2019-2020学年高一数学新教材第二册学案8.5 空间直线、平面的平行(第二课时原卷版)
8.5 空间直线、平面的平行【教学设计】(3课时) -高中数学人教A版新教材2019必修第二册小单元
8.5 空间直线、平面的平行【教学设计】(3课时) -高中数学人教A版新教材2019必修第二册小单元教学+专家指导（视频+课件+教案）教学目标：1.了解空间直线、平面的定义及性质；2.学会判断两条直线、两个平面之间是否平行；3.掌握利用向量方法和解析几何方法判断两条直线、两个平面之间是否平行。
教学重难点：重点：空间直线、平面的平行性质。
难点：利用向量方法和解析几何方法判断两条直线、两个平面之间是否平行。
教学过程：一、引入1. 教师可列举日常生活中的平行例子，让学生感受平行的概念和性质。
2. 调用幻灯片或其他现实例子，演示和解释空间三元组和空间中的直线、平面、点、线段等基本概念。
3. 引入空间直线、平面的定义及性质。
二、讲解1. 空间直线、平面的定义及重要性质。
2. 判断两条直线、两个平面之间是否平行的方法：（1）向量法。
（2）解析几何法。
三、练习1. 给定两条直线，让学生利用向量法判断是否平行。
2. 给定两个平面，让学生利用解析几何法判断是否平行。
四、巩固与评价1. 学生自主讨论、解答教师提出的问题。
2. 教师提出相关题目，让学生巩固练习。
3. 添加一些趣味性小游戏，让学生在轻松愉快的环境中复习巩固知识。
五、课堂小结1. 回顾、总结本节课所学内容。
2. 提醒学生下节课预习内容。
教学评价：本节课通过题目练习，引发学生对空间直线、平面的定义及平行性质的深入思考，并通过生动有趣的小游戏巩固知识点，既加深了学生的理解，又提高了学生的学习兴趣和积极性。
在教学过程中，教师不仅让学生学会了课堂所讲的定义及相关知识点，更重要的是培养了学生的分析能力和判断能力，让学生在学习中得到了更多的思考和成长。
最后，也要提醒学生，要加强对空间直线、平面的学习和理解，掌握相关方法和技巧，不断提升自己的数学素养。
8.5空间直线、平面的平行-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义(机构专用)
8.5 空间直线、平面的平行一、判定定理：定理表示线面平行的判定定理面面平行的判定定理文字叙述平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行符号表示ab aa bααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭aba b Aabαααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪⋂=⇒⎬⎪⎪⎪⎭图形表示二、性质定理：线面平行的性质定理面面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言aa a bbαβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⋂=⎭=a a a bbαβγβγ⎫⎪⋂⇒⎬⎪⋂=⎭知识梳理图形语言作用线面平行⇒线线平行面面平行⇒线线平行题型一线面平行判定例1如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为梯形，//AB CD，4AB=，2CD=，点M在棱PD上. 求证：//CD平面PAB【详解】因为//CD AB，CD⊄平面PAB，AB平面PAB，所以//CD平面PAB；已知三棱柱111ABC A B C-中，1AA⊥平面ABC，BA AC⊥，12AB AA AC===，M为AC中点.证明:直线1//B C平面1A BM【分析】连接1AB交1A B于点O，再证明1//OM B C，得证；巩固练习知识典例【详解】证明：连接1AB 交1A B 于点O ，连接OM ，11A ABB 为平行四边形，O ∴为1AB 的中点，又M 为AC 的中点，1//OM B C ∴.又OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM .1//B C ∴平面1A BM .题型二 面面平行判定例 2 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、11A B 、11A C 的中点.（1）求证：B 、C 、H 、G 四点共面； （2）求证：平面1//EFA 平面BCHG ；（3）若1D 、D 分别为11B C 、BC 的中点，求证：平面11//A BD 平面1AC D . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）证明出//GH BC ，即可证明出B 、C 、H 、G 四点共面；（2）证明//EF BC ，可得//EF 平面BCHG ，证明四边形1A EBG 是平行四边形，可得出1//A E BG ，可证明出1//A E 平面BCHG ，再利用面面平行的判定定理可证明出结论；（3）连接1A C 交1AC 于点M ，可得出1//DM A B ，可证明出//DM 平面11BD A ，证明出四边形11BDC D 为平行四边形，可得出11//C D BD ，可得出1//C D 平面11BD A ，然后利用面面平行的判定定理可证明出结论. 【详解】 （1）GH 是111A B C ∆的中位线，11//GH B C ∴.在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB CC 且11BB CC =，则四边形11BB C C 为平行四边形，11//B C BC ∴，//GH BC ∴，因此，B 、C 、H 、G 四点共面；（2）E 、F 分别为AB 、AC 的中点，//EF BC ∴.EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，//EF ∴平面BCHG .在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB 且11AA BB =，则四边形11AA B B 为平行四边形，11//AB A B ∴且11AB A B =，E 、G 分别为AB 、11A B 的中点，1//AG BE ∴且1AG BE =， ∴四边形1A EBG 是平行四边形，则1//A E BG ，1A E ⊄平面BCHG ，BG ⊂平面BCHG ，1//A E ∴平面BCHG .1A E EF E ∴⋂=，且1A E ⊂平面1EFA ，EF ⊂平面1EFA ，∴平面1//EFA 平面BCHG ；（3）如图所示，连接1A C ，设1A C 与1AC 的交点为M ，连接DM ， 四边形11A ACC 是平行四边形，M ∴是1A C 的中点，D 为BC 的中点，1//A B DM ∴.DM ⊄平面11BD A ，1A B ⊂平面11BD A ，//DM ∴平面11BD A .由（1）知，四边形11BB C C 为平行四边形，则11//BC B C 且11BC B C =，D 、1D 分别为BC 、11B C 的中点，所以，11//BD C D 且11BD C D =，∴四边形11BDC D 为平行四边形，11//C D BD ∴，又1DC ⊄平面11BD A ，1BD ⊂平面11BD A ，1//DC ∴平面11BD A . 又1DC DM D ⋂=，1DC ⊂平面1AC D ，DM ⊂平面1AC D ，∴平面11//A BD 平面1AC D.如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，棱PD 与EC 均垂直于底面ABCD ，2PD EC =，求证：平面//EBC 平面PDA.【答案】见解析 【分析】由正方形的性质得出//BC AD ，可得出//BC 平面PDA ，由线面垂直的性质定理得出//CE PD ，可得出//CE 平面PDA ，再利用面面平行的判定定理可证得结论.【详解】由于四边形ABCD 是正方形，//BC AD ∴，BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，//BC ∴平面PDA ， PD ⊥平面ABCD ，CE ⊥平面ABCD ，//CE PD ，CE ⊄平面PDA ，PD ⊂平面PDA ，//CE ∴平面PDA ，BC CE C =，∴平面//EBC 平面PDA .题型三 性质应用例 3 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过点G 和AP 作平面，交平面BDM 于GH ，点H 在线段BD 上.求证：//AP GH .巩固练习【答案】证明见解析 【分析】连接AC 交BD 于点O ，连接MO ，推导出//MO PA ．从而//AP 平面BMD ．由线面平行的性质定理可证明//AP GH ． 【详解】证明：如图，连接AC ，设AC 交BD 于点O ，连接MO ．