2018中考数学压轴题探究专题 ：平行四边形的存在性问题
【浙教版】2018年中考数学难题突破：专题六-平行四边形存在性问题(含答案)
难题突破专题六平行四边形存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年各地中考的“热点”．解这类题目的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论．若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断；若导出矛盾，就做出不存在的判断．类型1 已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形1 如图Z6－1，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，4)，B(－6，－2)，C(6，－2)，若以点A，B，C为顶点作一个平行四边形，试写出第四个顶点D的坐标，你的答案唯一吗？图Z6－1例题分层分析(1)符合条件的点D有________个．(2)如何进行分类？2 如图Z6－2，抛物线y＝x2－2x－3与x轴的负半轴交于A点，与y轴交于C点，顶点是M，经过C，M两点作直线与x轴交于点N.图Z6－2(1)直接写出点A，C，N的坐标．(2)在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．例题分层分析(1)分别令________和________即可求得A，C两点的坐标，由抛物线的函数表达式即可求得顶点M的坐标，然后求出直线CM直线的函数表达式便可求得点N的坐标．(2)根据例1的方法，先求出使得以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形的点P的坐标，然后逐一代入抛物线的函数表达式验证得符合条件的点P.解题方法点析已知三定点，探求第四个点，使之构成平行四边形，可以按对角线进行分类，然后利用中点坐标公式求出点的坐标，再验证是否符合限制条件．类型2 已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形3 如图Z6－3，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D.图Z6－3(1)求抛物线的函数表达式．(2)求点D的坐标．(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．例题分层分析(1)由OA的长度确定出点A的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的顶点形式____________，将________的坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线的函数表达式．(2)设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b，将点A，C的坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC的函数表达式，与____________联立即可求出点D的坐标．(3)存在，分两种情况考虑：①若AD为平行四边形的对角线，则有MD∥________，MD＝________；②若AD为平行四边形的一边，则MN∥________，MN＝________，此时通过画图可知有两种情况．4 如图Z6－4，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E.(1)求抛物线的函数表达式．(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．图Z6－4(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．例题分层分析(1)由C(0，4)，A(－2，0)和对称轴x＝1可得三个关系式，分别是①__________，②__________，③________，然后联立①②③，即可求得a，b，c，从而得到函数表达式．(2)假设存在满足条件的点F，连结BF，CF，OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G.设点F的横坐标为t，则点F的坐标可表示为________，然后分别用t表示出△OBF，△OFC的面积，而△AOC的面积为________，然后根据四边形的面积为17，得到关于t的方程，解该方程即可判断是否存在符合条件的点F.(3)先运用待定系数法求出直线BC的函数表达式为________，再求出抛物线的顶点坐标为________，由点E在直线BC上，得到点E的坐标为________，从而求得DE＝________．若以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，所以只需DE＝PQ.设点P的横坐标是m，则可表示出点P的坐标为______________，点Q的坐标是______________，然后再进行分类讨论．