陕西省宁强县天津高级中学高二数学《相关性及最小二乘估计》学案1
高三数学总复习 第七篇 第十节相关性及最小二乘估计精品课件 文科 新人教版
)
【解析】 A、B中的两个变量是函数关系，D中的两个变量 不具有任何关系，C中人的身高与体重有相关关系． 【答案】 C
2．有关线性回归的说法，不正确的是(
A．相关关系的两个变量是非确定关系 B．散点图能直观地反映数据的相关程度
)
C．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系
D．散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强 【解析】 散点图上的点大致分布在通过散点图中心的那条
b＝ (x －－ x) － － a ＝ y －b x
n i ＝1 n i＝1 i
－ － (xi－ x )(yi－ y ) ＝
2
i＝1
xiyi－n x y xi2－n x 2
n
n
－－
－
i＝1
其中a，b是线性回归方程的系数．
1．下列选项中，两个变量具有相关关系的是( A．正方形的面积与周长 B．匀速行驶车辆的行驶路程与时间 C．人的身高与体重 D．人的身高与视力
【思路点拨】 (1)用x轴表示身高，y轴表示体重，逐一描出 各组值对应的点． (2)分析两个变量是否存在相关关系． 【自主探究】 以x轴表示身高，y轴表示体重，可得到相应 的散点图如图所示：
由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关．
【方法点评】 在散点图中，如果所有的样本点都落在某一
函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具 有函数关系．如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量
1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变
1．散点图 在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了 解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一 个图，通常称这样的图为变量之间的 散点图 ． 2．线性相关 (1)从散点图上看，如果变量之间存在某种关系，这些点有一个集 中的大致趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称 为 曲线拟合 ． (2)若两个变量x和y的散点图中所有点看上去都在 一条直线 附近 波动，则称变量间是 线性相关 的．此时，我们可以用 一条直线 近 拟．
北师大版高中数学必修四陕西省宁强县天津高级数乘向量学案
【★★】8、设 、 是两个非零且不共线向量，若 与 共线，则
.
【★★】10、在 中， ， ，求 的值.
【★★★】11、已知向量 ,试说明 与 的关系.
点拨：解决题10数形结合，采取等量代换思想减少变量。
点拨:题11要大胆猜想，再小心证明。
我的收获：
我的疑惑:
【★★】6、已知向量 ， ，其中 ， 不共线，向量 ，问是否存在实数 使向量 与 共线.
【★★】7、已知 的三个顶点 及 所在的平面内的一点 ，若 ，实数 满足 ，求 的值.
点拨:题5是向量共线判定定理应用，题6是向量共线性质定理应用。
学法指导
学以致用
点拨
认真审题，结合本节课的学习内容，检查自己的学习效果，以及对知识的掌握程度．
Step2:学习新知
1、实数与向量积的定பைடு நூலகம்：
（1）实数与向量相乘还是一个向量吗？（2）怎样表示？（3）长度和方向怎样规定？
2、实数与向量积的运算律：
（1）结合律指的是什么？（2）向量对实数的分配律指的是什么？（3）实数对向量的分配律是什么？
3、向量的线性运算包含了哪些基本运算？
4、向量共线的判定定理和性质定理的内容分别是什么？怎样理解？
总结：向量共线的判定定理应用。
探究策略
能力挑战
及时总结
请认真阅读题目，每组C级生规范展示，B级生讲解，声音洪亮，重在思路分析，A级生重在规律方法的总结，以及对本组学生的指导．
点拨：解决题7的关键在于通过已知条件认识到点P是 的重心。
【★★】5、已知两个非零向量 不共线，若 ， ， ，求证: 三点共线.
