《高阶导数》PPT课件
合集下载
2-3 隐函数及参数方程及高阶导数_图文.ppt
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数计算，是微积分中的重要内容。对于隐函数，我们可以通过对方程两边同时求导次进行求导，注意此时要运用复合函数的求导法则。对于由参数方程所确定的函数，其一阶导数可以通过参数方程中各变量对参数的导数关系求得。而二阶导数则需要在一阶导数的基础上，进一步对参数求导，并结合链式法则进行计算。掌握这些方法和步骤，能够有效解决隐函数及参数方程相关的高阶导数问题，提升微积分学习的效果和应用能力。
高阶导数PPT
y′ = f ′(x ) 仍然可导，则我们把 y′ = f ′(x ) 的导数叫做
d y y = f (x) 的二阶导数 y′′, f ′′( x)或 , 即 二阶导数，记作 函数 二阶导数 dx
2 2
d y d dy ′′ = ( y′)′, f ′′( x) = [ f ′( x)]′, y = dx dx dx
y′′ = cos( x + ) = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2
π
π
y′′′ = cos( x + 2 ⋅ ) = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地，可得 ( sin x ) 类似地，可得 ( cos x )
湖 南 对
Foreign
π
π
(n)
= sin( x + n ⋅ ) 2 = cos( x + n ⋅ ). 2
L2′ (1) > 0,
L2′′ (1) > 0 ，所以利润的增长率在加速 所以利润的增长率在加速.
结论：由于建设周期至少要3 结论：由于建设周期至少要3年，因此该公司应选择 第二个模型. 第二个模型
湖 南 对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
首页
上页
高等数学-§2.3 高阶导数
n
其中公式(2)称为莱布尼茨(Leibniz)公式.
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.7
y sin x cos x
4 4
2 2 2 2
, 求
y
n
.
解 将 y 变形得
y sin x cos x
1 cos 4 x 3 1 1 cos 4 x 4 4 4
2 2x 2 2 x x2 1 x 2x x2
y
y
2 1 x 2 x x 1 x
2
2x x2
2x x
2
2
2 x x 1 x 2x x
2
2 2x 2 2x x
2
高等数学 第2章 导数与微分
x
n
k
k n
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
如果函数 u u x 和 v v x 在点 x 处具有 n 阶导数, 那么
u x v x 和 u x v x 在点 x 处也都具有
n 阶导数（ , 是常数）, 且
n
n 1 ! 1 n 1 x
n 1
通常规定 0! 1 , 因此这个公式当 n 1 时也成立.
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.6
解
求
yx
1
(
是任意常数)的 n 阶导数.
y 1 x 2
,
y x
y sin x cos( x ) sin( x 2 ) 2 2
2.5高阶导数(1-14)
解 y'(x) 2xarctan x 1
x y''( x) 2(arctan x 1 x2 )
例 y f (x2 ) , 求 y''( x) , y'''( x)
解 y'( x) f '( x2 ) 2x
y''( x) 2( f '( x2 ) x f ''( x2 ) 2x) 2 f '(x2) 4x2 f ''(x2 )
解 采用找规律的方法求解问题
(1) y e x , y' e x , y" e x y(n) e x
即
(e x )(n) e x
(1)
(2) y' sinx cos(x ) y" cosx cos(x 2 )
2
2
y"' sinx
cos(x 3 )
y(n) cos(x n )
在上式中令常数 (-b) = b , 得
所以 , 有
a
1 bx
(n)
(1)n bnn! (a bx)n1
y(n) ( x)
1 2a
(a
bnn! bx)n1
(1)n bnn! (a bx)n1
例 设 f ( x) ln(1 x) , 求 f (n)(x)
解
f '(x) 1 , 1 x
表示的
x ln cost dy t cost dx
d2y dx2
d dx
dy dx
d dy dt dx
dx
dt
相当于对导函数的参数 方程再用一次参数方程 求导公式
(cost t sint) 1 ( sint )
x y''( x) 2(arctan x 1 x2 )
例 y f (x2 ) , 求 y''( x) , y'''( x)
解 y'( x) f '( x2 ) 2x
y''( x) 2( f '( x2 ) x f ''( x2 ) 2x) 2 f '(x2) 4x2 f ''(x2 )
解 采用找规律的方法求解问题
(1) y e x , y' e x , y" e x y(n) e x
即
(e x )(n) e x
(1)
(2) y' sinx cos(x ) y" cosx cos(x 2 )
2
2
y"' sinx
cos(x 3 )
y(n) cos(x n )
在上式中令常数 (-b) = b , 得
所以 , 有
a
1 bx
(n)