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点又M 是PC 的中点，∴//MO PA .又MO ⊂平面BDM ，PA ⊄平面BDM ， ∴//PA 平面BDM又PA ⊂平面PAHG ，平面PAHG ⋂平面BDM GH =， ∴//AP GH ．如图，过正方体1111ABCD A B C D -的顶点1B 、1D 与棱AB 的中点P 的平面与底面ABCD 所在平面的交线记为l ，则l 与11B D 的位置关系为_________.巩固练习【答案】11//l B D 【分析】利用面面平行的性质定理可得出l 与11B D 的位置关系. 【详解】如图所示，连接1D P 、1B P ，在正方体1111ABCD A B C D -中，平面//ABCD 平面1111D C B A ，且平面11B D P 平面111111A B C D B D =，平面11B D P平面ABCD l =，所以11//l B D . 故答案为：11//l B D .题型四 翻折问题例 4 如图甲，在直角梯形ABED 中，//AB DE ，AB BE ⊥，AB CD ⊥，F 、H 、G 分别为AC 、AD 、DE 的中点，现将ACD ∆沿CD 折起，如图乙.求证：平面//FHG 平面ABE .【答案】证明见解析 【分析】分别证明出//FH 平面ABE ，//GH 平面ABE ，然后利用面面平行的判定定理可得出平面//FHG 平面ABE . 【详解】翻折前，在图甲中，AB CD ⊥，AB BE ⊥，//CD BE ∴，翻折后，在图乙中，仍有//CD BE ，F 、H 、G 分别为AC 、AD 、DE 的中点，//FH CD ∴，//HG AE ，//FH BE ∴，BE ⊂平面ABE ，FH ⊄平面ABE ，//FH ∴平面ABE .AE ⊂平面ABE ，HG ⊄平面ABE ，HG ∴//平面ABE .又FH HG H ⋂=，∴平面//FHG 平面ABE .如图，在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，//AD BC ，6AD =，24BC AB ==，E F ，分别在BC ，AD 上，且EF AB ∥，现将四边形ABEF 沿EF 折起，使BE EC ⊥.若1BE =，在折叠后的线段AD 上是否存在一点P ，使得//CP 平面ABEF？若存在，求出APPD的值；若不存在，请说明理由.【答案】存在；32AP PD 【分析】巩固练习存在P ，使得//CP 平面ABEF ，此时32AP PD ，易知35AP AD ，过P 作//MP FD ，与AF 交M ，则35MPFD ，可证四边形MPCE 为平行四边形，得到//CP ME ，因此//CP 平面ABEF 成立． 【详解】在折叠后的线段AD 上存在一点P ，使得//CP 平面ABEF ，此时32AP PD 以下为证明过程： 当32AP PD 时，35AP AD ，过点P 作//MP FD ，交AF 于点M ，连接EM ，则有35MP AP FD AD ==. ∵1BE =，∴5FD ，∴3MP =.又3EC =，////MP FD EC ，四边形MPCE 为平行四边形， ∴//CP ME ，又CP 平面ABEF ，ME ⊂平面ABEF ，∴//CP 平面ABEF 成立.题型五 比值求解例 5 如图所示，已知α，β，γ都是平面，且////αβγ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F . 求证：AB DEBC EF=.【答案】证明见解析 【分析】连接DC ，设DC 与平面β相交于点G ，连,BG GE ，根据面面平行的性质定理，可得//BG AD ，利用三角形相似关系，即可证明结论. 【详解】证明：连接DC ，设DC 与平面β相交于点G ， 则平面ACD 与平面α，β分别相交于直线AD ，BG ， 平面DCF 与平面β，γ分别相交于直线GE ，CF . 因为//αβ，所以//BG AD ，因此CBGCAD ，因此AB DG BC GC =.同理可得DG DE GC EF=.因此AB DEBC EF =.已知：如图，三棱柱111ABC A B C -中，点D ，1D 分别为AC ，11A C 上的点．若平面1BC D 平面11AB D ，求ADDC的值．巩固练习【答案】1【分析】连接1A B 交1AB 于点O ，连接1OD ，由平面1BC D平面11AB D ，得到11BC D O ，由平面1BC D 平面11AB D ，得到11AD DC ，11ADC D 是平行四边形，根据111112D C AC =，得到11111122AD C D AC AC ===，所以得到1AD DC=. 【详解】如图，连接1A B 交1AB 于点O ，连接1OD ．由棱柱的性质，知四边形11A ABB 为平行四边，所以点O 为1A B 的中点．因为平面1BC D 平面11AB D ， 且平面11A BC ⋂平面111AB D D O =，平面11A BC ⋂平面11BC D BC =，所以11BC D O ，所以1D 为线段11A C 的中点，所以111112D C AC =． 因为平面1BC D 平面11AB D ，且平面11AAC C 平面11BDC DC =，平面11AAC C平面111AB D AD =， 所以11AD DC ． 又因为11AD D C ，所以四边形11ADC D 是平行四边形，所以11111122AD C D AC AC ===，所以1AD DC=．1、如图，在四面体A BCD-中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且3AQ QC=求证：//PQ 平面BCD.【答案】证明见解析【分析】取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得3DF FC=，连接OP、OF、FQ，证明出四边形OPQF为平行四边形，可得出//PQ OF，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出//PQ平面BCD.【详解】如下图所示，取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得3DF FC=，连接OP、OF、FQ.3AQ QC=，3AQ DFQC FC∴==，//QF AD∴，且14QF AD=.O、P分别为BD、BM的中点，//OP AD∴，且12OP DM=.M为AD的中点，14OP AD∴=.//OP QF∴且OP QF=，四边形OPQF是平行四边形，//PQ OF∴.PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，//PQ∴平面BCD.巩固提升2、如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、E 、F 、N 分别为11A B 、11B C 、11C D 、11D A 的中点，求证：（1）E 、F 、D 、B 四点共面；（2）平面//AMN 平面EFDB ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用中位线的性质得出11//EF B D ，再证明出11//BD B D ，利用平行线的传递性得出//EF BD ，即可证明出E 、F 、D 、B 四点共面；（2）连接NE 、MF ，证明四边形ABEN 是平行四边形，可得出//AN BE ，利用直线与平面平行的判定定理可证明出//AN 平面EFDB ，同理可证明出//AM 平面EFDB ，最后利用平面与平面平行的判定定理可证明出平面//AMN 平面EFDB ．【详解】（1）E 、F 分别是11B C 、11C D 的中点，11//EF B D ∴，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD ，∴四边形11BB D D 为平行四边形，11//BD B D ∴，//EF BD ∴，因此，E 、F 、D 、B 四点共面；（2）如下图所示，连接NE 、FM ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111//A D B C ，N 、E 分别为11A D 、11B C 的中点，11//A N B E ∴，则四边形11A B EN 为平行四边形，11//NE A B ∴，11//AB A B ，//AB EN ∴，则四边形ABEN 为平行四边形，//AN BE ∴，AN ⊄平面EFDB ，BE ⊂平面EFDB ，//AN ∴平面EFDB ，同理可证//AM 平面EFDB ，AN AM A =，∴平面//AMN 平面EFDB .3、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 、P 分别是棱AB ，11A B 的中点，求证：（1）1AC ∥平面1B CD ；（2）平面1APC 平面1B CD ．