1984全国高考文科数学试题
史上最难的1984全国高考理科数学试卷
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0.3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 （ B ）（A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x（C ）]1,0[∈x （D ）]2,0[π∈x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θ（ B ）（A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：.84ππ或2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2.3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π= 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1321lim +-∞→n nn 的值答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．设⎩⎨⎧>≤=,0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线解（1） （2）解：1. 2.四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行证：设三个平面为α，β，γ，且.,,a b c =γ⋂β=γ⋂α=β⋂α.,,,α⊂α⊂∴=γ⋂α=β⋂αb c b c从而c 与b1．若c 与b 交于一点，设;,,.β∈β⊂∈=⋂P c c P P b c 有且由a P Pb b P =γ⋂β∈γ∈γ⊂∈于是有又由.,,，∴所以a ，b ，c 交于一点（即P 点）2.若c ∥b ，则由c a c c b //,,.//,可知且又由有=γ⋂ββ⊂γγ⊂所以a ，b ，c 互相平行五．（本题满分14分）设c ，d ，x 为实数，c ≠0，x 讨论方程1log)(-=+x xd cx 在什么情况下有解有解时求出它的解解：原方程有解的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4) ((3),0(2) ,0(1),01x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+x d cx x ，所以2=+d cx 再由c ≠0，可得 .12cdx -=又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+xdcx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中再由条件（3）及1)(=+xdcx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=≠>(6) .1x (5)1,x (1),02c d x 由条件（1）（6）知.01>-cd这个不等式仅在以下两种情形下成立：①c ＞0，1-d ＞0，即c ＞0，d ＜1；②c ＜0，1-d ＜0，即c ＜0，d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1从而，当c ＞0，d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0，d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是x =六．（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根z 1，z 2.再设z 1，z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程9分）解：1.因为p ，q 为实数，0≠p ，z 1，z 2为虚数，所以0,04)2(22>><--p q q p由z 1，z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点，可知原点为椭圆短轴的一端点根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b =|z 1+z 2|=2|p |，焦距离=2c =|z 1-z 2|=2212212|4)(|p q z z z z -=-+， 长轴长=2a =.2222q c b =+2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴设椭圆左顶点为A （x ，y ），因为椭圆的离心率为21， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的21，从而左焦点F 的坐标为,23(y x设d 为点M 到y 轴的距离，则d =1根据21||=d MF 及两点间距离公式，可得1)2(432(9,)21()2()123(22222=-+-=-+-y x y x 即这就是所求的轨迹方程七．（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c =10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值解：由a b B A =cos cos ，运用正弦定理，有,sin sin cos cos ABB A = .2sin 2sin cos sin cos sin B A B B A A =∴=∴ 因为A ≠B ，所以2A =π-2B ，即A +B 2由此可知△ABC 是直角三角形 由c =10，.8,60,0,34222==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及 如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则AD+DB+EC =.12)6810(21=++但上式中AD+DB =c =10，所以内切圆半径r = EC = 2.如图建立坐标系，则内切圆方程为：(x -2)2+(y -2)2=4 设圆上动点P 的坐标为(x ，y )，则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222x x x y x y x y x y x y x y x PC PB PA S -=+-⨯=+--+-=+--+=++-+++-=++=因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， 于是S 最大值=88-0=88，S 最小值=88-16=72解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α+=α+=y x 从而222||||||PC PB PA S ++=α-=α++α++-α+α++α++-α=cos 880)sin 22()cos 22()4sin 2()cos 22()sin 22()6cos 2(222222因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88， S 最小值=80-8=72八．（本题满分12分）设α＞2，给定数列{x n }，其中x 1=α，)2,1()1(221=-=+n x x x n nn 求证： 1．);2,1(1,21=<>+n x x x nn n 且2．);2,1(212,31=+≤≤-n x n n 那么如果α3．.3,34lg 3lg,31<≥>+n x a n 必有时那么当如果α1．证：先证明x n ＞2(n =1，2，…）用数学归纳法由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n =1时成立假设不等式当n =k (k ≥1)时成立当n =k +1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x再由归纳假设知不等式0)2(2>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立从而不等式x n ＞2对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样证：2)22(21]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x所以不等式x n >2(n =1，2，…）成立）再证明).2,1(11=<+n x x nn 由条件及x n >2(n =1，2，…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x xnn 也成立 （也可这样证：对所有正整数n 有.1)1211(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有,0)1(2)2(1>--=-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x xnn ）2．