(1)n bnn! (a bx)n1
y(n) ( x)
1 2a
(a
bnn! bx)n1
(1)n bnn! (a bx)n1
例 设 f ( x) ln(1 x) , 求 f (n)(x)
解
f '(x) 1 , 1 x
表示的
x ln cost dy t cost dx
d2y dx2
d dx
dy dx
d dy dt dx
dx
dt
相当于对导函数的参数 方程再用一次参数方程 求导公式
(cost t sint) 1 ( sint )
《高阶导数》课件
高阶导数
在这个PPT课件中，将会介绍高阶导数的概念和运用。从一阶导数到高阶导数， 深入了解导数的定义、性质和应用。
什么是导数
导数是描述函数变化率的工具，它可以帮助我们了解函数在不同点的斜率或变化速率。导数的定义和意义是我 们学习导数的起点。
一阶导数
一阶导数是导数的基础，它可以告诉我们函数曲线的斜率和变化趋势。一阶 导数的定义、性数的进一步延伸，它可以告诉我们函数变化的更多细节和特性。 高阶导数的定义、意义、性质和计算方法将会在这一节中探讨。
应用举例
通过一些实际的例子，我们可以更好地理解导数的应用。在这一节中，我们 将讨论函数极值问题、函数凸凹性问题以及根据导数表述函数形态。
总结
通过本PPT课件，我们可以深入了解导数的重要性和高阶导数的作用。同时，也可以对导数在实际应用领域中 的意义有一个总体的了解。
在这个PPT课件中，将会介绍高阶导数的概念和运用。从一阶导数到高阶导数， 深入了解导数的定义、性质和应用。
什么是导数
导数是描述函数变化率的工具，它可以帮助我们了解函数在不同点的斜率或变化速率。导数的定义和意义是我 们学习导数的起点。
一阶导数
一阶导数是导数的基础，它可以告诉我们函数曲线的斜率和变化趋势。一阶 导数的定义、性数的进一步延伸，它可以告诉我们函数变化的更多细节和特性。 高阶导数的定义、意义、性质和计算方法将会在这一节中探讨。
应用举例
通过一些实际的例子，我们可以更好地理解导数的应用。在这一节中，我们 将讨论函数极值问题、函数凸凹性问题以及根据导数表述函数形态。
总结
通过本PPT课件，我们可以深入了解导数的重要性和高阶导数的作用。同时，也可以对导数在实际应用领域中 的意义有一个总体的了解。
§3. 高阶导数
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(1)二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数. 二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数 二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数 dy df y′ f ′( x ) dx dx 2 2 d y d f f ′′( x ) y′′ 2 2 dx dx 3 3 d y d f f ′′′( x ) y′′′ 3 3 dx dx 4 4 d y d f (4) (4) f ( x) y 4 4 dx dx ……………………………………… dny dn f (n) ( n) f ( x) y n n dx dx
k +L+ Cn u(k)v(n−k) +
规定： 莱布尼兹(Leibniz) 公式 莱布尼兹
10
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例7.
2
求
2x
解: 设 u = x , v = e , 则
u′ = 2x , u′′ = 2,
u
(k )
=0
(k = 3 ,L 20) ,
v(20−k) = 220−k e2x
第三节 高阶导数
一、高阶导数的概念 定义 函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ) 称为函数 f ( x ) 的二阶导数 二阶导数. 二阶导数的导数称为 f ( x )的三阶导数 三阶导数. 三阶导数的导数称为 f ( x )的四阶导数. 四阶导数 LLLLLLLLLLLLLLLL
n − 1 阶导数的导数称为 f ( x )的n阶导数 阶导数. 阶导数
机动 目录 上页 下页 返回
13
结束
思考与练习
如何求下列函数的 n 阶导数? 1− x (1) y = 解: 1+ x
1 (n) n! n ( ) = (−1) ( x + a )n +1 x+a
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(1)二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数. 二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数 二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数 dy df y′ f ′( x ) dx dx 2 2 d y d f f ′′( x ) y′′ 2 2 dx dx 3 3 d y d f f ′′′( x ) y′′′ 3 3 dx dx 4 4 d y d f (4) (4) f ( x) y 4 4 dx dx ……………………………………… dny dn f (n) ( n) f ( x) y n n dx dx
k +L+ Cn u(k)v(n−k) +
规定： 莱布尼兹(Leibniz) 公式 莱布尼兹
10
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例7.
