椭圆双曲线抛物线(PPT文档)
专题四 第2讲椭圆双曲线抛物线
(2)过点F的直线交E于A，B两点，以AB为直径的圆D与平行于y轴的直线相切于点 M，线段DM交E于点N，证明：△AMB的面积是△AMN的面积的四倍.
证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为直线AB过F(1,0)， 依题意可设其方程x＝ty＋1(t≠0)， 由xy＝ 2＝ty4＋x，1， 得 y2－4ty－4＝0. 因为Δ＝16t2＋16＞0， 所以y1＋y2＝4t，则有x1＋x2＝(ty1＋1)＋(ty2＋1)＝4t2＋2. 因为D是AB的中点， 所以D(2t2＋1,2t). 由抛物线的定义得|AB|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4t2＋4， 设圆D与l：x＝m相切于M， 因为DM⊥l，即DM⊥y轴，
A.y2＝9x
B.y2＝6x
√C.y2＝3x
D.y2＝ 3x
解析 如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线交x轴于 点G. 设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a， 由抛物线定义，得|BD|＝a，故∠BCD＝30°， 在Rt△ACE中， ∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，|AC|＝2|AE|， ∴3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3.
①
又x320＋by022＝1，所以 y20＝b21－x320，
②
由①②解得b2＝2.
所以 C 的方程为x32＋y22＝1.
(2)P 是双曲线x32－y42＝1 的右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则△PF1F2
的内切圆的圆心横坐标为
√A. 3
B.2
C. 7
D.3
解析 如图所示，F1(－ 7，0)，F2( 7，0)，
跟踪演练 2 (1)(2019·浙江省宁波市镇海中学模拟)已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)
第2讲：椭圆、抛物线、双曲线
1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题；3.数学运算（数的运算、代数式运算）也是这里的考查要求之一．1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离). 2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0). 3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 ①在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝ca ＝1－b 2a 2. ②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝c a＝1＋b 2a2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ；焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ab x ，焦点坐标F 1(0，－c )，F 2(0，c ).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程x ＝－p2. ②抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程y ＝－p 2. 4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2. (2)过抛物线焦点的弦长 抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .热点一 圆锥曲线的几何性质【例1】 (2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________. 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程：⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，消去x 得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2b 2a2p ，又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2b 2a 2p ＝p ，即b 2a 2＝12⇒b a ＝22. ∴双曲线渐近线方程为y ＝±22x .答案 y ＝±22x探究提高 1.分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式.建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.求双曲线渐近线方程关键在于求b a 或ab 的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63B.33C.23D.13(2)(2016·北京卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2ab a 2＋b 2＝a ，整理为a 2＝3b 2，即b a ＝13.∴e ＝ca ＝a 2－b 2a＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－⎝⎛⎭⎫132＝63.(2)取B 为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝|OB |＝22，又∠AOB ＝π4，∴b a ＝tan π4＝1，即a ＝b .又a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2. 答案 (1)A (2)2热点二 直线与圆锥曲线【例2】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |； (2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 解 (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ， 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，故直线ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t ).代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ， 即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点.探究提高 1.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定；2.弦长计算公式：直线AB 与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2，其中k 为弦AB 所在直线的斜率.3.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练2】 (2017·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，过点⎝⎛⎭⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点. (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.解 (1)把P (1，1)代入y 2＝2px ，得p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明 当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN (也就是直线l )斜率存在且不为零.