柱坐标系和球坐标系教案
人教版高中选修4-4四柱坐标系与球坐标系简介课程设计
人教版高中选修4-4四柱坐标系与球坐标系简介课程设计课程目标本课程旨在引导高中学生了解形式变量，学习如何应用数学知识来描述和解决问题。
通过本课程，学生将学习追踪点在三维空间中的运动的方程，并将使用四柱坐标系和球坐标系来描述和解决此类问题。
本课程将探讨以下重点：•四柱坐标系的基本原理和应用场景•球坐标系的基本原理和应用场景•如何将一个点的坐标从一个坐标系转换为另一个坐标系教学大纲课时一•介绍课程目标，概述课程内容。
•引导学生理解形式变量的概念，了解如何使用形式变量描述运动的方程。
•讲解四柱坐标系的概念和原理，演示应用场景。
•授课结束后，布置课后作业：熟练使用四柱坐标系描述运动。
课时二•查看和解决熟练使用四柱坐标系描述运动的问题，并对于存在的疑惑做出解答。
•讲解球坐标系的概念和原理，演示应用场景。
•授课结束后，布置课后作业：熟练使用球坐标系描述运动。
课时三•查看和解决熟练使用球坐标系描述运动的问题，并就存在的疑惑进行解答。
•演示如何在四柱坐标系和球坐标系之间进行坐标转换。
•授课结束后，布置课后作业：熟练进行坐标转换。
课程重点四柱坐标系的基本原理和应用场景四柱坐标系是三维空间中用于描述点和向量位置的坐标系统，由三个以原点为顶点的垂直平面构成，每个平面用直角坐标系来描述。
在四柱坐标系中，一个点的位置由其在三个坐标轴上的位置确定。
这个位置通常用一个三元组表示，例如(x,y,z)。
四柱坐标系通常用于描述在三维空间中的运动问题，例如运动的物体、飞行器、机器人等。
球坐标系的基本原理和应用场景球坐标系是三维空间中用于描述点和向量位置的坐标系统，由一个固定原点和一个点到原点的距离以及该点与原点之间的两个角度构成。
在球坐标系中，一个点的位置由三个分量确定：距离r，方位角 $\\theta$，天顶角 $\\phi$。
球坐标系通常用于描述绕点运动问题，例如在天体物理学中，用于描述运动星体相对于一个观测者或者一个中间点的运动修正。
高中数学人教新课标A版选修4-4第一章坐标系1.1.6柱坐标系与球坐标系课件2
3.坐标系是联系数与形的桥梁，利用坐标系可以实现几何
问题与代数问题的相互转化.但不同的坐标系有不同的特点，
在实际应用时，要根据问题的特点选择适当的坐标系，使
研究过程方便、简捷.
提高训练
设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R，45°，
70°)，点B的坐标为(R，45°，160°)，求A，B两点间的球
故点 M 的柱坐标为
π
1, ,5
2
2
.
[A
基础达标]
5π
4， ，3
1．点 P 的柱坐标是
4
，则其直角坐标为(
)
A ． 2 2，2 2，3
B ． －2 2，2 2，3
C ． －2 2，－2 2，3
D ． 2 2，－2 2，3
5π
5π
解析：选 C．x＝ρcos θ＝4cos
＝－2 2，y＝ρsin θ＝4sin
π
6
.故点 M 的球坐标为 2 2, ,
6
7π
4
.
