人教版高中数学选修1-2第三章数系的扩充和复数的概念 同步教案
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义》优质课教案_0
复数的几何意义教学设计教材分析：复数几何意义是学完复数后的第一节课，起承上启下的作用，是研究复数运算的重要基础，类比实数和绝对值的几何意义，学生还是容易理解复数的几何意义。
教学目标知识与技能目标理解复数几何意义：根据复数几何意义，在复平面内能描出复数的点，会运用复数几何意义判断复数所在象限及复数的模。
过程和方法目标通过类比实数的几何意义学习复数几何意义，类比向量求模学习复数的模，培养学生的逻辑思维能力。
情感和态度价值目标通过复数几何意义的学习，培养学生数形结合的思想，从而激发学生学习数学的兴趣。
重点与难点重点：复数的几何意义和复数的模。
难点：复数的几何意义及复数的模的综合运用。
教法与学法教法：让学生类比实数的几何意义和绝对值的几何意义探究出复数几何意义，类比向量求模探究出复数的模的公式。
学法：建议学生根据已学内容探究复数几何意义，复数模的定义及公式。
教学准备：多媒体课件，教学用具。
教学过程：1、复平面上两点间的距离 引例：已知1212,(,,,),.z a bi z c di a b c d R z z =+=+∈-求结论：12z z -表示复数12,z z 在复平面上对应点12(,),(,)Z a b Z c d 之间的距离。
2、复数模的几何意义的简单应用 师：,1,z z z i --在几何上是什么意思？评：简单练习，热身准备例1、 设,21,z C z ∈-=1） 求z 的取值范围；2） 求1z i +-的最大值；3） 若复数z 又满足,(),z a a R =∈且这样的z 有且只有两个，求a 的取值范围；4） 若复数1z 满足115,z i z i -=+求1z z -的最小值。
评：选题精当，紧扣教学目标，巧妙利用变式将不同题型进行了有机整合，一道题涵盖了求最大值、最小值、取值范围、求参数等题型；同时四问的设计由简到繁、层次感强 解：1）师：通常的方法是设z=a+bi,221(2) (13),b a a =--≤≤z ==1439a ≤-≤13z ≤≤师：从几何意义角度，有没有新想法？评：从学生的已有解题经验入手，介绍代数解法，然后启发学生从新学知识入手思考优法，既有通法，又有优法，使学生在对比中体会方法的优劣，从而促进方法的掌握，渗透数形结合的思想 13z ≤≤2）1z i +-表示圆上点到K(-1,1)之间的距离，在P 处有最大值。
高中数学选修1,2《数系的扩充和复数的概念》教案
高中数学选修1,2《数系的扩充和复数的概念》教案高中数学选修1-2《数系的扩充和复数的概念》教案【一】教学准备教学目标知识与技能1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件过程与方法1、通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律2、通过具体到抽象的过程，让学生形成复数的一般形式情感态度与价值观1、体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维的作用2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法教学重难点重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件难点：虚数单位i的引进和复数的概念教学过程(一)问题引入事实上在实数范围内x和y确实不存在?为什么会这样呢?假设x和y是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢?我们能不能解决这个问题呢?这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的引入》(二)回顾数系的扩充历程师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。
大家记得吗?从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充。
现在就让我们来回顾一下，看看我们以前是怎么解决“数不够用”的问题的。