①当0＜m＜4时，PQ＝________________，②当m＜0或m＞4时，PQ＝______________，再根据DE＝PQ，即可得到关于m的方程，从而求得符合条件的点P的坐标．解题方法点析对于两个定点、两个动点的问题，一般思路是先用一个未知数假设一个相对较简单的动点坐标，然后把这三点看成定点，用该未知数表示另一个动点的坐标，最后再根据动点应满足的条件，求出相应点的坐标．专题训练1．[2017²临沂] 如图Z6－5，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3O B.(1)求抛物线的解析式．(2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标．(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图Z6－52．[2017²泰安] 如图Z6－6，是将抛物线y＝－x2平移后得到的抛物线，其对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A(－1，0)，另一个交点为B，与y轴的交点为C.(1)求抛物线的函数表达式．(2)若点N 为抛物线上一点，且BC ⊥NC ，求点N 的坐标．(3)点P 是抛物线上一点，点Q 是一次函数y ＝32x ＋32的图象上一点，若四边形OAPQ 为平行四边形，则这样的点P ，Q 是否存在？若存在，分别求出点P ，Q 的坐标；若不存在，说明理由．图Z 6－63.[2017²宜宾] 如图Z 6－7，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴分别交于A (－1，0)，B (5，0)两点． (1)求抛物线的解析式．(2)在第二象限内取一点C ，作CD 垂直x 轴于点D ，连结AC ，且AD ＝5，CD ＝8，将Rt △ACD 沿x 轴向右平移m 个单位长度，当点C 落在抛物线上时，求m 的值．(3)在(2)的条件下，当点C 第一次落在抛物线上时记为点E ，点P 是抛物线对称轴上一点．试探究在抛物线上是否存在点Q ，使以点B ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图Z 6－74．[2017²齐齐哈尔] 如图Z 6－8，在平面直角坐标系中，把矩形OABC 沿对角线AC 所在的直线折叠，点B 落在点D 处，DC 与y 轴相交于点E .矩形OABC 的边OC ，OA 的长是关于x 的一元二次方程x 2－12x ＋32＝0的两个根，且OA >O C.(1)求线段OA ，OC 的长．(2)证明△ADE ≌△COE ，并求出线段OE 的长． (3)直接写出点D 的坐标．(4)若F 是直线AC 上的一个动点，在平面直角坐标系内是否存在点P ，使以点E ，C ，P ，F 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．图Z6－8参考答案类型1 已知三定点，探究第四个点，使之构成平行四边形例1 【例题分层分析】(1)3 (2)分别以AB，BC，AC为平行四边形的对角线．解：答案不唯一，有三种情况：若AB为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(－15，4)；若BC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(3，－8)；若AC为平行四边形的对角线，则点D的坐标为(9，4)．例2 【例题分层分析】(1)y＝0 x＝0解：(1)A (－1，0)，C (0，－3)，N (－3，0)．(2)存在．若AC 为平行四边形的对角线，则点P 的坐标为(2，－3)；若AN 为平行四边形的对角线，则点P 的坐标为(－4，3)；若CN 为平行四边形的对角线，则点P 的坐标为(－2，－3)．把这三个点的坐标分别代入验证，得点P (2，－3)在该抛物线上，因此存在符合条件的点P ，点P 的坐标为(2，－3)．类型2 已知两个定点，探求限定条件下的另两个动点，使之构成平行四边形 例3 【例题分层分析】 (1)y ＝a (x －2)2＋3 点A (2)抛物线的函数表达式 (3)AD AD AN AN解：(1)设抛物线的顶点为E ，根据题意，得E (2，3)． 设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －2)2＋3， 将(4，0)代入，得0＝4a ＋3，即a ＝－34，∴抛物线的函数表达式为y ＝－34(x －2)2＋3＝－34x 2＋3x .(2)设直线AC 的函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 将(4，0)，(0，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，b ＝3.故直线AC 的函数表达式为y ＝－34x ＋3，将直线AC 的函数表达式与抛物线的函数表达式联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－34x ＋3，y ＝－34x 2＋3x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝94或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝0，∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，94.