代几综合试题(1)
中考压轴题代几综合题
❖ 分类讨论是要依据一定的标准，对问题分类、求 解，要特别注意分类原则是不重不漏、最简.
分类常见的依据是：
❖ 一是依概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角 可以是直角，两个三角形相似时分清谁与谁可以是 对应角；
在中考试卷中，代成.
► 热考一 坐标系中的几何问题
❖ 本类题通常先给定函数解析式和几何图形，由几何 图形的性质或解析法确定待定系数所需的条件，求 出函数解析式，然后根据所求的函数关系进行探索 研究．探索研究的一般类型有：①在什么条件下三 角形是等腰三角形、直角三角形；②四边形是菱形、 梯形等；③探索两个三角形满足什么条件相似；④ 探究线段之间的位置关系等．
❖ 二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一 个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以 是三角形，也可以是四边形、五边形等；
❖ 三是依据图形间的位置关系，如点在线段上(不与端 点重合)、点与端点重合、点在线段延长线上等．
► 热考二 动点问题
❖ 解决动态几何问题我们需要用运动与变化的 眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变 化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关 系，并特别关注一些不变量和不变关系或特 殊关系；在求有关图形的变量之间关系时， 通常建立函数模型或不等式模型来求解；求 图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时， 通常建立方程模型求解
二、应用举例 [2012·北京]
在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝－m－4 1x2＋54mx＋m2－3m ＋2 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A，点 B(2，n)在这条抛物线上.
(1) 求 B 点的坐标；(2) 点 P 在线段 OA 上，从 O 点出发向 A 点 运动，过 P 点作 x 轴的垂线，与直线 OB 交于点 E，延长 PE 到点 D，
2014年初三数学期末试题分类汇编_代几综合
2014年1月期末试题分类汇编——代几综合（2014·石景山1月期末·26.）已知点)2,2(-A 和点),4(n B -在抛物线)0(2≠=a ax y 上. （1）求a 的值及点B 的坐标；（2）点P 在y 轴上，且满足△ABP 是以AB 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标; （3）平移抛物线)0(2≠=a ax y ，记平移后点A 的对应点为'A ，点B 的对应点为'B .点M （2,0）在x 轴上，当抛物线向右平移到某个位置时，''MB M A +最短，求此时抛物线的函数解析式.26．解：（1）21-=a ……………………1分 抛物线解析式为：221x y -=)8,4(--B ……………………2分 (2) 记直线AB 与x 、y 轴分别交于C 、D 两点，4:则-=x y AB 直线)4,0(、)0,4(-D C ………………………3分 ︒=∠∴=∆45中，ODA DO OC COD Rt ， ①以A 为直角顶点，则︒=∠901AB P ︒=∠∆45中，11DA P AD P Rt 则2245cos 1=︒=D P AD421==∴AD D P 又),4，0(-D)0，0(1P ∴…………………4分 ②以B 为直角顶点，则︒=∠902DBP ︒=∠=∠∆45中，22ODC BDP DBP Rt 822==∴BD DP )12，0(-∴P ………………………5分)12-，0(或)0，0(综上，P ∴（3）记点A 关于x 轴的对称点为)2，2(E 则BE: 3435-=x y令y=0,得54=x 即BE 与x 轴的交点为)0,54(Q ……6分56542=-=MQ故抛物线221x y -=向右平移56个单位时''MB M A +最短此时，抛物线的解析式为2)56(21--=x y …………………7分（2014·西城1月期末·25）已知：二次函数224y ax ax =+-(0)a ≠的图象与x 轴交于点A ，B （A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，△ABC 的面积为12．②求二次函数的解析式；（2） 点D 的坐标为（－2，1），点P 在二次函数图象上，∠ADP 为锐角，且tan 2ADP ∠=，求点P 的横坐标；（3）点E 在x 轴的正半轴上，o 45OCE ∠>，点O 与点O '关于EC 所在直线对称．作ON ⊥EO '于点N ，交EC 于点M ．若EM ·EC ＝32，求点E 的坐标．25．解：（1）①该二次函数图象的对称轴为直线1x =-； ............................................... 1分②∵ 当x =0时，y =－4， ∴ 点C 的坐标为(04)-，．∵ ABC S ∆.................................... 2分（2）如图，作(ⅰ)在Rt △ADF 中，o 90AFD ∠=，得tan 2ADF DF∠==． 延长DF 与抛物线交于点P 1，则P 1点为所求． ∴ 点P 1的坐标为(24)--，．....................................................................... 3分 (ⅱ)当点P 在直线AD 的上方时，延长P 1A 至点G 使得AG =AP 1，连接DG ，作GH ⊥x 轴于点H ，如图所示．可证 △GHA ≌△1PFA ． ∴ HA =AF ，GH = P 1 F ，GA =P 1A ． 又∵ (40)A -，，1(2P --，∴ 点G 的坐标是(64)-，在△ADP 1中，DA =DP 1＝５，1AP =，∴ 22211DA AP DP +=．∴ 1o 90DAP ∠=．∴ DA ⊥1GP ． ∴ 1DG DP =． ∴ 1ADG ADP ∠=∠．∴ 1tan tan 2ADG ADP ∠=∠=．P 2，则P 2点为所求． 作DK 2S ∥GK 交DK 于点S ．设P 4)x +-，则2221141522S x x x x P =+--=+-，2DS x =--． 由2P S DS GK DK=，3GK =，4DK =，得2152234x x x +---=．................................................... 5分 （3∴ O O '⊥CE ，OCE ∠=∠O 'CE ，∠C O 'E o 90COE =∠=．∴ O 'C ⊥O 'E ． ∵ ON ⊥O 'E ， ∴ O 'C ∥O N ． ∴ OMC ∠=∠O 'C E OCE =∠． ∴ OC OM =． ........................................................................................................ 6分 ∴ CT MT =．∵ 在Rt △ETO 中，o 90ETO ∠=，cos ETOEC OE ∠=，在Rt △COE 中，o 90COE ∠=，cos OEOEC EC∠=，∴ OE ET EC OE =． ∴ 2OE ET EC =⋅()EM TM EC =+⋅EM EC TM EC =⋅+⋅ 32TM EC =+⋅．同理 2OC CT EC =⋅TM EC =⋅16=． ∴ 2321648OE =+=． ∵ 0OE >，∴ OE =．，................................................................................ 8分（2014·海淀1月期末·25）如图1，已知二次函数232y x bx b =++的图象与x 轴交于A 、B 两点(B 在A 的左侧)，顶点为C ， 点D （1，m ）在此二次函数图象的对称轴上，过点D 作y 轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E 点． （1）求此二次函数的解析式和点C 的坐标；（2）当点D 的坐标为（1，1）时，连接BD 、BE ．求证：BE 平分ABD ∠；（3）点G 在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A 、C 、G 为顶点的三角形与以G 、D 、E 为顶点的三角形相似，求点E 的横坐标．图1备用图1 备用图225. （本小题满分8分）解：（1）∵点D （1，m ）在232y x bx b =++图象的对称轴上， ∴112b -=． ∴2b =-．∴二次函数的解析式为223y x x =--．………………………………………1分 ∴C （1，-4）． …………………………………………………………………2分（2）∵D （1，1），且DE 垂直于y 轴， ∴点E 的纵坐标为1，DE 平行于x 轴． ∴DEB EBO ∠=∠．令1y =，则2231x x --=，解得121x x==∵点E 位于对称轴右侧，∴E (1 1)． ∴D E令0y =，则223=0x x --，求得点A 的坐标为（3,0），点B 的坐标为（-1,0）． ∴BD =．∴BD = D E ．……………………………………………………………………3分∴ DEB DBE ∠=∠． ∴ DBE EBO ∠=∠．∴BE 平分ABD ∠．