证一：用数学归纳法由条件x 1=a ≤3知不等式当n =1时成立假设不等式当n =k (k ≥1)时成立当n =k +1时，由条件及2>k x 知,0)]212()[2(0)212(2)212(2212)(1(22111221≤+--⇔≤+++-⇔+-≤⇔+≤-+k k k k k k k k k k k k x x x x x x x再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式kk x 2121+≤+也成立， 从而不等式1212-+≤n n x 对所有的正整数n 成立证二：用数学归纳法证不等式当n =k +1时成立用以下证法： 由条件知)111(211-++=+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得 k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++≤-+ 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则这是因为 .43)1311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当34lg 3lgan >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,)43(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅=≤++ 即34lg 3lgan <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O 、半径为1A ，一动点P 自切点A 沿直线l 向右移动时，取弧AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP =43π时，点P 的速度为v 求这时点M解：作CD ⊥AM ，并设AP = x ，AM = y ，∠COD =θ由假设，AC 的长为x AP 3232=，半径OC =1，可知θ32=考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DCDMAP AM =∴ 而.32sin )32cos 1(,32sin ),32cos 1(x x y xy x DC x y DM --=∴=--=dtdx x x x x x x x x x x dt dy xx x x y )32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([/.32sin )32cos 1(2----+--=∴--=解得.)43()843(2 ,,4322v dt dy M v dt dx x ---===ππππ点的速度代入上式得时当（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）。
高考数学普通高等学校招生全国统一考试84
高考数学普通高等学校招生全国统一考试84数学试题（理工农医类）分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时刻120分钟.注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦洁净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试终止后，将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：假如事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 假如事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 假如事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(第一部分（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为 （ ）A ．5)2(22=+-y xB ．5)2(22=-+y xC ．5)2()2(22=+++y xD ．5)2(22=++y x解：∵圆5)2(22=++y x 的圆心(-2,0)关于原点对称的点为(2,0),∴圆5)2(22=++y x 关于原点对称的圆为(x-2)2+y 2=5,选(A). 2．=-+2005)11(ii（ ） A ．iB ．－iC ．20052D ．－20052解：∵11ii +-=-i,∴=-+2005)11(ii (-i)2005=i ,选(A) 3．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取值范畴是（ ）A ．)2,(-∞B ．),2(+∞C ．),2()2,(+∞--∞D ．（－2，2）解：∵函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ,∴f(-2)=0, 在]0,(-∞上0)(<x f 的x 的取值范畴是(2,0]-,又由对称性[0,)+∞,∴在R 上fx)<0仰x的取值范畴为(-2,2),选(D)4．已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向量AC 与的夹角为（ ）A ．54arccos 2-πB ．54arccos C ．)54arccos(-D ．－)54arccos(-解：∵(1,2),AC =D(5,2),(2,1)DA =,∴cos(180°-∠DAC)=45||||5AC DA AC DA ⋅==,∴∴∠DAC=4arccos()5-,即向量与的夹角为4arccos()5-,选(C)5．若x ，y 是正数，则22)21()21(x y y x +++的最小值是 （ ）A ．3B ．27 C ．4D ．29解：22)21()21(x y y x +++≥2(x+12y)(y+12x)≥8=4当且仅当11221212x y y x x y y x ⎧+=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,得时等号成立,选(C) 6．已知α、β均为锐角，若:sin sin(),:,2p q p q πααβαβ<++<则是的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵由α、β均为锐角，:,2q παβ+<得0<α<α+β<2π∴sin(α+β)>sin α,但α、β均为锐角，sin α<sin(α+β),不一定能推出α+β<2π,如α=6π,β=3π确实是一个反例,选(C)7．关于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l 、m ，使得l //α，l //β，m //α，m //β， 其中，能够判定α与β平行的条件有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解：命题①③是真命题,选(B)8．若)12(x x -n 展开式中含21x 项的系数与含41x项的系数之比为－5，则n 等于 （ ）A ．4B ．6C ．8D ．10解：211()(2)()2kk n kk k n k n k k n n T C x C x x---+=-=-令n-2k=-2,n=2k-2,21()2r r n r n r r n T C x --+=-,令n-2r= -4,n=2r-4由题意得(1)25(1)2k k n k n r r n r n C C ---=--,(1)25kk r r kn rnC C ---=-,∵r-k=1,∴化简得2(1)5,(2)k k +=-解得k=4,∴n=6.选(B)9．