正态分布(习题课)
应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇(第二章部分习题解答) (2).ppt
4 3
u1u2
1
2
exp[
1 2
(2u12
u22
2u1u2 )]du1du2
1
2
u12
u1e 2
1
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1 2
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2
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2
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2
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22
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65
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14
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49)
1 2
(
x2
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2
1 e
1 2
(
x12
8
x1
16)
2
1
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1 2
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1 2
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4
)
2
2
X1 ~ N(4,1).
类似地有
f2 (x2 ) f (x1, x2 )dx1
1
e
1 4
(
x2
3)2
X
X X
(1) (2)
~
N
2
p
(1) (2)
,
1 2
2 1
,
其中μ(i) (i＝1，2)为p维向量,Σi (i＝1，2)为p阶矩阵，
概率练习题含答案
第一章 随机事件及其概率 练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。
（B ） （2）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （3）若()0,P A = 则A =∅。
（B ）（4）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ）（5）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （6）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P {}1=3两个女孩。
（B ） （7）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。
（B ）（8）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。
（B ）（9）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ）2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则CA. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C )A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB)（3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D) A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A ) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A)C. P(B|A)=P(B)D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B )A.()a c c + B . 1a c +-C. a b c +-D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D )A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
应用多元统计分析课后习题答案高惠璇(第二章部分习题解答
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x12
22
x1
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1 e
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x1
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)
2
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X1 ~ N(4,1).
类似地有
f2 (x2 ) f (x1, x2 )dx1
1
e
1 4
(
x2
3)2
注意:由D(X)≥0,可知 (Σ1-Σ2) ≥0.
8
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-11 已知X=(X1,X2)′的密度函数为
f
( x1 ,
x2 )
1
2
exp
1 2
(2 x12
x22
2 x1 x2
22 x1
14 x2
65)
试求X的均值和协方差阵.
解一:求边缘分布及Cov(X1,X2)=σ12
应用多元统计分析
第二章部分习题解答
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-1 设3维随机向量X～N3(μ,2I3)，已知
002,
A
0.5 0.5
1 0
00.5.5, d 12.
试求Y=AX+d的分布.
解:利用性质2,即得二维随机向量Y~N2(y,y),
其中：
2
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-2 设X=(X1,X2)′～N2(μ,Σ)，其中
正态分布 课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版选修2-3
乎不可能发生.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布
的随机变量
只取 之间的值，并称为3σ原则．
( − 3, + 3)
− 3
− 2
−
+
+ 2
+ 3
练1
1.设随机变量X~N(0，1)， 则X的密度函数为
布记作
.其图象称为正态曲线.
如果随机变量X服从正态分布，则记作
参数μ是随机变量X的均值.
参数σ是随机变量X的标准差
μ的意义
总体平均数反映总体随机变量的平均水平
σ的意义
总体标准差反映总体随机变量的集中与分散的程度
正态曲线的定义
总体平均数反映总体随机变量的平均水平
总体标准差反映总体随机变量的集中与分散的程度
96，114，128，106，89，97，103，114，109，101，106
：
频率分布
直方图
，104，97，93，117，108，104，113，94，108，87，112
，109，117，102，97，113，109，89，101，105，104，
99，101，117，108，104，97，94，99，103，112，98，
0.5
_____________________________________，P(X≤0)=__________，P(
0.6826，P(X≤1)=__________，P(X>1)=__________.
0.8413
|X |≤1)=___________
0.1587
(精确到0. 0001.)