【答案】（1）见证明；（2）见证明【分析】（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，证明1OD AC ，再由线面平行的判定可得1AC ∥平面1B CD ；（2）由P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点，证得四边形1ADB P 为平行四边形，得到1AP DB ，进一步得到AP ∥平面1B CD ．再由1AC ∥平面1B CD ，结合面面平行的判定可得平面1APC 平面1B CD ． 【详解】证明：（1）设1BC 与1B C 的交点为O ，连结OD ，∵四边形11BCC B 为平行四边形，∴O 为1B C 中点，又D 是AB 的中点，∴OD 是三角形1ABC 的中位线，则1OD AC ， 又∵1AC ⊄平面1B CD ，OD ⊂平面1B CD ，∴1AC ∥平面1B CD ；（2）∵P 为线段11A B 的中点，点D 是AB 的中点，∴1ADB P 且1AD B P =，则四边形1ADB P 为平行四边形， ∴1AP DB ，又∵AP ⊄平面1B CD ，1DB ⊂平面1B CD ，∴AP ∥平面1B CD ．又1AC ∥平面1B CD ，1AC AP P =，且1AC ⊂平面1APC ，AP ⊂平面1APC ， ∴平面1APC 平面1B CD ．4、已知底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论.【答案】见解析【解析】【分析】连接BD 交AC 于O ，连接OE ，过B 点作OE 的平行线交PD 于点G ，过点G 作GF CE ∥，交PC 于点F ，连接BF ，利用线面平行的判定定理，证得BG 平面AEC ，同理GF 平面AEC ，证得平面BGF ∥平面AEC ，得到BF ∥平面AEC ，进而得到GF CE ∥，即可得到答案．【详解】在棱PC 上存在点F ，使BF ∥平面AEC ，证明：如图所示，连接BD 交AC 于O ，连接OE ，过B 点作OE 的平行线交PD 于点G ，过点G 作GF CE ∥，交PC 于点F ，连接BF ，因为BG OE ∥，BG ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以BG平面AEC ，同理，GF 平面AEC ， 又BG GF G =，所以平面BGF ∥平面AEC ，所以BF ∥平面AEC ，因为BG OE ∥，O 是BD 的中点，所以E 是GD 的中点，又因为:2:1PE ED =，所以G 是PE 的中点，而GF CE ∥，所以F 为PC 的中点，综上可知，当点F 是PC 的中点时，BF ∥平面AEC .5、如图所示，已知四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是矩形，2AB =，1AF =，M 是线段EF 的中点.求证：//AM 平面BDE .【答案】证明见解析【分析】设AC 与BD 的交点为O ，连接OE ，利用线面平行的判定定理，即可证明结果.【详解】证明：如图，记AC 与BD 的交点为O ，连接OE .∵,O M 分别是,AC EF 的中点，四边形ACEF 是矩形，∴//EM OA ，且EM OA =，∴四边形AOEM 是平行四边形，∴//AM OE .又OE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴//AM 平面BDE.6、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M N ，分别是AC 和1BB 的中点.求证：//MN 平面11A B C .【答案】证明见解析【分析】取1A C 的中点D ，由中位线定理和平行线的传递性可证四边形1DMNB 为平行四边形，可得1MN B D ∥，再根据线面平行的判定定理即可证明结果.【详解】证明：取1A C 的中点D ，连接MD ，1B D.∵M ，D 分别为AC ，1A C 的中点，∴1//MD AA 且112MD AA =. 又N 为1B B 的中点，∴11//B N AA 且1112B N AA =， ∴1//MD B N 且1MD B N =，∴四边形1DMNB 为平行四边形，∴1//MN B D .∵MN ⊄平面111A B C B D ⊂，平面11A B C ，∴//MN 平面11A B C .7、如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，1D 为11A C 上的点．当1111A D D C 为何值时，1BC 平面11AB D ？【答案】当11111A D D C =时，1BC 平面11AB D . 【分析】 先由题意，判断出结果；再连接1A B 交1AB 于点O ，连接1OD ，根据线面平行的判定定理，证明1BC 平面11AB D 即可.【详解】当11111A D D C =时，1BC 平面11AB D . 如图，连接1A B 交1AB 于点O ，连接1OD . 由三棱柱的性质知，四边形11A ABB 为平行四边形， 所以点O 为1A B 的中点. 在11A BC 中，1O D ，分别为111A B A C ，的中点， 11OD BC ∴∥.又1OD ⊂平面11AB D ，1BC ⊄平面11AB D ， 1BC ∴∥平面11AB D ， ∴当11111A D D C =时，1BC 平面11AB D .。
8.5空间直线、平面的平行-人教A版高中数学必修第二册(2019版)教案
8.5 空间直线、平面的平行-人教A版高中数学必修第二册（2019版）教案一、教学目标1.了解空间直线与空间平面的平行的概念，掌握平行的判定方法。
2.掌握平面与平面、直线与平面平行的判定方法。
3.能够运用平行的概念和判定方法解决相关数学问题。
二、教学重点1.空间直线与空间平面的平行的概念。
2.平行的判定方法。
3.平面与平面、直线与平面平行的判定方法。
三、教学难点1.掌握平面与平面、直线与平面平行的判定方法。
2.能够灵活运用平行的概念和判定方法解决相关数学问题。
四、教学过程1. 导入环节请同学们在笔记本上用自己的话简要概括一下“平行”的概念。
2. 讲解与练习2.1 空间直线与空间平面的平行•平行的概念：在同一个平面内，两条直线不相交，称这两条直线平行；在空间中，一条直线和一个平面不相交，称这条直线和这个平面平行。
•平行的判定方法：方法1：两条直线平行的充要条件是它们的方向向量成比例。
方法2：一条直线和一个平面平行的充要条件是它们的方向向量分别平行。
•练习：请同学们画出一条直线与一个平面的平行示意图，并根据判定方法给出判断过程。
2.2 平面与平面的平行•平面与平面平行的判定方法：方法1：两个平面如果有公共的一条直线与它们的法向量垂直，则这两个平面平行。
方法2：两个平面如果它们的法向量成比例，则这两个平面平行。
•练习：请同学们画出两个平面的平行示意图，并根据判定方法给出判断过程。
2.3 直线与平面的平行•直线与平面平行的判定方法：方法1：如果一条直线在一个平面上，它的方向向量与这个平面的法向量平行，则这条直线与这个平面平行。
方法2：如果一条直线在一个平面上，这个平面的法向量与直线方向向量的矢量积为零，则这条直线与这个平面平行。
•练习：请同学们画出一条直线与一个平面的平行示意图，并根据判定方法给出判断过程。
3. 思考与讨论请同学们思考以下问题：1.为什么平面和平面的平行可以用法向量来判断？2.同一个平面内的两条直线平行的充要条件是什么？4. 总结与拓展请同学们用自己的话总结本节课讲解的所有内容，并想想还有哪些与这次课程相关的问题可以探讨。
新必修二 8.5空间直线、平面的平行(教案+练习)