……………………………………………………………4分 （3）∵以A 、C 、G 为顶点的三角形与以G 、D 、E 为顶点的三角形相似，且△GDE 为直角三角形， ∴△ACG 为直角三角形． ∵G 在抛物线对称轴上且位于第一象限， ∴90CAG ∠=．∵A （3,0）C （1，-4），AF CG ⊥, ∴求得G 点坐标为（1，1）． ∴AG AC = ∴AC =2 AG .∴GD =2 DE 或 DE =2 GD .图1图2设()2, 23E t t t --（t >1） ，1︒.当点D 在点G 的上方时，则DE=t -1，GD = (223t t --)1-=224t t --. i. 如图2，当 GD =2 DE 时， 则有， 224t t --= 2(t -1).解得，=2t 舍负)………………………5分ii. 如图3，当DE =2GD 时， 则有，t -1=2(224t t --). 解得，127=1=2t t -，.(舍负)…………………6分 2︒. 当点D 在点G 的下方时，则DE=t -1，GD =1- (223t t --)= -2+2+4t t . i. 如图4，当 GD =2 DE 时， 则有， 2+2+4t t -=2（t -1）.解得，=t 舍负) ………………………7分 ii. 如图5，当DE =2 GD 时， 则有，t -1=2（2+2+4t t -）. 解得，123=3=2t t -，.(舍负) …………………8分 综上，E点的横坐标为或723.（2014·朝阳1月期末·24）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(2)2y mx m x =+++过点(2,4)，且与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C .点D 的坐标为(2,0)，连接CA ，CB ，CD .（1）求证：ACO BCD ∠=∠；（2）P 是第一象限内抛物线上的一个动点，连接DP 交B C 于点E . ①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出点E 的坐标； ②连接CP ，当△CDP 的面积最大时，求点E 的坐标.图3图4图524.解：（1）∵抛物线y = mx 2+(m +2)x +2过点（2，4）， ∴13m =-． ∴抛物线表达式为215233y x x =-++． ………………………1分 ∴A (－1，0)，B (6，0)，C (0，2) ． 作BM ⊥CD ，交CD 延长线于点M ， 在Rt △DOC 中，∵OC =OD =2，∴∠CDO ＝∠BDM ＝45o ，CD = 在Rt △BMD 中， ∵BD =4，∴DM =BM =在Rt △CMB 中，1tan2BM BCM CM ∠===． 在Rt △AOC 中，1tan 2OA ACO OC ∠==． ∴tan ∠BCM ＝tan ∠ACO ．∴∠BCD ＝∠ACO ． ………………………………………………2分（2）①12(4,)3E ，2(6E ． ……………………………………4分②设215(,2)33P x x x -++， 过点P 作x 轴的垂线，垂足为点F ，交CD 延长线于点Q ，直线CD 的解析式为y ＝－x ＋2．∴Q (x ，－x ＋2)． C D P C P QDP S S S ∆∆∆=- 1122PQ OF PQ DF =⋅-⋅ 12PQ OD =⋅． ∴21833CDP S x x ∆=-+（0＜x ＜6）．………5分 当x ＝4时，CDP S ∆最大，此时10(4,)3P ． ……………6分 直线PD 的解析式为 51033y x =-． 直线CB 的解析式为 123y x =-+． PD 与CB 的交点为810(,)39E ． ………………………7分 ∴当△CDP 的面积最大时，点E 坐标为810(,)39.（2014·东城1月期末·25）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2(1)4y x m x m =-+-+的图象与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B （0，4），已知点E （0，1）． （1）求m 的值及点A 的坐标；（2）如图，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A ′E ′O ′，连结A ′B 、BE ′．①当点E ′落在该二次函数的图象上时，求AA ′的长； ②设AA ′=n ，其中0＜n ＜2，试用含n 的式子表示A ′B 2+BE ′2，并求出使A ′B 2+BE ′2取得最小值时点E ′的坐标；③当A ′B +BE ′取得最小值时，求点E ′的坐标．25．解：（1）由题意可知 44m =，1m =．∴ 二次函数的解析式为24y x =-+．∴ 点A 的坐标为（- 2, 0）． …………………………..2分 （2）①∵ 点E （0,1），由题意可知，241x -+=．解得 x =∴ AA ……………………………..3分 ②如图，连接EE ′．由题设知AA ′=n （0＜n ＜2），则A ′O = 2 - n ． 在Rt △A ′BO 中，由A ′B 2= A ′O 2+ BO 2， 得A ′B 2=(2–n )2+ 42= n 2 - 4n + 20．∵△A ′E ′O ′是△AEO 沿x 轴向右平移得到的， ∴EE ′∥AA ′，且EE ′=AA ′． ∴∠BEE ′=90°，EE ′=n ． 又BE =OB - OE =3.∴在Rt △BE ′E 中，BE ′2= E ′E 2+ BE 2= n 2+ 9，∴A ′B 2+ BE ′2= 2n 2- 4n + 29 = 2(n –1)2+ 27．当n = 1时，A ′B 2 + BE ′2可以取得最小值，此时点E ′的坐标是（1，1）． ……………………………..5分 ③如图，过点A 作AB ′⊥x 轴，并使AB ′ = BE = 3．易证△AB ′A ′≌△EBE ′， ∴B ′A ′ = BE ′， ∴A ′B + BE ′ = A ′B + B ′A ′． 当点B ，A ′，B ′在同一条直线上时，A ′B + B ′A ′最小，即此时A ′B +BE ′取得最小值． 易证△AB ′A ′∽△OBA ′， ∴34AA AB A O OB ''=='， ∴AA ′=36277⨯=，∴EE ′=AA ′=67，∴点E ′的坐标是（67，1）． (8)分（2014·丰台1月期末·24）已知直线y=kx-3与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点C ，抛物线234y x mx n =-++经过点A 和点C,动点P 在x 轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x 轴的另一个交点B 向点A 运动，点Q 由点C 沿线段CA 向点A 运动且速度是点P 运动速度的2倍.（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点P 和点Q 同时出发，运动时间为t （秒），试问当t 为何值时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△AOC 相似；（3）在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得△ACD 的面积最大.若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．24．解：（1）∵ 直线y=kx-3过点A （4，0），∴ 0 = 4k -3，k=34． 解得∴ 直线的解析式为 y=34x-3．……………………………………1分由直线y=34x-3与y 轴交于点C ，可知C(0，-3) ． ∴ 2344304m -⨯+-=，解得 m=154．∴抛物线解析式为23153.44y x x =-+- ………………………2分（2）对于抛物线3x 415x 43y 2-+-=， 备用图令y=0，则03x 415x 432=-+-，解得x 1=1，x 2=4． ∴ B(1，0). ………………………………………………3分∴ AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t ，AQ=5-2t. ① 若∠Q 1P 1A=90°,则P 1Q 1∥OC （如图1）， ∴ △AP 1Q 1∽△AOC. ∴11AP AQ AO AC =, ∴3t 52t45--=．解得t= 53； ………4分 ② 若∠P 2Q 2A=90°, ∵∠P 2AQ 2 =∠OAC ，∴ △AP 2Q 2∽△AOC.∴22AP AQ AC AO =, ∴ 3t 52t54--=．解得t=136； ………………5分 综上所述，当t 的值为53或136时，以P 、Q 、A 为顶点的三角形与△AOC 相似．（3）答：存在．过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为E ，交AC 于点F （如图2）.∴ S △ADF =12DF·AE ，S △CDF =12DF·OE ． ∴ S △ACD = S △ADF + S △CDF =12DF×(AE+OE) =12×4 (DE+EF)=2×(23153x x 3x 3444-+--+)=23x 6x 2-+．…………6分∴ S △ACD =23(x 2)62--+（0<x<4）．又0<2<4且二次项系数023<-，∴ 当x=2时，S △ACD 的面积最大．而当x=2时，y=32．∴ 满足条件的D 点坐标为D (2, 32)． …………………7分（2014·大兴1月期末·25.）已知：在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y x bx c =-++2的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 在x 轴负半轴上，点B 在x 轴正半轴上，且===3，4CO BO AO AB ，抛物线的顶点为D. （1）求这个二次函数的解析式；（2）点E(0,n )在y 轴正半轴上，且位于点C 的下方. 