若动点（y x ,）在曲线)0(14222>=+b by x 上变化，则y x 22+的最大值为 （ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2),40(442b b b bB ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2),20(442b b b bC ．442+bD ．2b解：由题意可设x=2cos α,y=bsin α,则x 2+2y=4cos 2α+2bsin α=-4sin 2α+2bsin α+4=-2(sin 2α-bsin α-2)=-2(sin α-2b )2+4+22b ,∴22x y +的最大值为2404424b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩,选(A)10．如图，在体积为1的三棱锥A —BCD 侧棱AB 、AC 、AD 上分别取点E 、F 、G ， 使AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O 为 三平面BCG 、CDE 、DBF 的交点，则三棱 锥O —BCD 的体积等于 （ ）A ．91B ．81 C ． 71D ．41解：如图,BM 是平面BCG 与平面BDF 的交线,CL 是平面BCG 与平面CDE 的交线,则BM 子CL 的交点即为O.作EG ⊥平面BCD,LN ⊥平面BCD,OQ ⊥平面BCD,设A 到平面BCD 的高为h,由题意可知 EK=13h ,LN=33115535EK h h =⋅=,∵32CM BL MG LG ==,∴75CL CQ = ∴OQ=55117757LN h h =⋅=,∴11137173BCDO BCD A BCDBCD hS V V hS --⋅==,选(C)第二部分（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11．集合∈=<--∈=x B x x R x A {},06|{2R| }2|2|<-x ，则B A = . 解：由题意可知A=(-2,3),B=(0,4),∴B A =}30|{<<x x .12．曲线)0)(,(33≠=a a a x y 在点处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为a 则,61= .解：∵y '=3x 2,∵在(a,a 3)处切线为y-a 3=3a 2(x-a),令y=0,得切线与x 轴交点(2,03a ),切线与直线x=a 交于(a,a 3),∴曲线)0)(,(33≠=a a a x y 在点处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为S=44111236a a a ⋅⋅=,令S=16,解得a=±1. 13．已知α、β均为锐角，且αβαβαtan ),sin()cos(则-=+= . 解：由已知得1-tan αtan β=tan α-tan β,∴tan α=1tan 11tan ββ+=+.14．n n n n n 231233232lim +-+∞→= . 解：nn n nn 231233232lim+-+∞→=8()38939lim lim 3889()19n nnn n n n n→∞→∞--⋅==-++ 15．某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客预备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 . 解：4位乘客进入4节车厢共有256种不同的可能,6位乘客进入各节车厢的人数恰为0,1,2,3的方法共有12366390C C C ⋅⋅=,∴这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为9045256128=. 16．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）. ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形 解：①菱形不可能,假如那个四边形是菱形,这时菱形的一条对角线垂直抛物线的对称轴,这时四边形的必有一个顶点在抛物线的对称轴上(非抛物线的顶点); ④平行四边形,也不可能,因为抛物上四个点组成的四边形最多有一组对边平行.故连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是②③⑤.三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）若函数)2cos(2sin )2sin(42cos 1)(x x a x x x f --++=ππ的最大值为2，试确定常数a 的值.18．（本小题满分13分）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE .19．（本小题满分13分）已知R a ∈，讨论函数)1()(2+++=a ax x e x f x的极值点的个数.20．（本小题满分13分） 如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1，已知AB=2，BB 1=2，BC=1，∠BCC 1=3π，求： （Ⅰ）异面直线AB 与EB 1的距离；（Ⅱ）二面角A —EB 1—A 1的平面角的正切值. 21．（本小题满分12分）已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程； （Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范畴.22．（本小题满分12分）数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a nn n 且. （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828….2005年一般高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）一、选择题：每小题5分，满分50分.1．A 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．A 10．C 二、填空题：每小题4分，满分24分.11．}30|{<<x x 12．1± 13．1 14．－3 15．1284516．②③⑤ 三、解答题：满分76分. 17．（本小题13分）.15,.444111sin ),sin(441sin 2cos 212cos2sin cos 4cos 2)(:2222±==++=++=+=+=a a ax a x ax xx a x x x f 解之得由已知有满足其中角解ϕϕϕ18．（本小题13分） 解法一：（Ⅰ）324515121026=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32.（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）..151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(2101311210161121023210161321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且故ξ有分布列：从而期望.161516015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 解法二：（Ⅰ）,324530)(210241614==+=C C C C P （Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×8=16（元）. 19．（本小题13分）.0)12()2(0)()],12()2([)2()1()(:222=++++='++++=+++++='a x a x x f a x a x e a x e a ax x e x f x x x 得令解（1）当.0)4(4)12(4)2(22>-=-=+-+=∆a a a a a a:),)(()(,,,0)12()2(,402121212从而有下表于是不妨设有两个不同的实根方程时或即x x x x e x f x x x x a x a x a a x --='<=++++><x),(1x -∞x 1 ),(21x x2x),(2+∞x)(x f ' + 0－ 0+ )(x f)(1x f 为极大值)(2x f 为极小值即现在)(x f 有两个极值点.