2
求
2x
解: 设 u = x , v = e , 则
u′ = 2x , u′′ = 2,
u
(k )
=0
(k = 3 ,L 20) ,
v(20−k) = 220−k e2x
第三节 高阶导数
一、高阶导数的概念 定义 函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ) 称为函数 f ( x ) 的二阶导数 二阶导数. 二阶导数的导数称为 f ( x )的三阶导数 三阶导数. 三阶导数的导数称为 f ( x )的四阶导数. 四阶导数 LLLLLLLLLLLLLLLL
n − 1 阶导数的导数称为 f ( x )的n阶导数 阶导数. 阶导数
机动 目录 上页 下页 返回
13
结束
思考与练习
如何求下列函数的 n 阶导数? 1− x (1) y = 解: 1+ x
1 (n) n! n ( ) = (−1) ( x + a )n +1 x+a
2-3高阶导数
dy dy du eu e ln x
dx du dx
x
x
x x1. 证毕
x
例5 求y=f(x2)的导数(其中f(x)可导).
解 可分解为 y f (u), u x2 ,
y dy du f (u)(2x) 2 xf ( x 2 ). du dx
7
复合函数的求导法则有三个步骤： （1）分解复合函数，分解到基本初等函数或
复合而成，
dy dy du eu (cos x ln x sin x )
dx du dx
x
xsin x (cos x ln x sin x ). x
注意：对幂指函数需要变形后才能进行求导，
否则无法求出.
6
例4 证明：( x ) x 1 ( R).
证 y x e ln x由 y eu，u ln x 复合而成，
7.
f
x
2
3
x3,
x 1 .
x2 , x 1
解
由题可得f
x
2
x
2
,
2x,
x 1 x 1
作业
f
x0
lim f x x0
x
所以 f(1) 2, f 1 2，左右导数都存在 错
错误原因：
lim
x1
f ( x)
f (1 )
f(1)
lim
x1
f ( x) f (1) x 1
f x0 f x0
简单函数为止. （2）按锁链法则进行计算. （3）把中间变量回代到原来的变量. 注意：（1）关键是分解，分解原则：各个分函数的
导数可求.
（2）熟练后这种分解可省去，即省去中间变量
（3）该法则可推广到多（有限）层复合函数，
《D23高阶导数》课件
培养学生对数学的兴趣和热情
教学方法与手段
讲解法：通过讲解D23高阶导数的概念、性质、 计算方法等，让学生理解并掌握相关知识。
练习法：通过布置习题，让学生进行练习，巩 固所学知识。
讨论法：组织学生进行讨论，让学生互相交流 学习心得，提高学习效果。
实验法：通过实验，让学生亲自动手操作，加 深对D23高阶导数的理解。
学习建议：结合实际案例，进 行实践操作，提高应用能力
注意事项
适用对象：高等数学、微积分等课程的学生和教师
使用建议：建议在讲解D23高阶导数时，结合实例进行讲解，以便学生更好地理解和掌握
注意事项：在使用课件时，注意保护知识产权，不得擅自修改或传播课件内容
反馈建议：在使用过程中，如有任何问题或建议，请及时反馈给课件制作者，以便改进和完善课 件内容
高阶导数的微分方程 和积分
高阶导数的几何意义 和物理意义
高阶导数的综合练习 和习题解答
高阶导数的总结和复 习
课件的演示方式
幻灯片演示：通过幻灯片展示D23高阶导数的概念、公式、应用等
视频讲解：通过视频讲解D23高阶导数的概念、公式、应用等
互动问答：通过互动问答的方式，让学生更好地理解和掌握D23高阶导数的概念、公式、应用 等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
可微性：导数在定义域内是可微的
导数的极限性质：导数是原函数在 某一点的极限值
导数在数学中的应用
微积分：导数是微积分的基础，用于计算极限、积分等
优化问题：导数用于求解函数的极值和最值，如求函数的最大值和最小值
物理应用：导数在物理学中用于描述物体的运动状态，如速度、加速度等 经济学：导数在经济学中用于描述经济变量之间的关系，如需求曲线、供 给曲线等
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y sin4 x cos4 x
(sin2 x cos2 x)2 2sin2 x cos2 x
1 1 sin2 2x 1 1 1 cos 4 x
2
2 2
3 1 cos4x 44
(cos x)(n) cos( x n ) 2
例 设 y ln(1 x)( x 1), 求y(n).