【★】2、已知 ，则在以下各命题中正确的命题的个数是( )
高中数学第一章统计1.7相关性8最玄乘估计学案含解析北师大版必修3
考纲定位重难突破1.会作散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.2.知道最小二乘法的思想，能够根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程.重点：作散点图，会建立线性回归方程.难点：准确理解变量的相关关系并求线性回归方程.授课提示：对应学生用书第16页[自主梳理]1．散点图在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．2．变量之间的相关关系从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合．若两个变量x和y 的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的，而若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关为非线性相关．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．3．最小二乘法与线性回归方程如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a ＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[y n－(a＋bx n)]2使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．说明：线性回归方程y＝a＋bx中，b＝x1y1＋x2y2＋…＋x n y n－nx－y－x21＋x22＋…＋x2n－nx－2(其中x－＝x1＋x2＋…＋x nn，y－＝y1＋y2＋…＋y nn)；a＝y－－bx－__．[双基自测]1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是()A．正方体的棱长与体积B．单位圆中圆心角的度数与所对弧长C．单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量D．日照时间与水稻的亩产量解析：选项A，B，C均为函数关系，日照时间与水稻的亩产量有一定的关系，日照时间长，水稻的亩产量就高，但这种情况也不是绝对的，二者是相关关系．答案：D2．已知x，y之间的一组数据如下：x 01234 5y 135579则y关于xA．(2，2)B．(1，3)C．(2.5，5)D．(4，6)解析：因为x －＝0＋1＋2＋3＋4＋56＝2.5，y －＝1＋3＋5＋5＋7＋96＝5，所以y 关于x 的回归直线必经过样本点的中心(2.5，5)．故选C.答案：C3．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的线性回归方程：y ＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元． 解析：由y ＝0.254x ＋0.321知，当x 增加1万元时，年饮食支出y 增加0.254万元． 答案：0.254授课提示：对应学生用书第16页探究一 变量之间的相关关系的判断[编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/cm 165 157 155 175 168 157 178 160 163 体重/kg 52 44 45 55 54 47 6250 53[解析] 法一：根据经验可知，人的身高和体重之间存在相关关系．法二：观察表格数据可知，人的体重随着身高的增高而增加，因此人的身高和体重之间存在相关关系．法三：以x 轴表示身高，以y 轴表示体重，得到相应的散点图如图所示．我们会发现，随着身高的增高，体重基本上呈增加的趋势．所以体重与身高之间存在相关关系．两个变量x 和y 相关关系的确定方法(1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断．(2)如果发现点的分布从整体上看大致在一条线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．1．某化妆品公司2013～2018年的年利润x (单位：百万元)与年广告支出y (单位：百万元)的统年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 利润x 12.2 14.6 16.2 18.4 20.4 22.3 支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1.00 1.11根据统计资料，可知( )A ．利润的中位数是16.2，x 与y 有正相关关系B ．利润的中位数是17.3，x 与y 有正相关关系C ．利润的中位数是17.3，x 与y 有负相关关系D ．利润的中位数是18.4，x 与y 有负相关关系解析：年利润的6个数据的中间两个为16.2，18.4，则中位数为17.3；又x 增加时，y 也随之增加，因此x 与y 成正相关．故选B. 答案：B探究二 求线性回归方程[典例2] 关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系的研究中，得到如下一组数：年龄x 23 27 39 41 45 49 50 53 脂肪y 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直线； (2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．