（2）当0)12()2(,4002=++++===∆a x a x a a 方程时或即有两个相同的实根21x x =因此21)()(x x e x f x-=')(,0)(,;0)(,21x f x f x x x f x x 因此时当时故当>'>>'<无极值.（3）,0)12()2(,40,02>++++<<<∆a x a x a 时即当)(,0)]12()2([)(2x f a x a x e x f x 故>++++='为增函数，现在)(x f 无极值. 因此当)(,40,2)(,04x f a x f a a 时当个极值点有时或≤≤<>无极值点.20．（本小题13分） 解法一：（Ⅰ）因AB ⊥面BB 1C 1C ，故AB ⊥BE.又EB 1⊥EA ，且EA 在面BCC 1B 1内的射影为EB.由三垂线定理的逆定理知EB 1⊥BE ，因此BE 是异面直线 AB 与EB 1的公垂线，在平行四边形BCC 1B 1中，设EB=x ，则EB 1=24x -， 作BD ⊥CC 1，交CC 1于D ，则BD=BC ·.233sin=π答（20）图1在△BEB 1中，由面积关系得0)3)(1(,23221421222=--⋅⋅=-x x x x 即. 3,1±=±=x x 解之得（负根舍去）,33cos21,,322=⋅-+∆=πCE CE BCE x 中在时当解之得CE=2，故现在E 与C 1重合，由题意舍去3=x .因此x =1，即异面直线AB 与EB 1的距离为1.（Ⅱ）过E 作EG//B 1A 1，则GE ⊥面BCC 1B ，故GE ⊥EB 1且GE 在圆A 1B 1E 内， 又已知AE ⊥EB 1故∠AEG 是二面角A —EB 1—A 1的平面角. 因EG//B 1A 1//BA ，∠AEG=∠BAE ，故.2221tan ===AB BE AEG 解法二：（Ⅰ）平面又由得由⊥=⋅⊥AB EB AE EB AE ,0,11 而BB 1C 1C 得AB ⊥EB 1从而1EB AB ⋅=0..,0)(111111的公垂线与是异面直线故线段即故EB AB BE EB EB EB AB EB EA EB AB EA EB EB ⊥=⋅+⋅=⋅+=⋅设O 是BB 1的中点，连接EO 及OC 1，则在Rt △BEB 1中，EO=21BB 1=OB 1=1， 因为在△OB 1C 1中，B 1C 1=1，∠OB 1C 1=3π，故△OB 1C 1是正三角形， 因此OC 1=OB 1=1，又因∠OC 1E=∠B 1C 1C －∠B 1C 1O=,3332πππ=-故△OC 1E 是正三角形，因此C 1E=1，故CE=1，易见△BCE 是正三角形，从面BE=1，即异面直线AB 与EB 1的距离是1.（Ⅱ）由（I ）可得∠AEB 是二面角A —EB 1—B 的平面角，在Rt △ABE 中，由AB=2， BE=1，得tanAEB=2.又由已知得平面A 1B 1E ⊥平面BB 1C 1C ， 故二面角A —EB 1—A 1的平面角AEB ∠-=2πθ，故.22cot )2tan(tan ==∠-=AEB AEB πθ解法三：（I ）以B 为原点，1BB 、BA 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系. 由于BC=1，BB 1=2，AB=2，∠BCC 1=3π， 在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中有B （0，0，0），A （0，0，2），B 1（0，2，0），)0,23,23(),0,21,23(1C C -设即得由,0,),0,,23(11=⋅⊥EB EA EB EA a E)0,2,23()2,,23(0a a --⋅--= ,432)2(432+-=-+=a a a a .,04343)02323()0,21,23()0,21,23(),(2321,0)23)(21(11EB BE EB BE E a a a a ⊥=+-=⋅⋅-⋅=⋅===--即故舍去或即得又AB ⊥面BCC 1B 1，故AB ⊥BE. 因此BE 是异面直线AB 、EB 1的公垂线， 则14143||=+=BE ，故异面直线AB 、EB 1的距离为1. （II ）由已知有,,1111EB A B EB EA ⊥⊥故二面角A —EB 1—A 1的平面角θ的大小为向量EA A B 与11的夹角..22tan ,32||||cos ),2,21,23(),2,0,0(111111===--===θθ即故因A B EA A B EA EA BA A B21．（本小题12分）解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-by a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由 故C 2的方程为.1322=-y x （II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k即 .412>k ① 0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将. 由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A B A B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA k x x k k x x y x B y x A 而得由则设 .1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=k k kk k k k x x k x x k B A B A .0131315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得 .31151322<>k k 或 ③ 由①、②、③得.11513314122<<<<k k 或 故k 的取值范畴为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ----22．（本小题12分）（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立.（2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k 那么221))1(11(1≥+++=+k k k a k k a . 这确实是说，当1+=k n 时不等式成立. 依照（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立.（Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a n n a n n a n n n n n 两边取对数并利用已知不等式得 n n n a n n a ln )2111ln(ln 21++++≤+ .211ln 2n n n n a +++≤ 故n n n n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n 上式从1到1-n 求和可得121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n n n a a .22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=n n n n n 即).1(,2ln 2≥<<n e a a n n 故（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n对成立，故 ).2()1(1)1(11(21)11(21≥-+-+<+++=+n n n a n n a n n a n nn n 令).2())1(11(),2(11≥-+≤≥+=+n b n n b n a b n n n n 则取对数并利用已知不等式得 n n b n n b ln ))1(11ln(ln 1+-+≤+ ).2()1(1ln ≥-+≤n n n b n上式从2到n 求和得 )1(1321211ln ln 21-++⨯+⨯≤-+n n b b n .11113121211<--++-+-=nn 因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n e eb b a b n n 故 故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立.。
1984年全国高中数学联赛试题及解答