当n 在什么范围内取值时∠CBD ＜∠CED ？当n 在什么范围内取值时∠CBD ＞∠CED ？（3）若过点B 的直线垂直于BD 且与直线CD 交于点P ，求点P 的坐标. 25. 解：（1）设AO m =34CO BO AO AB ===，,3CO BO m ∴==. 341m m m ∴+==，.103003A B C ∴-点、点、点的坐标分别为（，）、（，）、（，）. …………………1分223y x x ∴=-++二次函数的解析式为. …………………………2分（2）二次函数223y x x =-++的图象的顶点D 的坐标为（1，4）过点D 作DH y H ⊥轴于=1=1D H C H =O H -O CCD BC BD ∴∴==，由题意，得222CD BC BD ∴+=BCD ∴∆为直角三角形………………………………………………………3分1tan 3CD Rt BCD CBD BC ∆∠===在中，tan tan CBD CED CBD CED ∠=∠∠=∠若，则1tan 33DH Rt EDH CED EH EH ∴∆∠==∴=在中，∴OE =101E ∴此时点的坐标为（，） ……………………………………4分131E C n CBD CED n CBD CED∴<<∠<∠<<∠>∠点位于点的下方当时，当0时，（3）BCD ∆为直角三角形2B 7BC CDBD CD P BP BDBCD PCBBC CD PCPC ∴⊥∴⊥∴∆∆∴=∴=过点的直线垂直于且与直线交于点·分设直线CD 的解析式为y kx b =+，∵C 点坐标（0，3），D 点坐标（1，4） ∴直线CD 的解析式为3y x =+∴直线CD 与x 轴交点K 的坐标为（-3，0）∴OC =OK =3==45CKO FKP CK PK ∠∠︒∴=∴=过点P 作PF x ⊥轴于F66PF FK ∴==，()96P ∴--点坐标为，………………………………………………8分 （2014·怀柔1月期末·25）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y 轴于………………………………………………6分∽点A ，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧），已知C 点坐标为（6，0）. （1）求此抛物线的解析式；（2）联结 AB ，过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ,如果以点C 为圆心的圆与抛物线的对称轴l 相切，先补全图形，再判断直线BD 与⊙C 的位置关系并加以证明； （3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间.问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？求出PAC ∆的最大面积.25. （本小题满分8分）（1）解：∵抛物线的顶点为（4,1）， ∴设抛物线解析式为2(4)1y a x =-+.∵抛物线经过点C （6，0），∴20(64)1a =-+.∴14a =-. ∴2211(4)12-344y x x x =--+=-+. 所以抛物线的解析式为212-34y x x =-+………………………………3分(2) 补全图形、判断直线BD 与⊙C 相离. ………………………………4分 证明：令21(4)+14x --=0，则12x =，26x =. ∴B 点坐标（2，0）. 又∵抛物线交y 轴于点A，∴A 点坐标为（0，-3），∴AB ==设⊙C 与对称轴l 相切于点F ，则⊙C 的半径CF=2， 作CE ⊥BD 于点E ，则∠BEC=∠AO B=90°. ∵90ABD ∠=︒，∴90CBE ABO ∠=︒-∠. 又∵90BAO ABO ∠=︒-∠，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ∆∽BEC ∆，∴CE BCOB AB=.备用图∴2CE =2CE =>.∴直线BD 与⊙C 相离 ………………………………6分 (3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q . ∵A （0，-3），C （6，0）.∴直线AC 解析式为132y x =-.设P 点坐标为（m ，21234m m -+-），则Q 点的坐标为（m ，132m -）.∴PQ=21234m m -+--(132m -)=21342m m -+.∵22113327()6(3)24244PAC PAQ PCQ S S S m m m ∆∆∆=+=⨯-+⨯=--+,∴当3m =时，PAC ∆的面积最大为274.………………………………7分∵当3m =时，21234m m -+-=34∴P 点坐标为（3，34）. ………………………………8分综上：P 点的位置是（3，34），PAC ∆的最大面积是274（2014·密云1月期末·24）已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，以AB 为直径在正方形内作半圆，P 是半圆上的动点（不与点A 、B 重合），连接PA 、PB 、PC 、PD ． (1)如图①，当PA 的长度等于 ▲ 时，∠PAB ＝60°； 当PA 的长度等于 ▲ 时，△PAD 是等腰三角形； (2)如图②，以AB 边所在直线为x 轴、AD 边所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系（点A 即为原点O ），把△PAD 、△PAB 、△PBC 的面积分别记为S 1、S 2、S 3．坐标为（a ，b ），试求2 S 1 S 3－S 22的最大值，并求出此时a ，b 的值．（2014·房山1月期末·25）如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB 在x 轴上，以AB 为直径的半⊙O’与y 轴正半轴交于点C ，连接BC ，AC ．CD 是半⊙O’的切线，AD ⊥CD 于点D ． （1）求证：∠CAD =∠CAB ； （2）已知抛物线2y ax bx c =++过A 、B 、C 三点，AB =10 ，tan ∠CAD =12． ① 求抛物线的解析式； ② 判断抛物线的顶点E 是否在直线CD 上，并说明理由； ③ 在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBCA 是直角梯形．若存在，直接写出点P 的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．解：25. (1)证明：连接O'C ,∵ CD 是⊙O’的切线 ∴ O'C ⊥CD .....................................1分∵ AD ⊥CD ,∴ O'C ‖AD ,∴ ∠O’CA =∠CAD ∵ O’A =O'C , ∴∠O’CA =∠CAB ∴ ∠CAD =∠CAB ............................................2分 (2) ∵AB 是⊙O ’的直径，∴∠ACB =90°. ∵OC ⊥AB ,∴∠CAB =∠OCB ,∴∆CAO ∽∆BCO ∴'OC OBOA OC=即OC²=OA∙ OB∵tan ∠CAO =tan ∠CAD =12, ∴AO =2CO 又 ∵AB =10,∴OC²=2CO (10-2CO ), ∵CO >0 ∴CO=4,AO=8,BO=2 ∴A (-8,0),B (2,0),C (0,4) ..................................................................................................3分 ∵ 抛物线y=ax²+bx+c 过A 、B 、C 三点，∴c=4∴424064840a b a b ++=⎧⎨-+=⎩由题意得 解得213442y x x =--+ .............................4分 ②设直线DC 交x 轴于点F ，易得∆AOC ∽∆ADC ∴ AD=AO =8, ∵O'C ‖AD ∴∆FO’C ∽∆FAD ∴ ''O F O CAF AD= ∴8(BF +5)=5(BF +10), ∴ BF =103, F (163,0) 设直线DC 的解析式为y=kx+m ,则41603m k m =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 即344k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴344y x =-+ ..................................................................................5分由2213125254(3)-342444y x x x E =--+=-++得顶点的坐标（，） 将E （-3，254）代入直线DC 的解析式344y x =-+中右边=325--3+4==44⨯（）左边 ∴ 抛物线顶点E 在直线CD 上 ..................................................................................6分③存在,12(10,6),(10,36)P P --- .................................................................................8分（2014·顺义1月期末·25）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx =+过点A （6，0）和点B （3（1）求抛物线1y 的解析式；（2）将抛物线1y 沿x 轴翻折得抛物线2y ，求抛物线2y 的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线2y 上是否存在点M ，使OAM △与AOB △相似？