由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，消去y 得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 考虑Δ＝(4k －4)2－4×4k 2＝16(1－2k )，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k <12.则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1). 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝⎛⎭⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝（2k －2）x 1x 2＋12（x 2＋x 1）x 2＝（2k －2）×14k 2＋1－k2k2x 2＝0.所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1.故A 为线段BM 的中点.1.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A.(－1，3)B.(－1，3)C.(0，3)D.(0，3)2.(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 3.(2017·全国Ⅱ卷)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.4.(2017·全国Ⅱ卷)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .1.(2016·全国Ⅱ卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12B.1C.32D.22.(2017·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( ) A.13B.12C.23D.323.(2017·邯郸质检)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP →＝4FQ →，则|QF |等于________.45分钟） 经典常规题高频易错题4.(2017·佛山调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，右焦点为F (1，0).(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程.1.(2017·新乡模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴上的一个顶点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( ) A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1 2.(2017·石家庄三模)已知椭圆C 1与双曲线C 2有相同的左右焦点F 1，F 2，P 为椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C 1与双曲线C 2的离心率分别为e 1，e 2，且e 1e 2＝13，若∠F 1PF 2＝π3，则双曲线C 2的渐近线方程为( ) A.x ±y ＝0B.x ±33y ＝0 C.x ±22y ＝0 D.x ±2y ＝03.(2017·潍坊三模)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点M (1，t )(t >0)到焦点的距离为5，双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行.则实数a 的值为________.4.(2017·郴州三模) 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ≥1)过点P (2，1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△P AB 面积的最大值.精准预测题参考答案1.【解题思路】方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，根据一元二次不等式可知m ，n 之间的不等关系，进而分别确定m 2＋n 和3m 2－n 的正负，当然也可以分类讨论处理.【答案】∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2.由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3.故选A.2.【解题思路】由渐近线知ba 的值，又由焦点坐标可确定c .【答案】由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点，易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.3.【解题思路】做出M 到准线的垂线，利用中位线和抛物线的定义即可.【答案】如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2，0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2，∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.故填6. 4.【解题思路】(1)相关点法求轨迹， (2)利用向量处理垂直问题.【答案】(1)解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0，0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)， 由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y ，因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1，因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明 由题意知F (－1，0)，设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )，由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，经典常规题又由(1)知m 2＋n 2＝2.故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →，又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .1.【解题思路】由PF ⊥x 轴结合P 点在抛物线上确定P 点坐标. 【答案】因为抛物线方程是y 2＝4x ，所以F (1，0).又因为PF ⊥x 轴，所以P (1，2)，把P 点坐标代入曲线方程y ＝k x (k >0)，即k1＝2，所以k ＝2.故选D.2.【解题思路】12APF S PF d =⋅△(d 为A 到PF 的距离). 【答案】由c 2＝a 2＋b 2＝4得c ＝2，所以F (2，0)，将x ＝2代入x 2－y 23＝1，得y ＝±3，所以|PF |＝3. 又A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝32.故选D.3.【解题思路】过点Q 作l 的垂线，利用三角形相似，对应边成比例处理.【答案】过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3.故填3.4.【解题思路】(1)由离心率和焦点坐标联立方程求出a ，b ， (2) OM ⊥ON ⇔OM →·ON →＝0，结合韦达定理处理.【答案】解 (1)依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝22，a 2＝b 2＋1，解得a ＝2，b ＝1.