(三)类比，引入新数，将实数集扩充1、类比数系的扩充规律，引导学生找出解决“实数不够用”这个问题的办法生：引入新数，使得平方为负数师：我们希望引入的数的平方为负数，但是负数有无穷多个，我们不肯能一下子引入那么多，只要引入平方为多少就行呢?2、历史重现：3、探究复数的一般形式：(四)新的数集——复数集1.复数的定义(略)2.复数的应用：复数在数学、力学、电学及其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，是进一步学习数学的基础。
(五)复数的分类(六)复数相等的充要条件复数相等的充要条件可以把复数相等的问题转化为求方程组的解的问题，是一种转化的思想。
课后小结1、由于实际的需要，我们总结数的三次扩充过程的规律，运用类比的方法，我们引进了新的数i，并将实数集扩充到了复数集，认识到了复数的代数形式，并讨论了复数的分类及复数相等的充要条件，并且利用相等的条件把复数问题转化为方程组的解的问题2、那么，复数究竟是什么东西呢?能不能像实数一样在现实中找到它的影子呢?别急，我们的探索脚步并不会停止下去，这是我们下次将要探索的内容。
3.1《数系的扩充和复数的概念--数系的扩充》教案(新人教选修1-2)
课题：3.1 数系的扩大教课目标：认识数集的扩大过程教课过程：从数学史发展的角度来看，第一数系扩展伊始主假如因为实践的需要正是为认识决实践中出现的问题，人们不停将数的领域加以扩展第一是实践需要引入了自然数，人们最早就认同了自然数自然数是不一样种类数中最先等和最基本的它的产生能够说完整部是社会实践的推进的结果引入自然数后，任何失散的对象都能够用自然数予以量化了以自然数为源泉，数系得以不停扩大随后又引入了分数我国古代在对分数的引入与使用中长久居于当先地位究其原由，这与我国古代数学一开始便同天文历法结下了不解之缘有关这供给了数学与其余学科的亲密有关的一个例证事实上，在我国古代数学与天文学的关系极为亲密中国历史上把天文学家和数学家合称为“畴人”正能够反应出这一点别的，由于调整历法数据的要求，中国古代数学家发展了分数近似算法：“调日法”，使得我国古代在数的有理迫近方面达到了很高的水平数系扩大到分数这一步，应当说关于对付实践的需要就基本上够用了小数在数学中是很实用的我国是最早使用小数的民族可是在我国从刘徽产生十进小数思想到被宽泛应用的宋元期间，经历了一千多年的时间这是什么原由呢？生活实践中缺少小数应用的紧急性、必需性是一个重要原由以后，小数的使用也正是因为生活实践的推进但是，数学的发展又拥有独立性、波折性，数系的引入历史证了然这一点现实世界中大批存在的拥有相反意义的量，但这却其实不意味着人们就必定能够产生出负数的观点，在西方负数的引入是很晚的事，就从反面说了然这一点在我国，负数的产生，也其实不完整部是实质需要的产物出于解方程组的必需，也许是负数引入更重要的原由吧因此，起码我们能够说负数在我国的产生是实践与数学双方面联合的产物无理数的引入，虽然也存在着客观要素因为现实世界中除了失散量外，还存在大批连续量，而为了刻画出连续量就一定引入无理数但数学史的发展表示，无理数引入的直接动力来自于数学内部在东西方，都是因为研究几何问题才引入了无理数的假如说与客观要素有联系的话，这种联系也只好说是间接的，而非直接的从实质应用的角度来说，正如我们前方指出的那样，无理数是不必需的，事实上为了实质使用，对无理数我们也都是仅取其近似值而已从实数今后，数系的进一步推行，主要也是来自于数学内部的原由了虚数的引入是一个突出的例证正是因为解方程的需要，人们才不得不引入了缺少现实背景的虚数而虚数的被宽泛认同又是其几何意义确实立这表示了直观性的几何对代数的促使作用数学与自然科学有着相互影响、相互作用的关系数学为自然科学供给定量描绘的工具，自然科学则向数学供给大批的问题在数学发展的历史上，自然科学一直以发问者的身份刺激着数学的发展源于自然科学的数学识题，从对数学的作用和影响来看，大概上可概括为两类：一类是延长性问题，即对已形成的数学理论起着扩展成就的作用；另一类问题常常致使数学在思想方法上发生质的变化，因此关于数学的发展显得尤其重要实质上，物理学与数学之间的相互推进，比我们这本书中所叙述的要屡次得多到现在，物理学方面的问题仍旧是刺激数学发展的一个重要源泉总之，数学史的这些案例证明：并不是数学向前发展的每一步，都需要生产实践的直接推动数系的扩大，既是因为社会实践的推进，又切合算术、几何、代数这些数学学科