1984年全国高中数学联赛试题第一试1．选择题(本题满分40分，每小题答对得5分答错得0分，不答得1分)⑴ 集合S={－2Z |arg Z=α，α为常数}在复平面上的图形是( )A ．射线arg Z=2αB ．射线arg Z=－2αC ．射线arg Z=αD ．上述答案都不对 ⑵下列四个图形的阴影部分(不包括边界)满足不等式log x (log x y 2)>0的是()2=x=x=x2=xC.B.⑶ 对所有满足1≤n ≤m ≤5的m ，n ，极坐标方程ρ=11－C nm cos θ表示的不同双曲线条数是( ) A ．15 B ．10 C ．7 D ．6⑷ 方程sin x=lg x 的实根个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．大于3 ⑸ 若a >0，a ≠1，F (x )是一个奇函数，则 G (x )=F (x )∙(1a x－1+12)是 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．不是奇函数也不是偶函数 D ．奇偶性与a 的具体数值有关 ⑹ 若F (1－x1+x )=x ，则下列等式中正确的是( )A ．F (－2－x )=－2－F (x )B ．F (－x )=F (1+x1－x) C ．F (x －1)=F (x ) D ．F (F (x ))=－x⑺ 若动点P (x ，y )以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点Q (－2xy ，y 2－x 2)的运动方式是 A ．以角速度ω在单位圆上顺时针运动 B ．以角速度ω在单位圆上逆时针运动 C ．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动 D ．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动⑻ 若四面体的一条棱长是x ，其余棱长都是1，体积是F (x )，则函数F (x )在其定义域上 A ．是增函数但无最大值 B ．是增函数且有最大值C ．不是增函数但无最大值D ．不是增函数但有最大值2．填充题(本题满分10分，每小题5分)⑴ 如图，AB 是单位圆的直径，在AB 上任取一点D ，作DC ⊥AB ，交圆周于C ，若点D 的坐标为D (x ，0)，则当x ∈ 时，线段AD 、BD 、CD 可以构成锐角三角形． ⑵ 方程cos x4=cos x 的通解是 ，在(0，24π)内不相同的解有个．第二试1．(本题满分15分)下列命题是否正确？若正确，请给予证明．否则给出反例．⑴ 若P 、Q 是直线l 同侧的两个不同点，则必存在两个不同的圆，通过P 、Q 且与直线l 相切； ⑵ 若a >0，b >0，且a ≠1，b ≠1，则log a b +log b a ≥2．⑶ 设A 、B 是坐标平面上的两个点集，C r ={(x ，y )|x 2+y 2≤r 2}，若对任何r ≥0，都有C r ∪A ⊆C r ∪B ，则必有A ⊆B ．2．(本题满分10分)已知两条异面直线a 、b 所成的角为θ，它们的公垂线AA '的长度为d ，在直线a 、b 上分别取点E 、F ，设A 'E=m ，AF=n ，求EF (A '在直线a 上，A 在直线b 上)．3．(本题满分15分)如图，在△ABC 中，P 为边BC 上任意一点，PE ∥BA ，PF ∥CA ，若S △ABC =1，证明：S △BPF 、S △PCE 、S □PEAF 中至少有一个不小于49(S XY …Z 表示多边形XY …Z 的面积)．4．(本题满分15分) 设a n 是12+22+32+…+n 2的个位数字，n=1，2，3…，试证：0.a 1a 2…a n …是有理数．5．(本题满分15分) 设x 1，x 2，…，x n 都是正数，求证：x 21x 2+x 22x 3+…+x 2n －1x n +x 2n x 1≥x 1+x 2+…+x n ．1984年全国高中数学联赛试题解答第一试1．选择题(本题满分40分，每小题答对得5分答错得0分，不答得1分)⑴ 集合S={－2Z |arg Z=α，α为常数}在复平面上的图形是( )A ．射线arg Z=2αB ．射线arg Z=－2αC ．射线arg Z=αD ．上述答案都不对 解：由于arg Z ∈[0.2π)，故不存在答案B ．arg －Z =2π－α，故选D ．⑵下列四个图形的阴影部分(不包括边界)满足不等式log x (log x y 2)>0的是()2=x=x=x2=xC.B.解：当0<x <1时，得1>y 2>x >0；当x >1时，得y 2>x >1．选D ．⑶ 对所有满足1≤n ≤m ≤5的m ，n ，极坐标方程ρ=11－C nm cos θ表示的不同双曲线条数是( )A ．15B ．10C ．7D ．6解：由e=C n m ，若表示双曲线，则e >1，由C n m >1，可得m 、n 的不同取值为C 15=5，C 25=10，C 14=4，C 24=6，C 13=3，C 12=2，共有6个不同的值，故选D ．⑷ 方程sin x=lg x 的实根个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．大于3解：作y=sin x 及y=lg x 的图象，当x >10时，lg x >1．故二者只在(0，10)内可能有交点．经作图可知，二者在(0，π)内有一交点，在(2π，3π)内有一交点．选C ．⑸ 若a >0，a ≠1，F (x )是一个奇函数，则G (x )=F (x )∙(1a x －1+12)是A ．奇函数B ．偶函数C ．不是奇函数也不是偶函数D ．奇偶性与a 的具体数值有关 解：G (x )=F (x )∙ a x +12(a x －1)，故G (－x )=G (x )，且G (x )的定义域是F (x )的定义域与{x |x ≠0，x ∈R }的交集，为以原点为对称的区域，故选B ．⑹ 若F (1－x1+x )=x ，则下列等式中正确的是( )A ．F (－2－x )=－2－F (x )B ．F (－x )=F (1+x1－x) C ．F (x －1)=F (x ) D ．F (F (x ))=－x解：令t=1－x 1+x ，得x=1－t 1+t ，即F (t )=1－t1+t ，经一一验证，知F (－2－x )=－2－F (x )，选A ．⑺ 若动点P (x ，y )以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点Q (－2xy ，y 2－x 2)的运动方式是A ．以角速度ω在单位圆上顺时针运动B ．以角速度ω在单位圆上逆时针运动C ．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动D ．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动解：令x=cos ωt ，y=sin ωt ．则－2xy=－sin2ωt =cos(3π2－2ωt )y 2－x 2=－cos2ωt =sin(3π2－2ωt )．显然－2ωt 与ωt 旋转方向相反．故选C ．⑻ 若四面体的一条棱长是x ，其余棱长都是1，体积是F (x )，则函数F (x )在其定义域上 A ．是增函数但无最大值 B ．是增函数且有最大值C ．不是增函数但无最大值D ．不是增函数但有最大值 解：定义域为0<x <3，当x=32时，F (x )最大，故选D ． 2．填充题(本题满分10分，每小题5分)⑴ 如图，AB 是单位圆的直径，在AB 上任取一点D ，作DC ⊥AB ，交圆周于C ，若点D 的坐标为D (x ，0)，则当x ∈ 时，线段AD 、BD 、CD 可以构成锐角三角形．解：由对称性，先考虑0≤x <1的情况，设AD=a ，BD=b ，CD=c ，则a +b=2，ab=c 2，且必有a ≥c ≥b ，于是只要考虑c 2+b 2>a 2，即(1－x )(1+x )+(1－x )2>(1+x )2，解得0≤x <5－2．∴ 2－5<x <5－2．⑵ 方程cos x4=cos x 的通解是 ，在(0，24π)内不相同的解有 个解：x 4=2kπ±x ，x=83kπ，与x=85mπ．当0<83k <24时，k=1，2，…，8；当0<85m <24时，m=1，2，…，14；而当k=3，m=5及k=6，m=10时，解是相同的，故共有8+14－2=20个不同的解．第二试1．(本题满分15分)下列命题是否正确？若正确，请给予证明．否则给出反例．⑴ 若P 、Q 是直线l 同侧的两个不同点，则必存在两个不同的圆，通过P 、Q 且与直线l 相切； ⑵ 若a >0，b >0，且a ≠1，b ≠1，则log a b +log b a ≥2．⑶ 设A 、B 是坐标平面上的两个点集，C r ={(x ，y )|x 2+y 2≤r 2}，若对任何r ≥0，都有C r ∪A ⊆C r ∪B ，则必有A ⊆B ．