小波分析与实例.
用matlab小波分析的实例
1 绪论1.1概述小波分析是近15年来发展起来的一种新的时频分析方法。
其典型应用包括齿轮变速控制，起重机的非正常噪声，自动目标所顶，物理中的间断现象等。
而频域分析的着眼点在于区分突发信号和稳定信号以及定量分析其能量，典型应用包括细胞膜的识别，金属表面的探伤，金融学中快变量的检测，INTERNET的流量控制等。
从以上的信号分析的典型应用可以看出，时频分析应用非常广泛，涵盖了物理学，工程技术，生物科学，经济学等众多领域，而且在很多情况下单单分析其时域或频域的性质是不够的，比如在电力监测系统中，即要监控稳定信号的成分，又要准确定位故障信号。
这就需要引入新的时频分析方法，小波分析正是由于这类需求发展起来的。
在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。
但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor变换，时频分析，小波变换等。
其中短时傅立叶变换是在傅立叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基本假定在于在一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把信号展开到频域就可以获得局部的频域信息，但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说还是粒度太大。
换言之，短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行。
所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。
而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，在一般情况下，在低频部分（信号较平稳）可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下（频率变化不大）可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。
因为这些特定，小波分析可以探测正常信号中的瞬态，并展示其频率成分，被称为数学显微镜，广泛应用于各个时频分析领域。
小波分析-经典案例
时间序列-小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。
在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。
其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。
然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。
对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。
显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。
20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。
目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。
在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。
因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。
用matlab小波分析的实例
1 绪论1.1概述小波分析是近15年来发展起来的一种新的时频分析方法。
其典型应用包括齿轮变速控制，起重机的非正常噪声，自动目标所顶，物理中的间断现象等。
而频域分析的着眼点在于区分突发信号和稳定信号以及定量分析其能量，典型应用包括细胞膜的识别，金属表面的探伤，金融学中快变量的检测，INTERNET的流量控制等。
从以上的信号分析的典型应用可以看出，时频分析应用非常广泛，涵盖了物理学，工程技术，生物科学，经济学等众多领域，而且在很多情况下单单分析其时域或频域的性质是不够的，比如在电力监测系统中，即要监控稳定信号的成分，又要准确定位故障信号。
这就需要引入新的时频分析方法，小波分析正是由于这类需求发展起来的。
在传统的傅立叶分析中，信号完全是在频域展开的，不包含任何时频的信息，这对于某些应用来说是很恰当的，因为信号的频率的信息对其是非常重要的。
但其丢弃的时域信息可能对某些应用同样非常重要，所以人们对傅立叶分析进行了推广，提出了很多能表征时域和频域信息的信号分析方法，如短时傅立叶变换，Gabor变换，时频分析，小波变换等。
其中短时傅立叶变换是在傅立叶分析基础上引入时域信息的最初尝试，其基本假定在于在一定的时间窗内信号是平稳的，那么通过分割时间窗，在每个时间窗内把信号展开到频域就可以获得局部的频域信息，但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗，对某些瞬态信号来说还是粒度太大。
换言之，短时傅立叶分析只能在一个分辨率上进行。
所以对很多应用来说不够精确，存在很大的缺陷。
而小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，在一般情况下，在低频部分（信号较平稳）可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率，在高频情况下（频率变化不大）可以用较低的频率分辨率来换取精确的时间定位。
因为这些特定，小波分析可以探测正常信号中的瞬态，并展示其频率成分，被称为数学显微镜，广泛应用于各个时频分析领域。
15 小波分析方法
形，具有固定的面积4Δ(g)Δ(G)，这个矩形的中心
坐标可用(b,ω)表示为(E(g)+b，E(G)+ω)。
*
对于任意的实数对 (a ， b) ，其中，参数 a 必须 为非零实数，称如下形式的函数
X ) a ,b(