8.5空间直线、平面的平行【学习目标】1.掌握直线与平面平行的判定定理；2.掌握两平面平行的判定定理；3．能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理解决相关问题．【要点梳理】要点一、直线与直线平行基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：//a b ，////b c a c ⇒.基本事实4说明平行具有传递性，在平面、空间都适用.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.要点二、直线和平面平行的判定判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.图形语言：符号语言：a α⊄、b α⊂，//a b //a α⇒.要点诠释：（1）用该定理判断直线a 与平面α平行时，必须具备三个条件：①直线a 在平面α外，即a α⊄；②直线b 在平面α内，即b α⊂；③直线a ，b 平行，即a ∥b ．这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．（2）定理的作用将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．要点三、直线和平面平行的性质定理定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行.符号语言：若//a α，a β⊂，b αβ=，则//a b .图形语言：要点诠释：直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a ∥α，αβ⊂，，则a ∥b ．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a 与b 平行时，必须具备三个条件：（1）直线a 和平面α平行，即a ∥α；（2）平面α和β相交，即b αβ=；（3）直线a 在平面β内，即a β⊂．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误．要点四、两平面平行的判定判定定理：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.图形语言：符号语言：若a α⊂、b α⊂，，且//a β、//b β，则//αβ.要点诠释：（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行⇒面面平行．要点五、平面和平面平行的性质定理定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.符号语言：若//αβ，a αγ=，b βγ=，则//a b .图形语言：要点诠释：（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．要点六、平行关系的综合转化空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行．这三种关系不是孤立的，而是互相联系的．它们之间的转化关系如下：证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：空间之中两直线，平行相交和异面．线线平行同方向，等角定理进空间．判断线和面平行，面中找条平行线；已知线和面平行，过线作面找交线．要证面和面平行，面中找出两交线．线面平行若成立，面面平行不用看．已知面与面平行，线面平行是必然．若与三面都相交，则得两条平行线．【典型例题】类型一、直线与直线平行例1．如右图所示，在空间四边形ABCD （不共面的四边形称为空间四边形）中，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）如果AC=BD ，求证：四边形EFGH 是菱形．例2．如右图所示，△ABC 和△'''A B C 的对应顶点的连线AA ＇，BB ＇，CC ＇交于同一点D ，且2'''3AO BO CO OA OB OC ===．（1）求证：//''AB A B ，//''AC A C ，//''BC B C ； （2）求'''ABC A B C S S ∆∆的值．【总结升华】“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广，但平面几何中的“如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补”推广到空间中就不成立．因此，我们必须慎重地类比推广平面几何中的相关结论．在运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的途径有二：一是判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；二是判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补．举一反三：【变式1】 已知E 、E 1分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AD 、A 1D 1的中点．求证：∠BEC=∠B 1E 1C 1．类型二、直线与平面平行的判定例3．已知AB ，BC ，CD 是不在同一平面内的三条线段，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CD 的中点，求证：AC//平面EFG ， BD//平面EFG ．【总结升华】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是：（1）在平面内寻找直线的平行线；（2）证明这两条直线平行；（3）由判定定理得出结论．例4．已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一个平面内，P 、Q 分别为对角线AE 、BD 上的点，且AP=DQ ，如右图．求证：PQ ∥平面CBE ．【总结升华】证线面平行，需证线线平行，寻找平行线是解决此类问题的关键．举一反三：【变式1】在正方体1111ABCD A B C D 中，1O 是正方形1111A B C D 的中心，求证：1//AO 面1BC D ．【变式2】 已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC.【总结升华】要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用．【变式3】如右图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．（1）证明：EF∥平面PAD；（2）求三棱锥E—ABC的体积V．类型三：直线与平面平行的性质定理例5．四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP 作平面交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．【总结升华】利用线面平行的性质定理解题的步骤：（1）确定（或寻找）一条直线平行于一个平面；（2）确定（或寻找）过这条直线且与这个平面相交的平面；（3）确定交线；（4）由定理得出结论．例6．如图所示，已知异面直线AB、CD都平行于平面α，且AB、CD在α的两侧，若AC、BD与α分别交于M、N两点，求证：AM BN MC ND=．【总结升华】利用线面平行的性质定理，可以把有的立体问题转化为平面内的平行问题，利用平行线截割定理，可以解决有关线段成比例或三角形的面积比等问题．在应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，本例通过连接AD作出平面ACD与平面ABD，得到交线MQ和NQ．举一反三：【变式1】已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，平面α平面β=b，求证//a b．类型四、平面与平面平行的判定例7．如右图，已知正方体ABC D —A 1B 1C 1D 1，求证：平面AB 1D 1∥平面BDC 1．【总结升华】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是：（1）在第一个平面内找出（或作出）两条平行于第二个平面的直线；（2）说明这两条直线是相交直线；（3）由判定定理得出结论．例8．如右图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB ．【总结升华】应用判定定理时，一定要注意“两条相交直线”这一关键性条件，问题最终转化为证明直线和直线的平行．举一反三：【变式1】点P 是△ABC 所在平面外一点，123,,G G G 分别是△PBC ，△APC ，△ABP 的重心，求证：面123//G G G 面ABC .【变式2】 如右图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点D ，E 分别是BC 与B 1C 1的中点．求证：平面A 1EB ∥平面ADC 1．【变式3】 已知在正方体''''ABCD A B C D -中 ，M ，N 分别是''A D ，''A B 的中点，在该正方体中作出过顶点且与平面AMN 平行的平面，并证明你的结论．类型五：平面与平面平行的性质定理例9．已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F （如图）．求证：AB DE BC EF =．【总结升华】利用面面平行的性质定理判定两线平行的程序是：（1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两线中的一条；（2）判定这两个平面平行；（3）再找一个平面，使这两条直线都在这个平面内；（4）由定理得出结论．