解：⑴若PQ ∥l ，则只能作出一个圆过P 、Q 且与直线l 相切； ⑵ 若a >1，0<b <1，则log a b +log b a ≤－2；⑶ A={(x ，y )|x 2+y 2≤r 2}，B={(x ，y )|0<x 2+y 2≤r 2}，于是C r ∪A ⊆C r ∪B 恒成立，但不满足A ⊆B ．2．(本题满分10分)已知两条异面直线a 、b 所成的角为θ，它们的公垂线AA '的长度为d ，在直线a 、b 上分别取点E 、F ，设A 'E=m ，AF=n ，求EF (A '在直线a 上，A 在直线b 上)．解：EF=m 2+n 2+d 2±2mn cos θ．(证明见课本)．3．(本题满分15分)如图，在△ABC 中，P 为边BC 上任意一点，PE ∥BA ，PF ∥CA ，若S △ABC =1，证明：S △BPF 、S △PCE 、S □PEAF 中至少有一个不小于49(S XY …Z 表示多边形XY …Z 的面积)．证明：如图，三等分BC 于M 、N ，若点P 在BM 上(含点M )，则由于PE ∥AB ，则△CPE ∽△CBA ．CP ∶CB ≥23．于是S △PCE ≥49．同理，若P 在NC 上(含点N )，则S △BPF ≥49．若点P 在线段MN 上．连EF ，设BP BC =r (13<r <23)，则CPBC=1－r ．S △BPF =r 2，S △PCE =(1－r )2．∴ S △BPF +S △PCE =r 2+(1－r )2=2r 2－2r +1=2(r －12)2+12<2(13-12)2+12=59． 于是S □AEPF ≥49．故命题成立．4．(本题满分15分) 设a n 是12+22+32+…+n 2的个位数字，n=1，2，3…，试证：0.a 1a 2…a n …是有理数． 解 由于12+22+…+n 2的个位数字只与1到n 的个位数字的平方和有关，故只要考虑这些数的个位数字的平方：但12≡1．22≡4，32≡9，42≡6，52≡5，62≡6，72≡9，82≡4，92≡1，02≡0(mod 10) ∴ a 1=1，a 2=5，a 3=4，a 4=0，a 5=5，a 6=1，a 7=0，a 8=4，a 9=5，a 10=5，a 11=6，a 12=0，a 13=9，a 14=5，a 15=0，a 16=6，a 17=5，a 18=9，a 19=0，a 20=0．由a 20=0知，a 20k +r =a r (k ，r ∈N ，0≤r ≤19，并记a 0=0)，即0.a 1a 2…a n …是一个循环节为20位数的循环小数，即为有理数．其一个循环节为“15405104556095065900”．5．(本题满分15分) 设x 1，x 2，…，x n 都是正数，求证：x 21x 2+x 22x 3+…+x 2n －1x n +x 2nx 1≥x 1+x 2+…+x n ．证明 x 21x 2+x 2≥2x 1，x 22x 3+x 3≥2x 2，x 23x 4+x 4≥2x 3，…，x 2nx 1+x 1≥2x 1．上述各式相加即得．PB。
八四年高考数学试题
八四年高考数学试题
摘要：
一、1979 年高考数学试题回顾
二、2010 年高考数学试题难度有望降低
三、2019 年高考数学试题结构与难度分析
四、高考数学试题对学生的影响
正文：
一、1979 年高考数学试题回顾
1979 年，我国恢复高考制度，数学作为高考的重要科目之一，备受关注。
当年的高考数学试题以基础知识为主，注重考察学生的基本运算能力和解题技巧。
随着高考制度的不断发展和改革，高考数学试题也在不断变化。
二、2010 年高考数学试题难度有望降低
2010 年，高考数学试题的难度有望降低。
这是因为当时教育部门为了淡化竞赛背景，让高考更加公平，决定降低高考数学试题的难度。
此外，试卷结构预计不变，依然是基础知识和综合能力考察相结合。
三、2019 年高考数学试题结构与难度分析
2019 年，高考数学试题的结构与难度继续保持稳定。
试题依然注重考察学生的基础知识和解题能力，同时也考察学生的综合运用知识解决问题的能力。
难度方面，整体难度适中，但也存在一些具有挑战性的题目。
四、高考数学试题对学生的影响
高考数学试题对学生的影响是深远的。
一方面，高考数学试题的改革和变
化反映了我国教育改革的方向，对学生的学习有着重要的指导意义。
另一方面，高考数学试题的难度和结构直接影响着学生的考试成绩，进而影响学生的未来发展。
1984年全国普通高等学校招生统一考试数学文.pdf
学习目标： 1.了解书写化学方程式应遵守的原则。
能正确书写简单的化学方程式通过对化学方程式书写原则和配平方法的讨论，对学生进行尊重客观事实，遵从客观规律的辩证唯物主义观点的教育 知识点（重点、难点） 1.化学方程式的写法。
（重点） 2.化学方程式的配平。
（重点、难点） 学前准备：多媒体课件，试管，玻璃导管，澄清石灰水。
板书设计： 5.2化学反应的表示（2） 化学方程式的书写 1、遵守的原则 （1）客观事实 （2）质量守恒定律 2、书写步骤 （1）写 （2）配 （3）等 （4）标 （5）查 3、化学方程式的配平 （1）配平的原理 （2）配平的方法 观察法 最小公倍数法 奇数配偶法 定一法 学习过程： 师生互动活动意图1、创设情境，引出课题 教师：在我们变化无穷的化学世界里，对于同一个化学反应，不同的国家就有不同的表示方法。
是否也有一种国际通用的表达方式呢?多媒体展示不同的表示方法： 1、 水→氢气＋氧气? ( 汉语 ) 2、Water→Hydrogen (g) +Oxygen (g)（英语） 3、Wasser→Wasserstoff＋Wauerstoff（德语） 4、Eau→Hydrogène＋oxygène （法语） 5、2H2O 2H2 ↑ +?O2↑ 学生：对上述五种表达方式进行对比分析，找出化学方程式表达的优越性（简单方便，且国际通用），体会化学方程式书写的重要性，从而引出课题。
2、师生互动，探究化学方程式的书写原则和书写步骤： 学生探究任务一：根据信息尝试组合化学方程式 教师：将全班54人，每9人一组，分为6组。
（事先为每组准备1个透明袋，每个袋上分别注明需要组成的化学方程式，袋内提供打印有化学式包括常见的错误的化学式、反应条件等的卡片。
共6个典型的化学方程式） ? 第一组：硫在氧气中燃烧 （内装卡片为S、O、O2、SO2、SO3、燃烧、点燃、=、+等） ? 第二组：红磷在空气中燃烧 （内装卡片为P、O、O2、PO2、P2O5、燃烧、点燃、=、+、2、4、5等） ? 第三组：铁丝在氧气中燃烧 （内装卡片为Fe、O、O2、Fe2O3、Fe3O4、FeO、燃烧、点燃、=、+、2、2、3、4等） ? 第四组：氯酸钾和二氧化锰混合加热制氧气 （内装卡片为KClO3、KClO、MnO2、KCl、O2、点燃、△、=、+、↑、↓、2、2、3等） ? 第五组：加热高锰酸钾制氧气 （内装卡片为：KMnO4、K2MnO4、MnO2、O2、△、+、+、=、↑、↓、2等） ? 第六组：二氧化碳和澄清石灰水（有效成分为氢氧化钙）反应生成碳酸钙沉淀和水 （内装卡片为：CO2、Ca(OH) 2、Ca(OH)、CaCO3、H2O、＋、＋、＝、↑、↓等） 学生：每组发扬团结协作的精神，在最短的时间内将写有反应物、生成物、反应条件的卡片粘在白纸条上，并将各组的成果展示到黑板上。
1984年高考数学试题(全国文)及答案
1984年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分 1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y2.函数y=f(x)与它的反函数y=f -1(x)的图象 （ D ）（A ）关于y 轴对称 （B ）关于原点对称 （C ）关于直线x+y=0对称 （D ）关于直线x-y=0对称3复数i 2321-的三角形式是 （ A ） （A ）)3sin(3cos(π-+π-i （B ）3sin 3cosπ+πi （C ）3sin 3cos π-πi （D ）65sin 3cos π+πi 4．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的 （ C ）（A ）一条直线不相交 （B ）两条直线不相交 （C ）任意一条直线都不相交 （D ）无数条直线不相交5．方程x 2-79x+1=0的两根可分别作为 （ A ） （A ）一椭圆和一双曲线的离心率 （B ）两抛物线的离心率 （C ）一椭圆和一抛物线的离心率 （D ）两椭圆的离心率 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1．已知函数0)32(log 5.0>-x ，求x 的取值范围答：.223<<x 2．