1 x b ( ) a a
为由小波母函数ψ (x)生成的依赖于参数(a,b) 的连续小波函数，简称为小波。其中， a 称为 伸缩尺度参数，b称为平移尺度参数。
几个比较典型的小波： ①Shannon小波
任意的函数f(x)小波变换是一个二元函数。对于任 意参数对(a,b)，小波函数ψ (a,b)(x)在x=b的附近 存在明显的波动，远离x=b的地方将迅速地衰减到 0，Wf(a,b)的本质就是原来的函数或者信号f(x)在 x=b点附近按ψ(a,b)(x)进行加权的平均，体现的是以 ψ(a,b)(x)为标准快慢尺度的f(x)的变化情况，一般称 参数a为尺度参数，而参数b为时间中心参数。
2 da f ( x ) W ( a , b ) ( x ) db f ( a , b ) 2 0 C a
离散小波变换 ⑴ 二进小波和二进小波变换
如果小波函数ψ (x)满足稳定性条件
A
j j ( 2 ) B 2
R
其小波变换的反演公式是
k f( x ) 2 W b ) t ( x ) db k f( ( 2 , b ) k R
小波分析-经典解读
时间序列-小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。
在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。
其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。
然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。
对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。
显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。
20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。
目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。
在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。
因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。
(完整word版)时间序列的小波分析及等值线图、小波方差制作
时间序列的小波分析时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。
在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。
其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。
然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。
对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。
显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。
20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。
目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。
在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。
一、小波分析基本原理1. 小波函数小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。
因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足：⎰+∞∞-=0dt )t (ψ （1）式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：)abt (a)t (2/1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2）式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。
最新小波分析及其应用PPT课件
4、离散小波变换的应用
❖ 例子：某电信号如图所示，数据长度1024。利用 sym5小波对信号进行小波变换。分解到第二层并进 行压缩。
❖ 采用阈值：0.05*细节小波系数的绝对值最大值
无忧PPT整理发
4、离散小波变换的应用
❖ 进行小 波变换 后，对 信号进 行重构 恢复信 号。
无忧PPT整理发
❖ 降低采样频率的一种方法。在信号样本中隔 一个点选取一个点。
❖ 做一次隔点采样，信号的采样频率就减少一 半。信号中的数据量也减半。
无忧PPT整理发
❖ 重构算法
A jf( t) 2 h ( t 2 k )A j 1 f( t) g ( t 2 k )D j 1 f( t)
k
k
无忧PPT整理发
❖ 以后说明的离散小波变换一般为二进离散小波变 换。
无忧PPT整理发
2、离散小波变换定义
❖ 定义：
W f( m , n ) f ( t ) ,m （ , n t ) = a 0 m / 2 f ( t )( a 0 m t n b 0 ) d t
❖ 小波变换的思想是：将任意函数和信号表示为小波 函数的线性组合。 W f (m , n ) 为小波系数。
压缩）
滤波）
❖ 1、将原始信号进行小 ❖ 1、将原始信号进行小波 波变换，得到小波系数。 变换，得到小波系数。
❖ 2、将系数中足够小的 ❖ 2、将系数中代表高频率
系数去除得到滤噪后数 信号的系数去除，得到的
据。
数据。
❖ 3、用数据对原始信号 ❖ 3、用数据对原始信号进
进行重构。
行重构。
无忧PPT整理发
k
D
j
f
(t
第6章 气象上常用小波及其应用
第6章 气象上常用小波及其应用实例(1)前面五章讲述了小波分析方法的由来和原理，这些基本知识为气象上实际应用奠定了基础。
