高中数学1.4柱坐标系与球坐标系简介教案新人教版选修4-4
1.4.2球坐标系 课件(人教A选修4-4)
坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐 标，记作 P(r，φ，θ) ，其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π .
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(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之 间的变换关系为
cos x＝rsin φ· θ . sin y＝rsin φ· θ z＝rcos φ.
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3．求下列各点的球坐标： (1)M(1， 3，2)；(2)N(－1,1，－ 2)．
解：(1)r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋ 32＋22＝2 2， z 2 2 由 z＝rcos φ 得 cos φ＝r＝ ＝ . 2 2 2 π ∴φ＝ ， 4 y 3 又 tan θ＝x＝ ＝ 3，x>0，y>0， 1 π ∴θ＝ ， 3 π π ∴它的球坐标为(2 2， ， )． 4 3
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球坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系O xyz，设P是空间任意一 点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所 转过的最小正角θ.这样点P的位置就可以用有序数组 (r，φ，θ) 表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间 建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球
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(2)由变换公式得： r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋12＋ 22＝2. z 2 由 z＝rcos φ 得：cos φ＝r＝－ . 2 3π ∴φ＝ . 4 y 1 又 tan θ＝x＝ ＝－1.x＜0，y＞0. －1 3π ∴θ＝ . 4 3π 3π ∴它的球坐标为(2， ， )． 4 4
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2．将M的球坐标(π，π，π)化成直角坐标． 解：∵(r，θ，φ)＝(π，π，π)，
1.4.2球坐标系 课件(人教A选修4-4)
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2．将M的球坐标(π，π，π)化成直角坐标． 解：∵(r，θ，φ)＝(π，π，π)，
∴x＝rsin θcos φ＝0，
y＝rsin θsin φ＝0， z＝rcos θ＝－π. ∴点M的直角坐标为(0,0，π).
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[例 2]
设点 M 的直角坐标为(1,1， 2)，求它的球坐标． 直接套用坐标变换公式求解．
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3．求下列各点的球坐标： (1)M(1， 3，2)；(2)N(－1,1，－ 2)．
解：(1)r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋ 32＋22＝2 2， z 2 2 由 z＝rcos φ 得 cos φ＝r＝ ＝ . 2 2 2 π ∴φ＝ ， 4 y 3 又 tan θ＝x＝ ＝ 3，x>0，y>0， 1 π ∴θ＝ ， 3 π π ∴它的球坐标为(2 2， ， )． 4 3
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(2)由变换公式得： r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋12＋ 22＝2. z 2 由 z＝rcos φ 得：cos φ＝r＝－ . 2 3π ∴φ＝ . 4 y 1 又 tan θ＝x＝ ＝－1.x＜0，y＞0. －1 3π ∴θ＝ . 4 3π 3π ∴它的球坐标为(2， ， )． 4 4
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由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点 M 的球坐标 x＝rsin φcos θ， 为(r，φ，θ)，再利用变换公式y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ，
2 2 2 2
求出 r、θ、
y φ 代入点的球坐标即可； 也可以利用 r ＝x ＋y ＋z ， θ＝x， tan z cos φ＝r.特别注意由直角坐标求球坐标时， 和 φ 的取值应首 θ 先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．
坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐 标，记作 P(r，φ，θ) ，其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π .
人教版高中数学选修4-4--第一讲-坐标系-1.4--柱坐标系与球坐标系简介ppt课件
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
新人教A版高二数学选修4-4第一章坐标系 1.4 柱坐标系与球坐标系_1
Q
叫做球坐标系 (或空间极坐标系) .
有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标，
其中 r 0, 0 , 0 2
空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标 (r,φ,θ)之间的变换关系为
x r sin cos
y
r
sin
sin
z
P(r,φ,θ)
z r cos
oφ r θ
y
x
Q
设点的球坐标为(2，3 ，3 )，求
s
in
z z
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它
在柱坐标系中的坐标.
1 cos
1 sin
1 z
解得ρ=
2，θ=
4
点在柱坐标系中的坐标为
（ 2 ， ，1）.