B基础训练达标
4．已知点
则|P1P2|＝(
π 5π
π
P1 的球坐标为4， 2， 3 ，P2 的柱坐标为2， 6，1，
)
A． 21
B． 29
C． 30
D．4 2
解析：选 A．设点 P1 的直角坐标为(x1，y1，z1)，
数学选修4-4：坐标系与参数方程
第一章 坐标系
1.1.6 柱坐标系与球坐标系
学习目标
思维脉络
1.了解在柱坐标系、
球坐标系中刻画空间 柱坐标系与球坐标系
7 柱坐标系和球坐标系(教师版)
7 柱坐标系和球坐标系主备： 审核：学习目标：1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法；2.了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式.学习重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系. 学习难点：利用它们进行简单的数学应用. 学习过程： 一、课前准备阅读教材1618P P -的内容，了解柱坐标系的定义, 以及如何用柱坐标系描述空间中的点.并思考下面的问题：空间中的点的表示法是不是唯一的？到目前为止，你知道了几种表示空间一个点的位置的方法？答：不是唯一的.到目前为止，我们知道了三种表示空间点的位置的方法：空间直角坐标，柱坐标系，球坐标系.二、新课导学： （一）新知： 1.柱坐标系：（1）设P 是空间任意一点，在xOy 平面的射影为Q ，用(,)(0,02)ρθρθπ≥≤<表示点Q 在平面xOy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(,,)z ρθ表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系.有序数组(,,)z ρθ叫点P 的柱坐标，记作(,,)z ρθ.其中0ρ≥，02θπ≤<，z R ∈.（2）柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.（3）空间点P 的直角坐标(,,)x y z 与柱坐标(,,)z ρθ之间的变换公式为cos sin x y z z ρθρθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.2.球坐标系：（1）设P 是空间任意一点，连接O P ， 记||OP r =，O P 与O z 轴正向所夹的角为ϕ.设P 在xOy 平面的射影为Q ，O x 轴按逆时针方向旋转到O Q 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(,,)r ϕθ表示.空间的点与有序数组(,,)r ϕθ之间建立了一种对应关系.我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系 (或空间极坐标系) . 有序数组(,,)r ϕθ叫做点P 的球坐标，其中0,0,02r φπθπ≥≤≤≤<.（2）点P 球坐标(,,)r ϕθ与直角坐标(,,)x y z 的互化公式：①2222x y z r ++=；②sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.（二）典型例题【例1】建立适当的球坐标系，分别表示棱长为1的正方体的顶点.【解析】如图，建立球坐标系，则各个顶点的坐标分别为(1,,0)2A π，12,,0)4A π，2,,)24B ππ，13,,)4B πϕ，其中tan 2ϕ=α为锐角，(1,,)22C ππ，1(2,,)42C ππ，(0,0,0)D ，1(1,0,0)D .动动手：在例1 中，建立适当的柱坐标系，写出各个顶点的柱坐标. 【解析】如上图建立柱坐标系，则各个点的坐标如下：(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，2,,0)4B π，12,,1)4B π，(1,,0)2C π， 1(1,,1)2C π，(0,0,0)D ，1(0,0,1)D .【例2】已知点1P 的柱坐标是)1,6,2(1πP ,2P 的柱坐标是)3,32,4(2-πP ,求21P P .【解析】点1P 的柱坐标是)1,6,2(1πP 转化为直角坐标为,1,16sin2,36cos2=====z y x ππ，即)1,1,3(1P ，点2P 的柱坐标是)3,32,4(2-πP 转化为直角坐标为,3,3232sin4,232cos4-===-==z y x ππ，即)3,32,2(2--P ，所以，126P P ==.zyxD 1C 1B 1A 1DC BA动动手：在球坐标系中，求)6,3,3(ππP 与)32,3,3(ππQ 两点间的距离.【解析】将球坐标)6,3,3(ππP 化为直角坐标：93sincos364x ππ==，3sin sin 36y ππ==，33cos 32z π==，即P 的直角坐标为9333()42.将球坐标2(3,,)33Q ππ化为直角坐标：2333sincos33x ππ-==293sin sin 334y ππ==，33cos 32z π==， 即P 的直角坐标为3393,)42-. 所以22339933||()()4444PQ =--+-36=.三、总结提升：1．理解柱坐标系和球坐标系下各个量的几何意义，会在图中标出点的坐标. 2．能够将柱坐标或球坐标转化为直角坐标，在直角坐标系中解决问题. 四、反馈练习：1.在空间直角坐标系，已知点)1,1,1(-A ，则点A 关于原点对称的点的坐标)1,1,1(-- ，点A 关于z 轴对称的点的坐标)1,1,1(-.2.在以O 为极点的柱坐标系中，若点⎪⎭⎫⎝⎛1,6,4πQ ，则||OQ =17，面xOz 与半平面zOQ所成的角是6π .3. 点P 的球坐标是)2,4,2(ππ，则它的直角坐标是)1,1,0(.4. （1）球坐标满足方程3r =的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程. （2）柱坐标满足方程2ρ=的点所构成的图形是什么?【解析】(1)构成的图形是一个球面，球心在坐标系的原点，半径为3，其直角坐标方程为2229x y z ++=.(2) 图形是以z 为轴，横截面为圆（圆的半径为2）的圆柱面.5.长方体的过一个顶点的三条棱的长分别为1、16，建立适当的球坐标系，写出各个顶点的坐标.【解析】如图建立球坐标系，则各个点的坐标如下：,0)A α，1(1,,0)2A π，,)64B ππ，1,)24B ππ，,)2C πα， 1(1,,)22C ππ，0,0)D ，1(0,0,1)D.其中tanϕ=α为锐角.五、学后反思：。
柱坐标系与球坐标系简介PPT学习教案
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思考3：根据坐标思想，可以用数组 (302，17 ，1.8)表示点A的准确位置， 么那这个1空2 间坐标系是如何建立的？
z 在水平面内建立极坐标系 Ox，过极点O作水平面的垂 线 Oz.