(3)存在，分两种情况考虑：Ⅰ.若AD 为平行四边形的对角线，则有MD ∥AN ，MD ＝AN .由对称性得到M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94，即DM 1＝2，故AN 1＝2， ∴点N 1的坐标为(2，0)．Ⅱ.若AD 为平行四边形的一边，则MN ∥AD ，MN ＝AD .①当点M 在x 轴上方时，如图①所示． 由Ⅰ知AN 2＝2，∴点N 2的坐标为(6，0)．②当点M 在x 轴下方时，如图②所示，过点D 作DQ ⊥x 轴于点Q ，过点M 3作M 3P ⊥x 轴于点P ，可得△ADQ ≌△N 3M 3P ，∴M 3P ＝DQ ＝94，N 3P ＝AQ ＝3，∴点M 3的纵坐标为－94.将y M ＝－94代入抛物线的函数表达式，得－94＝－34x 2＋3x ，解得x M ＝2－7或x M ＝2＋7，∴x N ＝x M －3＝－7－1或7－1， ∴N 3()－7－1，0，N 4( 7－1，0)．综上所述，满足条件的点N 有4个，N 1(2，0)，N 2(6，0)，N 3(－7－1，0)，N 4( 7－1，0)． 例4 【例题分层分析】(1)①c ＝4 ②0＝4a －2b ＋c ③b ＝－2a (2)(t ，－12t 2＋t ＋4) 4(3)y ＝－x ＋4 (1，92) (1，3) 32 (m ，－m ＋4) (m ，－12m 2＋m ＋4) (－12m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)＝－12m 2＋2m (－m ＋4)－(－12m 2＋m ＋4)＝12m 2－2m解：(1)由抛物线经过点C (0，4)可得c ＝4，① ∵对称轴为直线x ＝－b2a ＝1，∴b ＝－2a ，②又抛物线经过点A (－2，0)， ∴0＝4a －2b ＋c ，③由①②③得a ＝－12，b ＝1，c ＝4，∴抛物线的函数表达式是y ＝－12x 2＋x ＋4.(2)假设存在满足条件的点F ，如图所示，连结BF ，CF ，OF .过点F 分别作FH ⊥x 轴于点H ，FG ⊥y 轴于点G .设点F 的坐标为(t ，－12t 2＋t ＋4)，其中0＜t ＜4，则FH ＝－12t 2＋t ＋4，FG ＝t ，∴S △OBF ＝12OB ²FH ＝12³4³(－12t 2＋t ＋4)＝－t 2＋2t ＋8，S △OFC ＝12OC ²FG ＝12³4³t ＝2t ，∴S 四边形ABFC ＝S △AOC ＋S △OBF ＋S △OFC ＝4－t 2＋2t ＋8＋2t ＝－t 2＋4t ＋12. 令－t 2＋4t ＋12＝17，即t 2－4t ＋5＝0，则判别式＝(－4)2－4³5＝－4＜0， ∴方程t 2－4t ＋5＝0无解，故不存在满足条件的点F . (3)设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b ′(k ≠0)， ∵直线经过点B (4，0)，C (0，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝b′，0＝4k ＋b′，解得⎩⎪⎨⎪⎧b′＝4，k ＝－1， ∴直线BC 的函数表达式是y ＝－x ＋4.由y ＝－12x 2＋x ＋4＝－12(x －1)2＋92，得D (1，92)．∵点E 在直线BC 上，∴点E 的坐标为(1，3)，于是DE ＝92－3＝32.若以点D ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，∵DE ∥PQ ，∴只需DE ＝PQ . 设点P 的坐标是(m ，－m ＋4)， 则点Q 的坐标是(m ，－12m 2＋m ＋4)．①当0＜m ＜4时，PQ ＝(－12m 2＋m ＋4)－(－m ＋4)＝－12m 2＋2m ，由－12m 2＋2m ＝32，解得m ＝1或3.当m ＝1时，线段PQ 与DE 重合，m ＝1舍去， ∴m ＝3，此时P 1(3，1)．②当m ＜0或m ＞4时，PQ ＝(－m ＋4)－(－12m 2＋m ＋4)＝12m 2－2m ，由12m 2－2m ＝32，解得m ＝2±7，经检验符合题意，此时P 2(2＋7，2－7)，P 3(2－7，2＋7)．综上所述，满足条件的点P 有3个，分别是P 1(3，1)，P 2(2＋7，2－7)，P 3(2－7，2＋7)． 专题训练1．解：(1)令x ＝0，由y ＝ax 2＋bx －3得y ＝－3， ∴C (0，－3)，∴OC ＝3. 又∵OC ＝3OB ，∴OB ＝1， ∴B (－1，0)．把点B (－1，0)和A (2，－3)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝0，4a ＋2b －3＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)过点B 作BE ⊥x 轴，交AC 的延长线于点E . ∵∠BDO ＝∠BAC ，∠BOD ＝∠BEA ＝90°， ∴Rt △BDO ∽Rt △BAE ， ∴OD ∶OB ＝AE ∶BE ， ∴OD ∶1＝3∶3， ∴OD ＝1，∴D 点坐标为(0，1)或(0，－1)．