理论发展的要求它不是随随意便，想怎么扩大就怎么扩大的过去是这样，未来也必定是这样从数系扩大的历史过程中，我们一方面看到，数学从实践中汲取营养而发展，反过来又解决了实践提出的问题；另一方面看到，几何和代数的知识是相互联系，并且相互促使的我们要学好数学，不单要注意实践中的数学识题，并且要注意代数、几何不一样学科间的相互关系简言之，有的数类（如分数）的引入拥有显然的客观背景，有的在当时则完整部是出于数学研究自己的需要纵观数学发展的进度，问题是数学的心脏数学识题是推进数学发展的主要动力自然数学识题的根源是多样的数学识题的根源大概上能够分为两部分，一部分根源于生产、生活实质以及其余科学技术领域；另一部分根源于数学自己，也就是由数学识题衍生出新的数学识题特别是当数学渐渐形成理论系统以后，它就开始以一个真实发问者的身份出现，不停地向自己提出新的问题这种问题，我们称之为数学系统内部问题数学发展到必定阶段，数学内部问题就成了推进数学发展的主要动力。
2020-2021学年高二数学选修1-2第三章3.1.1数系的扩充和复数的概念教案
数系的扩充和复数的概念一、内容和内容解析1.内容数系的扩充和复数的概念2.内容解析《数系的扩充与复数的概念》是人教版普通高中课程标准数学实验教科书选修1-2第三章第一节的内容，大纲课时安排一课时。
主要包括数系概念的发展简介，数系的扩充，复数相关概念、代数形式、相等条件、分类.复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，不仅可以使学生对于数的概念有一个更为完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。
通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.在学习了这节课以后，学生首先能知道数系是怎么扩充的，并且这种扩充是必要的，虚数单位i在数系扩充过程中的作用，而复数就是一个实数加上一个实数乘以i的形式，学生能清楚的知道一个复数什么时候是实数，什么时候是虚数，什么时候是纯虚数，两个复数相等的充要条件是什么.本节课让学生在经历一系列的思维活动后，完成对知识的探索，变被动地“接受问题”为主动地“发现问题”，加强学生对知识应用的灵活性，深化学生对复数的认识，提高学生分析问题和解决问题的能力.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：数系的扩充以及复数的有关概念.二、目标和目标解析1.目标（1）使学生体会数的概念是逐步发展的，初步体会引入虚数单位i的合理性；了解引入复数的必要性；（2）理解复数的基本概念；掌握两复数相等的充要条件；能够对复数进行简单的分类;（3）在培养学生类比与转化的数学思想方法的过程中，激发学生勇于探索创新的精神，提高学生的创新思维和应用意识．2.目标解析（1）学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成.（2）作为新学知识，理解复数的基本概念，掌握复数有关知识，为今后学习奠定基础，承上启下.（3）通过问题设置，引领学生追溯历史，提炼数系扩充原则，帮助学生合乎情理的建立新的认知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中.三、教学问题诊断分析学生已经学过自然数、整数、有理数、实数等数系，但是对知识的认识相对比较零碎、分散，对知识没有一个系统性的理解，同时由于虚数单位i的概念非常抽象，又与学生原有的知识冲突，因此在学习过程中可能遇到的问题有：1.学生不太容易体会数系再次扩充的必要性.2.由于学生的认知能力有限，学生很难发现数系扩充前后对于运算法则的一致性要求.3.由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难，也就是对虚数单位i的引入难以理解.在学习本节课的过程中，复数的概念如果采用单纯的讲解会显得比较枯燥无味，教学时，采用已学过的数集的认识历程，让学生体会数系的扩充是生产实践的需要，介绍数的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律有着比较清晰的认识，让学生能够在问题探索中掌握新知.