本章将介绍气象上常用的几种小波，特别是Haar 小波和墨西哥帽（Mexihat ）小波，以及小波分析的应用实例。
6.1 二进小波二进小波的产生基于第4章的“二分法”。
它的基本思路是把连续型函数)(t f 及其连续小波变换),(b a W f 离散化，以便于实际应用。
作为一种方便和常用的形式，是对小波参数中的放（伸）缩因子a 进行二进制离散。
若小波函数系的表达式{}Zm,n n t am∈-- ),(ψ（••） 中的放缩因子)(2Z j a j ∈=，则称)(t ψ为二进小波。
把经过这种离散化后的二进小波的变换，称为二进小波变换。
强调说明：在应用时所用的小波函数系（式（••））与前面第4章第3节的式（•）有所不同。
比照这两式：),()(),2(2)(,2/,b at a t k t t b a jj kj -=-=ψψψψ或（•）),()(,n t at mn m -=-ψψ（••） 可以看出，二者主要的不同点是t 的系数a 指数正负号恰好相反。
所以，用式（•）的小波作变换时，随着a （或者j ）的增大，W 曲线变窄；而用式（••）的小波作变换时，随着a （或者j ）的增大，W 曲线变宽。
定义6.1 函数)()(2R L t ∈ψ被称为二进小波，若存在两个常数∞<≤<B A 0，使得：∑∈-≤≤Zj j B A .)2(ˆ2ωψ（6.1）上述条件式（6.1）称为稳定性条件；若A =B ，则称最稳定条件。
而函数序列{}Zj j f W ∈2称为二进小波变换，其中，,d 2)(21)()(22b b t t f t f t f W Rjjjj ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=*=ψψ（6.2）这里j a 2=是放缩因子，b 是平移因子。
由卷积定理知：)2(ˆ)(ˆ)(ˆ2ωψωωj f f W j ⋅= （6.3） 据此，稳定性条件等价于：对任意)()(2R L t f ∈，有：∑∈≤≤Zj fB fW fA j 2020220（6.4）下面定理说明，二进小波一定是允许小波。
14.2 小波分析的应用实例
（一）年平均气温的非线性变化趋势
基 于 图 14.2.1 中 23 个 台 站 48 年 （ 1959—
2006年）的年平均气温时间序列数据，对各
台站的数据求平均，
然后运用小波分析方法，以Symmlet 作为基
小波、以sym8为小波函数进行小波分解，就 可以从 16 年（ S4 ）、 8 年（ S3 ）、 4 年（ S2 ）
S1 S2 S3 S4 S5
AR = 24.372 8AAT-0.061 8AP-44.675 4 AR = 20.037AAT+0.138 3AP-19.12 AR = 26.705 9AAT+0.121 7AP-83.328 5 AR = 14.430 2AAT+0.469 2AP+7.009 7 AR = 17.100 3AAT+0.393 3AP-11.614 0
到8年或4年，则呈现出现了比较明显的起伏振荡。
对于年平均相对湿度，从在16年和8年的时间尺度看 ，以 1980 年为时间节点， 1980 年以前无明显上升或 下降趋势，而 1980 年以后则呈微弱上升趋势；如果 把时间尺度缩小到4年，那么其在总体上仍然保持了 16年和8年尺度的基本趋势，但出现了比较明显的起 伏振荡。
进一步说明，塔里木河三源流年径流量的非线性变化
趋势是区域气候变化影响的结果。
用同样的方法，对年平均相对湿度时间序
列做小波分解和重构，结果如图14.2.4所示。
图14.2.4 不同时间尺度下年平均相对湿度的非线性变化趋势
结论：
从气候变化过程（时间序列）看， 50 多年来，塔里木 河流域年平均气温、年降水量和年平均相对湿度呈现 非线性变化趋势，而且非线性趋势具有尺度依赖性的 特征。 对于年平均气温，从在 16 年和 8 年的时间尺度看，以
小波分析在电力系统中的应用
预
测
7、
小波分析还用于继电保护中，从暂态信号中提
其
取或识别故障特征量，以提高保护性能；用于电能
他
质量监视，小波分析所特有的时频局部化功能对与
方
面
电能质量相关的各种信号成分(过电压、欠电压、
电压凹陷和突起、电压间断、电压波动和闪变)进
行准确的分析；用于数据压缩，把采集来的大量数
据进行压缩后再送入通信信道传输。
系
波分析，可以将系统受到扰动后所产生的电压突
统 动
变信号，分解到不同的尺度上，再分别分析该突
态
变信号的幅值和相位，从而判别电力系统动态安
安
全运行状况。
全
分
析
5、 输
运用小波变换对具有奇异性和瞬时性的电流、
电
电压信号进行分解，在不同的尺度上明显地反映出
线
故障信号，由此可构造出距离函数，进而推断出引
路
力
的各种电磁信号参数均会发生急剧变化和振荡。小
系 统
波分析具有捕捉和处理微弱突变信号的能力。运用
暂
他的局部细化与放大的特性，能辨别和追踪系统中
态
各个变量的微弱突变，进而精确地推断出引起突变
稳ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的局部故障时间和地点，从而提高电力系统暂态稳
定 断
定预测的实时性和准确性。
4、
电 力
在研究电力系统电压的动态响应时，利用小
小波分析在电力系统中的应用
1 小波分析的基本原理 2 小波分析的应用实例 3 小波分析在电力系统中的应用
一、小波变分尺析度降的阶基等本值原建理模法 1.小波变换的定义
把某一称为基本小波的函数 做位移b后，再在不同尺度a 下与待分析信号x(t)做内积：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t b a ,b t a a
1 2
b R, a R 0
称为依赖参数a，b的连续小波，叫基本小波或 小波。若是窗函数，就叫为窗口小波函数，一般我 们恒假定为窗口小波函数。
2、小波分析的基本知识
a为尺度参数
2、小波分析的基本知识
b为位移参数
1、傅里叶变换与小波分析
1、傅里叶变换与小波分析
小波运算的步骤