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，说明理由．yxBAO25．解：（1）依题意，得3660,93a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得9a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线1y的解析式为2193y x x =-+．……………………… 2分（2）将抛物线1y 沿x 轴翻折后，仍过点O （0，0），A （6，0），还过点B 关于x 轴的对称点'(3,B ．设抛物线2y 的解析式为22y mx nx =+，∴3660,93m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得9a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线2y的解析式为2293y x x =-．………………………5分 （3）过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，则有tan BC BOC OC ∠== ∴30BOC ∠=︒，60OBC ∠=︒．∵OC=3，OA=6，∴AC=3.∴30BAC ∠=︒，120OBA ∠=︒． ∴OB=AB ．即OBA △是顶角为120º的等腰三角形． 分两种情况： ①当点M 在x 轴下方时，OAM △就是'OAB △，此时点M的坐标为(3,M ．②当点M 在x 轴上方时，假设OAM △∽OBA △， 则有AM=OA=6，120OAM ∠=︒． 过点M 作MD ⊥x 轴于点D ，则60MAD ∠=︒．∴MD =3AD =． ∴OD=9.而（9，22y x x =，即点M在抛物线2293y x x =-上．根据对称性可知，点(3,-也满足条件．综上所述，点M的坐标为1(3,M，2(9,M，3(3,M -．……………………………… 8分（2014·燕山1月期末·25.）定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”．如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，A ，B ，C ，D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为（0,8），AB 为半圆的直径，半圆的圆心M 的坐标为（1,0），半圆半径为3． （1）请你直接．．写出“蛋圆”抛物线部分的解析式=y ， 自变量的取值范围是 ； （2）请你求出过点C 的“蛋圆”切线与x 轴的 交点坐标；（3）求经过点D 的“蛋圆”切线的解析式．解：（1）“蛋圆”抛物线部分的解析式为822++-=x x y ， …………………2分自变量的取值范围是42≤≤-x ； …………………3分（2）如图，连接CM ，设过点C 的“蛋圆”切线与x 轴的交点为E ．∴CE CM ⊥． …………………4分∵ME OC ⊥，在COM Rt ∆中，∵1=OM ，3=CM ， ∴22132222=-=-=OM CM OC ，…………………5分∵COM ∆∽EOC ∆，∴OE OM OC ⋅=2，∴8=OE ．∴点E 的坐标为（-8.，0）． ……………6分（3）设过点)8,0(D ，“蛋圆”切线的解析式为)0(8≠+=k kx y ．由题意得，方程组⎩⎨⎧++-=+=.82,82x x y kx y 只有一组解，……………7分即8282++-=+x x kx 有两个相等实根， ∴2=k∴过点D “蛋圆”切线的解析式为82+=x y ． ………8分（2014·平谷1月期末·25）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上两点，经过A 、C 、B 的抛物线的一部分1C 与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分2C 组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，23-），点M 是抛物线2C ：)0(322<--=m m mx mx y 的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标． （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得PBC ∆的面积最大？若存在，求出PBC ∆ 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当BDM ∆为直角三角形时，直接写出m 的值．______25. 解：（1）在m mx mx y 322--=中，令y =0，则0322=--m mx mx ，解得x =3或x = -1．∴A 、B 两点的坐标为：A （-1，0）、B （3，0）．-------------------------------2分（2）设过A 、B 、C 三点的抛物线解析式为c bx ax y ++=2，把A （-1，0）、B （3，0）、C （0，23-）代入c bx ax y ++=2中，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+--=039023c b a c b a c 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-==23121c b a ∴ 23212--=x x y ．-------------------3分 设过B （3，0）、C （0，23-）两点的解析式为b kx y +=，代入，得2321-=x y ．-----------------------------------------------------------------------4分设“蛋线”在第四象限上存在一点P ，过P 点作PH ⊥AB ，垂足为H ，交BC 于点G .设H 点坐标为（x ，0），则G （x ，2321-x ），P （x ，23212--x x ）． 则PG =2321-x -(23212--x x )=x x 23212+-.----------------------------------------5分 ∵PBG PCG PBCS S S ∆∆∆+=BH PG OH PG ⋅+⋅=2121 )2321(321212x x OB PG +-⨯=⋅=1627)23(43494322+--=+-=∆x x x S PBC∴“蛋线”在第四象限上存在使得PBC ∆面积最大的点P ，最大面积是1627．---------------------------------------------------------6分（3）1-=m 或22-=m -----------------------------------------------------8分。
学生提高初二下----代几综合
yMO A xNPlB代几综合题 7月3日 以代数式、坐标系、函数知识为载体，考察：(1)函数性质（反比例垂线段围面积、单调性、对称性等） (2)特殊几何图形的特殊性质 (3)计算解决代数与几何综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题。
教学建议：（1）因为代数与几何综合比较难，所以注意层次，由易到难，逐步递进，别使学生畏惧，应该增强学生的信心；（2）帮助学生分析问题、挖掘条件、展开联想，尽量多角度来分析问题，开阔学生思路； （3）养成类比、归纳形成方法的习惯。
1.（燕山23）已知：如图，在直角坐标系xOy 中，直线y=2x 与函数y=x2的图象在第一象限的交于A 点，AM ⊥x 轴，垂足是M ，把线段OA 的垂直平分线记作l ，线段AN 与OM 关于l 对称.（1）画出线段AN （保留画图痕迹）； （2）求点A 的坐标；点A （1，2） （3）求直线AN 的函数解析式. y=34 x+310.2.（大兴24）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，直线)0,2121(332≠≤≤-+=k k m kx y 其中经过点A （23,4）,且与y 轴相交于点C. 点B 在y 轴上，且727OB OA =+-. △ABC 的面积为S. （1）求m 的取值范围; （2）求S 关于m 的函数关系式;（3）设点B 在y 轴的正半轴上，当S 取得最大值时，将△ABC 沿AC 折叠得到C B A '∆，求点B '的坐标.3.(31中27．13中23）如图，已知反比例函数12y x=的图像和一次函数y=kx-7的图像都经过点P(m,2)． （1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD 的顶点A 、B 在这个一次函数的图像上，顶点C 、D 在这个反比例函数的图 像上，两底AD 、BC 与y 轴平行，且A 和B 的横坐标分别为a 、b （b>a>0）,求代数式ab 的值．4.（41中27）如图，已知反比例函数xky =1和一次函数b ax y +=2的图象相交于点A 和点D ，且点 A 的横坐标为1，点D 的纵坐标为-1. 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1. （1）求反比例函数和一次函数的解析式.