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：对引入复数引入必要性的认识以及从实数到复数的扩充历程．四、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，利用图片展示数系学习历程，另外通过演示，体会复数从无到有的发展过程.五、教学过程分析（一）课题引入多媒体课件展示“数学的魅力在于用数来诠释全世界”，引入课题.设计意图：采用名言欣赏的方式进行情景引入，紧扣主题，展示本节课学习的意义.（二）复习回顾1.已经学习了哪些数集？2.回顾数的学习历程情境一一年级数学第一节《数一数》情境二三年级（上）数学第八节《分数的初步认识》情境三三年级（下）数学第七节《小数的初步认识》情境四六年级数学第一节《负数》情境五七年级数学第六节《实数》师：我们回顾了对数系的认识历程，我们看到数系在不断地进行扩充，从自然数到整数，再到有理数，乃至实数，请你思考：（1）人们为什么不断地扩充数系？师：从上述过程可以看出，满足社会实践的需要，是数系扩充的一个重要原因．正所谓自然数是“数”出来的，分数是“分”出来的，负数是“欠”出来的．另外，数学内部的发展、需求也是一个重要的原因！例如，求下列方程的解：x+3=1；3x−2=0；x2−2=0．如果没有数系的合理扩充，这些方程的解就是一个问题，数学本身也不可能协调的发展．因此，数学源于社会实践又服务于社会实践，问题或数学矛盾是数学发展的动力．（2）数学扩充的一般原则是什么？师：数系的扩充不仅仅是增加一种新的数，它还涉及数的运算．因此，数系的扩充还需保留原来的基本运算，用今天的话来讲，就是要向前“兼容”，不能推倒小楼建大楼．具体来讲，就是加、减、乘、除、乘方和开方的运算律应得到继承．比如要满足加法、乘法的交换率和结合律以及乘法对加法的分配律．设计意图：通过梳理数系的学习历程，体会数系扩充的必要性，了解数系扩充前后的联系，为后面学习做好铺垫.（三）问题导引师：数系的扩充是否就此止步不前了呢？如果不是，新的数系又是什么呢？情境六与数学家的对话 16世纪意大利数学家达尔卡诺在他的著作中写到“将10分成两部分，使他们的乘积等于40”，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了：10=(5+√−15)+(5−√−15)，40=(5+√−15)(5−√−15)．师：这样一个似乎简单的问题为什么会有争议呢？这两个表达式有什么问题？又包含了有哪些“合理”的成分，没有让数学家们一巴掌把它拍死？师：的确，虽然16世纪实数理论还没有完善，但任何一个（实）数的平方都是一个非负数，或者负数的开方没有意义的道理是人所共知的．这里√−15是什么？他有什么意义吗？是√−15个苹果还是√−15斤棉花？你卡尔达诺能说清楚吗？不过，另一方面，根据当时还不太严谨的运算法则，这两个式子好像也没什么大的问题（先不管√−15是什么，和为10，积为40也是明显的），至少就数学论数学来说，还马马虎虎有点意思，不能因为看不顺眼就拍死它吧？设计意图：以问题形式吸引学生注意力，承上启下，调动学生的积极性.（四）问题探究提出1637年，法国数学家笛卡尔在他的《几何学》中把这样的数称为“i maginary” .（“想象中的数”,虚数）迷茫“……，它大概是存在和虚妄两界中的两物”．——德国数学家莱布尼茨“……我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻．”——瑞士数学大师欧拉发展1777年，欧拉在其论文中首次用符号“i ”表示√−1，称为虚数单位．1832年，德国数学家高斯第一次引入复数概念，一个复数可以用a＋b i来表示，其中a，b是实数，i代表虚数单位完善1837年哈密顿用有序实数对(a，b)定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足实数的运算律，把实数看成特殊的复数，建立完整的复数系．复数的概念 1.形如a+b i(a,bϵR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位2.全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示3.