4
注：求θ时要注意角的终边与点的
射影所在位置一致
给定一个底面半径为r，高为h的圆 柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述 圆柱侧面以及底面上点的位置.
z
注：坐标与点的位置有关 o
x
y
练习：
1、设点M的直角坐标是(1, 3,3),则它的柱 坐标是？
(2, 4 ,3)
3
2、设点M的柱坐标为(2, ,7),求它的直角坐标。
6
( 3,1,7)
阅读课本P18 了解球坐标系的概念以及在球坐标 系中点的确定
z 设P是空间任意一点，
P(r,φ,θ)
在oxy平面的射影为Q， 连接OP，记| OP |=r，
阅读课本P16---17 了解柱坐标系的定义, 以及如何用 柱坐标系描述空间中的点.
设P是空间任意一点， 在oxy平面的射影为Q，
z P(ρ,θ,Z)
用(ρ,θ)(ρ≥0,
0≤θ＜2π)表示点Q o 在平面oxy上的极坐标， θ
高中数学 第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介学案 新人教A版选修4-4
四 柱坐标系与球坐标系简介1．借助具体实例了解柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法． 2．与空间直角坐标系中刻画点的位置方法相比较，体会它们的区别与联系．1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标．这时点P 的位置可用有序数组________(z ∈R )表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作________，其中________________________．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为__________ 【做一做1－1】 设点P 的直角坐标为(1,1,3)，则它的柱坐标是__________． 【做一做1－2】 柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是________． 2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角θ.这样点P 的位置就可以用有序数组________表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作__________，其中______________________．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为______________在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P (r ，φ，θ)的方位角，π2－φ称为高低角．【做一做2】 已知点M 的球坐标为(4，π4，3π4)，则它的直角坐标是______，它的柱坐标是______．答案：1．(1)(ρ，θ，z ) P (ρ，θ，z ) ρ≥0，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .【做一做1－1】 (2，π4，3) 【做一做1－2】 以Oz 轴所在直线为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆柱侧面 2．(1)(r ，φ，θ) P (r ，φ，θ) r ≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.【做一做2】 (－2,2,22) (22，3π4，22)1．空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别剖析：它们都是三维的坐标，球坐标与柱坐标都是在空间直角坐标基础上建立的． 在直角坐标中，我们需要三个长度x ，y ，z ，而在柱坐标与球坐标中，我们需要长度，还需要角度．它们是从长度、方向来描述一个点的位置，需要ρ，θ，z 或者r ，φ，θ.空间直角坐标：设点M 为空间一已知点．我们过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴、z 轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为P ，Q ，R ，这三点在x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为x ，y ，z .于是空间的一点M 就惟一地确定了一个有序数组x ，y ，z .这组数x ，y ，z 就叫做点M 的坐标，并依次称x ，y 和z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标(如图所示)．坐标为(x ，y ，z )的点M 通常记为M (x ，y ，z )．这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M 和有序数组(x ，y ，z )之间的一一对应关系．如果点M 在yOz 平面上，则x ＝0；同样，zOx 面上的点，y ＝0；如果点M 在x 轴上，则y ＝z ＝0；如果M 是原点，则x ＝y ＝z ＝0等．几种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化，都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同．2．建立空间坐标系的方法剖析：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等．坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化．不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题．