∴椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意；②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1).联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），消去y得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2（k 2－1）1＋2k 2. ∴y 1·y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 21＋2k 2.∵OM ⊥ON ，∴OM →·ON →＝0. ∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝k 2－21＋2k 2＝0，∴k ＝±2.故直线l 的方程为y ＝±2(x －1).1.【解题思路】由BA →＝2AF →可确定A 点坐标，A 点在双曲线上，又|BF →|＝4由勾股定理可得，列方程组解出a ，b .【答案】设A (x ，y )，∵右焦点为F (c ，0)，点B (0，b )，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，且BA →＝2AF →， ∴x ＝2c 3，y ＝b 3，代入双曲线方程，得4c 29a 2－19＝1，且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6a 2.高频易错题精准预测题∵|BF →|＝4，∴c 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1.故选D.2.【解题思路】共焦点相同，再e 1e 2＝13再可得椭圆与双曲线的a ，b ，c 的关系，结合定义可得|PF 1|，|PF 2|.【答案】设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线C 2：x 2m 2－y 2n 2＝1，依题意c 1＝c 2＝c ，且e 1e 2＝13，∴m a ＝13，则a ＝3m ，① 由圆锥曲线定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，且|PF 1|－|PF 2|＝2m ，∴|PF 1|＝4m ，|PF 2|＝2m . 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得：4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cosπ3＝12m 2， ∴c 2＝3m 2，则n 2＝c 2－m 2＝2m 2，因此双曲线C 2的渐近线方程为y ＝±2x ，即x ±22y ＝0.故选C.3.【解题思路】利用抛物线定义求出点M 的坐标，再两直线平行，斜率相等. 【答案】由题设1＋p2＝5，∴p ＝8.不妨设点M 在x 轴上方，则M (1，4)，由于双曲线的左顶点A (－a ，0)，且直线AM 平行一条渐近线，∴41＋a ＝3a，则a ＝3.故填3.4.【解题思路】(1)列方程组求解，(2)在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解. 【答案】解(1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又4a 2＋1b2＝1，∴a 2＝8，b 2＝2. 故所求椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1，消去y 得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，判别式Δ＝16－4m 2＞0，即m 2＜4.又x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝2m 2－4， 则|AB |＝1＋14×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5（4－m 2）， 点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. 因此S △P AB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5（4－m 2）＝m 2（4－m 2）≤m 2＋（4－m 2）2＝2，当且仅当m 2＝2时上式等号成立，故△P AB 面积的最大值为2.。
高考数学：专题五 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线课件
考点与考题
第二讲
本 讲 栏 目 开 关
图形
考点与考题
范围 顶点 对称性 |x|≤a，|y|≤b (± a,0)(0，± b) |x|≥a (± a,0) x≥0 (0,0)
第二讲
关于 x 轴，y 轴和原点对称 (± c,0) 长轴长 2a， 短轴长 2b c e＝a b2 ＝ 1－ 2 a (0＜e＜1) 实轴长 2a， 虚轴长 2b c e＝a b2 ＝ 1＋ 2 a (e＞1)
解析 由 x2－y2＝2 知，a2＝2，b2＝2，c2＝a2＋b2＝4，
∴a＝ 2，c＝2.
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝4 2，|PF2|＝2 2.
又∵|F1F2|＝2c＝4，
4 22＋2 22－42 ∴由余弦定理得 cos∠F1PF2＝ 2×4 2×2 2 3 ＝ . 4
∴直线 AF 的方程为 y＝2 2(x－1). y＝2 2x－1， 联立直线与抛物线的方程 2 y ＝4x，
1 x＝2， x＝ ， 2 解之得 或 y＝2 2. y＝－ 2 1 由图知 B2，－ 2，
考点与考题
1 1 ∴S△AOB＝ |OF|· A－yB|＝ ×1×|2 2＋ 2| |y 2 2 3 ＝ 2.故选 C. 2
答案 2 7－5
题型与方法
第二讲
方法提炼 何性质.
研究圆锥曲线的几何性质，实质是求参数a、b、c或者
建立a、b、c的关系式(等式或不等式)，然后根据概念讨论相应的几
本 讲 栏 目 开 关
题型与方法
第二讲
本 讲 栏 目 开 关
变式训练 2 (1)若点 P 为共焦点的椭圆 C1 和双曲线 C2 的一个交点， F1、F2 分别是它们的左、右焦点，设椭圆离心率为 e1，双曲线离心率 1 1 → → 为 e2，若PF1· 2＝0，则 2＋ 2等于 PF (B ) e1 e2 A.1 B.2 C.3 D.4
2021届高考二轮数学人教版课件：第2部分 专题5 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
D．x32－y2＝1
第二部分 专题五 解析几何
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【解析】
由题意可得菱形的一个内角为60°，ab＝
3 3
，一条对角线
的长为c，另一条对角线的长为 33c，
所以12c·33c＝2 3 3，c＝2，而a2＋b2＝c2＝4，
解得：a2＝3，b2＝1， 双曲线C的方程为x32－y2＝1，
第二部分 专题五 解析几何
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2．(2020·运城三模)已知双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)的两条渐近
线与曲线x＋ 3|y|＝c(c＝ a2＋b2)围成一个面积为233的菱形，则双曲线
C的方程为
( D)
A．x62－y22＝1
B．x22－y62＝1
C．x2－y32＝1
的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的
中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2 3 π，过点F1的直线交
C于点A，B，且△ABF2的周长为8，则C的标准方程为
(C )
A．x42＋y2＝1
B．x32＋y42＝1
C．x42＋y32＝1
D．1x62 ＋43y2＝1
(4)(2020·北京昌平区期末)抛物线y2＝2px上一点M到焦点F(1,0)的距 离等于4，则p＝__2__；点M的坐标为__(_3_，__±_2__3_)__.