(3)存在．M 1(0，－3)；M 2(－2，5)；M 3(4，5)．2．解：(1)由题意，设抛物线的函数表达式为y ＝－(x －1)2＋k ， 把(－1，0)代入，得0＝－(－1－1)2＋k ，解得k ＝4， ∴抛物线的函数表达式为y ＝－(x －1)2＋4＝－x 2＋2x ＋3.(2)当x ＝0时，y ＝－(0－1)2＋4＝3，∴点C 的坐标是(0，3)，∴OC ＝3.∵点B 的坐标是(3，0)，∴OB ＝3，∴OC ＝OB ，则△OBC 是等腰直角三角形，∴∠OCB ＝45°.过点N 作NH ⊥y 轴，垂足为H .∵∠NCB ＝90°，∴∠NCH ＝45°，∴NH ＝CH ，∴HO ＝OC ＋CH ＝3＋CH ＝3＋NH ，设点N 为(a ，－a 2＋2a ＋3)，∴a ＋3＝－a 2＋2a ＋3，解得a ＝0(舍去)或a ＝1，∴点N 的坐标是(1，4)．(3)∵四边形OAPQ 是平行四边形，∴PQ ＝OA ＝1，且PQ ∥OA .设P (t ，－t 2＋2t ＋3)，则Q (t ＋1，－t 2＋2t ＋3)．将点Q (t ＋1，－t 2＋2t ＋3)代入y ＝32x ＋32，得－t 2＋2t ＋3＝32(t ＋1)＋32， 整理得2t 2－t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝12， ∴－t 2＋2t ＋3的值为3或154， ∴P ，Q 的坐标分别是(0，3)，(1，3)或(12，154)，(32，154)． 3．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (5，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，－25＋5b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝5， ∴y ＝－x 2＋4x ＋5.(2)∵点C 的纵坐标为8，∴令－x 2＋4x ＋5＝8，解得x 1＝1，x 2＝3，当x ＝1时，m ＝1－(－6)＝7；当x ＝3时，m ＝3－(－6)＝9.综上所述，将△ADC 沿x 轴向右平移7个或9个单位长度时，点C 落在抛物线上．(3)由(1)得，抛物线的对称轴为直线x ＝2，即点P 的横坐标为x P ＝2，由(2)得点E (1，8)．若以点B ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，则分两类情况讨论：①以BE 为一边的平行四边形，如图①，②，则||x Q －2＝4，解得x Q ＝6或x Q ＝－2，∴Q (6，－7)或Q (－2，－7)；②以BE 为对角线的平行四边形，如图③，则x Q ＝x B ＋x E －x P ＝5＋1－2＝4，∴Q (4，5)．综上所述，使得以点B ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形的点Q 的坐标为(6，－7)或(－2，－7)或(4，5)．4．解：(1)解x 2－12x ＋32＝0得x 1＝8，x 2＝4.∵边OC ，OA 的长是关于x 的一元二次方程x 2－12x ＋32＝0的两个根，且OA >OC ，∴OA ＝8，OC ＝4.(2)∵把矩形OABC 沿对角线AC 所在的直线折叠，点B 落在点D 处，DC 与y 轴相交于点E ，∴AD ＝AB ＝CO ，∠ADE ＝∠ABC ＝∠COE ，又∵∠AED ＝∠CEO ，∴△ADE ≌△COE (AAS )，∴CE ＝AE ＝OA －OE ＝8－OE .在Rt △OEC 中，由勾股定理得OE 2＋OC 2＝CE 2，即OE 2＋42＝(8－OE )2，∴OE ＝3.(3)如图所示，作DM ⊥x 轴于点M ，则△COE ∽△CMD ，∴OE DM ＝CO CM ＝CE CD，即3DM ＝44＋OM ＝58，∴OM ＝125，DM ＝245，∴点D 的坐标为(－125，245)．(4)存在．如图①所示，点P 的坐标为(54，12)；①② 如图②所示，点P 的坐标为(4，5)； 如图③所示，点P 的坐标为P 3(5，3－2 5)；③④ 如图④所示，点P 的坐标为P 4(－5，3＋2 5)．。
2018年中考数学压轴题专题汇编41动态几何之动点形成的四边形存在性问题(解析版)
综上所述：当 0＜ b≤４时，四边形 DEFB 是矩形，这时， t 4 16 b2 ，当 b＞4 时，四边 形 DEFB 不是矩形。
【考点】 动点问题，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，
矩形的判定和性质，直线与圆的位置关系，解一元二次方程，圆周角定理，三角形外角定理。
（ 3）是否存在 t 的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由 .并探究如何改
变点 Q 的速度（匀速运动） ，使四边形 PDBQ 在某一时刻成为菱形，求点 Q 的速度 .