当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系． 有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题．有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系．题型一 直角坐标与柱坐标的互化【例1】 设点M 的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标．分析：把直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求出ρ，θ即可．反思：由直角坐标求柱坐标，可以先设出点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ；也可以利用ρ2＝x 2＋y 2求ρ，利用tan θ＝yx求θ，在求θ时，要特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．题型二 直角坐标与球坐标的互化【例2】 已知点M 的球坐标为(2，3π4，3π4)，求它的直角坐标．分析：利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求解，其中r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，tan θ＝yx. 反思：由直角坐标求球坐标时，可先设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x，cos φ＝zr来求．需要特别注意的是在求φ和θ时，要先弄清楚点M 所在的位置． 题型三 求空间一点的坐标【例3】 一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来．反思：找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度．题型四 柱坐标系、球坐标系的应用【例4】 已知点P 1的球坐标是P 1(23，π3，π4)，P 2的柱坐标是P 2(6，π6，1)，求|P 1P 2|.分析：可把两点坐标均化为空间直角坐标，再用空间两点间的距离公式求距离．反思：柱坐标及球坐标问题可以统一化为直角坐标问题来解决． 题型五 易错辨析【例5】 设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标． 错解：点M 的球坐标为(2，2，2)．答案：【例1】 解：设点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z ＝1，解之得ρ＝2，θ＝π4.因此，点M 的柱坐标为(2，π4，1)．【例2】 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin3π4cos 3π4＝2×22－22＝－1，y ＝2sin 3π4sin 3π4＝2×22×22＝1，z ＝2cos 3π4＝－22＝－ 2.∴点M 的直角坐标为(－1,1，－2)．【例3】 解：以圆形体育场中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为203 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此我们可以用柱坐标来表示点A 的准确位置．∴点A 的柱坐标为(203，17π16，2.8)．【例4】 解：设P 1的直角坐标为P 1(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝23sin π3cos π4＝322，y 1＝23sin π3sin π4＝322，z 1＝23cos π3＝3，∴P 1的直角坐标为(322，322，3)．设P 2的直角坐标为P 2(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6cos π6＝322，y 2＝6sin π6＝62，z 2＝1，∴P 2的直角坐标为(322，62，1)．∴|P 1P 2|＝0＋322－622＋3－2＝30－102. 【例5】 错因分析：球坐标和柱坐标与直角坐标互化的公式记忆混淆，错用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .正解：∵r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋22＝2，z ＝r cos φ＝2，∴cos φ＝22.∴φ＝π4. 又∵tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π4.∴点M 的球坐标为(2，π4，π4)．1在空间直角坐标系Oxyz 中，方程x ＝1表示( )．A ．点B ．直线C ．平面D ．以上都不对 2在空间球坐标系中，方程r ＝2(0≤φ≤2π，0≤θ＜2π)表示()． A ．圆 B ．半圆 C ．球面 D ．半球面 3点M 的直角坐标为1，－2)，则它的球坐标为( )．A．3,)46ππ B．,)46ππ C．,)43ππ D ．3,)43ππ4空间点P 的柱坐标为(6，3π，4)，则点P 关于z 轴的对称点为________． 5把下列用柱坐标表示的各点用直角坐标表示出来．(1)(2,0，－2)；(2)(π，π，π)6把下列用球坐标表示的各点用直角坐标表示出来． (1)(2，,63ππ)；(2)(2，7,44ππ)．答案：1．C 由空间点的直角坐标的定义知，方程x ＝1表示与x 轴垂直且到原点的距离为1的平面．2．D 由空间点的球坐标的定义可知，方程r ＝2(0≤φ≤2π，0≤θ＜2π)表示半球面． 3．