第二部分 专题五 解析几何
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(文科) 年份 卷别
Ⅰ卷
Ⅱ卷 2020
Ⅲ卷
题号 11 9
7、14
考查角度
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
椭圆双曲线抛物线
目录
• 椭圆 • 双曲线 • 抛物线 • 三者之间的联系与区别 • 应用场景
01
椭圆
定义与性质
性质
定义：椭圆是由平面内与两个定 点$F_1$和$F_2$的距离之和等于 常数（大于$F_1F_2$）的所有点 组成的图形。
椭圆上任意一点到两焦点的距离 之和为常数，且等于椭圆的长轴 长。
区别
椭圆的焦点在x轴上，准线在y轴上；双曲线的焦点在x 轴上，准线在y轴上；抛物线的焦点在顶点，准线在x 轴上。
05
应用场景
椭圆的应用场景
天文观测
椭圆常用于描述行星和卫星的运 行轨道，是研究天文学的重要工
具。
建筑设计
椭圆在建筑设计中常用于门窗、壁 炉和吊顶等造型设计，增添空间的 美感。
光学仪器
椭圆形状的透镜或反射镜常用于光 学仪器中，如望远镜和显微镜。
面积与周长
面积
对于给定的抛物线，其面积可以通过以 下公式计算：$S = frac{1}{2} times text{base} times text{height}$。
VS
周长
由于抛物线是连续的曲线，其周长没有精 确的公式来表示。但对于某些特殊的抛物 线形状，如半圆形或四分之一圆形，其周 长可以用相应的公式来计算。
焦点与准线
焦点
对于开口向右或向上的抛物线，焦点位于直线 $x = frac{p}{2}$ 或 $y = frac{p}{2}$ 上；对于开口向左或向下的 抛物线，焦点位于直线 $x = -frac{p}{2}$ 或 $y = -frac{p}{2}$ 上。
准线
对于开口向右或向上的抛物线，准线是 $x = -frac{p}{2}$ 或 $y = -frac{p}{2}$；对于开口向左或向下的抛物线， 准线是 $x = frac{p}{2}$ 或 $y = frac{p}{2}$。
椭圆、双曲线、抛物线的统一定义以及动画演示
双曲线的定义 ：
平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对 值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双 曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的 焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
说明：若动点M到两定点的距离之差的 绝对值为2a ，| F1 F2| = 2c 当c > a >0时，动点M的轨迹是双曲线; 当a = c>0时，动点M的轨迹是两条射线； 当 0 < c < a时，动点M无轨迹
关于椭圆、双曲线、抛物线你了解多少? 在我们的实际生活中有这些曲线吗? 它们分别给我们什么印象?
椭圆？
汽车贮油罐的横截面的外轮廓线 的形状像椭圆．
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
法拉利主题公园
花瓶
椭圆定点 F1 ，F2的距离之和 为常数(大于F1 F2 距离）的点的轨迹 叫椭圆，两个定点 叫椭圆的焦点，两 焦点的距离叫做椭 圆的焦距.
的点的轨迹叫做抛物线.
· N M
定点F叫做抛物线的焦点.
·F
定直线l 叫做抛物线的准线.
即:
若
︳MF ︳MN
︳ ︳ 1,
则 点M的
轨迹
是
抛物线
。
椭圆的定义：
平面内到两定点F1、F2的距离之和等于 常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点 间的距离叫做焦距．
说明： 若动点M到的距离之和为2a ， | F1 F2| = 2c 则当a>c>0时，动点M的轨迹是椭圆; 当a = c>0时，动点M的轨迹是线段F1 F2 ； 当 0 < a < c时，动点M无轨迹
抛物线的定义 :
平面内到一个定点F和一条定直线L（F不在L 上）的距离相等的点轨迹叫做抛物线，定点F叫做 抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线.