4
18
16
【答案】 (1)QB=12-2t,PD= t (2)t= 秒，或 t=3.6 秒。（ 3）t=5 秒， Q 的速度为 。
（ 1）①根据题意得： 当点 P 与点 A 重合时能构成一个三角形，此时 t=0， ∵点 P 到达 D 点需： 8（ s）， 点 Q 到达 B 点需： 26（ s）， ∴当点 P 与点 D 重合时能构成一个三角形，此时 t=8s； 故当 t=0 或 8s 时，以 CD 、PQ 为两边，以梯形的底（ AD 或 BC ）的一部分（或全部）为第三边能构成一个 三角形； ②∵ BC-AD=2cm ， 过点 P 作 PF⊥ BC 于点 F，过点 D 作 DE ⊥ BC 于点 E，
∵当 PQ=CD 时，四边形 PQCD 为等腰梯形， ∴△ PFQ≌△ DCE ， EF=PD， ∴ QF=CE=2cm ，
∴当 CQ-PD=QF+CE=4cm 时，四边形 PQCD 为等腰梯形， ∴ t- （24-3t ）=4，
∴ t=7 （ s），
∴当 t=7s 时，四边形 PQCD 为等腰梯形； [ 来源:]
挑战中考数学压轴题——平行四边形存在性问题
∵点D关于l的对称点为E，∴E（ ，﹣ ），∴DE= ﹣ =2，
若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，有两种情况：
当DE为边时，则有PQ∥DE且PQ=DE=2．
∴点P的横坐标为 +2= 或 ﹣2=﹣ ，
∴点P的纵坐标为（ ﹣ ）2﹣ =﹣ ，
∴点P的坐标为（ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）；
当DE为对角线时，则可知P点为抛物线的顶点，即P（ ，﹣ ）；
例2．将抛物线沿c1：y=﹣ x2+ 沿x轴翻折，得拋物线c2，如图所示．
（1）请直接写出拋物线c2的表达式．
（2）现将拋物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E．
∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP=m，
∴P（m，0），M（m， m+1），∴PM= m+1；
（3）由题意可得：N（m，﹣ m2+ m+1），
∵MN∥BC，
∴当MN=BC时，四边形BCMN为平行四边形，
当点P在线段OC上时，MN=﹣ m2+ m，
又∵BC= ，
∴﹣ m2+ m= ，
三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点.
四、如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况.
灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便.
典型例题
例1．如图，抛物线：y= x2﹣x﹣ 与x轴交于A、B（A在B左侧），A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为C（1，﹣2）
中考数学压轴题之抛物线中存在性问题（平行四边形）
中考数学压轴题之抛物线中存在性问题（平行四边形）
上一篇文章中已经说明了“两定两动”型平行四边形存在性问题如何解答，这一次我们来看看“三定一动”型平行四边形存在性问题如何突破，其实这类问题解题是有一定套路可寻的。
通常情况下，我们首先连接三个定点形成一个小三角形，接着分别过三个定点做对边的平行线，三条平行线相交形成一个大三角形，则大三角形的三个顶点可能就是我们要求的答案。
题目及图像
解答图像
点评：AB长度以及C点坐标对于求M有很大作用，解题时要注意对称性质的使用。
2018中考数学压轴题 专题训练4 平行四边形的存在性问题(word版 无答案)
专题训练四 平行四边形的存在性问题例 1 如图，二次函数 y =23 x 2 13- x 的图像经过△AOB 的三个顶点，其中 A (－1,m )，B (n ,n )． （1）求点 A 、B 的坐标；（2）在坐标平面内找点 C ，使以 A 、O 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形．①这样的点 C 有几个？②能否将抛物线y =23 x 2 13- x 平移后经过 A 、C 两点？ 若能，求出平移后经过 A 、C 两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由．专题直击已知 A (－1, 1)，B (2, 2)两点，在坐标平面内找点 C ，使以 A 、O 、B 、C 为顶点的四边形 是平行四边形，求点 C 的坐标．例2 如图，点A(2, 6)在反比例函数的图像上，点C 的坐标为(0, 2)，如果点D 在x 轴的正半轴上，点E 在反比例函数的图像上，四边形ACDE 是平行四边形，求边CD 的长．例3 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(－1,0)、B(3,0)、C(0,－1)三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点Q、P、A、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标．例4 已知直线y＝2x＋3 与y 轴交于点C，与直线x＝1 交于点A，AB⊥x 轴于B．点E 是直线AC 上一动点，点F 在x 轴上方的平面内，且使以A、B、E、F 为顶点的四边形是菱形，求点F 的坐标．例5 如图1，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1 个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2 个单位长度的速度运动，过点P 作PD//BC，交AB 于点D，联结PQ．