广东省揭阳市高三数学第一次模拟考试试题 理(揭阳一模)新人教A版

图（1）俯视图揭阳市2014年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(理科) 2014.3.22本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足：34iz i =+，则=zA ．1B ．2C ．5D ．5 2．设函数()f x =M ，函数()lg(1)g x x =+的定义域为N ，则 A.(1,1]MN =- B.M N R = C.[1,)R C M =+∞ D.(,1)R C N =-∞-3．设平面α、β，直线a 、b ，,a b αα⊂⊂，则“//,//a b ββ” 是“//αβ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．下列函数是偶函数，且在[0,1]上单调递增的是 A.sin()2y x π=+B. 212cos 2y x =-C.2y x =- D. |sin()|y x π=+5．一简单组合体的三视图如图（1）所示，则该组合体的 体积为A.16π-B.124π-C.122π-D.12π- 6．如图(2)所示的程序框图，能使输入的x 值与输出的y 值 相等的x 值个数为A.1B.2C.3D.4 7．设点P是函数y =图象上的任意一点， 点(2,3)Q a a - (a R ∈)，则||PQ 的最小值为2-22图（3）0.0150频率/组距0.0100（km/h ）0.00508．定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A 的幂集，记为()P A ，用()n A 表示有限集A 的元素个数，给出下列命题：①对于任意集合A ，都有()A P A ∈；②存在集合A ，使得[()]3n P A =；③用∅表示空集，若,A B ⋂=∅则()()P A P B ⋂=∅；④若,A B ⊆则()()P A P B ⊆；⑤若()()1,n A n B -=则[()]2[()].n P A n P B =⨯其中正确的命题个数为A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．若点(,27)a 在函数3xy =的图象上，则tan aπ的值为 ．10．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机 动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如图(3)所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速 度为60 km/h~120 km/h ，则该时段内过往的这100辆机 动车中属非正常行驶的有 辆，图中的x 值为 ． 11．已知向量a 、b 满足||1,||3a b ==，且(32)a b a -⊥，则a 与b 的夹角为 ．12．已知首项为正数的等差数列{}n a 中，122a a =-．则当3a 取最大值时，数列{}n a 的公差d = ．13．从[0,10]中任取一个数x ，从[0,6]中任取一个数y ，则使|5||3|4x y -+-≤的概率为 ．（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题） 14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l :132x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数且t R ∈）与曲线C :22x cos y cos αα=⎧⎨=+⎩(α是参数且[)02,απ∈)，则直线l 与曲线C 的交点坐标为 .15.（几何证明选讲选做）如图(4)，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ， 且E 是OB 的中点，则BC 的长为 ．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数sin 2()2sin .sin xf x x x=+ （1）求函数()f x 的定义域和最小正周期； （2）若()2,[0,],f ααπ=∈求()12f πα+的值．17. （本小题满分12分）图(5)是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率; （2）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望． 18．（本小题满分14分）如图(6)，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD ， 过A 作AE 垂直SB 交SB 于E 点，作AH 垂直SD 交SD 于H 点，平面 AEH 交SC 于K 点，且AB=1，SA=2．（1）设点P 是SA 上任一点，试求PB PH +的最小值； （2）求证：E 、H 在以AK 为直径的圆上；（3）求平面AEKH 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值． 19．（本小题满分14分）已知正项数列{}n a 满足:222(1)()0()n n a n n a n n n N +-+--+=∈，数列{}n b 的前n项和为n S ，且满足11b =，21n n S b =+()n N +∈．(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设(21)nn nn b c a +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．20．（本小题满分14分）如图(7)所示，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆E 上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ， 且0=⋅BC AC ，|BC |＝2|AC |． (1)求椭圆E 的方程；(2) 在椭圆E 上是否存点Q ，使得222|QB ||QA|-=？ 若存在，有几个（不必求出Q 点的坐标），若不存在，请说明理由． （3）过椭圆E 上异于其顶点的任一点P ，作2243O :x y +=的两条 切线，切点分别为M 、N ，若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m 、n ，证明：22113m n +为定值．21．（本小题满分14分）已知函数()ln 1(0).f x a x a =+> （1）当1a =且1x >时，证明：4()31f x x >-+； （2）若对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当12a =时，证明：12()2(11)n i f i n n +=>++∑．揭阳市2014年高中毕业班高考第一次模拟考 数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：DCBD DCCB解析：5.由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其体积为23411112ππ⨯⨯-⨯⨯=-6．由框图知，x 与y 的函数关系为2,(2)23,(25)1.(5)x x y x x x x⎧⎪≤⎪=-<≤⎨⎪⎪>⎩，由y x =得若2x ≤，则20x x x =⇒=或1x =，若25x <≤，则233x x x -=⇒=，若5x >，显然1x x≠，故满足题意的x 值有0,1,3，故选C. 7．如图示，点P 在半圆C 上，点Q 在直线260x y --=上，过圆心C 作直线的垂线，垂足为A ，则min ||||22PQ CA =-=,故选C.8．由()P A 的定义可知①、④正确，又若,A B ⋂=∅则()(){}P A P B ⋂=∅，设(),n A n =则(())2,nn P A =所以②错误，⑤正确，故选B 。