中职数学 拓展模块 第2章 椭圆、双曲线和抛物线
(3) x2 y2 1. 95
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长为20，离心率为 3/5 ； （2）a=4，b=1，焦点在y轴上. 3.方程x2+2y2－2x+12y+15=0表示的图形是不是椭圆？如果 是，求出它的对称中心坐标、对称轴方程以及离心率.
9 16 y2 x2 (4) 1; 93 (5) y2 x2 1. 9 16
2.2 双曲线
练一练
2.求下列双曲线的标准方程：
（1）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，顶点为焦点；
8
（2）过点(3,9
5
2)且
c
10 ;
a3
（3）经过点(3,2 7) 和(6 2,7).
2.2 双曲线
2.2.2 双曲线的性质
行业PPT模板：/hangye/ PPT素材下载：/sucai/ PPT图表下载：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ Excel教程：/excel/
第2章 椭圆、双曲线和抛物线
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线的定义与标准方程
在画板上选取两定点F1，F2，将拉 链（拉链的两边等长）拉开一段，其中 一边固定在F1处，在另一边上截取一段A F2（并使A F2小于F1，F2之间的距离）， 而后固定在F2处，把笔尖放在拉链口处 （即点M处），于是随着拉链的逐渐打 开或闭拢，笔尖就徐徐画出一条曲线； 同理，将拉链的两边交换位置，可画出 另外一支曲线，如图2-6所示.
可得椭圆的标准方程为 （2-1）
2.1 椭圆
我们把方程（2-1）叫作椭圆的标准方程 .它 表示椭圆的焦点在x轴上，且焦点为F1（-c，0）， F2（c，0），其中c>0，
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X 椭圆综合复习
一、基础知识
1.椭圆的定义和标准方程
定义
图形
方程 焦点
a,b,c之间的关系
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
y2 b2
1
a
b 0
F(±c，0)
ox
F1
y2 a2
x2 b2c)
c2=a2-b2
. 地心为椭圆的一个焦点。求卫星轨迹
椭圆的标准方程。
A1
分析：远地点A1C1+c1F2=a+c
近地点A2C2+F2C2=a-c
地球半径=c1F2=F2C2
LOGO
Y
. . . . C1 OO
F2
C2 A2
X
LOGO
问题1：此时椭圆的长轴长是多少？
提示：aa－ ＋cc＝ ＝66
371＋200 371＋5 100
3.长轴长等于20，离心率等于 3/5
x2 y2 1 36 32
x2 y2 1 或 x2 y2 1
100 64
64 100
4.长轴是短轴的2倍，且椭圆经过点（-2，x2-4）y2 1 或
x2 y2 1
68 17
8 32
5.过点P（5，2）、焦点为（－6，0）（6，0） x2 y2 1 45 9
四个顶点坐标是
焦点坐标分别是
F1(3,0), F2 (3,0)
A1(5,0), A2 (5,0), B1(0,4), B2 (0,4)
例2 中国第一颗探月卫星——“嫦娥
一号”发射后，首先进入一个椭圆形
地球同步轨道，在第16小时时它的轨
迹是：近地点200 km，远地点5 100
km的椭圆，地球半径约为6 371 km.