[解析] (1)以x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)画出散点图，如图．进一步观察，发现上图中的点分布在一条直线附近，这说明这一正相关可以用这一直线来逼近，根据图中分析，人体的脂肪含量(百分比)和年龄具有相关关系． (2)设回归直线为y ＝bx ＋a ， 那么结合题中数据，可得x －＝40.875，y －＝23.25，∑8i ＝1x i y i ＝8 092.8，∑8i ＝1x 2i ＝14 195， 则b ＝∑8i ＝1x i y i －8x － y －∑8i ＝1x 2i －8x －2，＝8 092.8－8×40.875×23.2514 195－8×40.8752≈0.591 2， a ＝y －－bx －＝23.25－0.591 2×40.875＝－0.915 3， 所以所求的线性回归方程是y ＝0.591 2x －0.915 3.(1)最小二乘法的适用条件：两个变量必须具有线性相关性，若题目没有说明相关性，必须对两个变量进行相关性检验． (2)注意事项：①利用求回归方程的步骤求线性回归方程的方法实质是一种待定系数法．②计算a ，b 的值时，用列表法理清计算思路，减少计算失误．同时，计算时，尽量使用计算机或科学计算器．2．某研究机构对中学生记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x 4 6 8 10 识图能力y 3 * 6 85.5.(1)经过分析，知道记忆能力x 和识图能力y 之间具有线性相关关系，请用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(2)已知某一学生记忆能力值为12，请预测他的识图能力值．解析：(1)设丢失的数据为m ，依题意，得3＋m ＋6＋84＝5.5，解得m ＝5，即丢失的数据值是5.由表中的数据，得x －＝4＋6＋8＋104＝7，y －＝5.5，∑4i ＝1x i y i ＝4×3＋6×5＋8×6＋10×8＝170， ∑4i ＝1x 2i ＝42＋62＋82＋102＝216， b ＝∑4i ＝1x i y i －4x －y －∑4i ＝1x 2i －4x －2＝170－4×7×5.5216－4×72＝0.8，a ＝y －－bx －＝5.5－0.8×7＝－0.1， 所以所求线性回归方程为y ＝0.8x －0.1.(2)由(1)，得当x ＝12时，y ＝0.8×12－0.1＝9.5， 即预测他的识图能力值是9.5.探究三 线性回归方程的应用[典例3] 某5名学生的总成绩和数学成绩(单位：分)如下表所示：学生 A B C D E 总成绩(x ) 482 383 421 364 362 数学成绩(y ) 78 65 71 64 61(1)作出散点图；(2)求数学成绩y 对总成绩x 的线性回归方程；(3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩． [解析] (1)散点图如图所示：(2)列表如下：i 12 3 4 5 x i 482 383 421 364 362 y i 78 65 71 64 61 x i y i37 596 24 895 29 891 23 296 22 082x －＝2 0125，y －＝3395，∑5i ＝1x 2i ＝819 794，∑5i ＝1x i y i ＝137 760. b ＝∑5i ＝1x i y i －5x － y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝137 760－5×2 0125×3395819 794－5×（2 0125）2≈0.132，a ＝y －－bx －≈3395－0.132×2 0125≈14.683.所以线性回归方程为y ＝0.132x ＋14.683. (3)当x ＝450时，y ≈74，即当一个学生的总成绩为450分时，他的数学成绩约为74分．回归方程的应用体现在以下几个方面：(1)描述两变量之间的依赖关系：利用线性回归方程可定量地描述两个变量间的依赖关系． (2)利用回归方程可以进行预测，把预报因子(相当于随机变量x )代入回归方程对预报量(相当于因变量y )进行估计，即可得到个体y 值的允许区间．(3)利用回归方程进行统计控制，规定y 值的变化，通过控制x 的范围来实现统计控制的目标．3x (单位：m 2)的数据：x 115 110 80 135 105 y 44.8 41.6 38.4 49.2 42(1)画出散点图； (2)求线性回归方程；(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格． 解析：(1)散点图如图所示．(2)由散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，可求线性回归方程．由表中的数据，得x －＝109，y －＝43.2，∑5i ＝1x 2i ＝60 975，∑5i ＝1x i y i ＝23 852.则b ＝∑5i ＝1x i y i －5x －y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝23 852－5×109×43.260 975－5×1092＝3081 570≈0.196，a ＝y －－bx －≈43.2－0.196×109＝21.836. 故所求线性回归方程为y ＝0.196x ＋21.836.(3)根据上面求得的回归方程知，当房屋面积为150 m 2时，销售价格的估计值为0.196×150＋21.836＝51.236(万元)．