（2）若一次函数b ax y +=2的图象与x 轴相交于点C ，求∠ACO 的度数. （3）结合图象直接写出：当1y ＞2y 时，x 的取值范围.5.（159中26）如图，直线b x k y +=1与反比例函数xk y 2=(x ＞0)的图象交于A )6,1(，B )3,(a 两点． （1）求1k 、2k 的值； （2）直接写出021>-+xk b x k 时x 的取值范围； （3）如图，等腰梯形OBCD 中，BC //OD ，OB =CD ，OD 边在x 轴上，过点C 作CE ⊥OD 于点E ，CE 和反比例函数的 图象交于点P ，当梯形OBCD 的面积为12时，请判断PC 和PE 的大小关系，并说明理由．Dbax y +=2OPE DCBAyx6.（161中24）如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点. 已知反比例函数y=xk（k>0）的图象经过点 A (2，m )，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为21. （1）求k 和m 的值；（2）点C （x ，y ）在反比例函数y=xk的图象上，求当1≤x ≤3时函数值y 的取值范围.7.（35中24）如图，在平面直角坐标系中，双曲线y ＝kx过点A （－4，1），点P 是双曲线上一动点（不与A 重合），过点A 和P 分别向两坐标轴作垂线，垂足分别为B 、C 和D 、E ． （1）求k 、S △ADC 及S △PDC 的值；（2）判断AP 和DC 的位置关系，并说明理由；（3）若点P 在双曲线上运动时，探索以A 、P 、C 、D 四点为顶点的四边形能否成为菱形和等腰梯形？ 若能，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标；若不能，请说明理由．O C B D P E x Ay8.(156中24）如图，正比例函数x y 21=的图象与反比例函数xky =（0≠k ）在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知△OAM 的面积为1. （1）求反比例函数的解析式；（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴 上求一点P ，使PA PB +最小.9.(八中26) 如图，反比例函数(0)ky k x=≠在第一象限内的图象上有两点A 、B ，已知点A （3m ， m ），点B （n ， n +1）（其中m >0，n >0），OA =210 （1）求A 、B 点的坐标及反比例函数解析式；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为坐标平面内一点，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是矩形，请直接写 出符合条件的M 、N 点的坐标，并画出相应的矩形.OMxyA (第24题)11AyOxB7月7日 10.(八中怡海29）如图，点A 是反比例函数4(0)y x x=>上的一个动点，过点A 作AC y ⊥轴于点C ， 点M 是AC 的中点，过点M 作BD AC ⊥交x 轴于点D ，交曲线于点B ，顺次连接A 、B 、C 、D 得到 四边形ABCD ．（1）探究四边形ABCD 的形状并说明理由；（2）四边形ABCD 可能是正方形吗？若能，求出此时点A 、B 的坐标11.(四中23)已知反比例函数)0(1<=k xky 的图象过点A(m ,3-)，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ， 且△ AOB 的面积为3 (1) 求k 和m 的值；(2) 若一次函数12+=ax y 的图象经过点A ， 并且与x 轴相交于点C ，求AC AO :的值；My=4x yxODC BAxyOABC7月8日12.（实验27）在平面直角坐标系中，M是双曲线36yx=-（x<0）上一点，把双曲线36yx=-（x<0）关于y轴作对称，点M的对称点为N，N点坐标为（m,6），作NA⊥x轴于A，NB⊥y轴于B．（1）如图27-1，以OA为一边在四边形OANB内部作等边△OAC，求点C的坐标；（2）在（1）的前提下，在平面内找到点D，使以O、C、N、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点D的坐标；（3）如图27-2，若在四边形BOAN内部有一点P，满足∠PBN=∠PNB=15︒,连接PO、PA．求证：△POA为等边三角形．图27-1 xyMCB NO A图27-2 xyMPB NO A7月9日 14.（三中26）已知：如图1，直线13y x =与双曲线ky x=交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（6,m ）． （1）求双曲线ky x=的解析式； （2）点C （,4n ）在双曲线ky x=上，求△AOC 的面积；（3）过原点O 作另一条直线l 与双曲线ky x=交于P ，Q 两点，且点P 在第一象限．若由点A ，P ，B ，Q 为顶点组成的四边形的面积为20，请直接写出．．．．所有符合条件的点P 的坐标．yxCBOA图17月10日 15.(十三分24）已知反比例函数y =xk的图像经过点A (-3，1)。
八年级数学代几综合难点题型
八年级数学代几综合难点题型一次函数综合1、已知直线 $y=kx-2k+6$ 经过定点 $Q$。
1）点 $Q$ 的坐标为 $(2k-6,-2k+6)$；2）设点 $M$ 的坐标为 $(t,t)$，则直线 $QM$ 的解析式为$y=(k+1)x-2k+6-t(k+1)$；3）设点 $E$ 的坐标为 $(m,n)$，则点 $A$ 的坐标为$(t,0)$，点 $B$ 的坐标为 $(0,-2k+6-t)$，线段 $CE$ 的长度为$\sqrt{(m-t)^2+(n+t-2k+6)^2}$。
由 $\angle AEO=45^\circ$，可知 $\angle AEC=135^\circ$，因此 $CE$ 的最大值为$\sqrt{2}(k-1)$。
2、正方形 $AOCD$ 的顶点 $A$、$C$ 分别在 $x$、$y$ 轴上，点 $P$ 为对角线 $AC$ 上一动点，过点 $P$ 作$PQ\perp OP$ 交 $CD$ 边于点 $Q$。
1）设 $P$ 的坐标为 $(t,4-t)$，则直线 $PQ$ 的解析式为$y=-\frac{1}{t}(x-t+4)$。
将直线 $EF$ 向上平移 $2$ 个单位，则其解析式为 $y=-x$；2）由勾股定理可知 $OQ^2=2PA^2=24$，$PC^2=2PA^2-AC^2=12$，因此 $OQ^2-PC^2=12$；3）当点 $P$ 沿 $AC$ 方向移动 $2$ 个单位时，点 $M$ 移动的路径长为 $\sqrt{2}$。
设 $P$ 的坐标为 $(t,4-t)$，则$Q$ 的坐标为 $(4-t,t)$，$OQ$ 的中点 $M$ 的坐标为 $(2-t,2+t)$。
当四边形 $OMNB$ 为菱形时，有 $OM=MB$，因此$t=3$。
此时，$OM$ 与 $BC$ 的交点 $H$ 的坐标为 $(3,1)$，$PQ$ 的长度为 $2\sqrt{2}-2$，四边形 $OPQH$ 的周长为$2\sqrt{2}+2\sqrt{10}$，点 $P$ 的坐标为 $(3-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$。
代几综合与动手操作集锦1
代几综合与动手操作集锦（一）1、如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ． （1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG ，如果α＝45°，AB＝AF ＝3，求FG 的长．2、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，已知AD ＝AB ＝3，BC ＝4，动点P 从B 点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒．(1)求NC ，MC 的长(用t 的代数式表示)；(2)当t 为何值时， 四边形PCDQ 构成平行四边形？(3)是否存在某一时刻，使射线 QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值； 若不存在，请说明理由；(4)探究：t 为何值时，△PMC 为等腰三角形？3、如图，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，延长交正方形外角平分线，边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．ABCD E F BC DC AE EF EF CP P 于点AB MDMEP4、如图（1），抛物线22y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，3-）． ［图（2）、图（3）为解答备用图］（1）k = ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）设抛物线22y x x k =-+的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线22y x x k =-+上求点Q ，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形．5、已知：如图所示，直线MA NB MAB ∠∥，与NBA ∠的平分线交于点C ，过点C 作一条直线l 与两条直线MA NB 、分别相交于点D E 、．