柱坐标与球坐标
圆柱坐标系和球坐标系
圆柱坐标系和球坐标系1. 圆柱坐标系圆柱坐标系是一种常用的三维坐标系，由一个水平的圆柱面和一个垂直的直线轴线组成。
在圆柱坐标系中，一个点的位置由径向距离、角度和高度三个参数来确定。
下面分别介绍这三个参数的定义和使用。
1.1 径向距离径向距离是指从原点（轴线的起点）到点的距离，通常用r表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)到坐标原点的距离可以用勾股定理来计算：$r = \\sqrt{x^2 +y^2}$。
在圆柱坐标系中，点$(r, \\theta, z)$到坐标原点的距离就是径向距离r。
1.2 角度角度参数$\\theta$表示从正向x轴逆时针转到点所在的平面的角度，通常用弧度表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)的角度可以用反正切函数来计算：$\\theta = \\arctan(\\frac{y}{x})$。
在圆柱坐标系中，点$(r, \\theta, z)$的角度就是参数$\\theta$。
1.3 高度高度参数z表示点在垂直轴线上的位置。
高度可以为正、负或零。
在圆柱坐标系中，一个点的位置可以用三个参数$(r, \\theta, z)$来表示。
2. 球坐标系球坐标系是另一种常用的三维坐标系，由一个球面和一个垂直的直线轴线组成。
在球坐标系中，一个点的位置由极径、极角和方位角三个参数来确定。
下面分别介绍这三个参数的定义和使用。
2.1 极径极径是指从原点到点的距离，通常用r表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)到坐标原点的距离可以用勾股定理来计算：$r = \\sqrt{x^2 + y^2}$。
在球坐标系中，点$(r, \\theta, \\phi)$到坐标原点的距离就是极径r。
2.2 极角极角参数$\\theta$表示从正向x轴逆时针转到点所在的平面的角度，通常用弧度表示。
在平面直角坐标系中，点(x,y)的角度可以用反正切函数来计算：$\\theta = \\arctan(\\frac{y}{x})$。
柱坐标变换和球坐标变换一样吗为什么
柱坐标变换和球坐标变换一样吗为什么在数学和物理学中，柱坐标变换和球坐标变换是两种常见的坐标系变换方法。
虽然柱坐标和球坐标都是常用的三维坐标系，但它们在定义、表示和应用上有着明显的区别。
首先，让我们简单介绍一下柱坐标变换和球坐标变换的定义。
柱坐标系是由一个径向距离、一个方位角和一个高度组成的坐标系。
在柱坐标系中，一个点的位置由径向距离r、方位角$\\theta$和高度z确定。
而球坐标系是由一个径向距离、一个极角和一个方位角组成的坐标系。
在球坐标系中，一个点的位置由径向距离r、极角$\\phi$和方位角$\\theta$确定。
尽管柱坐标变换和球坐标变换都涉及到三个坐标参数的变换，但它们之间的区别在于坐标系的不同表示方式。
柱坐标系更适合用于描述圆柱体或圆锥体的几何形状，而球坐标系更适合用于描述球体或球面的几何结构。
在数学和物理学中，柱坐标变换和球坐标变换在坐标系变换、积分变换、微分方程变换等方面有着不同的应用。
柱坐标变换常用于处理圆柱形状的问题，如气缸体积计算、柱坐标系下的极限等；而球坐标变换更适合处理球体形状的问题，如球坐标系下的梯度、散度、旋度计算等。
综上所述，柱坐标变换和球坐标变换虽然都是三维坐标系的表示方法，但由于其定义、应用和特点的不同，二者并不完全相同。
柱坐标系更适用于描述圆柱形状的问题，而球坐标系更适用于描述球体形状的问题。
因此，根据具体问题的特点和要求，选择不同的坐标系进行变换和计算，能更有效地解决问题并获得准确的结果。
希望通过这篇文档能够帮助读者更好地理解柱坐标变换和球坐标变换之间的区别和联系，从而在实际问题中更加灵活地运用不同的坐标系进行分析和计算。
柱坐标与球坐标系
离组成的，即(r，φ，θ).注意求坐标的顺序为①到原点的距离r；②与z轴
正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.