复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z= a+b i(a,bϵR)其中a 与b分别叫做z的实部与虚部设计意图：通过问题的提出、迷茫、发展和完善过程，让学生感受有实数系扩充到复数系的历程，体会数学家的创新精神和实践能力，让学生参与其中，培养学生解决问题的能力，增强学生解决问题的自信心.练习完成课后练习1设计意图：巩固所学内容，加强对复数概念的认识.（五）自主学习阅读请阅读教材51页完成下面的问题：1．两个复数相等的充要条件是什么？2．复数集C和实数集R之间有什么关系？3．复数集是怎么分类的？设计意图：让学生通过自己去阅读、思考的方式获得知识，培养学生积极参与的意识和自主探索的能力.练习完成课后练习2、3设计意图：及时反馈，学以致用，加强对知识的认识，提高学生的解题能力.（六）例题讲解例：实数m取什么值时，复数z=(m+1)+(m－1)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数．由复数z=a+b i是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值．解：（1）当m-1=0，即m=1时，复数z是实数；（2）当m-1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；（3）当m+1=0，且m-1≠0即m=-1时，复数z是纯虚数．设计意图：通过例题，强化复数相等的充要条件，提高分析、解决问题的能力，规范做题步骤.变式练习实数m取什么值时，复数z=(m-1)(m+2)+(m-1)(m-3)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0.设计意图：增加题目难度，检验学生学习情况.（七）课堂小结这节课你学到了哪些内容，你有什么收获？学生活动：学生发言交流自己的收获，其他同学补充．设计意图：通过学生总结，教师提炼，培养学生归纳概括的能力，回顾本节课内容，为以后学习打下基础.（八）课后作业1、书面作业：习题3.1A组 1，2.2、课后探究：请你收集一些从实数系扩充到复数系的数学史料，并对“自然数——整数——有理数——实数——复数”的数系扩充过程进行整理.设计意图：巩固本节课所学知识，同时带着新的问题走出课堂，扩大学生的视野，加深对知识的认识，激发学生课外学习数学的兴趣.（九）知识拓展复数的应用师：在本节课我们看到，虚数从提出到完善大约经历了300年的历程,数学也就是在这种曲折、矛盾中不断的向前发展．复数系建立之后，人们又把复数和向量联系起来，并在复数的基础上建立了复变函数理论，成为数学新的一个分支，其在流体力学、机翼理论等方面有着广泛的应用，从我们熟悉的飞机制造，到引以为傲的高铁，再到跨世纪的伟大工程——三峡大坝，复数都起到了重要的作用．可谓虚数不虚，学海无涯！设计意图：拓展了学生的知识面，使学生思想得到升华.教学评析本节课的学习，一方面帮助学生回忆数系扩充的过程，体会虚数引入的必要性和合理性，让学生参与有实数系到复数系的扩充历程;一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的学习奠定基础.从各个环节上看，本节课主要亮点有：采用名言欣赏的方式进行情景引入，紧扣主题，调动学生的积极性和求知欲。
最新人教版高中数学选修1-2《数系的扩充与复数的引入》教学设计
教学设计第三章数系的扩充与复数的引入复习课整体设计教材分析复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅使学生对数的概念有一个初步的完整的认识，也为进一步的学习打下基础．通过前几节课的学习，同学们对复数的基本概念，基本运算法则，以及复数的几何意义等几个不同的方面有了了解，本节的复习将使学生在问题情景中进一步了解数系扩充的过程和引入复数的必要性，以及用复数解决数学问题的基本方法，复数与以前学习的知识之间的联系与区别，加强对复数的理解，体会实际需要与数学内容的矛盾．课时分配1课时．教学目标知识与技能目标理解复数的概念以及复数相等的充要条件，熟练掌握复数代数形式的四则运算，了解复数及其加减运算的几何意义，复数模的概念及其应用．过程与方法目标引导学生去发现问题，探索问题，解决问题，培养学生数形结合，化归与转化的思想意识．情感、态度与价值观通过对本章的复习，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于开拓进取的良好品质，从而形成全面且细致的思维习惯．