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
y2 2 px
( p 0)
y
B1
x
y
y
M
M
P
A1
O
A2
F1 o F2 x
OF
x
B2
(a,0),(0,b) (a,0) (0,0)
y
y
y
B1
x
M
M
P
A1
O
A2
F1 o F2 x
OF
x
B2
X
拓展模块
本章知识要点
LOGO
一 定义:（第一定义）
1.椭圆的定义： |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) 2.双曲线的定义：∣|MF1|-|MF2∣| =2a (2c>2a>0) 3.抛物线的定义： |MF|=d
附：第二定义（了解） LOGO
平面内到一个定点F和一条定直线L的距离 的比等于定长e的点的集合,
(0，±7 )
7 4
(± 4 ,0) (0 ,± 2 )
(±2 3 ,0)
3 2
(± (0 ,
1±,01)
2
)
(±
3 2
,0)
3
2
LOGO
巩固练习2：求适合下列条件的椭圆的标准方程：
1.经过点 P(̶ 3,0)，Q(0,̶ 2) ； x2 y2 1
94
2.焦点在x轴上，a=6 ，e 1 ； 3
对称轴 x轴,长轴长2a x轴,实轴长 2a
y轴,短轴长 2b y轴,虚轴长 2b
x轴
焦点坐标 离心率 e c
a 准线方程
渐近线方程
(c,0) c a2 b2
0 e 1
x a2 c
(c,0) c a2 b2
e 1
x a2 c
ybx a
( p ,0) 2
1 当0<e<1时,是椭圆. 2 当e>1时,是双曲线. 3 当e=1时,是抛物线. 4 当e=0时,是圆.
y
K
P
oF
x
L
二 几何性质（焦点在x轴）
椭圆
双曲线 抛物线
几何条件
标准方程 图形
顶点坐标
与两个定点的距 与两个定点的 与一个定点和 离的和等于定值 距离的差的绝 一条定直线的
对值等于定值 距离相等
例1 求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离
心率、焦点和顶点坐标
解: 把已知方程化成标准方程得
x2 52
y2 42
1
这里a 5, b 4, c 25 16 3
因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a 10,2b 8
离心率 e c 3 0.6 a5
对称性 顶点 离心率
关于x轴，y轴， 原点 ,对称。
A(a,0), B(0,b)
e c (0 e 1) a
y2 a2
x2 b2
1
Y A2
F2
B1 o F1 B2 X
A1
b x b,a y a
关于x轴，y轴， 原点 ,对称。
A(0,a), B(b,0)
e c (0 e 1) a
⇒ 2a＝18 042 km.
问题2：此时椭圆的离心率为多少？ 提示：∵a＝9 021，c＝2 450，
∴e＝ac＝0.271 6. 问题3：“嫦娥一号”卫星的轨道方程是什么?
x2 9021 2
y2 8682
2
1
三ˎ 巩固训练1(口答)
方程
x2
y2 ＝1
16 x2 9 y2 144
e 1
x p 2
三 问题解决方法：
LOGO
1 圆锥曲线的方程求法：待定系数法
（1）定位:确定焦点的位置
（2）定型:选择适当的方程
（3）定量:解方程得系数
2 确定椭圆双曲线焦点的位置方法
椭圆：看分母，焦点在分母大的数轴上
双曲线：看符号，焦点在符号为正的数轴上
抛物线：看一次项，一次项前系数为正，焦点在正半轴； 反之负半轴
椭圆的几何性质
y
说明：椭圆位于直线
. B2
X=±a和y=±b所围成的矩形之 中。 （1）长轴长: |A1A2 |=2a
短轴长: |B1B2 | =2b
焦点与长轴同数轴
..
A1
F1
..
F2
A2 x
o.
B1
（2）e 越接近 1椭圆就越扁，e 越接近 0，椭圆就越圆
即离心率是反映椭圆扁平程度的一个量
二、典例精析
LOGO
①.当 2a F1F2
②.当 2a F1F2
③.当 2a F1F2
时，点的轨迹是ˍ椭ˍˍˍˍˍ圆 时，点的轨迹是ˍˍˍ线ˍˍˍ 段F1F2 时，点的轨迹是ˍ无ˍˍˍˍˍ轨迹
2.椭圆的性质
椭圆 方程
图形
范围
x2 a2
y2 b2
1
y B2
A1
x A2
B1
a x a,b y b
x2 4 y2 16
x2 4y2 1
62
2a 2b 范围 顶点 焦点 离心率
26
8
8
2
22
6
4
1
1
|x|≤ 6 |y|≤ 2 |x|≤3 |y|≤4 |x|≤4 |y|≤2 |x|≤1 |y|≤ 2
(±6 ,0)
(0 ,±2 )
(± 2 ,0)
6 3
(± 3 ,0) (0 ,± 4 )