（1）如图1所示，当直线l 与直线MA 垂直时，猜想线段AD BE AB 、、之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图2所示，当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、都在AB 的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；（3）当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、在AB 的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD BE AB 、、之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．图（1） 图（2） 图（3）ABED CM NABED CM N l ABCM NABCM N图1图2备用图备用图6、如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，如图①，然后将△ADE 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM ＝21BD ，EN ＝21CE ，得到图③，请解答下列问题： (1)若AB ＝AC ，请探究下列数量关系：①在图②中，BD 与CE 的数量关系是________________；②在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB ＝k·AC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．7、如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6. ⑴求二次函数的解析式；⑵该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．3978、如图，已知点A （0，1）是y 轴上一个定点，点B 是x 轴上一个动点，以AB 为边，在OAB ∠外部作,OAB BAE ∠=∠过点B 作,AB BC ⊥交AE 于点C ，设点C 的坐标为（y x ,），当点B 在x 轴上运动时，求y 关于x 的函数关系式。
中考复习之代几综合问题知识讲解
代几综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1.（2015•大庆模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）【思路点拨】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10﹣t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，求解即可；（2）正确把四边形PQCB表示出来，即可得出y关于t的函数关系式；（3）根据四边形PQCB面积是△ABC面积的，列出方程，解方程即可；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可．【答案与解析】解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，∴AB=10cm．∵BP=t，AQ=2t，∴AP=AB﹣BP=10﹣t．∵PQ∥BC，∴=，∴=，解得t=；（2）∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ=AC•BC﹣AP•AQ•sinA∴y=×6×8﹣×（10﹣t）•2t•=24﹣t（10﹣t）=t2﹣8t+24，即y关于t的函数关系式为y=t2﹣8t+24；（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下：由题意，得t2﹣8t+24=×24，整理，得t2﹣10t+12=0，解得t1=5﹣，t2=5+（不合题意舍去）．故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①如果AE=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t=；②如果EA=EQ，那么（10﹣2t）×=t，解得t=；③如果QA=QE，那么2t×=5﹣t，解得t=．故当t为秒秒秒时，△AEQ为等腰三角形．【总结升华】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定等，综合性较强，难度适中．解答此题时要注意分类讨论，不要漏解；其次运用方程思想是解题的关键．举一反三：【变式】（2016•镇江）如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE=DF；（2）当t= 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y 关于时间t的函数表达式．【答案】解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∵，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；（2）如图1，当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴设AE′=x，则BE′=2x，∴AB=x=6，则AE′=6∴DE′=6+6，DF=BE′=12，故答案为：6+6，12；（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP=90°时，如图2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°，∵AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；②当∠EPQ=90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE=6，∴t=6秒；（4）y=t﹣12﹣，如图3，连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∵，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四边形CDMN是平行四边形，∴MN=CD=6，∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∴CN=CG=CD=6，∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，∴GM=6+12，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣6﹣12，∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，∴FH=（t﹣6﹣12），即y=t﹣12﹣．类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t的取值范围．【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；（2）不变．∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，∴当x=1时，y=1-t，∴M（1，1-t），∴AM=|1-t|=t-1，∵OP=t ，∴AP=t-1， ∴AM=AP ，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°；（3）72＜ｔ＜113．①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解； ②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方： 则有-4＜y 2＜-3，-2＜y 3＜-1， 即-4＜4-2t ＜-3，-2＜9-3t ＜-1，∴72＜ｔ＜４且103＜ｔ＜113，解得72＜ｔ＜113；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解； ④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解； ⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解； 综上所述，t 的取值范围是：72＜ｔ＜113．【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图象与y 轴交于(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0)（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标.【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B 、C 的坐标代入其中求解即可．（2）先画出相关图示，连接OD 后发现：S △OBD ：S 四边形ACDB =2：3，因此直线OM 必须经过线段BD 才有可能符合题干的要求；设直线OM 与线段BD 的交点为E ，根据题干可知：△OBE 、多边形OEDCA 的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE 的面积是四边形ACDB 面积的1233或，所以先求出四边形ABDC 的面积，进而得到△OBE 的面积后，可确定点E 的坐标，首先求出直线OE （即直线OM ）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M 的坐标（注意点M 的位置）．