点P、Q 分别从点A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒（t≥0）．（1）直接用含t 的代数式分别表示：QB＝，PD＝；（2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q 的速度（匀速运动），使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．例6 如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点A(4, 0)，B(0, 3)，点C 的坐标为(0, m)，过点C 作CE⊥AB 于点E，点D 为x 轴正半轴的一动点，且满足OD ＝2OC，连结DE，以DE、DA 为边作平行四边形DEF A．（1）当m＝1 时，求AE 的长；（2）当0＜m＜3 时，若平行四边形DEF A 为矩形，求m 的值；（3）是否存在m 的值，使得平行四边形DEF A 为菱形？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．例7 将抛物线c1：y = 2 沿x 轴翻折，得到抛物线c2，如图所示．现将抛物线c1 向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x 轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2 向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x 轴的交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．例8 如图，菱形ABCD 的边长为4，∠B＝60°，F、H 分别是AB、CD 的中点，E、G 分别在AD、BC 上，且AE＝CG．（1）求证四边形EFGH 是平行四边形；（2）当四边形EFGH 是矩形时，求AE 的长；（3）当四边形EFGH 是菱形时，求AE 的长．。
初中数学_二次函数专题复习—平行四边形存在性问题教学设计学情分析教材分析课后反思
《平行四边形存在性问题》教学设计执教者学情分析本节课是在已经进行过一轮复习，也适当做了一些往年的中考试卷，对于基础知识学生掌握的还是不错的，但对于综合性的题目却感觉困难，特别是动点问题。
对于这类问题存在以下几种情况：1、这类问题无论教师做了多大的努力,对学生来说都比较困难,所以一部分学生放弃作答。
2、一部分学生对动点问题从根本上不理解,勉强照猫画虎,写了不少但不得分。
3、学生对动点问题有一定认识,对分类能进行简单尝试, 但不完整。
针对以上情况，我希望通过本节课的学习，一方面帮助学生树立信心，让他们明白所谓的综合题都是由诸多小知识点组成的，所谓的动态问题可以变为“静”来解决，通过代数解决几何问题另一方面通过例题讲解让学生掌握解决这类题目的解题策略。
效果分析针对学生面临的困难：首先，我在教学时注意层次性，讲究循序渐进，由浅入深，由易到难，不要一步到位，逐步过渡。
其次，注意所选例题的典型性，选了最具代表性的两类动点问题产生的平行四边形形存在性问题，一类一个例题，这样就可由一题推及一类，让学生可触类旁通，达到举一反三的效果。
教学时注重这几个方面：1、利用几何画板动态画图，让学生体会点在运动过程中，图形会跟着发生变化。
在变化的过程中抓住某一瞬间，化“动”为“静”，使其构成平行四边形，再利用所学知识解决问题。
2、注重板书。
通过清晰的板书让学生一目明了如何分析平行四边形存在性问题。
3、注重数学思想方法的渗透。
数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，在数学教学和探究活动中始终体现这些数学思想方法，动点问题也不例外，因此，在数学教学中应特别注重这些思想方法的渗透，因为只有让学生充分掌握领会这种思维，才能更有效地运用所学知识，形成求解动点问题的能力。
动点问题中主要体现方程思想，数形结合思想，分类讨论思想等。
方程思想，大多数动点问题到最后都转化为方程形式，然后利用方程来求解。
数形结合思想，动点问题中，所研究的量的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
初三数学专题5 平行四边形存在性问题
专题5 平行四边形存在性1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为C ．（1）求此抛物线和直线AB 的解析式；（2）设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；2：【两定两动：x 轴+抛物线】如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(3,0)A ，(1,0)B -，(0,3)C -．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以点B ，C ，Q ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3：【两定两动：对称轴+抛物线】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4：【两定两动：斜线+抛物线】如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，B 两点且与x 轴的负半轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知E ，F 分别是直线AB 和抛物线上的动点，当B ，O ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E 点的坐标．