重点难点重点：复数的基本概念，复数的四则运算和复数相等的充要条件．难点：复数的几何意义以及对复数的模的理解应用．教学过程形成网络提出问题问题1：通过前面的学习，我们已经将数系由实数扩充到了复数，谁来将前面学习的有关复数的内容描述一下？活动设计：学生独立思考，5秒后找一位同学口答，其他同学可以补充．活动成果：复数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 复数的概念⎩⎪⎨⎪⎧ 复数的代数形式及其相等的充要条件复平面、实轴、虚轴和复数对应的点和向量共轭复数复数的运算⎩⎪⎨⎪⎧ 复数的加法及其运算律和几何意义复数的减法及其运算律和几何意义复数的乘法法则和除法法则复平面上两点间的距离公式数系的扩充⎩⎪⎨⎪⎧ 复数的分类实系数的一元二次方程提出问题问题2：(1)计算1－i 1＋i＝__________； (2)若m ＋pi ＝2p ＋(1－m)i ，则m ＝__________，p ＝__________(m ，p ∈R )；(3)若复数z ＝1＋2i ，则|z|＝__________，复数z 对应的向量OZ →＝__________.活动设计：找一个学生到黑板上做，然后一起对答案．活动成果：(1)－i (2)23 13(3)5 (1,2) 设计意图通过问题1、2，从理论和实践两个方面回顾复数的基本内容．典型示例类型一：复数的基本概念例1设m ∈R ，复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)．(1)若z 为实数，则m ＝__________.(2)若z 为纯虚数，则m ＝__________.思路分析：复数a ＋bi(a ，b ∈R )包括实数(b ＝0)和虚数(b ≠0)，其中虚数中a ＝0的数是纯虚数．解：首先整理得：z ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i.在(1)中z 为实数，则m 2－3m ＋2＝0，即m ＝1或m ＝2.在(2)中z 为纯虚数，则2m 2－3m －2＝0且m 2－3m ＋2≠0，即m ＝－12. 点评：解决这类问题，首先把z 化成“z ＝a ＋bi ”的形式，分清虚部和实部．若题目条件中直接指明z 为“虚数”，此时我们可设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )；若指明z 是纯虚数，则可设z ＝bi(b ∈R 且b ≠0)即可．注意设复数的同时一定加入必需的条件．巩固练习已知a ∈R ，复数z ＝a a －3＋(a 2＋2a －15)i ，当a 为何值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)z 对应的点在直线y ＝9上？答案：(1)－5.(2)a ≠－5且a ≠3.(3)0.(4)4或－6.类型二：复数相等的充要条件例2已知集合A ＝{(m ＋3)＋(n 2－1)i ，8}，集合B ＝{3i ，(m 2－1)＋(n ＋2)i}，满足A ∩B ⊂A ，A ∩B ≠∅，求整数m ，n.思路分析：由A ∩B ⊂A ，可知这两个集合有一个公共元素(m ＋3)＋(n 2－1)i 或8，即(m ＋3)＋(n 2－1)i ＝3i 或8＝(m 2－1)＋(n ＋2)i ，或(m ＋3)＋(n 2－1)i ＝(m 2－1)＋(n ＋2)i.解：依题意，当(m ＋3)＋(n 2－1)i ＝3i ，即m ＋3＝0，n 2－1＝3.解得m ＝－3，n ＝±2.经检验m ＝－3，n ＝－2时，(m 2－1)＋(n ＋2)i ＝8不合题意，舍去．所以有m ＝－3，n ＝2.当8＝(m 2－1)＋(n ＋2)i 时，有m 2－1＝8，n ＋2＝0.可解得m ＝±3，n ＝－2.但m ＝－3，n ＝－2时，(m ＋3)＋(n 2－1)i ＝3i 不合题意，舍去．所以有m ＝3，n ＝－2.当(m ＋3)＋(n 2－1)i ＝(m 2－1)＋(n ＋2)i 时，有m ＋3＝m 2－1，n 2－1＝n ＋2，此时m ，n 无整数解，不合题意．综合以上得m ＝－3，n ＝2或m ＝3，n ＝－2.点评：此题中复数之间的等量关系并未直接给出，而是通过集合之间的关系间接给出，因此复习时注意知识之间的相互联系，也要注意思维的广阔性和严谨性．