（3）此题必须先得到关于△CPB 面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB 的面积最大值以及对应的点P 坐标；通过图示可发现，△CPB 的面积可由四边形OCPB 的面积减去△OCB 的面积求得，首先设出点P 的坐标，四边形OCPB 的面积可由△OCP 、△OPB 的面积和得出． 【答案与解析】解：（1）由题意，得：3,9-60.c a a c =⎧⎨+=⎩ 解得：-1,3.a c =⎧⎨=⎩所以，二次函数的解析式为：2--23y x x =+ ，顶点D 的坐标为（-1，4）. （2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB 的面积为9.直线BD 的解析式为y=2x+6.设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6.①当1=9=33OBE S ∆⨯时，如图，易得E 点坐标（-2，-2），直线OE 的解析式为y=-x.E M xy O A BCD设M 点坐标（x ，-x ），21223113113,().22x x x x x -=--+---+==舍 ∴113113M ,22--+（） ② 当时，同理可得M 点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）．（3）如图，连接OP ，设P 点的坐标为(),m n ， ∵点P 在抛物线上，∴232n m m =-+-， ∴PB PO OPB OB S S S S =+-△C △C △△C111||222OC m OB n OC OB =⋅-+⋅-⋅ ()339332222m n n m =-+-=--()22333273.2228m m m ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭∵3<0m -<，∴当32m =-时，154n =. △CPB 的面积有最大值27.8∴当点P 的坐标为315(,)24-时，△CPB 的面积有最大值，且最大值为27.8【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M 的位置，以免出现漏解的情况．举一反三：【变式】如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.yxDECOAB【答案】（1）由题意得B （3，1）．若直线经过点A （3，0）时，则b ＝32 若直线经过点B （3，1）时，则b ＝52若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1.①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤32，如图1，此时点E（2b，0）.∴S＝12OE·CO＝12×2b×1＝b.②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即32＜b＜52，如图2，此时点E（3，32b-），D（2b－2，1）.∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE)＝ 3－[12(2b－1)×1＋12×(5－2b)•(52b-)＋12×3(32b-)]（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，C1B1与OA相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM 为平行四边形,根据轴对称知，∠MED＝∠NED, 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，由题可知，D（2b-2，1），E（2b，0），∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，∴HN=HE-NE=2-a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：222(2)1a a=-+，∴a=5 . 4.∴S四边形DNEM ＝NE·DH＝54．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为54．类型四、直角坐标系中的几何问题4. 如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F 、P 为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E 、F 、P 为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解. 【答案与解析】解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)连结EF ，在Rt △EBF 中,∠B=90°，∴EF=5212222=+=+BF EB .设点P 的坐标为(0,n),n ＞0,∵顶点F(1,2), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a ≠0)．①如图1，当EF=PF 时，EF 2=PF 2，∴12+(n-2)2=5，解得n 1=0(舍去)，n 2=4. ∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得a=2， ∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．②如图2，当EP=FP 时，EP 2=FP 2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=－25(舍去)③当EF=EP 时，EP=5＜3，这种情况不存在. 综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．(3)存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小．如图3，作点E 关于x 轴的对称点E′，作点F 关于y 轴的对称点F′，连结E′F′，分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，则点M 、N 就是所求. 连结NF 、ME. ∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′. ∴BF′=4，BE′=3. ∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=2243 =5. 又∵EF=5，∴FN+MN+ME+EF=5+5， 此时四边形MNFE 的周长最小值为5+5.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n 个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n 为正整数）．B 2B 1A 1BOA【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S 1、S 2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进而可得出S n 的表达式．【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值． 举一反三：【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．求3+32+33+…+3100的值． 解：令S=3+32+33+…+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+…+3101（2）， （2）-（1）得到：2S=3101-3问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．【答案】解：（1）22012-2．（2）令S=4+12+36+…+4×350 ①，将等式两边提示乘以3得到：3S=12+36+108+…+4×351②，②-①得到：2S=4×341-4∴S=2×351-2∴4+12+36+…+4×350=2×351-2．（3）92-2 2-1（）．。
代几综合复习(精品) 2
建立代数模型求解
数形结合!! 百般好
代数中的数 量关系
点、线位置及方 程根的情况
以形助数
以数解形
寻找图形中 的几何关系
21
如何解代几综合题？
方法：
1、审题，挖掘隐含条件
2、分解复杂问题 3、恰当使用分析综合法，关注重要 的数学思想方法
22
与特殊三角形、四边形等结合的代几综合
等腰三角形：体会数形结合
如图，在直角坐标系中，已知点 A（2，4） ，B（5，0） ， 动点 P 从 B 点出发沿 BO 向终点 O 运动，动点 Q 从 A 点 出发沿 AB 向终点 B 运动．两点同时出发，速度均为每秒 1 个单位，设从出发起运动了 x 秒．
y A
（1）Q 点的坐标为 （用含 x 的代数式表示）
Q G
O
P
成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； （3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线 y kx b 与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到 达 A 点.若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短.