二、填空题：910．15、0.0175；11．6π；12．-3；13．12；14．（1，3）; .解析：10.由直方图可知，这100辆机动车中属非正常行驶的有0.0025+0.00520100=15⨯⨯（）（辆），x 的值=[1(0.00250.00500.01000.0150)20]200.0175-+++⨯÷=.11.由(32)a b a -⊥得2(32)3||20a b a a a b -⋅=-⋅=233||||||cos ,22a b a a b a b ⇒⋅===⋅<>，3cos ,,623a b a b π<>==⇒<>=． 12.设数列{}n a 的公差为d ，由122a a =-得11112()2a a d d a a +=-⇒=--，则311142()a a d a a =+=-+，因10,a >故11114424a a a a +≥⋅=，当且仅当114a a =，即12a =“=”成立，这时3a 取得最大值，由12a =得21a =-，所以3d =-。

13.如右图，使|5||3|4x y -+-≤是图中阴影部分，故所求的概率141+412==60602S P ⨯⨯⨯=阴影（）3 14．把直线l 的参数方程化为普通方程得25x y +=，把曲线C 的参数方程化为普通方程得212(11)y x x =+-≤≤，由方程组212(11)25y x x x y ⎧=+-≤≤⎨+=⎩解得交点坐标为（1，3）【或将曲线C 的参数方程化为普通方程得212(11)y x x =+-≤≤后将132x ty t=+⎧⎨=-⎩代入解得0t =，进而得点坐标为（1，3）】 15．DE 为OB 的中垂线且OD=OB ，∴OBD ∆为等边三角形，060COD ∠=，23432323OD BC OC OB ==-== 三.解答题：16．解：（1）由0sin x ,≠解得x k (k Z )π≠∈，所以函数f (x )的定义域为{x|x k (k Z )}π≠∈------------------------2分sin 2()2sin 2cos 2sin 22(sin cos cos sin )22sin().sin 444x f x x x x x x x x πππ=+=+=+=+---4分f (x )∴的最小正周期221T ππ==-----------------------------------6分 （2）解法1：由()2cos sin 12cos sin 0,f ααααα=⇒+=⇒=---------------------8分[0,]απ∈且sin 0α≠，.2πα∴=------------------------------------10分∴5()sin()124126f ππππαα+=++==------------------------------------12分解法2：由()2,[0,],f ααπ=∈得sin cos 1αα+=cos 1sin αα⇒=-，代入22sin cos 1αα+=得22sin (1sin )1αα+-=2sin (sin 1)0αα⇒-=，-----8分sin 0α≠ ∴sin 1α=，又[0,]απ∈，.2πα∴=---------------------------------10分∴5()sin()124126f ππππαα+=++==------------------------------------12分17.解：设i A 表示事件“此人于2月i 日到达该市”（ i =1,2，…，12）. 依题意知,1()12i P A =,且()i j A A i j =∅≠.---------------------------------------2分（1）设B 为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则123712B A A A A A =,所以123712()()P B P A A A A A =1237125()()()()()12P A P A P A P A P A =++++=. 即此人到达当日空气质量重度污染的概率为512.--------------------------------------5分 (2)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2，3且------------------------------------6分P(ξ=0)=P(A 4∪A 8∪A 9)= P(A 4)+P(A 8)+P(A 9)=31124=,-------------------7分 P(ξ=2)=P(A 2∪A 11)= P(A 2)+P(A 11) =21126=,-------------------------------8分 P(ξ=3)=P(A 1∪A 12)= P(A 1)+P(A 12) =21126=,-------------------------------9分 P(ξ=1)=1－P(ξ=0)－P(ξ=2)－P(ξ=3)=1115146612---=,--------------10分(或P(ξ=1)=P(A 3∪A 5∪A 6∪A 7∪A 10)= P(A 3)+P(A 5)+ P(A 6)+P(A 7)+P(A 10)=512)所以ξ的分布列为：P D ABSH-----------------------------------------------------------------11分故ξ的期望151150123412664E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．-------------------------------12分18．（1）将侧面SAB 绕侧棱SA 旋转到与侧面SAD 在同一平面内，如右图示， 则当B 、P 、H 三点共线时，PB PH +取最小值，这时，PB PH +的最小值即线段BH 的长，--------------------------------------------1分 设HAD α∠=,则BAH πα∠=-， 在Rt AHD ∆中，∵SA AD AH SD ⋅==,∴cos AH AD α==分在三角形BAH 中，有余弦定理得：2222cos()BH AB AH AB AH πα=+-⋅-41712(55=+-=∴min ()PB PH BH +==.