利用线性回归方程对总体进行预测[典例] (本题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ [规范解答] (1)散点图，如图所示．①………………………………………………………………………………………2分 (2)由题意，得∑ni ＝1x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5， x －＝3＋4＋5＋64＝4.5，y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑ni ＝1x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86，………………………………………………………6分所以b ＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，②………………………………………………………………………………………8分 a ＝y －－bx －＝3.5－0.7×4.5＝0.35，…………………………………………………9分 故线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35. ………………………………………………10分(3)根据回归方程预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，………………………………………………………………………11分 故耗能约降低了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．③……………………………………………………………………………………12分[规范与警示]①处散点图的画法中，纵、横坐标的刻度选取要适当．②处计算量较大易出错，失分点．③处由回归方程计算的该值只是一个预测值，是实际问题的一个估计值，因此最后应进行回答．用线性回归方程预测的一般步骤为：(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；(2)如果散点在一条直线附近，用公式求a、b并写出线性回归方程；(3)根据线性回归方程对总体进行预测．[随堂训练]对应学生用书第18页1．根据如下样本数据x 345678y 4.0 2.5－0.50.5－2.0－3.0A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0解析：画出散点图，知a>0，b<0.答案：B2．下图各选项中的两个变量具有相关关系的是()解析：选项A、C中变量x与变量y之间是确定的函数关系，选项D中，点不在某条直线附近波动，因此两变量非线性相关，而点也不在某条曲线附近波动，故两变量不具有相关关系．选项B中所有点都在某条直线附近波动，故选B.答案：B3．已知高三学生高考成绩y(单位：分)与高三期间有效复习时间x(单位：天)正相关，且回归直线方程是y＝3x＋50.若期望甲同学高考成绩不低于500分，那么他的有效复习时间应不低于________天．解析：由3x＋50≥500，得x≥150.答案：1504．某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70(1)画出散点图；(2)如果x 与y 具有线性相关关系，求线性回归方程，并说明b 的意义． 解析：(1)散点图如图所示．(2)由散点图知x 与y 具有线性相关关系．x －＝5，y －＝50，∑5i ＝1x i y i ＝1 380，∑5i ＝1x 2i ＝145， 所以b ＝∑5i ＝1x i y i －5x －y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5，a ＝y －－bx －＝50－6.5×5＝17.5. 所求线性回归方程为y ＝6.5x ＋17.5.b 表示广告费每增加100万元，销售额平均增加650万元．。
2017-2018学年高中数学 第1章 统计 8 最小二乘估计教学案
8 最小二乘估计[核心必知］1．回归直线如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线．2．最小二乘法求线性回归方程y＝bx＋a时，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫作最小二乘法．其中a，b的值由以下公式给出：错误!a，b是线性回归方程的系数．［问题思考]1．任给一组数据，我们都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？提示：用最小二乘法求回归直线的方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系（可利用散点图判断）．否则求出的线性回归方程是无意义的．2．线性回归方程是否经过一定点?提示:线性回归方程恒过定点(错误!，错误!）．讲一讲1.下表是某旅游区游客数量与平均气温的对比表：［尝试解答] 错误!＝错误!＝错误!，错误!＝错误!＝错误!，x21＋x错误!＋…＋x错误!＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1 286，x1y1＋x2y2＋…＋x6y6＝－20＋96＋340＋13×38＋18×50＋26×64＝3 474。
b＝错误!＝错误!≈1。
68，a＝错误!－b错误!≈18.73，即所求的线性回归方程为y＝1.68x＋18。
73。