六年考题
07 年北京市 24（本题满分 7 分）
内容方法
函数解析式的确定 直线的平移 点的坐标 勾股定理
并以此为背景
等边三角形 角平分线
能力考察
数形结合、分类讨论
11
六年考题
08 年北京市 24（满分 7 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧 ） ．． ，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标 为（3，0） ，将直线 y kx 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后恰好经 过 B、C 两点．
2012北京各区第一学期期末代几综合题
xy 2012北京各区第一学期期末代几综合题（丰台）25．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 1：212.y x x =-+（1）将抛物线C 1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C 2，求抛物线C 2的顶点P 的坐标及它的解析式．（2）如果x 轴上有一动点M ，那么在两条抛物线C 1、C 2上是否存在点N ，使得以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形（OP 为一边）？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．（石景山）25．如图，矩形'''O BC A 是矩形ABCO 绕点B 顺时针旋转得到的．其中点C O ,'在x 轴负半轴上，线段OA 在y 轴正半轴上，B 点的坐标为()3,1-．（1）如果二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象经过'OO 、两点且图象顶点M 的纵坐标为1-．求这个二次函数的解析式； （2）求边''A O 所在直线的解析式；（3）在（1）中求出的二次函数图象上是否存在点P ，使得D CO M PO S S ''3∆∆=,若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（怀柔）25．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.解：（顺义）25已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为32 的等边ABC △随着顶点A 在抛物线x x y 322-=上运动而运动， 且始终有BC ∥x 轴．（1）当顶点A 运动至与原点重合时，顶点C 是否在该抛物线上？ （2）ABC △在运动过程中有可能被x 轴分成两部分，当上 下两部分的面积之比为1∶8（即8:1:=下部分上部分S S ）时，求顶点A 的坐标；（3）ABC △在运动过程中，当顶点B 落在坐标轴上时，直接写 （4）出顶点C 的坐标．（昌平）25.如图，抛物线y =ax 2+bx +c 过点A （-1，0），且经过直线y =x -3与x 轴的交点B 及与y 轴的交点C ．（1）求点B 、C 的坐标；（2）求抛物线的解析式； （3）求抛物线的顶点M 的坐标； （4）在直线y =x -3上是否存在点P ，使△CMP 是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P 点坐标；若不存在，说明理由．（通州）24．如图，四边形ABCO 是平行四边形，42AB OB ==，，抛物线过A B C 、、三点，与x 轴交于另一点D .一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q 从点D 出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同时停止.（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ， 当点P 运动时间t 为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？( 3 ) 当t 为何值时，以P B O 、、为顶点的三角形与以点 Q B O 、、为顶点的三角形相似？（海淀）25. 如图, 已知抛物线经过坐标原点O 及)0,32(-A ，其顶点为B (m ,3),C 是AB 中点，点E 是直线OC 上的一个动点 (点E 与点O 不重合)，点D 在y 轴上, 且EO =ED . （1）求此抛物线及直线OC 的解析式；（2）当点E 运动到抛物线上时, 求BD 的长； （3）连接AD , 当点E 运动到何处时，△AED 的面积为33，请直接写出此时E 点的 坐标.（通州）22．如图，在平面直角坐标系中，以点C （1，1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A B ，两点，开口向下的抛物线经过点A B ，，且其顶点P 在⊙C 上． （1）求ACB ∠的大小；（2）写出A B ，两点的坐标； （3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D ，使线段OP 与CD 互相平分？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（大兴）25.已知二次函数21342y x x =-+. （1）求它的对称轴与x轴交点D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，如图所示，设平移后的抛物线的顶点为M ，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B 、C 三点，连结AC 、BC,若∠ACB =90°. ①求此时抛物线的解析式； ②以AB 为直径作圆，试判断直线CM 与此圆的位置关系，并说明理由.（门头沟）25. 在平面直角坐标系中，抛物线32++=bx ax y 与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）、B （1，0），过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H. （1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标.（东城）25．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线235y mx x m =+++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0 , 4），D 为OC 的中点. （1）求m 的值；（2）抛物线的对称轴与 x 轴交于点E ，在直线AD 上是否存在点F ，使得以点A 、B 、F 为顶点的三角形与ADE ∆ 相似？若存在，请求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点G ，使△GBC 中BC G 的坐标；若不存在，请说明理由．（平谷）24. 如图，一次函数的图象与反比例函数y 1= – 3x (0)x < 的图象相交于A 点， 与y 轴、x 轴分别相交于B 、C 两点，且C （2，0).当1x <-时，一次函数值 大于反比例函数的值，当1x >-时，一次函数值小于反比例函数值. （1）求一次函数的解析式；（2）设函数y 2= a x (0)x > 的图象与y 1= – 3x (x <0)的图象关于y 轴对称.在y 2= ax (0)x > 的图象上取一点P （P 点的横坐标大于2)，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足是Q ，若四边形BCQP 的面积等于2，求P 点的坐标. 解：(延庆)25．已知二次函数m x mx y 43212-+-=的图象与x 轴交于点A （4,0）、点B ，与y 轴交于点C 。
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1. 已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图，C ，D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两
动点P ,Q 分别从A ,C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点
A 运动，设运动时间为t 秒.
(1)填空：菱形ABCD 的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、
高BE 的长是 ▲ ；
(2)探究下列问题： 若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度为每秒2个单位.
①当点Q 在线段BA 上时，求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式，以及S 的最大值；
②在运动过程中,是否存有某时刻t ，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.若存有,请求出t 的值,若不存有,请说明理由.
如图12， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），
C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．
（1）点 （填M 或N ）能到达终点；
（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；
（3）是否存有点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存有，求出点M 的坐标，若不存有，说明理由．
O
x
y A
B
C D
E
图12
3.如图，已知平面直角坐标系xoy 中，有一矩形纸片OABC ，O 为坐标原点，AB x ∥轴， B （3
），现将纸片按如图折叠，AD ，DE 为折痕，30OAD ∠=︒．折叠后，点O 落在点1O ，点C 落在点1C ，并且1DO 与1DC 在同一直线上．
（1）求折痕AD 所在直线的解析式； （3分） （2）求经过三点O ，1C ，C 的抛物线的解析式； （3分） （3）若⊙P 的半径为R ，圆心P 在（2）的抛物线上运动，
⊙P 与两坐标轴都相切时，求⊙P 半径R 的值． （4分）
25．（2009年湖南长沙）如图，二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，
、(0C ，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等．
（1）求实数a b c ，，的值；
（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存有点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存有，请求出点Q 的坐标；如果不存有，请说明理由．。