解 y 1
1 x
y
(1
1 x
)
2
y
(1
2! x)3
y(4)
(1
3! x
)4
y(n) (1)n1 (n 1)! (1 x)n
(n 1, 0! 1)
6
例 设 y sin x, 求y(n) .
函数的n阶导数公式,使问题简化.
几个常用高阶导数公式
(1) (a x )(n) a x lnn a (a 0) (e x )(n) e x
(2) (sin kx)(n) k n sin( kx n ) 2
(3) (cos kx)(n) k n cos(kx n ) 2
依次类推 , 可得
y(n) n!an
4
几个基本初等函数的n阶导数
例 设 y x ( R), 求y(n). 解 y x1
y (x1) ( 1)x2
y (( 1)x2 ) ( 1)( 2)x3
d2 y 或 d2 y d (dy) dx2 d x 2 d x dx
2
二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x),
y,
d3 y dx 3
.
三阶导数的导数称为四阶导数, f (4)( x),
y(4) ,
d4 y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数,记作
f (n)( x),
y(n),
dn y dx n
或
dn f (x) dx n
.
二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
3
由高阶导数的定义,欲求函数的高阶导数, 只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去, 而不需要新的方法.
例. 设
求
解: y a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1 y 2 1a2 3 2a3x n(n 1)an xn2
解 y cos x sin( x ) 2
y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 )
2
22
2
y cos( x 2 ) sin( x 3 )
2
2
y(n) sin( x n ) 即 (sin x)(n) sin( x n )
a(t) v(t) [s(t)]' 这就是二阶导数的物理意义
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即
( f ( x)) lim f'( x x) f'( x)
x0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的 二阶导数.
记作
f ( x), y,
y(n) 1 4n cos 4 x n
4
2
10
例 设y ( x 2)(2x 3)2(3x 4)3, 求y(6). 分析 此函数是6次多项式, 又是求6阶导数,
故不需将函数因式全乘出来. 解 因为
y x(2x)2(3x)3 p5( x) 108x6 p5( x)
用此公式可以简便地求
2!
出 乘n(积n 的1)高阶(n导数k 1) u(nk)v(k) uv(n)
k!
n
可类比着Newton二项公
Cnku(nk )v(k )
式加强记忆
k0
Leibniz公式
12
n
例 设 y x2 sin x, 求y(100) . (u v)(n)
y(n) ( 1)( n 1)xn
(n 1)
若 为自然数n, 则
y(n) ( x n )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
5
例 设 y e x , 求y(n) .
解 y e x , y e x , y e x , , (e x )(n) e x .
(4) ( x )(n) ( 1)( n 1)xn
(5)
(ln
x)(n)
(1)n1
(n 1)! xn
1 x
(n)
(1)n
n! x n1
9
例 y sin4 x cos 4 x, 求y(n) .
解 若直接求导,将是很复杂的,且不易找出规律, 所以将式子恒等变形.
§2.3 高阶导数
高阶导数的定义 几个基本初等函数的n阶导数 莱布尼茨(Leibniz)公式 小结 思考题 作业
1
第二章 导数与微分
一、高阶导数的定义 高阶导数也是由实
问题:变速直线运动的加速度. 际需要而引入的.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)
加速度a是 速度v对时间t的变化率
2
2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n )
2
7
注 求n阶导数时, 关键要寻找规律, 一般求至三阶, 便可看出规律; 另外在 求导过程中不要急于合并, 分析结果 的规律性,写出n 阶导数.
8
求n阶导数需要运用技巧 (通过四则运算,
变量代换,恒等变形) 尽可能化为求某些熟知
其中 p5( x) 为x的5次多项式, 故 y(6) 108 6!.