求线性回归方程的步骤(1）画出散点图,判断其具有相关关系；（2)计算错误!，错误!，错误!x错误!＝x错误!＋x错误!＋…＋x错误!,错误!x i y i＝x1y1＋x2y2＋…＋x n y n.（3)代入公式b＝错误!，a＝错误!－b错误!；（4）写出线性回归方程y＝bx＋a。
练一练1．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,得下表数据：已知记忆力x和判断力y是线性相关的，求线性回归方程．解：错误!＝错误!＝9，错误!＝错误!＝4，a＝错误!－b错误!＝4－0。
7×9＝－2.3。
则所求的线性回归方程为y＝0.7x－2。
3.讲一讲2。
某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y（单位:百万元）之间有如下对应数据：（1)画出散点图；(2）求线性回归方程；(3）预测当广告费支出为7百万元时的销售额．［尝试解答] (1)(2）从散点图可以发现，y与x具有线性相关关系,利用计算器求得:错误!＝5，错误!＝50，错误!x错误!＝145,错误!x i y i＝1 380，设回归方程为y＝bx＋a，则b＝错误!＝错误!＝6.5，a＝错误!－b错误!＝50－6.5×5＝17。
高中高三数学《最小二乘法》教案、教学设计
a.作业难度适中，既要涵盖基础知识的巩固，也要涉及一定程度的拓展和提高。
b.鼓励学生在完成作业过程中，积极思考、主动探究，培养解决问题的能力。
c.注重培养学生的数学表达和写作能力，要求学生在解题报告中清晰阐述思路和方法。
3.作业布置要求：
a.学生按时完成作业，保持字迹工整，书写规范。
3.介绍相关系数的概念和意义，通过实例讲解，让学生理解相关系数如何衡量两个变量之间的线性关系。
4.针对本节课的重点和难点，采用举例、讲解、练习等多种教学方法，帮助学生理解和掌握最小二乘法。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，每组选择一个实际问题，如身高与体重的关系、温度与用电量的关系等，运用最小二乘法进行分析。
b.鼓励学生在完成作业时，互相讨论、交流，共同解决问题。
c.教师在批改作业时，要关注学生的解题过程，及时发现学生的错误和薄弱环节，并进行针对性的指导。
4.作业评价：
a.作业评价以鼓励为主，关注学生的进步，提高学生的自信心。
b.对于学生在作业中表现出的创新思维和优秀成果，教师要给予充分肯定和表扬。
c.针对学生在作业中的共性问题，教师要及时进行讲解和辅导，确保学生掌握本节课的内容。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.最小二乘法的推导及其在实际问题中的应用是本章节的教学重点。学生需要理解最小二乘法的原理，掌握其计算步骤，并能运用该方法解决实际问题。
2.相关系数的理解和计算是教学难点。学生对相关系数的概念及其在实际问题中的应用容易产生混淆，需要教师进行详细讲解和引导。
3.数学建模能力的培养是本章节的另一个重点。学生需要学会从实际问题中抽象出数学模型，运用最小二乘法求解，并分析结果。
陕西省宁强县天津高级中学高二数学学案
使用说明：1、认真阅读课本79-80页内容，理解圆的一般方程；2、阅读课本并结合例3和例4并训练完成第1、2、3、4题；3、结合前面训练题并阅读课本，思考交流完成合作探究题型。
学习目标：1、通过1、2、3、4题掌握圆的一般方程及二元二次方程表示圆的条件；2、通过5、6、7题掌握方程与曲线的关系及圆方程的求法。
3、通过8、9、10、11题巩固基本知识。
重 点：二元二次方程表示圆的条件。
难 点：圆的一般方程方程的求法。
复习回顾：1、圆的标准方程： ，圆心 ，半径 。
2、点与圆的位置关系：① ② ③知识梳理：1、圆的标准方程展开，写成二元二次方程的一般形式为 。
2、圆的一般方程的定义：当 时，称二元二次方程 为圆的一般方程。
其特点：① ② ③ 。
3、方程022=++++F Ey Dx y x 表示的图形 方程 条件图形 022=++++F Ey Dx y x不表示任何图形表示 表示以 为圆心，以为半径的圆 ◆效果检测◆【★】1、圆036422=--++y x y x 的圆心和半径分别为 ， 。
【★】2、若方程052422=++-+k y x y x 表示圆，则k 的取值范围是 。
【★★】3、经过点)4,0()0,2()0,0(B A O ，，的圆的一般方程是 。
【★★】4、如果圆的方程为02222=++++k y kx y x ，那么当圆面积最大时，圆心坐标为 。
二、合作探究【★★】5、已知方程0)1(0)1(222222=-++=-+y x x y x x和，则它们的图形分别是什么？【★★】6、已知圆过两点)3,1(),1,3(-B A ,且它的圆心在直线023=--y x 上，求圆的方程。
【★★★】7、已知圆过点)2,3(),4,1(-B A ，且圆心到直线AB 的距离为10，求圆的方程。
三、课堂检测◆巩固练习◆【★】8、课本80页练习1。
【★★】9、方程0222=++-+m y x y x 表示一个圆，则m 取值范围为 。
陕西高中数学必修三第一章统计电子备课1.8最小二乘估计