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：ππ43．已知实数m 满足2x 2-(2i-1)x+m-i=0,求m 及x 的值答：m=0,x=-21.4.求)2)(1()()2()1(lim 222--++++++∞→n n n n n n n n 的值 答：15．求6)12(xx -的展开式中x 的一次幂的系数 答：2406．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）答：!647⋅P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形1．画出方程y 2=-4x 的曲线2．画出函数2)1(1+=x y 的图象 解： 四．（本题满分12分）12． Y已知等差数列a ,b,c 中的三个数都是正数，且公差不为零求证它们的倒数所组成的数列cb a 1,1,1不可能成等差数列证：如果c b a 1,1,1成等差数列，那么,,,1111cc b a b a b cb c b bc b a b c a b -=--=--=-得两边乘以即 又因为a ,b,c 成等差数列，且公差不为零，所以.0≠-=-c b b a 由以上两式，可知.11ca =两边都乘以a c ，得a =c.但由数列a ,b,c 的公差不为零，知a ≠c ，这就得出矛盾从而cb a 1,1,1不可能成等差数列五．（本题满分14分）把α-β-α-422cos sin 2sin 411化成三角函数的积的形式(要求结果最简） 22422242222221:(1sin )sin 2cos cos sin cos cos cos cos (sin cos )4cos cos (cos cos )(cos cos )(2coscos)(2sinsin)sin()sin(-)2222βααβαααβαααβαβαβαβαβαβαβααβαβ=---=--=-+=-=+-+-+-=⨯-=+解原式六．（本题满分14分）如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD 的面积为32cm 2，求截得的三棱锥D-ABC 的体积解：因为这个三棱锥是正三棱锥，所以△ABC 是正三角形，且DC 所在直线与△ABC 所在平面垂直 如图，作△ABC 的高CE ，连结DE 由三垂线定理，知DE ⊥AB ，所以 ∠DEC 是二面角α-AB-β的平面角，∠DEC=300CE=AB AB CE DE AB tg AB =⨯=︒==︒233230cos ,23602用S 截表示△ABD 的面积，则.8,2121322=∴=⋅==AB AB DE AB S 截 用S 底表示△ABC 的面积，则S 底=.31643212==⋅AB CE AB ∵∠DEC=300，所以DC=4. ∴)(3364431631312cm DC S V =⨯⨯=⋅=底三棱锥 七．（本题满分14分）某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771) 解：设a 1为这家工厂1983年生产这种产品的年产量，即a 1=2.并将这家工厂1984，1985，…年生产这种产品的年产量分别记为a 2,a 3, ….根据题意，数列{a n }是一个公比为1.2的等比数列，其通项公式为12.12-⨯=n n a 根据题意，设122.121=⨯-n 两边取常用对数，得DB84.1010791.07781.0112lg 23lg 2lg 2lg 23lg 12.1lg 2lg 12lg .12lg 2.1lg )1(2lg ≈+=+-+-+=+-==-+x x 因为x y 2.12⨯=是增函数，现x 取正整数，可知从1993年开始，这家工厂生产这种产品的产量超过12万台 答：略八．（本题满分15分）已知两个椭圆的方程分别是 C 1:x 2+9y 2-45=0, C 2:x 2+9y 2-6x-27=0. 1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标2．求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程1．解：把C 1的方程化为标准方程，得.102,5,531545:221===∴=+c b a y x C 可知椭圆C 1的中心是原点，焦点坐标分别是0,102(),0,102(-把C 2的方程化为标准方程，得.24,2,61436)3(:222===∴=+-c b a y x C 可知椭圆C 2的中心坐标是（3，0），焦点坐标分别0,243(),0,243(-+2．解一：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=====--+=-+,2,3,2,3,02769,04592222y x y x x y x y x 或解得 所以两椭圆C 1，C 2的交点坐标是A （3，2），B （3，-2） 设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.因为A ，B 两点在圆上，所以有⎩⎨⎧--===++-=+++133,0.01323,01323D F E F E D F E D 解得从而所求圆的方程为x 2+y 2+Dx-3D-13=0由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知方程28,205626006912)422(50133)211(2222-===-+=+-++=--+++D D D D D x D x D Dx x x 或解得就是的判别式为即 从而所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0,或x 2+y 2-28x+71=0. 解二：同解一，求出两椭圆交点坐标为A （3，2），B （3，-2）所求圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上即x 轴上，因此可设圆心为（m,0)由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知点（m,0)到直线x-2y+11=0的距离等于点（m,0)与点A （3，2）之间的距离（都等于所求圆的半径），所以01413:,2)3(41|11|222=--+-=++m m m m 化简得整理解得m=-1,或m=14.当m=-1时，圆的半径52=r ，所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0; 当m=14时，圆的半径55=r ，所求圆的方程是x 2+y 2-28x+71=0.。
高考历史上最难的3次“数学考试”
高考历史上最难的3次“数学考试”a;要说高考所有科目中，哪一门是最容易拉分的，相信大家都会说是数学。
虽然语文牵涉到作文这个变数，但对于大部分学生来说，还是在可控范围内，只要稳定作答，分数基本八九不离十。
不过数学就不一样了，题目稍微难点，其结果往往是灾难性的，今天就跟大家聊一聊：高考历史上，最难的3次“数学考试”，考生都是含泪走出考场!1、1984年高考数学那年的高考数学卷和现在的不一样，现在数学满分是150分，而那个时候120分即可，但不要以为很好考了，事实比你想得要困难许多。
在恢复高考的前五年，考虑到当时的教育水平，那几年的高考试题都比较简单。
但是，1984年的高考数学卷却一反常态，加大了试题难度，这让考生们毫无准备，考得“一塌糊涂”，而对于那些复读几年的学生来说，看到这样的试卷更是接近崩溃。
据说那年的高考数学平均分还不到30分，能考超过100分的人寥寥无几，考生都是含泪走出考场!2、1999年高考数学作为20世纪最后一场高考，考生们都是怀着激动的心情去参加考试，可能为了体现新时代创新思维，1999年高考数学题目灵活多变，想套用公式来答题?那是不行的。
因此，那年学生们的成绩分化严重。
思维灵活的学生能够拿到高分，而剩下的人，基本上没有什么好的表现，导致总分非常低。
据说当年的高考数学平均分还不到50分，真的太难了!3、2021年高考数学那年的试题难度超出了很多人的想象，题型偏门也就算了，有些人甚至连题目都看不懂，整张试卷几乎没有简单的题目，2021年也被称为中国高考历史上的传奇。
据说那年的高考数学平均分只有60分左右，能考及格的学生，就可以跟普通考生拉开很大的距离，这可能也是一种机遇吧!听一位参加过那场高考的人说，考完收卷后，坐他后面的女生直接哭出了声，其他人都是含泪走出考场。
本文编辑：小杰。
1984高考
1984高考
在1984年的高考中，考试题目没有固定的标题。
在考试过程中，考生需要自己根据题目的要求进行作答，不需要写上标题。