O
x
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思考4：上述所建立的坐标系叫做柱坐
标系，对于空间一点P，点P的柱坐标如
P
以与零子午线相交
r
的球半径所在射线
Ox为一条极轴，再
Oφ
以经过北极的球半 径所在射线Oz为另
xθ
Q
一条极轴.
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思考4：上述坐标系称为球坐标系或空
间极坐标系，因为极角是极径与极轴所
成的角，那么航天器的纬度角φ可换成
哪个角来反映？
z
射线OP与Oz轴正 向所夹的角为φ.
P φr
Oφ
xθ
思考1：地球上一点P的经度和纬度分别是什
么概念？对地球表面上一点的位置，一般用
哪种方式来确定？
北极
北极
子 地轴 午
P
线o
赤道
P
o
赤道 地轴
南极
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南极
经度：过点P从北极到南极的半圆面与 子午面所成的二面角的平面角；
纬度：过点P的球半径与赤道平面所成 的角.
对地球表面上一点的位置一般用经度和 纬度来确定.
Q
θ
O
x
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思考6：若按如图所示建立空间直角坐
标系和柱坐标系，那么点P的直角坐标
(x，y，z) 和柱坐标(ρ，θ，z)之间的
互化公式是什么？
z
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ，
§3柱坐标系和球坐标系-副本(3)
§3柱坐标系和球坐标系一、教学目的：知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系。
教学难点：利用它们进行简单的数学应用。
三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程：（一）、复习引入：情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理（二）、讲解新课：1、柱坐标系设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为： 2、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置可以用有序数组),,(ϕθr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤ϕ＜2π。
空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 之间的变换关系为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++θϕθϕθcos sin sin cos sin 2222r z r y r x r z y x 3.数学应用例1.建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.变式训练：建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.例2.将点M 的球坐标)65,3,8(ππ化为直角坐标.变式训练：1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标.2.将点M 的柱坐标)8,3,4(π化为直角坐标. 3.在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)的球坐标是什么?例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x θρθρsin cos变式训练：极坐标满足方程ρ=2的点所构成的图形是什么?例4.已知点M 的柱坐标为),3,4,2(π点N 的球坐标为),2,4,2(ππ求线段MN 的长度. 思考:在球坐标系中,集合⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫≤≤≤≤≤≤=πϕπθϕθ20,20,62),,(r r M 表示的图形的体积为多少?（三）、巩固练习：课本P22页练习3（四）、小结：本节课学习了以下内容：1．球坐标系的作用与规则； 2．柱坐标系的作用与规则。
柱坐标系与球坐标系PPT教学课件
＃思想核心： 大一统（“新”所在）
天人感应
“天子受命于天，天下受命于天子”；“古之造文者，三画 连其中，谓之王，三画者，天地人，而连其中，通其道也， 谓之王。”
董仲舒认为道源于天。“天不变，道亦不变。” “天道”就是“三纲五常三”纲：君为臣纲，父为子纲，夫为妻纲
五常：仁、义、礼、智、信
崇
“有为”而治。
独 尊 儒 术
罢黜百家 独尊儒术
董仲舒： 中国古代著名的思想家。 （前179——前104年）广
川人（今河北景县人）向 汉武帝提出“罢黜百家 独尊儒术”的主张，创立 新儒学。
2、董仲舒的新儒学的思想内涵
＃思想来源： 以《公羊春秋》为骨干， 融合阴阳家，黄老之学 以及法家思想而形成的 新的思想体系。
坐标系. 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱
坐标，记作(ρ,θ,Z). 其中
ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的.