（3）什么是线性相关？（4）观察下面人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？（5）什么叫作回归直线？（6）如何求回归直线的方程？什么是最小二乘法？活动：学生回顾,再思考或讨论,教师及时提示指导.讨论结果：（1）建立相应的平面直角坐标系,将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫作散点图.（2）如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（3）如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系.（4）大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈正相关的趋势,我们可以从散点图上来进一步分析.（5）从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫作回归直线.如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程),那么我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表.（6）从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分布在通过散点图中心的一条直线.那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢?引出:最小二乘法.实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距离最小”.人们经过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=-=-++-++=.,,.,21212222212211nyyyynxxxxx byax nxxxy x nyxyxyxbnnnnnΛΛΛΛ其中①这样得到的直线方程y=a+bx称为线性回归方程,a,b是线性回归方程的系数.推导以上公式的计算比较复杂，这里不作推导.但是,我们可以解释一下得出它的原理.假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n)，且所求回归方程是y=a+bx,其中a、b是待定参数.当变量x取x i(i=1,2,…,n)时可以得到y=a+bx i(i=1,2,…,n),它与实际收集到的y i之间的偏差是y i-y=y i-(a+bx i)(i=1,2,…,n).这样，用这n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.由于（y i-y）可正可负，为了避免相互抵消，可以考虑用∑=-niiyy1||来代替，但由于它含有绝对值，运算不太方便，所以改用Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(y n-bx n-a)2②来刻画n个点与回归直线在整体上的偏差.这样，问题就归结为：当a,b取什么值时Q最小，即总体偏差最小.经过数学上求最小值的运算，a,b的值由公式①给出.通过求②式的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫作最小二乘法.应用示例例1 某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天气温(x)之间是线性相关的.数据如下表：气温(x i)/℃26 18 13 10 4 -1 杯数20 24 34 38 50 64(1)试用最小二乘法求出线性回归方程.(2)如果某天的气温是-3 ℃,请预测这天可能会卖出热茶多少杯.例1 给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线的方程.知能训练1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（）A.角度和它的余弦值B.正方形边长和面积C.正ｎ边形的边数和它的内角和D.人的年龄和身高2.三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是（）。
一元线性回归模型参数的最小二乘估计(第1课时)-高二数学同步备课(人教A版2019选择性必修第三册)
(4) 将结果代入公式bˆ
i 1 4
,求bˆ ；
xi2 4x2
i 1
(5) 用aˆ y bˆx,求aˆ ；
(6) 写出回归方程 .
环节四：辨析理解，深化概念
残差分析：
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方 程得到的y称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误
160
父亲身高/cm
160
165Biblioteka 170175180
185
图8.2-3
环节二：观察分析，感知概念
还有的同学会想，在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些 直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距如图8.2-4所示． 同学们不妨去实践一下，看看这些方法是不是真的可行．
这里的经验回归方程yˆ 0.839x 28.957,其斜率可以解释为父亲身高 每增加1 cm,其儿子身高平均增加0.839 cm. 分析模型还可以发现, 高 个子父亲有生高个子儿子的趋势, 但一群高个子父亲的儿子们的平均 身高要低于父亲们的平均身高, 例如
x 185 (cm), 则yˆ 184．172 (cm); 矮个子父亲有生矮个子儿子的趋势, 但一群矮个子父亲的儿子们的平 均身高要高于父亲们的平均身高, 例如
对于表8.2 1中的数据,利用公式(2)可以计算出b 0.839, aˆ 28.957, 得到儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程为yˆ 0.839x 28.957, 相应的经验回归直线如图8.2 6所示.