例如，在语文作文题目中，可能会给出一个开放性的主题，比如“自由与束缚”。
考生可以根据自己的理解和观点展开写作，但是在文章正文中不需要使用“自由与束缚”这样的标题文字。
在数学和其他科目的试题中，也不会出现固定的标题。
考生需要根据题目的内容，使用适当的数学概念、公式和解题方法来解答问题。
同样，在解题过程中，不需要再文中书写题目的标题。
总之，在1984年的高考中，题目没有固定的标题，考生只需
要按照要求来作答，不需要书写标题文字。
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1984全国高考文科数学试题
1984年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案
（这份试题共八道大题，满分120分）
一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写
在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出
的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分
1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y
2.函数y=f(x)与它的反函数y=f -1(x)的图象 （ D ） （A ）关于y 轴对称 （B ）关于原点对称
（C ）关于直线x+y=0对称 （D ）关于直线x-y=0对称 3复数i 2
3
2
1
-
的三角形式是 （ A ） （A ）)3
sin()3cos(π-+π-i （B ）3
sin 3cos π+πi
（C ）3sin 3cos π-πi （D ）6
5sin 3cos π
+πi
4．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的 （ C ） （A ）一条直线不相交 （B ）两条直线不相交 （C ）任意一条直线都不相交 （D ）无数条直线不相交 5．方程x 2-79x+1=0的两根可分别作为 （ A ） （A ）一椭圆和一双曲线的离心率 （B ）两抛物线的离心率 （C ）一椭圆和一抛物线的离心率 （D ）两椭圆的离心率 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求
四．（本题满分12分）
已知等
差数列
a ,b,c
中的
三个数都是正数，且公差不为零求证
可能成等差
它们的倒数所组成的数列c
b a 1
,1,1不数列
证：如果c
b a 1,1,1成等差数列，那么
,,,1111c
c b a b a b cb c b bc b a b c a b -=--=--=-得两边乘以即 又因为a ,b,c 成等差数列，且公差不为零，所以
.0≠-=-c b b a 由以上两式，可知
.1
1c
a = 两边都乘以a c ，得a =c.
但由数列a ,b,c 的公差不为零，知a ≠c ，这就得出矛盾
从而c
b a 1,1,1不可能成等差数列
五．（本题满分14分）
把α-β-α-422cos sin 2sin 4
1
1化成三角函数的积的形式(要求结果最简）
1． Y 1 F （-1，0） O X
2． Y
1 -1
O X
)
-)sin(sin( )
2
sin 2sin 2()2cos 2(2cos )
cos )(cos cos (cos cos cos )cos (sin cos cos cos cos sin cos cos 2sin 4
1
)sin 1(:2222224222422βαβ+α=α
-βα+β-⨯α-βα+β=α-βα+β=α
-β=α+αα-β=α-αα-β=α
-α-β-=原式解
六．（本题满分14分）
如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD 的面积为32cm 2，求截得的三棱锥D-ABC 的体积
解：因为这个三棱锥是正三棱锥，所以△ABC 是正三角形，且DC 所在直线与△ABC 所在平面垂直
如图，作△ABC 的高CE ，连结DE 由三垂线定理，知DE ⊥AB ，
所以
∠DEC 是二面角α-AB-β的平面角，∠DEC=300 CE=
AB AB CE DE AB tg AB =⨯=︒==︒2
3
3230cos ,23602
用S 截表示△ABD 的面积，则
D β α B
C 300 E A
.8,2
1
21322=∴=⋅=
=AB AB DE AB S 截 用S 底表示△ABC 的面积，则 S 底=.3164
3
2
12==
⋅AB CE AB ∵∠DEC=300，所以DC=4. ∴)(3
3
6443163131
2cm DC S V =⨯⨯=⋅=底三棱锥 七．（本题满分14分）
某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的
年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)
解：设a 1为这家工厂1983年生产这种产品的年产量，即a 1=2. 并将这家工厂1984，1985，…年生产这种产品的年产量分别记为
a 2,a 3, ….根据题意，数列{a n }是一个公比为
1.2的等比数列，其通
项公式为12.12-⨯=n n a
根据题意，设122.121=⨯-n 两边取常用对数，得
84
.1010791
.07781
.0112lg 23lg 2lg 2lg 23lg 12.1lg 2lg 12lg .
12lg 2.1lg )1(2lg ≈+=+-+-+=+-==-+x x 因为x y 2.12⨯=是增函数，现x 取正整数，可知从1993年开始，这家工厂生产这种产品的产量超过12万台
答：略
八．（本题满分15分）
已知两个椭圆的方程分别是
C 1:x 2+9y 2-45=0, C 2:x 2+9y 2-6x-27=0.
1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标
2．求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程
1．解：把C 1的方程化为标准方程，得
.102,5,5315
45:2
21===∴=+c b a y x C
可知椭圆C 1的中心是原点，焦点坐标分别是0,102(),0,102(-
把C 2的方程化为标准方程，得
.24,2,614
36)3(:2
22===∴=+-c b a y x C
可知椭圆C 2的中心坐标是（3，0），焦点坐标分别
0,243(),0,243(-+2．解一：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=====--+=-+,2,3,2,3,
02769,
04592
222y x y x x y x y x 或解得 所以两椭圆C 1，C 2的交点坐标是A （3，2），B （3，-2）
设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 因为A ，B 两点在圆上，所以有
⎩⎨
⎧--===++-=+++133,0.
01323,
01323D F E F E D F E D 解得 从而所求圆的方程为x 2+y 2+Dx-3D-13=0
由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知方程
28,2056260
06912)422(50133)2
11(
222
2-===-+=+-++=--+++D D D D D x D x D Dx x x 或解得就是的判别式为即
从而所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0,或x 2+y 2-28x+71=0. 解二：同解一，求出两椭圆交点坐标为A （3，2），B （3，-2） 所求圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上即x 轴上，因此可设圆心为（m,0)
由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知点（m,0)到直线x-2y+11=0的距离等于点（m,0)与点A （3，2）之间的距离（都等于所求圆的半径），所以
01413:,2)3(4
1|11|222=--+-=++m m m m 化简得整理,解得m=-1,或
m=14.当m=-1时，圆的半径52=r ，所求圆的方程是
x 2+y 2+2x-19=0;
当m=14时，圆的半径55=r ，所求圆的方程是
x 2+y 2-28x+71=0.。