练2
二项分布与正态分布详解
在二项分布和正态分布中的应用举例
二项分布参数估计
正态分布参数估计
二项分布假设检验
正态分布假设检验
对于二项分布B(n, p)，可以使 用样本比例作为成功概率p的 点估计。同时，根据二项分布 的性质，可以构造出p的置信 区间进行区间估计。
对于正态分布N(μ, σ^2)，可 以使用样本均值作为总体均值 μ的点估计，样本方差作为总 体方差σ^2的点估计。同样地 ，可以构造出μ和σ的置信区间 进行区间估计。
02
通过对二项分布和正态分布进行深入剖析，探讨它们之间的联
系和区别，以便更好地理解这两种分布。
为后续概率论与数理统计学习打下基础
03
二项分布和正态分布是概率论与数理统计中的重要内容，掌握
它们对于后续学习具有重要意义。
预备知识
概率论基础知识
要理解二项分布和正态分布，首先需要具备概率论的基础知识， 如事件、概率、随机变量等概念。
正态分布转化为二项分布的条件
在实际应用中，如果某个连续型随机变量可以取整数值，且这些整数值出现的概率可以 用二项分布来描述，那么可以将这个连续型随机变量近似为二项分布。但需要注意的是
，这种转化通常需要在一定的精度范围内进行。
实际应用中的选择依据
• 在实际应用中，选择使用二项分 布还是正态分布通常需要考虑以 下因素：首先，需要判断随机变 量是离散的还是连续的；其次， 需要考虑随机变量所描述的实际 情况是否符合二项分布或正态分 布的定义和性质；最后，还需要 考虑样本量大小、数据分布情况 等因素来选择最合适的分布类型 进行建模和分析。
方差
正态分布的方差等于其标准差的平方，即D(X)=σ^2。
正态分布的应用举例
01 02
质量控制
概率论与数理统计随机变量及其分布习题课
01 排列及其逆序数
解 以X表示此人外出时电话铃响的次数, 由题意知X~π(2t), t表示外出的总时间，则X的的分布律为
当t=10/60=1/6时， （1）
，故所求概率为
（2）设外出最长时间为t（单位：h）， 因为X~π(2t)，
3
01 排列及其逆序数
因此无电话打进的概率为
，
要使
即
，
解之得
0.3466小时约为21分钟，因此，某人应控制外出时间小
16
01 排列及其逆序数
ꢀ例8 设随机变量
,记
， 则A. p随着 μ的增加而增加
C. p随着μ的增加而减少
B. p随着 σ的增加而增加 D. p随着σ的增加而减少
解
因为 为单调增函数, p σ
,
所以 随着 的增加而增加
应选B.
17
01 排列及其逆序数
ꢀ例9 测量某距离时,随机误差X(单位:cm)具有密度函数：
则性。
6
01 排列及其逆序数 ꢀ例3 设随机变量X的概率密度为 为X的分布函数, 求 解 由题意知,X的分布函数为
因此，
F(x)
7
01 排列及其逆序数 ꢀ例4 设某加油站每周补给一次油,如果这个加油站每 周的销售量(单位:千升)为一随机变量,其密度函数为
试问该加油站的储油罐需要多大,才能把一周内断油的概 率控制在5%以下?
，求
解 当y≤0时,Y的密度函数为 当y>0时,Y的分布函数为
的分布. ；
对上式两边关于y求导，得
20
01 排列及其逆序数 即
这是伽玛分布
的概率密度函数.
21
01 排列及其逆序数
ꢀ例11 设电流I是一个随机变量,它均匀分布在9A~11A 之间.若此电流通过2Ω的电阻,在其上消耗的功率W=2I2, 求W的概率密度.