举一反三：【变式1】 已知面α∥平面β，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，直线AB ，CD 交于点S ，且SA=8，SB=9，CD=34．（1）若点S 在平面α，β之间，则SC=________；（2）若点S 不在平面α，β之间，则SC=________． 例10．如图所示，平面α∥平面β，A ，C ∈α，D ∈β，点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE CF EB FD=．求证：EF ∥β．【总结升华】（1）面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面平行的判定与性质的综合运用．解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题．如在本例的第二种情况：面面平行→线线平行→平行四边形→线面平行→面面平行→线面平行．（2）由面面平行的定义可知，一个面内任意一条直线与另一个平行平面都没有交点，因而有面面平行的一个重要性质：两个平行平面中的一个平面内任意一条直线必平行另一个平面，如本例（2）中由平面EFG∥β得出EF∥β，便是这一性质的灵活运用．举一反三：【变式1】四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，点E在PD上，且PE∶ED=2∶1，问在棱PC上能否找到一点F，使BF∥平面AEC？试说明你的看法．类型六：线面平行的判定与性质的综合应用例11．如图所示，已知平面α∥平面β，AB与CD是两条异面直线，且AB⊂α，CD⊂β．如果E，F，G分别是AC，CB，BD的中点，求证：平面EFG∥α∥β．【总结升华】（1）要善于对线线、线面平行的概念、判定和性质进行类比、探索、总结，特别要注意相互转化，使之统一．（2）要能够灵活地作出辅助线和辅助平面来解题，在作辅助线和辅助平面时，必须有理论依据，也就是要以某一定理为依据，切忌主观臆断，随意地作辅助线、辅助平面．举一反三：【变式1】如图所示，已知点P是ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PBC∩平面APD=l．（1）求证：l∥BC；（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．判定【巩固练习】 1．下列说法中正确的是（ ）A ．如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行B ．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行C ．如果一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行D ．如果两个平面平行于同一直线，则这两个平面平行3．已知m ，n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出下列三个命题：①////m m n n ββ⎧⇒⎨⊂⎩；②//m n n m ββ⎧⇒⎨⎩与异面与相交；③//////m n m n αα⎧⇒⎨⎩。
统编人教A版高中必修第二册数学《8.5 空间直线、平面的平行》平面与平面平行的判定 教案教学设计
8.5.3 平面与平面平行第1课时平面与平面平行的判定本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习平面与平面平行的判定定理及其应用。
本节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用,具有重要的意义与地位。
空间中平面与平面之间的位置关系中,平行是一种非常重要的位置关系,它不仅应用较多。
而且是空间问题平面化的典范空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转化为面面平行的方法。
本节课是在前面已经学习空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点,类比直线与平面平行的判定定理探究过程,结合有关的实物模型,通过直观感知操作确认(合情推理),归纳出平面与平面平行的判定定理。
本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用。
1.教学重点：空间平面与平面平行的判定定理；2.教学难点：应用平面与平面平行的判定定理解决问题。
多媒体一、复习回顾，温故知新1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线与平面平行的方法呢? 【答案】（1）定义法；（2）直线与平面平行的判定定理2. 平面与平面有几种位置关系？分别是什么？ 【答案】相交、平行3.怎样判断两平面平行？ 二、探索新知1.思考：若平面α∥β，则α中所有直线都平行β吗？反之，若α中所有直线都平行β ，则α∥β吗？ 【答案】平行，平行探究：如图8.5-11（1）,a 和b 分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图8.5-11（2),c 和d 分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？ 【答案】硬纸片与桌面可能相交，如图，三角尺与桌面平行，如图，平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 .符号表示：βαααββ////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂b a P b a b a通过复习以前所学，引入本节新课。
《8.5 空间直线、平面的平行》直线与直线平行公开课优秀教案教学设计(高中必修第二册)
【新教材】8.5.1 直线与直线平行（人教A版）直线与直线平行是所有平行关系的基础，在初中已经学过平行四边形，中位线与底边等平行关系，本节教材重点介绍了平面的基本事实4,等角定理，对平面中直线与直线的平行关系进一步深化.也为后续线面平行、面面平行打下基础.课程目标1.正确理解基本事实4和等角定理；2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.数学学科素养1.直观想象：基本事实4及等角定理的理解；2.逻辑推理：基本事实4及等角定理的应用.重点：能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.难点：能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行.在空间中，是否也有类似的结论？举例说明.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本133-135页，思考并完成以下问题1、平行于同一条直线的两条直线有什么关系？2、空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角有什么关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.平行线的传递性基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示:a∥b,b∥c⇒a∥c.2.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.四、典例分析、举一反三题型一基本事实4的应用例1如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.【答案】证明见解析.【解析】证明：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，BD.所以EH∥BD，且EH=12BD.同理，FG∥BD，且FG=12所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.解题技巧（证明两直线平行的常用方法）(1)利用平面几何的结论,如平行四边形的对边,三角形的中位线与底边;(2)定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点;(3)利用基本事实4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.跟踪训练一1、如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,若M,N分别是A′D′,C′D′的中点,求证:四边形ACNM是梯形.。
2019-2020学年新教材人教A版高中数学必修第二册课件：第八章 8.5.1 直线与直线平行 8.
