 C1 的球坐标为(r， φ， θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π， 0≤θ<2π， 由 x＝rsin φcos θ，y＝ rsin φ sin θ， z＝rcos φ， 得 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋ 22＋12＝2.