2.柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中 的一部分建立起来的，空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表 示，(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在空间直角坐标 系中的竖坐标.
解答
(2)已知点 N 的柱坐标为(2，2π，3)，求它的直角坐标.
x＝ρcos θ，
解 由变换公式y＝ρsin θ，
得 x＝2cos π2＝0，y＝2sin 2π＝2，
z＝z，
故点N的直角坐标为(0,2,3).
解答
类型二 球坐标与直角坐标的互化
例 2 (1)已知点 P 的球坐标为4，34π，π4，求它的直角坐标；
柱坐标与球坐标系
学习目标
1.了解柱坐标系、球坐标系的特征. 2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系，并掌握坐标间 的互化公式. 3.能利用柱坐标、球坐标与空间坐标的转化解决相关问题.
思考
要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？ 答案 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离.
其到原点距离为 2 3－02＋2－02＋3－02＝ 25＝5.
12345
解析 答案
5 5.已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，φ，θ)，则tan φ＝__3___， tan θ＝__2__.
解析 如图所示，
tan φ＝
x2＋y2 z＝
35，tan
θ＝yx＝2.
12345
解析 答案
1.空间点的坐标的确定
解 由变换公式y＝ρsin θ，
z＝z， 得 x＝4cos π3＝2，y＝4sin π3＝2 3，z＝8. ∴点 P 的直角坐标为(2,2 3，8).
柱坐标与球坐标的区别
柱坐标与球坐标的区别在数学和物理学领域中，柱坐标和球坐标是描述空间中点位置的两种常见方法。
它们在表示和计算上有一些重要的区别，下面将介绍柱坐标和球坐标的基本概念以及它们之间的不同之处。
柱坐标柱坐标系统是三维笛卡尔坐标系的一种扩展，通常用来描述平面内的点的位置。
柱坐标系由三个坐标$(r, \\theta, z)$组成，其中r表示点到z轴的距离，$\\theta$表示点在x−y平面上的极角，z表示点在z轴上的高度。
具体而言，$(r, \\theta,z)$可以通过以下关系转换为笛卡尔坐标(x,y,z)：$$ \\begin{align*} x &= r\\cos(\\theta),\\\\ y &= r\\sin(\\theta),\\\\ z &= z.\\end{align*} $$球坐标球坐标系统是另一种表示三维空间中点的方法，通常用来描述球面坐标或空间点的位置。
球坐标系也由三个坐标$(r, \\theta, \\phi)$组成，其中r表示点到原点的距离，$\\theta$表示点在x−y平面上的极角，$\\phi$表示点到z轴正方向的夹角。
球坐标系转换为笛卡尔坐标系的关系如下：$$ \\begin{align*} x &= r\\sin(\\phi)\\cos(\\theta),\\\\ y &=r\\sin(\\phi)\\sin(\\theta),\\\\ z &= r\\cos(\\phi). \\end{align*} $$ 区别与比较柱坐标和球坐标之间的主要区别在于坐标系的选择和坐标值的表示。
柱坐标主要适用于描述轴对称的物体或问题，如圆柱体或旋转体问题；而球坐标更适合描述球对称的问题，如球体或球壳问题。
柱坐标中的极角$\\theta$通常是一个平面内的角度，而球坐标中的两个角度$\\phi$和$\\theta$则涉及到空间的倾斜和旋转角度。
柱坐标系和球坐标系
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图 1-5-2
如图 1-5-2 所示，设 z 轴的正向与向量O→M的夹角为 φ，x 轴的正向与O→M0的 夹角为 θ，M 点到原点 O 的距离为 r，则由三个数 r，θ，φ 构成的有序数组 (r，θ，φ)称为空间中点 M 的球坐标.若设投影点 M0 在 xOy 平面上的极坐标为(ρ， θ)，则极坐标 θ 就是上述的第二个球坐标 θ.在球坐标中限定 r≥0,0≤θ<2π， 0≤φ≤π.