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐
标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为
x cos
y
• 兴办学校，有利于教 育的发展。
• 确立了儒学在中国的 统治地位。
总结
原 西汉初年，
因
经济残败 百业待兴。
无为不适应集权
原 新儒学的大一统 因 统治者的有为愿望
黄
老 内 治身、治国 之 容 无为而无不为 学
独
尊
内 容
天人感应 实行仁政
儒
术
作 经济恢复 用 国力增强
作 巩固国家统一
用
限制君主权利 儒学独尊地位
柱坐标系和球坐标系
π 4
,5
=
, 2cos
π 4
=
1,
所以 ������ = ������sin������ =
2sin
π 4
=
1,
故(1,1,5)为所求.
������ = 5,
变式训练
将柱坐标点
π 2,6 ,1
化为直角坐标:
解：设所求点的直角坐标为(x,y,z).
因为(ρ,θ,z)=
2,
π 6
������ = ������cos������
P
3、得出P点柱坐标。
O x θQ
y
思考：当 M (r,, z) 处于下述特
殊情况时，各表示什么图形?
1、当r＝常数， 表示的是以z轴为轴的圆柱面； 2、当θ＝常数， 表示的是过z轴的半平面；
3、z＝常数， 表示的是与xOy平面平行的平面.
空间 直角坐标系
z
P(x,y,z)
xz
空间点P(x,y,z)
θ
y
x
Q
有序数组(ρ,θ,Z)叫P的柱坐标，记作(ρ,θ,Z).
其中 规定：ρ ≥0, 0≤θ ＜ 2π , Z∈R
（二）、化归定义
z
z
在空间直
在水平面 内建立极
角坐标系 中， 将
坐标系OX， 过极点O作
O
x
XOY平面
水平面的
O
内点用极
Y 坐标表示。
垂线Oz.
柱坐标系又称半极
坐标系,它是由平
思考：还可以用什么方法呢？
x
P
oc ay
b Q
二、学习目标
1、理解柱坐标系。并通过实 例了解在柱坐标系中刻画空间 中点的位置方法 2、体会柱坐标系与空间直角 坐标系的区别与联系。 3、了解柱坐标与空间直角坐 标的互化关系并进行简单的数 学应用。
柱坐标与球坐标系简介ppt课件
栏 目 链
(2)求点C的和点D的直角坐标、柱坐标以及球坐
接
标．
分析：利用点的直角坐标、柱坐标以及球坐标的转化公式，结合
图形运用方程求解．
解析：(1)点 C1 的直角坐标为(1，1，1)，设点 C1 的柱坐标为(ρ，
θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，其中 ρ≥0，r≥0，0≤φ≤π，0≤θ 栏
目
＜2π，
x2＋y2＋z2，
φ＝zr.
在
目 链 接
用三角函数值求角时，要结合图形确定角的取值范围再求值，若不是
特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或正切值，并标注角的取值
范围即可．
►变式训练
1．如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1的边长AB＝
6，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点A为坐标原
点，以射线AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴的正半
接
正解一：M
2，π4 ，1的直角坐标为：
π x＝ 2·cos 4 ＝1， y＝ 2·sinπ4 ＝1， z＝1，
∴M 关于原点 O 的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)，
ρ＝ x2＋y2＝ 2，
则 tan θ＝xy＝1，
z＝－1，
栏
目
∴M 关于原点 O 的对称点的柱坐标为
2，5π4 ，－1.
要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角 φ，θ的边与坐标轴 Oz，Ox 的关
系，注意各自的限定范围，即 0≤φ≤π，0≤θ＜2π，化点的球坐 栏
目
x＝rsin 标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式y＝rsin
φcos φsin
θ， θ，
链 接
z＝rcos φ
转化为三角函数的求值与运算即可．
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柱坐标系和球坐标系
[教学目标]
一、知识与技能：
1.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法。
2.了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
3.掌握柱坐标、球坐标与直角坐标的互化
二、过程与方法：情感、态度、价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
三、[教学重点]：在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，
四、[教学难点]：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系.利用它们进行简单的数学应用。