儿子身高/cm
190
185
180
175
170
165
160
160
165
yˆ 0.839x 28.957
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A．y平均增加1.2个单位B．y平均增加3个单位
C．y平均减少1.2个单位D．y平均减小3个单位
总结一：注意函数关系和相关关系的区别和联系。
总结二:相关关系的类型：线性相关、非线性相关、不相关。
总结三：最小二乘这一思想方法，是为了较好的刻画两个变量之间的线性关系，利用得到的线性回归方程，对总体进行估计，并进行预测。
2、若两个变量x和y的所有点看上去________________________，则称变量间是线性相关的，此时，我们可以用一条直线来近似．
若所有点看上去________________________________，则称此相关为非线性相关的．此时，可以用一条曲线来拟合．如果所有的点在散点图中____________________，则称变量间是不相关的．
3、最小二乘法与线性回归方程
如果有n个点：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：
[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2.
使得上式达到________的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为____________。
x
29
28
28.5
29.5
30
31
30
29
y
500
510
504
494
493
485
492
498
(1)对变量y与x作出散点图；(2)若y与x具有线性相关关系，求线性回归方程；(3)预测产量x＝25千件时的单位成本．
总结：判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图。根据散点图，可以很容易的看出两个变量之间是否具有相关关系，是不是线性相关，若是，进而用最小二乘法得到线性回归方程。
相关性及最小二乘估计(A)
【学习目标】1、通过收集现实问题中两个有关联变量的数据，作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。2．经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。
【学习重点】：理解散点图的画法及在统计中的作用，回归直线方程的求解方法。
如果用 表示 ，用 表示 ，则可以求得
b＝ ＝ 。a＝________。
这样得到的直线方程称为线性回归方程，a，b是线性回归方程的系数。
二、效果检测
【★】1、下列两变量中具有相关关系的是()
A．角度和它的余弦值B．正方形的边长和面积
C．人的年龄与身高D．人的身高和体重
【★】2、某地农业技术指导站的技术员，经过在7块并排大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据：(单位：千克)
【学习难点】：根据线性回归方程系数公式求线性回归方程。
学法点拨
初来乍到
及时总结
1、请认真研读课本p46-59的内容，然后根据自己理解回答学案上列出的问题，初步感知本课题知识构成.
2、独立自主尝试完成学案上提供的测评题目.
一、自主学习，建构新知
1、散点图
在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将________________描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．
学法指导
学以致用
及时总结
认真审题，结合本节课的学习内容，检查自己的学习效果，以及对知识的掌握程度．
【★★】7、下列有关线性回归的说法，不正确的是()
A．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图
C．线性回归方程最能代表观测值x、y之间的线性关系
D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程
【★★】8、已知线性回归方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为________．
我的收获：
我的疑惑:
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y
330
345
365
405
4Байду номын сангаас5
450
455
施化肥量x和水稻产量y是否具有相关关系？
【★★】3、命题：①路程与时间、速度的关系是相关关系；
②同一物体的加速度与作用力是函数关系；③产品的成本与产量之间的关系是函数关系；④圆的周长与面积的关系是相关关系；⑤广告费用与销售量之间的关系是相关关系．其中正确的命题序号是________．
探究策略
能力挑战
及时总结
请认真阅读题目，每组C级生规范展示，B级生讲解，声音洪亮，重在思路分析，A级生重在规律方法的总结，以及对本组学生的指导．
【★】5、5个学生的数学和物理成绩如下表：
学生
学科
A
B
C
D
E
数学
80
75
70
65
60
物理
70
66
68
64
62
画出散点图，并判断它们是否有相关关系．
【★★】6、某厂某产品的产量x(单位：千件)与单位成本y(单位：万元/千件)的对应数据如下：