则有11＝ ＝ρρcsions
θ， θ，
z＝1，
解之得，ρ＝ 2，θ＝π4.
因此，点 M 的柱坐标为( 2，π4，1).
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由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点 M 的柱坐标为ρ，θ，
z代入变换公式xy＝ ＝ρρcsions
θ， θ，
z＝z.
求 ρ；也可以利用 ρ2＝x2＋y2，求 ρ.利用 tan θ＝yx，
∵(r，θ，φ)＝(3，53π，56π)，
x＝rsin φcos θ＝3sin56πcos53π＝34，
y＝rsin φsin θ＝3sin56πsin53π＝－343，
z＝rcos
φ＝3cos56π＝－3
2
3 .
∴点
M
的直角坐标为(34，－3
4
3，－3
2
3 ).
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类型三 空间点的直角坐标化为球坐标 已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，底面正方形 ABCD 的边长为 1，
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
柱坐标和球坐标
柱坐标和球坐标柱坐标和球坐标是数学中常用的两种坐标系，它们在描述空间中点的位置时有各自的特点和应用。
本文将介绍柱坐标和球坐标的定义、表示方法以及它们之间的转换关系。
柱坐标柱坐标是三维空间中表示点位置的坐标系之一。
柱坐标通常使用径向距离r、极角 $\\theta$ 和高度z来描述一个点的位置。
在柱坐标系中，点 $(r, \\theta,z)$ 表示距离原点的长度为r，与x轴正向的夹角为 $\\theta$，高度为z的点。
柱坐标系下，点 $(r, \\theta, z)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= r \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= r \\cdot\\sin(\\theta) \\\\ z &= z \\end{aligned} $$球坐标球坐标是另一种用于表示三维空间中点位置的坐标系。
球坐标通常使用球径ρ、极角 $\\phi$ 和方位角 $\\theta$ 来描述点的位置。
在球坐标系中，点$(ρ, \\phi,\\theta)$ 表示距离原点的长度为ρ，与z轴正向的夹角为 $\\phi$，与x轴正向的夹角为 $\\theta$ 的点。
球坐标系下，点$(ρ, \\phi, \\theta)$ 与直角坐标系下的点(x,y,z)之间的关系可以用以下公式表示：$$ \\begin{aligned} x &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\sin(\\theta) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi)\\end{aligned} $$柱坐标和球坐标之间的转换要将柱坐标转换为球坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{aligned} ρ &= \\sqrt{r^2 + z^2} \\\\ \\phi &=\\arctan\\left(\\frac{r}{z}\\right) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$ 类似地，要将球坐标转换为柱坐标，可以使用以下公式：$$ \\begin{ali gned} r &= ρ \\cdot \\sin(\\phi) \\\\ z &= ρ \\cdot \\cos(\\phi) \\\\ \\theta &= \\theta \\end{aligned} $$应用和总结柱坐标和球坐标在不同的场景中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和计算机图形学领域。
柱坐标系与球坐标系
球坐标系
坐标系是联系形与数的桥梁，利用 坐标系可以实现几何问题与代数问题 的相互转化，从而产生了坐标法.
其中 r 0, 0 , 0 2
空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标 (r,φ,θ)之间的变换关系为
x r sin cos
y
r
sin
sin
z
P(r,φ,θ)
z r cos
oφ r θ
y
x
Q
设点的球坐标为(2，3 ，3 )，求
它的直角坐标.
44Biblioteka x2sin3
4
cos
ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的.
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐
标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为
x cos
y
s
in
z z
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它
在柱坐标系中的坐标.