文字语 一条直线与一个平平面行(píngxíng，) 则过这条直线的 言 任一平交面线与此平面平的行(píngxíng与) 该直线_____
符号语 言
a⊂β，α∩β＝b
a∥α，
⇒a∥b
图形语 言
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常考题型
一 基本(jīběn)事实4与等角定理
例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.
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内容(nèiróng)总结
8.5 空间直线、平面的平行。8.5.1 直线与直线平行。1.掌握基本事实4的内容及应用.。2.理解 空间等角定理(dìnglǐ)的内容及应用.。4.理解直线与平面平行的性质定理(dìnglǐ).。5.能运用定理(dìnglǐ)
No 证明一些空间位置关系的简单命题.。重点：基本事实4与等角定理(dìnglǐ)的应用.通过直观感知，操作
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二 直线与平面(píngmiàn)平行的判定
例2 ［2019·全国Ⅰ卷改编］如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是 菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1， A1D的中点. 证明：MN∥平面C1DE.
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【证明】 如图，连接B1C，ME. 因为M，E分别为BB1，BC的中点，
＝ MF
AB
.
又AB＝A1B1，∴ NE＝MF， ∴ 四边形MNEF是平行四边形，∴ MN∥EF.
又MN 平面BB1C1C，EF 平面BB1C1C，
∴ MN∥平面BB1C1C.
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三 线面平行性质(xìngzhì)的应用
例3 ［2019·河北衡水联考］ 如图所示，四边形EFGH是空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.
人教A版(2019)数学必修(第二册)：8.5 空间直线、平面的平行 学案
空间直线、平面的平行【第一学时】直线与直线平行【学习目标】1．理解基本事实4，并会用它解决两直线平行问题2．理解定理的内容，套用定理解决角相等或互补问题【学习重难点】1．基本事实42．等角定理【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．基本事实4的内容是什么？2．定理的内容是什么？二、新知探究基本事实4的应用例1：如图，E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．定理的应用例2：如图所示，不共面的三条射线OA ，OB ，OC ，点A 1，B 1，C 1分别是OA ，OB ，OC 上的点，且OA 1OA ＝OB 1OB ＝OC 1OC .求证：△A 1B 1C 1∽△ABC .【学习小结】 1．基本事实4（1）平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质通常叫做平行线的传递性．（2）符号表示：⎭⎬⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2．等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【精炼反馈】1．如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是AD 的中点，N 是B 1C 1的中点，求证：CM ∥A 1N .【第二学时】直线与平面平行【学习目标】1．理解直线与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，会用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面位置关系2．理解并能证明直线与平面平行的性质定理，明确定理的条件，能利用直线与平面平行的性质定理解决有关的平行问题【学习重难点】1．直线与平面平行的判定2．直线与平面平行的性质【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．直线与平面平行的判定定理是什么？2．直线与平面平行的性质定理是什么？二、合作探究直线与平面平行的判定例1：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.线面平行性质定理的应用例2：如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.【学习小结】1．直线与平面平行的判定定理【精炼反馈】1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是（）A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的所有直线不相交2．给出下列命题：①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行．其中正确命题的个数为（）A．0B．1C．2 D．33．三棱台ABCA1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是（）A．相交B．平行C．在平面内D．不确定4．如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.【第三学时】平面与平面平行【学习目标】1．理解平面与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理，会用平面与平面平行的判定定理证明空间面面位置关系2．理解并能证明平面与平面平行的性质定理，能利用平面与平面平行的性质定理解决有关的平行问题【学习重难点】1．平面与平面平行的判定2．平面与平面平行的性质【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．面面平行的判定定理是什么？2．面面平行的性质定理是什么？二、合作探究平面与平面平行的判定例1：如图所示，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1. （1）求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；（2）若E ，F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD .[变条件]把本例（2）的条件改为“E ，F 分别是AA 1与CC 1上的点，且A 1E ＝14A 1A ”，求F 在何位置时，平面EB 1D 1∥平面FBD ?解：当F 满足CF ＝14CC 1时，两平面平行，下面给出证明：在D 1D 上取点M ，且DM ＝14DD 1， 连接AM ，FM ， 则AE ═∥D 1M ，从而四边形AMD 1E 是平行四边形． 所以D 1E ∥AM . 同理，FM ═∥CD ，又因为AB ═∥CD ，所以FM ═∥AB ，从而四边形FMAB 是平行四边形．所以AM ∥BF . 即有D 1E ∥BF .又BF ⊂平面FBD ， D 1E ⊄平面FBD ，所以D 1E ∥平面FBD . 又B 1B ═∥D 1D ，从而四边形BB 1D 1D 是平行四边形．故而B 1D 1∥BD ， 又BD ⊂平面FBD ，B 1D 1⊄平面FBD ， 从而B 1D 1∥平面FBD ， 又D 1E ∩B 1D 1＝D 1，所以平面EB1D1∥平面FBD.面面平行性质定理的应用例2：如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.1．[变条件]在本例中将M，N分别为AB，CD的中点换为M，N分别在线段AB，CD上，且AMMB＝CNND，其他不变．证明：MN∥平面α.证明：作AE∥CD交α于点E，连接AC，BD，如图．因为α∥β且平面AEDC与平面α，β的交线分别为ED，NP AC，所以AC∥ED，所以四边形AEDC为平行四边形，作∥DE交AE于点P，连接MP，BE，于是CNND＝APPE.又因为AMMB＝CNND，所以AMMB＝APPE，所以MP∥BE.而BE⊂α，MP⊄α，所以MP∥α.同理PN∥α.又因为MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面α.又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.2．[变条件、变问法]两条异面直线与三个平行平面α，β，γ分别交于A，B，C和D，E，F，求证：ABBC＝DEEF.证明：连接AF交平面β于点M.连接MB，ME，BE，AD，CF，因为α∥β，所以ME∥AD.所以DEEF＝AMMF.同理，BM∥CF，所以ABBC＝AMMF，即ABBC＝DEEF.平行关系的综合问题例3：在正方体ABCD A1B1C1D1中，如图．（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.【学习小结】文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α图形语言2．平面与平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言【精炼反馈】1．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（）A．