------------------------------------------------------------4分（2）证明：∵SA⊥底面ABCD ，∴SA⊥BC，又AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB ，又EA ⊂平面SAB ，∴EA⊥BC，-------------------------------6分 又∵AE⊥S B，∴AE ⊥平面SBC，-------------------------------------------------------7分 又EK ⊂平面SBC ，∴EA⊥EK ，-------------------------------------------------------8分同理 AH ⊥K H ，∴E、H 在以AK 为直径的圆上---------------------------------------9分（3）方法一：如图，以A 为原点,分别以AB 、AD 、AS 所在的直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系如右图示，----------------------------------------------------------------------------10分则S （0，0，2），C （1，1，0），由（1）可得AE⊥SC ，AH ⊥SC ，∴S C⊥平面AEKH ，112SC (,,)=-为平面AEKH 的一个法向量，-------------------11分 002AS (,,)=为平面ABCDF 的一个法向量，-------------------12分设平面AEKH 与平面ABCD 所成的锐二面角的平面角为θ，则626|AS SC |cos |cos AS SC ||AS ||SC |θ⋅=<⋅>===⋅----------------13分∴平面AEKH 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值63分 【方法二： 由SAB SAD ∆≅∆可知SE SHSB SD=,故//EH BD , 又∵EH ⊂面AEKH ，BD ⊄面AEKH , ∴//BD 面AEKH. ------------------------10分设平面AEKH ⋂平面ABCD=l ，∵//BD 面AEKH ，∴//l BD -------------------------------------------------------------11分 ∵BD ⊥AC ，∴l ⊥AC ，又BD ⊥S A ，∴B D ⊥平面SAC ，又AK ⊂平面SAC ， ∴BD ⊥AK ， ∴l ⊥AK ，∴CAK ∠为平面AEKH 与平面ABCD 所成的锐二面角的一个平面角，--------------13分cos CAK cos CSA ∠=∠=636= ∴平面AEKH 与平面ABCD 6------------------------14分】19．解：（1）由222(1)()0n n a n n a n n -+--+=,得2()(1)0n n a n n a ⎡⎤-++=⎣⎦.---------2分由于{}n a 是正项数列,所以2n a n n =+.---------------------------------3分由21n n S b =+可得当2n ≥时，1121n n S b --=+，两式相减得1n n b b -=-，------------5分 ∴数列{}n b 是首项为1，公比1-的等比数列，1(1).n n b -∴=-----------------------------------7分（2）∵1(21)21(1)(1)n n n n n b n c a n n -++==-⋅+---------------------------------8分 方法一：∴2124141(41)(21)(41)(21)2(21)2(21)2(21)(21)n n n n n n n n c c n n n n n n n --+-+-+-+=-=-+-+211(21)(21)2121n n n n ==--+-+--------------------------------------------------------------11分21234212111111()()()13352121n n n T c c c c c c n n -∴=++++++=-+-++--+11 1.21n =-<+---------------------------------------------------------------------------------------14分 【方法二：∵11(21)2111(1)(1)()(1)1n n n n n n b n c a n n n n --++==-⋅=-⋅+++-----------------11分 2123421211111111()()()()12233445n n n T c c c c c c -∴=++++++=+-+++-++11111()()1 1.21222121n n n n n ++-+=-<-++----------------------------------------------14分】20.解：(1)依题意知：椭圆的长半轴长2a =，则A (2，0)，设椭圆E 的方程为14222=+by x -----------------------2分由椭圆的对称性知|OC |＝|OB | 又∵0=⋅BC AC ，|BC |＝2|AC | ∴AC ⊥BC ，|OC |＝|AC | ∴△AOC 为等腰直角三角形，∴点C 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(－1，－1) ，---------------------4分 将C 的坐标(1，1)代入椭圆方程得342=b ∴所求的椭圆E 的方程为143422=+y x ----------------------------------------------5分 （2）解法一：设在椭圆E 上存在点Q ，使得222|QB ||QA|-=，设00Q(x ,y )，则()()()2222220000001126222|QB||QA|x y x y x y .-=+++---=+-=即点Q在直线320x y +-=上，-----------------------------------------------------------7分∴点Q 即直线320x y +-=与椭圆E 的交点，∵直线320x y +-=过点203(,)，而点椭圆203(,)在椭圆E 的内部， ∴满足条件的点Q 存在，且有两个．------------------------------------------------------9分【解法二：设在椭圆E 上存在点Q ，使得222|QB ||QA|-=，设00Q(x ,y )，则()()()2222220000001126222|QB||QA|x y x y x y .