11
二、莱布尼茨公式
设莱布函尼数茨u和(Lve具ib有ninz,阶16导46数—,1则716)
(1) (u德国பைடு நூலகம்v数)(学n) 家.u(n) v(n)
(2) (u v)(n) u(n)v nu(n1)v n(n 1) u(n2)v
(sin2 x cos2 x)2 2sin2 x cos2 x
1 1 sin2 2x 1 1 1 cos 4 x
2
2 2
3 1 cos4x 44
(cos x)(n) cos( x n ) 2
例 设 y ln(1 x)( x 1), 求y(n).
解 y 1
1 x
y
(1
1 x
)
2
y
(1
2! x)3
y(4)
(1
3! x
)4
y(n) (1)n1 (n 1)! (1 x)n
(n 1, 0! 1)
6
例 设 y sin x, 求y(n) .
函数的n阶导数公式,使问题简化.
几个常用高阶导数公式
(1) (a x )(n) a x lnn a (a 0) (e x )(n) e x
(2) (sin kx)(n) k n sin( kx n ) 2
(3) (cos kx)(n) k n cos(kx n ) 2
依次类推 , 可得
y(n) n!an
4
几个基本初等函数的n阶导数
例 设 y x ( R), 求y(n). 解 y x1
y (x1) ( 1)x2
y (( 1)x2 ) ( 1)( 2)x3
d2 y 或 d2 y d (dy) dx2 d x 2 d x dx
2
二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x),
y,
d3 y dx 3
.
三阶导数的导数称为四阶导数, f (4)( x),
y(4) ,
d4 y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数,记作
f (n)( x),
y(n),
dn y dx n
或
dn f (x) dx n
.
二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
3
由高阶导数的定义,欲求函数的高阶导数, 只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去, 而不需要新的方法.
例. 设
求
解: y a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1 y 2 1a2 3 2a3x n(n 1)an xn2
解 y cos x sin( x ) 2
y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 )
2
22
2
y cos( x 2 ) sin( x 3 )
2
2
y(n) sin( x n ) 即 (sin x)(n) sin( x n )
a(t) v(t) [s(t)]' 这就是二阶导数的物理意义
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即
( f ( x)) lim f'( x x) f'( x)
x0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的 二阶导数.
记作
f ( x), y,
y(n) 1 4n cos 4 x n
4
2
10
例 设y ( x 2)(2x 3)2(3x 4)3, 求y(6). 分析 此函数是6次多项式, 又是求6阶导数,
故不需将函数因式全乘出来. 解 因为
y x(2x)2(3x)3 p5( x) 108x6 p5( x)
用此公式可以简便地求
2!
出 乘n(积n 的1)高阶(n导数k 1) u(nk)v(k) uv(n)
k!
n
可类比着Newton二项公
Cnku(nk )v(k )
式加强记忆
k0
Leibniz公式
12
n
例 设 y x2 sin x, 求y(100) . (u v)(n)
y(n) ( 1)( n 1)xn
(n 1)
若 为自然数n, 则
y(n) ( x n )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
5
例 设 y e x , 求y(n) .
解 y e x , y e x , y e x , , (e x )(n) e x .
(4) ( x )(n) ( 1)( n 1)xn
(5)
(ln
x)(n)
(1)n1
(n 1)! xn
1 x
(n)
(1)n
n! x n1
9
例 y sin4 x cos 4 x, 求y(n) .
解 若直接求导,将是很复杂的,且不易找出规律, 所以将式子恒等变形.
§2.3 高阶导数
高阶导数的定义 几个基本初等函数的n阶导数 莱布尼茨(Leibniz)公式 小结 思考题 作业
1
第二章 导数与微分
一、高阶导数的定义 高阶导数也是由实
问题:变速直线运动的加速度. 际需要而引入的.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)
加速度a是 速度v对时间t的变化率
2
2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n )
2
7
注 求n阶导数时, 关键要寻找规律, 一般求至三阶, 便可看出规律; 另外在 求导过程中不要急于合并, 分析结果 的规律性,写出n 阶导数.
8
求n阶导数需要运用技巧 (通过四则运算,
变量代换,恒等变形) 尽可能化为求某些熟知
其中 p5( x) 为x的5次多项式, 故 y(6) 108 6!.
11
二、莱布尼茨公式
设莱布函尼数茨u和(Lve具ib有ninz,阶16导46数—,1则716)
(1) (u德国பைடு நூலகம்v数)(学n) 家.u(n) v(n)
(2) (u v)(n) u(n)v nu(n1)v n(n 1) u(n2)v