平面α内有一条直线与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D．平面α与平面β不相交2．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC于A′，B′，C′，若P A′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于（）A．2∶25B．4∶25C．2∶5 D．4∶53．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．4．如图，已知AB与CD是异面直线，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝G，BC∩α＝H.求证：四边形EFGH是平行四边形．【参考答案】【第一学时】二、新知探究例1：【答案】如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.因为E是AA1的中点，所以EQ═∥A1D1.因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1═∥B1C1，所以EQ═∥B1C1，所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E═∥C1Q.又Q，F分别是D1D，C1C的中点，所以QD═∥C1F，所以四边形DQC1F为平行四边形，所以C1Q═∥FD.又B1E═∥C1Q，所以B1E═∥FD，故四边形B1EDF为平行四边形．例2：【答案】在△OAB中，因为OA1OA＝OB1OB，所以A1B1∥AB.同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.所以△A1B1C1∽△ABC.【精炼反馈】1．【答案】证明：取A1D1的中点P，连接C1P，MP，则A1P＝12A1D1.又N为B1C1的中点，B1C1═∥A1D1，所以C1N═∥P A1，四边形P A1NC1为平行四边形，A1N∥C1P.又由PM═∥DD1═∥CC1，得C1P∥CM.所以CM∥A1N.2．【答案】如图，已知直线a，b为异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F为直线b上三点，A′，B′，C′，D′，E′分别为AD，DB，BE，EC，CF的中点．求证：∠A′B′C′＝∠C′D′E′.证明：因为A′，B′分别是AD，DB的中点，所以A′B′∥a，同理C′D′∥a，B′C′∥b，D′E′∥b，所以A′B′∥C′D′，B′C′∥D′E′.又∠A′B′C′的两边和∠C′D′E′的两边的方向都相同，所以∠A′B′C′＝∠C′D′E′.【第二学时】二、合作探究例1：【答案】连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.又AB═∥A1B1═∥D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，所以EF∥平面AD1G.例2：【答案】如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点．又因为点M是PC的中点，所以AP∥OM.又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，所以AP∥平面BDM.因为平面P AHG∩平面BDM＝GH，AP⊂平面P AHG，所以AP∥GH.【精炼反馈】1．【答案】D【解析】选D.若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.2．【答案】B【解析】选B.①中，直线可能与平面相交，故①错；②是正确的；③中，一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错．3．【答案】B【解析】选B.在三棱台ABCA1B1C1中，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1.4．【答案】证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.【第三学时】例1：【答案】（1）因为B1B═∥DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD，又BD⊄平面B1D1C，B1D1⊂平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.又A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面B1D1C.（2）由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，又因为AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，所以B1E∥AG.易得GF∥AD，又因为GF＝AD，所以四边形ADFG是平行四边形，所以AG∥DF，所以B1E∥DF，所以DF∥平面EB1D1.又因为BD∩DF＝D，所以平面EB1D1∥平面FBD.例2：【证明】如图，过点A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，BD，AC.因为AE∥CD，所以AE，CD确定平面AEDC.则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，因为α∥β，所以AC∥DE.又P，N分别为AE，CD的中点，所以PN∥DE，PN⊄α，DE⊂α，所以PN∥α.又M，P分别为AB，AE的中点，所以MP∥BE，且MP⊄α，BE⊂α.所以MP∥α，因为MP∩PN＝P，所以平面MPN∥α.又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.例3：【答案】解：（1）证明：因为在正方体ABCD A1B1C1D1中，AD═∥B1C1，所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.（2）如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接A1C，连接AO1与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．证明A1E＝EF＝FC的过程如下：因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；同理可证OF ∥AE ，所以F 是CE 的中点，即CF ＝FE ，所以A 1E ＝EF ＝FC .【精炼反馈】1．【答案】D【解析】选D.选项A 、C 不正确，因为两个平面可能相交；选项B 不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D 正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.2．【答案】B【解析】选B.因为平面α∥平面ABC ，平面P AB 与它们的交线分别为A ′B ′，AB ，所以AB ∥A ′B ′，同理B ′C ′∥BC ，易得△ABC ∽△A ′B ′C ′，S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫P A ′P A 2＝425. 3．【答案】92【解析】在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，因为平面MCD 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1，所以平面MCD 1∩平面ABB 1A 1＝MN ，且MN ∥CD 1，所以N 为AB 的中点，所以该截面为等腰梯形MNCD 1，因为正方体的棱长为2，易知，MN ＝2，CD 1＝22，MD 1＝5，所以等腰梯形MNCD 1的高MH ＝（5）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝322. 所以截面面积为12（2＋22）×322＝92. 4．【答案】证明：因为AB ∥平面α，AB ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面α＝EH ，所以AB ∥EH ，因为AB ∥平面α，AB ⊂平面ABD ，平面ABD∩平面α＝FG，所以AB∥FG，所以EH∥FG，同理由CD∥平面α可证EF∥GH，所以四边形EFGH是平行四边形．。