-=+++---=+-=即00320x y +-=，--------①-------------------------------------------------7分又∵点Q 在椭圆E 上，∴2200340x y +-=，-----------------②由①式得0023y x =-代入②式并整理得：2007920x x -+=，-----③ ∵方程③的根判别式8156250∆=-=>，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q 存在，且有两个．---------------9分】（3）解法一：设点11P(x ,y )，由M 、N 是O 的切点知，OM MP,ON NP ⊥⊥, ∴O 、M 、P 、N 四点在同一圆上，------------------------------------------10分 且圆的直径为OP,则圆心为1122x y (,)， 其方程为22221111224x y x y (x )(y )+-+-=，------------------------------11分 即22110x y x x y y +--=-----④即点M 、N 满足方程④，又点M 、N 都在O 上， ∴M、N 坐标也满足方程2243O :x y +=---------------⑤ ⑤-④得直线MN 的方程为1143x x y y +=，------------------------------12分 令0y ,=得143m x =，令0x =得143n y =，----------------------------------13分 ∴114433x ,y m n ==，又点P 在椭圆E 上， ∴22443433()()m n +=，即2211334m n +==定值.-----------------------------------14分【解法二：设点112233P(x ,y ),M(x ,y ),N(x ,y ),则221PM OM x k ,k y =-=-----------10分 直线PM 的方程为2222x y y (x x ),y -=--化简得2243x x y y ,+=--------------④ 同理可得直线PN 的方程为3343x x y y ,+=---------------⑤-------------------11分 把P 点的坐标代入④、⑤得121213134343x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴直线MN 的方程为1143x x y y +=，------------------------------------------------------12分令0y ,=得143m x =，令0x =得143n y =，--------------------------------------------13分 ∴114433x ,y m n ==，又点P 在椭圆E 上， ∴22443433()()m n +=，即2211334m n +==定值．---------------------------------------------14分】 21.（1）证明：要证4()31f x x >-+，即证4ln 201x x +->+，--------------------1分 令4()ln 2,1m x x x =+-+则22214(1)()0.(1)(1)x m x x x x x -'=-=>++------------3分 ∴()m x 在(1,)+∞单调递增，()(1)0m x m ∴>=，4ln 201x x ∴+->+，即4()31f x x >-+成立．----------------------4分 （2）解法一：由()f x x >且(1,)x e ∈可得1,ln x a x->---------------------------------------5分 令21ln 11(),(),ln (ln )x x x h x h x x x -+-'==---------------------------------------------------------6分由（1）知2114(1)ln 110,1(1)x x x x x x x --+>+-=>++-----------------------------------8分 ()0,h x '∴>函数()h x 在(1,)e 单调递增，当(1,)x e ∈时，()()1,h x h e e <=-1a e ∴≥-．----------------------------------------------------------9分【解法二：令()ln 1h x a x x =+-，则'()1a a x h x x x-=-=，-------------------5分 当a e >时，'()0h x >，函数()h x 在(1,)e 上是增函数，有()(1)0h x h >=，------6分 当1a e <≤时，∵函数()h x 在(1,)a 上递增，在(,)a e 上递减，对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，只需()0h e ≥，即1a e ≥-．---------------7分当1a ≤时，函数()h x 在(1,)e 上递减，对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，只需()0h e ≥， 而()10h e a e =+-<，不合题意，-----------------------------------------------------------8分综上得对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，1a e ≥-．------------------------9分】【解法三：由()f x x >且(1,)x e ∈可得1ln ,1x a x <----------------5分 由于ln 1x x -表示两点(,ln ),(1,0)A x x B 的连线斜率，-----------------6分 由图象可知ln 1x y x =-在(1,)e 单调递减， 故当(1,)x e ∈时，ln ln 1,111x e x e e >=-----------------------------------8分 1101a e ∴<≤-即1a e ≥--------------------------------------------------9分】 （3）当12a =时，1()ln 1.2f x x =+则121()ln(1)!2n i f i n n +==++∑， 要证12()2(11)n i f i n n +=>++∑，即证12ln 2441n i i n n +=>+-+∑分 由（1）可知4ln(1)2,2n n +>-+又42(1)12n n n +=++>>∴<+-------------11分∴ln(1)22n +>=- ∴ln 2ln 3ln(1)24[(21)(32)(1)]n n n n ++++>--+-+++-=24n +--------------------------------------------13分故12()2(1n i f i n +=>+∑得证．------------------------------------------14分。