管理统计学(李金林版教材)课后习题答案~~~第六章
管理统计学（李金林版教材）课后习题答案~~~第六章基础习题1. 解释总体分布、样本分布和抽样分布的含义。
答：总体分布：整体取值的概率分布规律，即随机变量X 服从的分布；样本分布：从总体中按照一定的抽样规则抽取的部分个体的分布，若从总体中简单随机抽取容量为n 的样本，则样本分布为(X 1,X 2,...,X n )；抽样分布：样本统计量的分布。
2. 简述卡方分布、t 分布、F 分布及正态分布之间的关系，它们的概率密度曲线各有什么特征？答：若随机变量X 服从N(μ,σ2)，则Z =X−μσ服从N(0,1)；若随机变量X 服从N(0,1)，则Y =∑(X i )2n i=1服从自由度为n 的χ2分布；若随机变量X~N(0,1)，随机变量Y~χ2(n)，且X 与Y 相互独立，则称随机变量T =√Y n⁄服从自由度为n 的t 分布；若随机变量X~χ2(n)，若随机变量Y~χ2(m)，且X 与Y 相互独立，则称随机变量F n,m =X n ⁄Y m ⁄服从第一自由度为n ，第二自由度为m 的F 分布，记为F n,m ~F(n,m)。
χ2分布的概率密度曲线分布在第一象限内，随着自由度n 的增大，曲线向正无穷方向延伸，并越来越低阔，越来越趋近于正态分布的曲线形态。
t 分布的概率密度曲线以0为中心，左右对称，随着自由度n 的增大，t 分布的概率密度曲线逐渐接近标准正态分布的概率密度曲线。
F 分布的概率密度曲线分布在第一象限内，当第一个自由度不变，第二个自由度增大时，曲线越来越向右聚拢，当两个自由度都增加时，F 分布概率密度曲线逐渐接近正态分布的概率密度曲线。
3. 解释中心极限定理的含义。
从均值为μ，方差为σ2的任意一个总体中抽取样本容量为n 的随机样本，则当n 充分大时，样本均值x̅的抽样分布近似服从均值为μ，方差为σ2n ⁄的正态分布，即x̅~N(μ, σ2n ⁄)。
4. 某公司有20名销售员，以下是他们每个人的销售量：3，2，2，3，4，3，2，5，3，2，7，3，4，5，3，3，2，3，3，4。
教育与心理统计学习题
《教育与心理统计学》复习思考题一一、简答题1. 简述正态分布的基本性质。
2. 二列相关适用于哪种资料?3.简述点二列相关系数的应用条件。
4.简述t 分布与标准正态分布的关系。
5.简述判断估计量优劣的标准。
6.什么是相关样本？请列举相关样本显著性检验的各种情况。
7. 有人说：“t 检验适用于样本容量小于30的情况。
Z 检验适用于大样本检验” ，谈谈你对此的看法8.什么是标准分数？使用标准分数有什么好处？ 9. 简答标准Z 分数的用途。
10. 简答χ2分布具有哪些特点。
11. 简述区间估计的涵义。
12.学业考试成绩为x ，智力测验分数为y ，已知这两者的rxy=0.5，IQ=100+15z ，某学校根据学业考试成绩录取学生，录取率为15%，若一个智商为115的学生问你他被录取的可能性为多少，你如何回答他？二、计算题1．某年级200名学生在一次数学测验中的成绩如下表： 已知数据如下表：（1）求其平均数 （2）试计算70X，80X 。
（3）已知某考生的成绩为66分，试计算该考生的百分位。
3．已知在某年高考数学中，平均成绩为70分，标准差15S分，甲乙两考生的成绩分=别为65分和80分，试计算他们的标准分数,如果该年的考试成绩服从正态分布)N，(21570,试计算甲乙考生的百分位？4．已知在一次测验中数学平均成绩为75分，语文的平均成绩是数学平均成绩的2.1倍，语文成绩的标准差是数学成绩标准差的5.1倍，语文成绩Y与数学成绩X之间的相关系数为r，=.075（1）试求语文成绩Y与数学成绩X之间的回归方程。
（2）如果考生的数学成绩为60，试估计他的语文成绩Y，并计算估计的标准误（设S？=10)Y5.某校高一年级共150人，高一上学期由甲教师任教，在统考中平均成绩为75分，标准差12=S分，S分，高一下则由乙教师任教，期末统考中平均成绩为72分，标准差为10 =假设该校所在城市两次考试成绩均服从正态分布，且总体平均成绩，总体标准差相同。
高考调研北师大版数学选修2-3-目录高考调研精讲精练
目录