A 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，则sin cos ,1sin sin ,2cos ,r r r ϕθϕθϕ==⎨⎪-=⎩解得3,4.6r πϕπθ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩4．(6，43π，4) 5．解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(ρ，θ，z )＝(2,0，－2)，∴2cos 02,sin 00,2,x y z ==⎧⎪==⎨⎪=-⎩∴(2,0，－2)为所求点的直角坐标． (2)∵(ρ，θ，z )＝(π，π，π)，∴cos ,sin 0,,x y z ππππππ==-⎧⎪==⎨⎪=⎩∴(－π，0，π)为所求点的直角坐标． 6．解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )．(1)∵(r ，φ，θ)＝(2，,63ππ)，∴1sin cos 2sin cos ,632sin 2sin sin 63cos 2cos 6x r y r z r ππϕθππϕθπϕ⎧===⎪⎪⎪===⎨⎪⎪===⎪⎩∴1(2为所求点的直角坐标．(2)∵(r，φ，θ)＝(2，7,44ππ)，∴7sin cos2sin cos1,447sin sin2sin sin1,44cos2cos4x ry rz rππϕθππϕθπϕ⎧===⎪⎪⎪===-⎨⎪⎪===⎪⎩∴(1，－1为所求点的直角坐标．。
山西省太原名校数学(人教A)选修4-4学案 1.4.2球坐标系
选修4-4 第一讲 坐标系1.4.2 球坐标系【学习目标】记住在柱球坐标系中刻画空间中点的位置的方法； 掌握球坐标与直角坐标中点坐标的互化。
通过本节的学习，体会数学学习在航空航天中的实际运用。
培养学生学习数学的兴趣。
【情境链接】写出空间两点的距离公式。
【文本研读】1．阅读范围： 选修4—4柱坐标系与球坐标系简介：柱坐标系P17---P18。
2．学习要求： 体会柱坐标系的建立；对条件的限制在实际运用中能注意到；记住转换公式。
3．知识拓展： 了解航天器定位的相关知识。
【问题探究】问题1.写出球坐标系的定义。
（特别要注意条件）问题2.写出空间点P 的直角坐标系（x,y,z ）与球坐标)θϕ，，（r 之间的变换公式。
练习1.点A 的球坐标是)4,4,2(ππ，则它的直角坐标是什么？练习2.点B 的直角坐标是)222,2(，-，则它的球坐标是什么？问题3.写出方位角和高低角的定义: 方位角： 高低角：【实战演练】（要求：严格进行板书）1.将下列各点的球坐标化为直角坐标：)23,,5(),35,2,4(ππππB A .2.将下列各点的直角坐标化为球坐标：)24,0,24(),6,1,1(--N M .3.在球坐标系中， )4,6,3(ππP 与)43,6,3(ππQ 两点间的距离是多少？4.球坐标满足方程3=r 的点所构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方程.5.点M 的球坐标是)65,3,8(ππ，则它的直角坐标是多少？6.在球坐标系中，)6,4,4(ππM 与)32,4,4(ππN 两点间的距离是多少？。
人教版高中数学选修4-4教材用书第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介 2.球坐标系 Word版含答案
．球坐标系球坐标系()定义：建立空间直角坐标系，设是空间任意一点，连接，记＝，与轴正向所夹的角为φ.设在平面上的射影为，轴按逆时针方向旋转到时所转过的最小正角为θ.这样点的位置，)φ就可以用有序数组表示．这样，空间的点与有序数组(，θ之间建立了一种(θ)φ，，对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(，φ，，θ)φθ)叫做点的球坐标，记作(，，其中θ≥π.≤＜≤φ≤π，()空间点的直角坐标(，，)与球坐标(，φ，θ)之间的变换关系为(\\(＝φθ，＝φθ，＝φ.))直接套用变换公式求解．由变换公式，得＝φθ＝＝.＝φθ＝＝.＝φ＝＝－.∴它的直角坐标为(，－)．已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求得，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.．求下列各点的直角坐标：()；().解：()由变换公式，得＝φθ＝＝，＝φθ＝＝，＝φ＝＝.∴它的直角坐标是.()由变换公式，得＝φθ＝＝－.＝φθ＝＝－.＝φ＝＝－.∴它的直角坐标为.．将点的球坐标(π，π，π)化成直角坐标．解：∵(，φ，θ)＝(π，π，π)，∴＝φθ＝，＝φθ＝，＝φ＝－π.∴点的直角坐标为(，－π).直接套用坐标变换公式求解．由坐标变换公式，可得＝＝＝.由φ＝＝，得φ＝＝，φ＝.又θ＝＝，θ＝(在第一象限)，从而知点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点的球坐标为(，φ，θ)，再利用变换公式(\\(＝φθ，＝φθ，＝φ，))求出，θ，φ代入点的球坐标即可；也可以利用＝＋＋，θ＝，φ＝.特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．．求下列各点的球坐标：()(，，)；()(－，－)．解：()＝＝＝，由＝φ，得φ＝＝＝.∴φ＝，又θ＝＝＝，>，>，。
1.4.2球坐标系 课件(人教A选修4-4)
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(2)由变换公式得： r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋12＋ 22＝2. z 2 由 z＝rcos φ 得：cos φ＝r＝－ . 2 3π ∴φ＝ . 4 y 1 又 tan θ＝x＝ ＝－1.x＜0，y＞0. －1 3π ∴θ＝ . 4 3π 3π ∴它的球坐标为(2， ， )． 4 4