（1）选择小波函数，并与分析信号起点对齐； （2）计算在这一时刻要分析信号与小波函数的逼近程 度，即小波变换系数C。C越大，就意味着此刻信号与 所选择的小波函数波形越相近； （3）将小波函数沿时间轴右移一个单位时间，然后重 复（1）、（2）步骤，求出变换系数C，直到覆盖整个 信号长度；
草帽函数又称为Marr小波。其在时域、频域都有很好的局部特性，但它的 正交性尺度函数不存在，主要用于信号处理和边缘检测。
23
一维连续小波的例子：
3. Morlet小波：
(t) e e
jt -t 2 / 2
式中，i表示虚数，w表示常数。Morlet小波不具有正交性的同时也不 具有紧支集。其特点是能够获取信号中的幅值和相应的信息，广泛应用于 地球物理信号处理中。
2
2、小波分析的基本知识
小波定义： 设ψ∈L² （R）∩L（R），在R上不几乎处处为0，且满 足 2
ˆ ( ) | | C d | |
^
则称ψ为小波。其中 ( )
换。
1 2
(t )e it dt 为ψ的傅里叶变
2、小波分析的基本知识
那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做 紧支撑集。
比如：在(-1,1)之间的高斯函数。 ②L² （R）:满足 f的全体。
f (t ) dt 成立的自变量为实数的实值或复值函数
2 0
2
L² （0,2π）：f（x+2π）=f（x），
f (t ) dt
小波分析
小波分析讲解
傅里叶变换与小波分析
小波分析的基本知识 多尺度分析与Mallat算法
小波分析的应用
1、傅里叶变换与小波分析
小波分析是近年来迅速发展起来的一个数学分支。除了 在数学学科本身中的价值外，小波分析在许多非数学的 领域也有着广泛的应用。
1、傅里叶变换与小波分析
一、傅里叶变换
事件相关电位
股市折线图
1、傅里叶变换与小波分析
加窗傅里叶变换（短时傅里叶变换STFT）
1、傅里叶变换与小波分析
窗划分太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。
窗划分太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。
1、傅里叶变换与小波分析
小波定义： ①小 ②波动性： ( x)dx 0
小波的3 个特点的性质，又能表示 发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象。 （傅里叶变换只具有频率分析的性质） 小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度 不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声 过滤等） 小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量 级。信号长度为M时， Fourier变换（左）和 小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：
2、小波分析的基本知识
小波正变换：
小波逆变换：
W f (a, b) f (t ) ( a,b ) (t )dt
f (t ) L2 ( R)
1 f (t ) C
dadb Wf (a, b) (a,b) (t ) a2
Wf (a, b) 是f（t）在函数 ( a,b) (t ) 上的投影。
小波运算的步骤
• （4）将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后重复 步骤（1）、（2）、（3）； • （5）对所有的伸缩尺度重复步骤（1）、（2）、（3）、 （4）。
2、小波分析的基本知识 小波基础术语:
①紧支撑:对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到 值；而在此之外，f(x)取值为0。
Daubechies(dbN)小波系 （多贝西）
多贝西小波是以英格丽· 多贝西的名字命名的一种小波 函数，多贝西小波主要应用在离散型的小波转换，是最常 使用到的小波变换。多贝西小波是一种正交小波，所以它 很容易进行正交变换。 对于有限长度的小波，应用于快速小波变换时，会有 两个实数组成的数列：一是作为高通滤波器的系数，称作 小波滤波器；二是低通滤波器的系数，称为调整滤波器 （尺度滤波器）。 我们通常以滤波器长度N来形容滤波器为dbN，例如 N=2的多贝西小波写作db2；N=4的多贝西小波写作db4。
1、傅里叶变换与小波分析
可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信 号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。因 此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。然而平稳信号大多是人 为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的，所以在比如生物 医学信号分析等领域的论文中，基本看不到单纯傅里叶变换这样简单的 方法。
对于平稳信号，做完FFT（快速傅里叶变换）后，可以在频谱上看到 清晰的四条线，信号包含四个频率成分。
1、傅里叶变换与小波分析
频率随着时间变化的非平稳信号，进行FFT后：
如左图，最上边的是频 率始终不变的平稳信号。 而下边两个则是频率随 着时间改变的非平稳信 号，它们同样包含和最 上信号相同频率的四个 成分。做FFT后，我们 发现这三个时域上有巨 大差异的信号，频谱 （幅值谱）却非常一致。 尤其是下边两个非平稳 信号，我们从频谱上无 法区分它们，因为它们 包含的四个频率的信号 的成分确实是一样的， 只是出现的先后顺序不 同。
21
一维连续小波的例子：
1. Haar小波：
1, 0 t 1/2 (t) - 1, 1/2 t 1 0, others
Haar小波是一组相互正交的函数集，是一个最简单的时域不连续的二进 小波，Haar的应用十分广泛，常用与图像处理。
22
一维连续小波的例子
2 1 / 4 2 -t 2 / 2 2. Mexico草帽小波 ： (t) (1 - t ) e 3