巩固练习已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数a ＝__________.答案：－1类型三：复数的基本四则运算例3求值：(1)已知复数z 与(z －3)2－18i 均是纯虚数，则z ＝__________.(2)已知z 2＝4＋3i ，则z 3－8z －1z＝__________. 思路分析：在(1)中可设z ＝bi(b ∈R 且b ≠0)，将z 代入(z －3)2－18i 中求得b 的值．在(2)中可由z 2＝4＋3i 求得z 以后，再将z 代入z 3－8z －1z 中求值，也可化简z 3－8z －1z后再求值．解：(1)设z ＝bi(b ∈R 且b ≠0)，则(z －3)2－18i ＝(bi －3)2－18i ＝(9－b 2)－(6b ＋18)i. 由(z －3)2－18i 为纯虚数，所以9－b 2＝0且6b ＋18≠0，所以有b ＝3，即z ＝3i.(2)z 3－8z －1z ＝z 4－8z 2－1z ＝(z 2－4)2－17z ＝－26z ＝－26z z z ＝－26z|z|2. 又由z 2＝4＋3i ，得z ＝±(322＋22i)，|z |2＝|z|2＝|4＋3i|＝5， ∴z ＝±(322－22i)．∴原式等于3925－1325i 或－3925＋1325i. 点评：在解决复数计算问题时，应该先审清题意，尤其是对有条件的求值问题，先审清题意，然后找准切入点，逐步化简求值．巩固练习 －7＋i 1＋7i ＋(－21＋i )2 012＋(3－8i )2－(－3＋8i )22－7i. 答案：－1＋i.类型四：复数的几何意义例4已知复数|z 1|＝|z 2|＝3，|z 1－z 2|＝4，求|z 1＋z 2|的值．思路分析：这里可以先把z 1、z 2、z 1－z 2和z 1、z 2、z 1＋z 2两组复数对应的向量分别组成两个三角形，再借助余弦定理求解．解：设z 1对应向量OA →，z 2对应向量OB →，则z 1－z 2对应向量BA →.∴cos ∠AOB ＝|OA →|2＋|OB →|2－|BA →|22|OA →||OB →|＝|z 1|2＋|z 2|2－|z 1－z 2|22|z 1||z 2|＝19. 设z 1＋z 2对应向量OC →，则BC →＝OA →.∴|z 1＋z 2|2＝|OC →|2＝|OB →|2＋|BC →|2－2|OB →||BC →|cos ∠OBC＝|z 2|2＋|z 1|2＋2|z 2||z 1|cos ∠AOB＝20.∴|z 1＋z 2|＝|OC →|＝2 5.点评：复数的几何意义体现在将复数问题转化为点或向量的问题，也就是将代数问题转化为几何问题，充分体现了数形结合的思想．变式练习已知|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝1，求|z1－z2|的值．(用代数和几何两种方式求解)答案： 3.拓展实例例5已知z＝m－1－mi(m∈R)，求|z|的最值．思路分析：可以先将|z|整理出来转化为关于m的最值问题，还可以转化为几何问题，即z对应的点在哪里才能使z对应的点到原点的距离最大或最小的问题．解：代数法：因为|z|＝(m－1)2＋m2＝2m2－2m＋1＝2(m－12)2＋12，所以当m＝12时，|z|min＝22，但|z|无最大值．几何法：如下图所示，设z＝x＋yi，则有x＝m－1，y＝－m，则x＋y＋1＝0，所以z 对应的点Z在直线x＋y＋1＝0上．因为|z|的几何意义是表示Z点到原点的距离，因此|z|就是x＋y＋1＝0上的点与原点的距离，|z|的最小值就是原点到直线x＋y＋1＝0的最短距离d＝22，显然无最大值．点评：充分运用复数的几何意义，将模的最值问题转化为距离的最值问题．变式练习若复数z对应的点在(1)以原点为圆心，半径为1的圆上；(2)以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；(3)以(3,0)，(－3,0)为焦点，以原点为对称中心，长轴长为10的椭圆上，分别写出满足上述条件的z的表达式．答案：(1)|z|＝1；(2)|z－(1＋i)|＝1；(3)|z－3|＋|z＋3|＝10.变练演编提出问题：(1)当|z 1－1－i|＝1时，可以提出什么问题？(2)当|z 1－1－i|＝1，z ＝m －1－mi ，m ∈R 时，可以提出什么问题？