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专题8.5 空间直线、平面的平行（第二课时）运用一 面面平行的证明【例1】（2019·山西省长治市第二中学校高二期中（文））如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为11,AB C D 的中点．（1）求证：平面1A DF ∥平面1B EC ;（2）求异面直线EC 与DF 所成角的正弦值．【举一反三】1．（2019·河南高三月考（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，AB AD =，AD CD ⊥，60BAD ∠=，M ，N 分别为AD ，PA 的中点,证明：平面BMN 平面PCD2．（2019·广东佛山一中高二月考）如图，在四棱锥P -ABCD 中，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：平面EFO ∥平面PCD运用二 面面平行的性质【例2-1】如图，在四棱柱1111ABCD A B C D 中，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，平面1A DCE 与1B B 交于点E ,求证：1//EC A D .[例2-2]如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 上一点，M ，N 分别是AE ，CD 1的中点，AD ＝AA 1＝a ，AB ＝2a ，求证：MN ∥平面ADD 1A 1.1．（2019·江苏海安高级中学高三月考）如图，在四面体ABCD 中，点,E F 分别为棱,AB AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面//EFG 平面BCD ，）求证：12EF BC =2．如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别是PA ，PB ，PC 的中点．M 是AB 上一点，连接MC ，N 是PM 与DE 的交点，连接FN ，求证：FN ∥CM ．运用三 动点问题【例3】（2019·山东高三月考）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，E 为棱SA 上中点，P 为AD 的中点，F 是SB 的中点，求证：平面∥PEF 平面SCD1（2019·运城市景胜中学高二月考（文））在正方体1AC 中，E 、F 分别为11D C 、11B C 的中点，AC BD P =，11A C EF Q =，如图.（1）若1A C 交平面EFBD 于点R ，证明：P 、Q 、R 三点共线；（2）线段AC 上是否存在点M ，使得平面11//B D M 平面EFBD ，若存在确定M 的位置，若不存在说明理由.2．（2019·安徽高考模拟（理））如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆，12AA AB =.点E 为线段BC 的中点，在线段11B C 上找一点F ，使得平面1//AB E 平面1ACF ，并证明运用四 概念辨析【例4-1】已知m n ，是两条不同的直线，αβ，是两个不重合的平面，给出下面三个结论：①若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则m n ；②若,,,m n m n αββ⊂∥∥，则αβ∥；③若m n ，是两条异面直线，且,,,m m n n αβαβ∥∥∥∥，则αβ∥.其中正确结论的序号为（ ）A.①②B.①③C.②③D.③【例4-2】α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列说法，不正确的是 ( ) ①a c b c ⎫⎬⎭⇒a ∥b ； ②a γb γ⎫⎬⎭⇒a ∥b ； ③αc βc ⎫⎬⎭⇒α∥β； ④αγβγ⎫⎬⎭⇒α∥β； ⑤αc a c ⎫⎬⎭⇒α∥a ； ⑥αγa γ⎫⎬⎭⇒a ∥α； A ．④⑥B ．②③⑥C ．②③⑤⑥D ．②③【举一反三】1．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A ．α内有无数多条直线都与β平行B ．直线,a b αβ⊂⊂，且//,//a b βαC ．直线//,//a a αβ，且直线a 不在α内，也不在β内D ．一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β2．（2019·黑龙江大庆实验中学高一期末（文））平面α平面β，直线a α⊂，b β⊂ ，那么直线a 与直线b 的位置关系一定是（ ）A ．平行B ．异面C ．垂直D ．不相交 3．设平面α与平面γ相交于直线a ，平面β与平面γ相交于直线b ，则“a b ∥”是“αβ∥”的______________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）．1．（2019·江西省大余县新城中学高二月考）已知直线l ，平面α，β，//αβ，l α⊆，那么l 与平面β的关系是（ ）A.l β//B.l β⊆C.l β//或l β⊆D.l 与β相交2．已知a 是平面α外的一条直线，过a 作平面β使βα，这样的β（ ）A ．只能作一个B ．至少有一个C ．不存在D ．至多有一个3．若P Q R ，，分别是三棱锥S ABC -三条侧棱SA SB SC ，，的中点，则平面ABC 与平面PQR 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．重合D ．相交或平行4．如图，在多面体ABC DEFG -中，平面//ABC 平面,//DEFG EF DG ，且,2AB DE DG EF ==，则 ( )A.//BF 平面ACGDB.//CF 平面ABEDC.//BC FGD.平面//ABED 平面CGF5．a b c ，，为三条不重合的直线，αβγ，，为三个不重合的平面，现给出下面六个命题：①若a c b c ∥，∥，则a b ∥；②若a b γγ∥，∥，则a b ∥；③若c c αβ∥，∥，则αβ∥；④若αγβγ∥，∥，则αβ∥；⑤若c a c α∥，∥，则a α；⑥若a γαγ∥，∥，则a α.其中真命题是_________（填序号）.6．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，则与平面BCHG 平行的平面为________.7．已知直线l m ，，平面α，β，下列命题中为真命题的是__________.（填序号）①若,l l βα⊂∥，则αβ；②若,,,l m l m ββαα⊂⊂∥∥，则αβ； ③若,,l m l m αβ⊂⊂∥，则αβ；④若,,,,l m l m l m M ββαα⊂⊂⋂=∥∥，则αβ. 8．已知a ，b 表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列说法：①若α∩γ=a ，β∩γ=b ，且a ∥b ，则α∥β；②若a ，b 相交，且都在α，β外，a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β，则α∥β；③若a ∥α，b ∥β，且a ∥b ，则α∥β；④若a ⊂α，a ∥β，α∩β=b ，则a ∥b.其中正确说法的序号是________.9．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m ，n ，有下列四个说法：(1)若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；(2)若m ∥α，n ∥α，m ，n ⊂β，则α∥β；(3)若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α；(4)若α∥β，m ⊂α，则m ∥β.其中正确说法的个数为________个.10．如图所示，P 是ABC △所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA PB PC ，，于A B C '''，，，若:2:3PA AA ''=，则A B C ABC S S '''∆∆=________.11．（2019·江西高二月考）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是正方形，,,E F G 分别是,,PC PD BC 的中点，求证：平面//PAB 平面EFG12．在正方体1111ABCD A B C D -中，面对角线1AB ，1BC 上分别有两点E ，F ，且11B E C F =．求证：（1）//EF 平面ABCD ．（2）平面1//ACD 平面11A BC ．13．（2019·江西新余四中高三月考（文））如图，在四棱锥P ABCD-中，平面PAD⊥平面ABCD,//CD AB,AD AB⊥,AD=11122CD PD AB PA====,点E、F分别为AB、AP的中点.﹙1﹚求证:平面//PBC平面EFD；﹙2﹚求三棱锥P EFD-的体积.14．（2019·运城市景胜中学高二月考（文））已知四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别在PA、BD、PD上.（1）若:::PM MA BN ND PQ QD ==，求证：平面//MNQ 平面PBC ；（2）若Q 满足:2PQ QD =，则M 点满足什么条件时，//BM 面AQC .15．（2019·江苏高二期末（文））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D ，E 分别是BC 与11B C 的中点．（1）求证：平面1A EB ∥平面1ADC ；（2）若2BC AC ==，AD =13CC =，求三棱锥1A C CD -的体积．16．（2019·新疆高一期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 、P 分别是棱AB ，11A B 的中点，求证：（1）1AC ∥平面1B CD ；（2）平面1APC 平面1B CD ．17．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 上一点，且1A B 平面1AC D ，1D 是11B C 的中点.求证：平面11A BD ∥平面1AC D .18．（2019·安徽高考模拟（文））如图所示，菱形ABCD 的边长为2，60D ∠=︒，点H 为DC 中点，现以线段AH 为折痕将菱形折起使得点D 到达点P 的位置且平面PHA ⊥平面ABCH ，点E ，F 分别为AB ，AP 的中点.（1）求证：平面//PBC 平面EFH ；（2）求三棱锥P EFH -的体积.19．（2019·江苏高二期中）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，E ，F ，G 分别为11B C ，11A B ，AB 的中点． ()1求证：平面11//A C G 平面BEF ； ()2若平面11AC G BC H ⋂=，求证：H 为BC 的中点．。