矩形的存在性问题1：如图，直线y =x -3与坐标轴交于A 、B 两点，抛物线214y x bx c =++经过点B ，与直线y =x -3交于点E （8，5），且与x 轴交于C ，D 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q ，使得以点P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．菱形的存在性问题1：综合与探究如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，OA =2，OC =6，连接AC 和BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 是y 轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N ，使以点A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．备用图。
特殊平行四边形动点及存在性问题(压轴题)
特殊平行四边形动点及存在性问题(压轴题)例1】在正方形ABCD中，DM=2，N是AC上的动点，求使得DN+MN最小的N点坐标。
解：由于正方形对称性，不妨设N在AC上且AN=x，则NC=8-x，由勾股定理得DN=sqrt(x^2+4)，MN=sqrt((8-x)^2+4)，因此DN+MN=sqrt(x^2+4)+sqrt((8-x)^2+4)，对XXX求导得到x=2，即N点坐标为(2,6)。
练1】在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点。
1）若E为边OA上的一个动点，求使得△CDE周长最小的E点坐标。
解：由于矩形OACB的对称性，不妨设E在OA上且AE=x，则OE=3-x，CE=4-x，DE=sqrt((3-x)^2+x^2)，CD=sqrt((4-x)^2+9)，因此△CDE周长为sqrt((3-x)^2+x^2)+sqrt((4-x)^2+9)，对其求导得到x=1/2，即E点坐标为(1/2,3/2)。
2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，求使得四边形CDEF周长最小的E、F点坐标。
解：同样设AE=x，则EF=2，AF=3-x，OE=3-x/2，OF=2-x/2，CE=4-x，CF=5/2-x/2，DE=sqrt((3-x/2)^2+x^2)，DF=sqrt((2-x/2)^2+(5/2-x/2)^2)，因此四边形CDEF的周长为sqrt((3-x/2)^2+x^2)+sqrt((2-x/2)^2+(5/2-x/2)^2)+2，对其求导得到x=1/2，即E、F点坐标分别为(1/2,3/2)和(2,1/2)。
例2】在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P 在BC上运动，当三角形△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求P点坐标。
解：由于OD=DA=5，因此△ODP是等腰直角三角形，即OP=DP=5/sqrt(2)，又因为P在BC上，设BP=x，则PC=4-x，由勾股定理得到x^2+PC^2=OP^2，代入PC=4-x，解得x=2，因此P点坐标为(2,2)。
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得到新抛物线 y′，y′经过点 D，y′的顶点为点 F．在新抛物线 y′的对称轴上，是否 存在一点 Q，使得△FGQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存 在，请说明理由． 【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】 （1）抛物线的解析式可变形为 y= （x+1） （x﹣3） ，从而可得到点 A
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不 存在的判断。 由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征， 在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了 较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对 我们知识、能力的一次全面的考验。这里我们主要讨论在平面直角坐 标系中平行四边形是否存在的问题。先假设平行四边形存在，并在坐 标系中把平行四边形做出来， 再根据平行四边形的性质得出相应的点 或边的关系，从而得出结论，在作图的时候要注意分类讨论，把所有 的情况考虑进去。
∴实数 m=﹣4、n=3． （2）当∠A=30°时，sinA=cosB= ， ∴﹣m= + ，n= × ， ∴m=﹣1，n= ； 当∠B=30°时，sinA=cosB= ∴﹣m= ∴m=﹣ + ，n= × ， ，
，n= ． 、n= ．
综上所述：m=﹣1、n= 或 m=﹣