§3 组合 第一课时 组合与组合数公式 课时作业（七）（word） 第二课时 组合的应用 课时作业（八）（word） §4 简单计数问题 第一课时 排列组合的综合应用（一） 课时作业（九）（word） 第二课时 排列组合的综合应用（二） 课时作业（十）（word）
第4页
目录
§5 二项式定理 第一课时 二项式定理 课时作业（十一）（word） 第二课时 二项式系数的性质 课时作业（十二）（word） 第一章 综合测试题（word）
第5页
目录
第二章 随机变量及其分布
§1 离散型随机变量及其分布列 第一课时 离散型随机变量 课时作业（十三）（word） 第二课时 离散型随机变量的分布列 课时作业（十四）（word） 第三课时 离散型随机变量的分布列（习题课） 课时作业（十五）（word）
第6页
目录
§2 超几何分布 课时作业（十六）（word） §3 条件概率与独立事件 第一课时 条 件 概 率 课时作业（十七）（word） 第二课时 事件的相互独立性 课时作业（十八）（word） §4 二项分布 课时作业（十九）（word）
第9页
目录
第三章பைடு நூலகம்统计案例
§1 回归分析 课时作业（二十七）（word） §2 独立性检验 课时作业（二十八）（word） 第三章 综合测试题（word） 模块综合测试题（word）
第10页
新课标·名校调研
高 考调研
北师大版·数学·选修2-3
目录
第一章 计数原理
§1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第一课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课时作业（一）（word） 第二课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的 应用 课时作业（二）（word）
概率统计教案2章习题课二
出版社，2015 年 8 月.
参 [3] 郑一,戚云松,陈倩华,陈健. 光盘：概率论与数理统计教案、作业册与
考
试卷考题及答案、数学实验视频. 大连理工大学出版社，2015 年 8
文
月.
献 [4] 王玉敏,郑一,林强. 概率论与数理统计教学实验教材. 中国科学技术
出版社，2007 年 7 月.
联系方式：zhengone@
k
讲评 这两条性质常用来判断一个数列{pk}是否是某个离散型随机变量 的概率分布, 或者确定概率分布中的待定参数. 只有 pk同时满足上述两条性质, 数列{pk}才能作为某个离散型随机变量的分布律.
2. 伯努利概型 在 n 重伯努利试验中, 事件 A 恰好发生 k 次的概率为
P{X=k}= Cnk pk qnk , k 0,1, 2, n . 讲评 n 重伯努利试验是一种很重要的数学模型. 它有广泛的应用, 是研 究与应用最多的模型之一. 3. 分布函数 设 X 是一个随机变量(包括离散型及非离散型). x 是任意实数, 定义
《概率论与数理统计》教案 第二章习题课 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版
第 80 页
题
第二章 随机变量及其概率分布内容习题课
目
课时：2
与
课
时
(1) 熟练计算离散型随机变量及其概率分布问题；
教 (2) 熟练计算连续型随机变量及其概率密度问题； 学 (3) 熟练计算随机变量的分布函数； 目 (4) 熟练计算随机变量函数的概率分布问题。 的
(4) 若 f (x) 在点 x 处连续, 则有 ′F x ( ) = f ( ) x ; (5) 对连续型随机变量 x，总有P{X =a} =0 < ∞ − ,a ∞+ <. 讲评 性质(1)和(2)是连续型随机变量的概率密度 f (x) 必须具有的特性, 常用来检查某一函数 f (x) 是否是连续型随机变量的概率密度. 性质(3)和(4)是 由概率密度的定义导出的性质. 性质(3)和(4)表明：随机变量 X 落在区间 (a,b] 内的概率等于曲线 y f (x) 与 x=a, x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积. 性质 (5)表明：对于连续型随机变量 X , 总有