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(2)由变换公式得： 3π 7π 6 x＝rsin φcos θ＝2sin cos ＝－ . 4 6 2 3π 7π 2 y＝rsin φsin θ＝2sin sin ＝－ . 4 6 2 3π z＝rcos φ＝2cos ＝－ 2. 4 6 2 ∴它的直角坐标为(－ ，－ ，－ 2)． 2 2
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由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点 M 的球坐标 x＝rsin φcos θ， 为(r，φ，θ)，再利用变换公式y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ，
2 2 2 2
求出 r、θ、
y φ 代入点的球坐标即可； 也可以利用 r ＝x ＋y ＋z ， θ＝x， tan z cos φ＝r.特别注意由直角坐标求球坐标时， 和 φ 的取值应首 θ 先看清点所在π π 已知点 P 的球坐标为(4， ， )求它的直角坐标． 4 4 直接套用变换公式求解．
[思路点拨]
[解]
由变换公式得：
3π π x＝rsin φcos θ＝4sin cos ＝2. 4 4 3π π y＝rsin φsin θ＝4sin sin ＝2. 4 4 3π z＝rcos φ＝4cos ＝－2 2. 4 ∴它的直角坐标为(2,2，－2 2)．
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3．求下列各点的球坐标： (1)M(1， 3，2)；(2)N(－1,1，－ 2)．
解：(1)r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋ 32＋22＝2 2， z 2 2 由 z＝rcos φ 得 cos φ＝r＝ ＝ . 2 2 2 π ∴φ＝ ， 4 y 3 又 tan θ＝x＝ ＝ 3，x>0，y>0， 1 π ∴θ＝ ， 3 π π ∴它的球坐标为(2 2， ， )． 4 3
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四柱坐标系与球坐标系简介
课题：球坐标系与柱坐标系
教学目的：
知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐 标之间的变换公式。
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系
教学难点：利用它们进行简单的数学应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学•
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？
学生回顾
在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法
极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理
二、讲解新课：
1、球坐标系
设P 是空间任意一点，在 oxy 平面的射影为 Q,连接OR 记| OP |= r ，OP 与0Z 轴正 向所夹的角为 ，P 在oxy 平面的射影为 Q, Ox 轴按逆时针方向旋转到 0Q 时所转过的最小 正角为 ，点P 的位置可以用有序数组 （r,,）表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫
球坐标系（或空间极坐标系）
有序数组（r,,）叫做点P 的球坐标，其中 空间点P 的直角坐标（x, y, z ）与球坐标（r, 2 x 2 y 2 2 z r
x rsi n cos
y r si n sin
z r cos
2、柱坐标系
有序数组（p , 9 ,Z ）叫点P 的柱坐标，其中p 》0, 0 <9 <2n , z € R 空间点P 的直角坐标（x, y, z ）与柱坐标（p , 9 ,Z ）之间的变换关系为：
x cos
y sin
r > 0, 0<
< , o w v 2。
,）之间的变换关系为： 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为 平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组 系叫做柱坐标系 Q 用（P , 9 ）（ P> 0,0 <0 <2n ）表示点在 （p , 9 ,Z ）表示把建立上述对应 关系的坐标
3、数学应用
例1建立适当的球坐标系，表示棱长为1的正方体的顶点.
变式训练
建立适当「的柱坐标系，表示棱长为1的正方体的顶点.
5
例2.将点M的球坐标（8, —,二）化为直角坐标.
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变式训练
1. 将点M的直角坐标（1, 1, ., 2）化为球坐标.
2. 将点M的柱坐标（4, — ,8）化为直角坐标.
3
3. 在直角坐标系中点（a, a, a）（a >0）的球坐标是什么？
例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方程变式训练
标满足方程=2的点所构成的图形是什么？
例4.已知点M的柱坐标为（.2，才,3）,点N的球坐标为⑵才才，求线段MN的长度.
思考：
在球坐标系中，集合M （r, , ）2 r 6,0
体积为多少？
三、巩固与练习
四、小结：
本节课学习了以下内容
：
1 •球坐标系的作用与规则;
2 •柱坐标系的作用与规则。
五、课后作业：教材P15页12, 13, 14, 15 , 16
六、课后反思：本节内容与平面直角坐标和极坐标结合起来，学生容易理解。
但以后少用, 可能会遗忘很快。
需要定期调回学生的记忆。
2 表示的图形的。