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=﹣x2+ax+b 交 x 轴于 A（1，0） ，B（3， 0）两点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一点，直线 BP 与 y 轴相交于点 C． （1）求抛物线 y=﹣x2+ax+b 的解析式； （2）当点 P 是线段 BC 的中点时，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，求 sin∠OCB 的值．
【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式；T7： 解直角三角形． 【分析】 （1）将点 A、B 代入抛物线 y=﹣x2+ax+b，解得 a，b 可得解析式； （2）由 C 点横坐标为 0 可得 P 点横坐标，将 P 点横坐标代入（1）中抛物线解析 式，易得 P 点坐标； （3）由 P 点的坐标可得 C 点坐标，由 B、C 的坐标，利用勾股定理可得 BC 长， 利用 sin∠OCB= 可得结果．
（1）求直线 AE 的解析式； （2）点 P 为直线 CE 下方抛物线上的一点，连接 PC，PE．当△PCE 的面积最大 时，连接 CD，CB，点 K 是线段 CB 的中点，点 M 是 CP 上的一点，点 N 是 CD 上 的一点，求 KM+MN+NK 的最小值； （3）点 G 是线段 CE 的中点，将抛物线 y= x 2﹣ x﹣ 沿 x 轴正方向平移
和点 B 的坐标，然后再求得点 E 的坐标，设直线 AE 的解析式为 y=kx+b，将点 A 和点 E 的坐标代入求得 k 和 b 的值，从而得到 AE 的解析式； （2）设直线 CE 的解析式为 y=mx﹣ ，将点 E 的坐标代入求得 m 的值，从而
得到直线 CE 的解析式，过点 P 作 PF∥y 轴，交 CE 与点 F．设点 P 的坐标为（x， x 2﹣ x﹣ ） ，则点 F（x， x﹣ x 2+ ） ，则 FP= x 2+ x．由三
中考数学解法探究专题：平行四边形的存在性问题
【专题解析】 考题研究： 存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题， 这类 问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法 灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地 中考的“热点” 。 解题攻略： 解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算． 难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数 不重复不遗漏，也可以使计算又好又快． 如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的 有 3 个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行 线，三条直线两两相交，产生 3 个交点． 如果已知两个定点， 一般是把确定的一条线段按照边或对角线分 为两种情况． 根据平行四边形的对边平行且相等， 灵活运用坐标平移， 可以使得计算过程简便． 根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使 得解题简便． 解题思路： 这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
例题解析（2017 年真题和 2017 年模拟）
1．已知二次函数的表达式为 y=x2+mx+n． （1）若这个二次函数的图象与 x 轴交于点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，求实数 m， n 的值； （2）若△ABC 是有一个内角为 30°的直角三角形，∠C 为直角，sinA，cosB 是方 程 x2+mx+n=0 的两个根，求实数 m，n 的值． 【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点；T7：解直角三角形． 【分析】 （1）根据点 A、B 的坐标，利用待定系数法即可求出 m、n 的值； （2）分∠A=30°或∠B=30°两种情况考虑：当∠A=30°时，求出 sinA、cosB 的值， 利用根与系数的关系即可求出 m、n 的值；当∠B=30°时，求出 sinA、cosB 的值， 利用根与系数的关系即可求出 m、n 的值． 【解答】解： （1）将 A（1，0） 、B（3，0）代入 y=x2+mx+n 中， ，解得： ，
【解答】解： （1）将点 A、B 代入抛物线 y=﹣x2+ax+b 可得，
， 解得，a=4，b=﹣3， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣3；
（2）∵点 C 在 y 轴上， 所以 C 点横坐标 x=0， ∵点 P 是线段 BC 的中点， ∴点 P 横坐标 xP= = ，
∵点 P 在抛物线 y=﹣x2+4x﹣3 上， ∴yP= ﹣3= ，
∴点 P 的坐标为（ ， ） ；
（3）∵点 P 的坐标为（ ， ） ，点 P 是线段 BC 的中点， ∴点 C 的纵坐标为 2× ﹣0= ， ∴点 C 的坐标为（0， ） ， ∴BC= = ，
∴sin∠OCB=
=
=
．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=
x 2﹣
x﹣
与 x 轴交于 A、B
两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，对称轴与 x 轴交于点 D，点 E（4， n）在抛物线上．