3
4
2
2 （－
2
2）－1
2
y
2sin
3
4
sin
3
4
2
2 2
2 1 2
z
2cos
3
4
2(－
2）－
2
2
点在直角坐标系中的坐标为
（ －1 ，1 ，－ 2 ）.
z
P(x,y,z)
z P(ρ,θ,Z)
o
z
y
θ
x
P(r,φ,θ) x
oφ r
θ
y
x
Q
y
Q
小结 数轴
平面直角坐标系
三重积分中的柱坐标与球坐标
三重积分中的柱坐标与球坐标在数学中，三重积分是一种用来计算三维空间内物体特定属性（例如体积、质量、质心等）的重要工具。
传统的笛卡尔坐标系在解决一些问题时并不总是方便，于是人们引入了柱坐标和球坐标系，这两种坐标系在三重积分中有着特殊的应用。
本文将介绍三重积分中的柱坐标与球坐标，以及它们的计算方法和在实际问题中的应用。
一、柱坐标中的三重积分柱坐标是一种常见的极坐标系，它由径向$r$、极角$\theta$和高度$z$三个变量构成。
在三重积分中，柱坐标系的转换公式为：$$x = r\cos\theta$$$$y = r\sin\theta$$$$z = z$$$$dV = r\,dr\,d\theta\,dz$$其中$dV$表示体积元素，$r$的范围为$r_1 \leq r \leq r_2$，$\theta$的范围为$\theta_1 \leq \theta \leq \theta_2$，$z$的范围为$z_1 \leq z \leq z_2$。
对于函数$f(x, y, z)$在柱坐标系下的三重积分，则有：$$\iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z) dV = \int\limits_{z_1}^{z_2}\int\limits_{\theta_1}^{\theta_2} \int\limits_{r_1}^{r_2} f(r\cos\theta,r\sin\theta, z) r\,dr\,d\theta\,dz$$柱坐标系的三重积分常用于具有柱对称性的问题，例如计算柱体的体积、质心等属性。
它将空间问题简化为平面问题，使得计算更加便捷高效。
二、球坐标中的三重积分球坐标是另一种常见的极坐标系，它由径向$r$、极角$\theta$和方位角$\phi$三个变量构成。
在三重积分中，球坐标系的转换公式为：$$x = r\sin\phi\cos\theta$$$$y = r\sin\phi\sin\theta$$$$z = r\cos\phi$$$$dV = r^2\sin\phi\,dr\,d\theta\,d\phi$$其中$dV$表示体积元素，$r$的范围为$r_1 \leq r \leq r_2$，$\theta$的范围为$\theta_1 \leq \theta \leq \theta_2$，$\phi$的范围为$\phi_1 \leq \phi \leq \phi_2$。
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P (r ， q， z)
o
z
r
q
y Q
x
把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系， 有 序数组( ， ， z )叫做P的柱坐标， 记作P ( ， ， z) ， 其中 0 ， 0 2 ， － z .
柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐 标系与空间直角坐标系中的部分建立起来的.
空间的P的直角坐标( x ， y， z )与柱坐标( ， ， z) 之间的关系公式为： x cos y sin zz
一般地，建立空间直角坐标系Oxyz ， 设P是空间 任意一点，连接OP，记 OP ＝r，OP 与 Oz 轴正向 所夹的角为 ， 设P在Oxy平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角 为 ， 这样P点的位置就可以用有序数组 ( r ， ， ) 表示，这样，空间点与有序数组( r ， ， )之间建立 z 了一种对应关系.
柱坐标与球坐标
1. 柱坐标系
思考： 如图，在圆形体育馆内，如何确定看台上某个座 位的位置？
一般地，建立空间直角坐标系O xyz ， 点P是空间 任意一点， 它在Oxy平面上的射影为Q ， 用( ， ) ( 0 ， 0 2 )表示点Q在平面Oxy上的极坐 标， 那么点P的位置可用有序数组( ， ， z )( z R ) 表示. 于是， 我们建立了空间的点与有序数组 ( ， ， z )之间的一种对应关系.
0
空间点P的直角坐标( x ， y， z )与柱坐标( r ， ， ) 之间的变换公式为： x r n cos y r sin sin z r cos
Z P
O Q
y
X
P(r ， ， )
r
x
O
y
Q
把上述对应关系的坐标系叫做球坐标系 (或空间 极坐标系)，有序数组( r ， ， )叫做点P的球坐标， 记作P ( r ， ， )， 其中r 0 ， 0 ， 0 2 .
球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的应 用，在测量实践中， 球坐标中的角 称为被测 点P ( r ， ， )的方位角，90 － 称为高低角.