活动设计：学生可先独立探索，后互相交流．学情预测：(1)例如：求|z 1－3－i|的范围．几何方法：如图，由|z 1－1－i|＝1可知，z 1所对应的点Z 在以C(1,1)为圆心，1为半径的圆C 上，那么|z 1－3－i|就是点A(3,1)与圆C 上的点Z 的连线的距离，所以|z 1－3－i|的最大值为|AC|＋1＝3，最小值为|AC|－1＝1.所以|z 1－3－i|的范围为[1,3]．代数方法：设z 1＝a ＋bi ，则|z 1－1－i|＝1可转化为(a －1)2＋(b －1)2＝1，就可以得到|z 1－3－i|＝(a －3)2＋(b －1)2＝(a －3)2＋1－(a －1)2＝9－4a.因复数z 1对应的点Z(a ，b)在圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上，故0≤a ≤2.所以当a ＝0时，|z 1－3－i|有最大值3；当a ＝2时，|z 1－3－i|有最小值1.所以|z 1－3－i|的范围为[1,3]．(2)例如：求|z 1－z|的最小值．(答案：322－1) 对于(1)或(2)的问题和答案可以很多，教师可以选有代表性的或有共性的例子拿来讨论． 设计意图加深对复数的代数和几何含义的理解，增强题目的趣味性，训练学生的发散思维，加深对前面知识的理解，考查学生的知识应用能力．达标检测1．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1＋z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i3．(1－i)2·i 等于( )A ．2－2iB ．2＋2iC ．－2D ．24．复数(1＋1i)2的值是( ) A ．2i B ．－2iC ．2D ．－2答案：1.D 2.D 3.D 4.B课堂小结学生独立思考后，概括对复数这一章节的认识，教师最后补充．(1)深刻理解复数、实数、虚数、纯虚数、共轭复数的概念和复数的几何表示，对概念的理解上要善于利用数形结合的思想．(2)掌握复数的分类，明确“复数问题实数化”是解决问题的最基本的思想方法，在解决复数问题时，充分利用复数的有关概念和复数相等的充要条件．(3)代数形式的加、减、乘、除四则运算的运算法则类似于合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法的主要内容是分母实数化．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，要特别注意实数范围内的运算法则和性质是否在复数范围内实用．布置作业补充练习中的2、3题．补充练习基础练习1．设复数z 1＝2－i ，z 2＝1－3i ，则复数i z 1＋z 25的虚部等于__________． 答案：1.1拓展练习2．已知a ∈R ，b ∈R,2＋ai 和b ＋i(i 是虚数单位)是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，那么p ，q 的值分别是多少？3．若复数z 满足|z －3|≤5，求|z －(1＋4i)|的最大值和最小值．提示：2.根据韦达定理：x 1＋x 2＝－p ＝2＋ai ＋b ＋i ，所以有－p ＝2＋b 且a ＋1＝0；x 1·x 2＝q ＝(2＋ai)·(b ＋i)＝(2b －a)＋(ab ＋2)i ，所以有ab ＋2＝0，q ＝2b －a.由此可得p ，q 的值．3．可利用几何意义：因为满足条件|z－3|≤5的复数z对应的点Z都在以A(3,0)为圆心，5为半径的圆C内和圆C上，因此求|z－(1＋4i)|的最值可转化为求点A(1,4)到圆C内或圆C上哪个点的距离最大和最小的问题．答案：2.p＝－4，q＝5.3．最大值为|AC|＋5＝35，最小值|AC|－5＝ 5.设计说明这一节课是复习课，在开始设计两个问题的目的是引领同学们复习基本知识点，形成这一章的知识网络，后又以典型例题为主，巩固或变式练习为辅，层层展开，步步深入，来复习这一章中涉及到的多个知识点，展现多种不同的题型以及各自的解答方式与解答规律．因为是复习课，所以在复习基本题型的同时，也把复数问题进一步升华提高．这样不但加深了同学们对知识的理解，也更好地提高同学们分析问题、解决问题的能力，进一步培养同学们数形结合，化归与转化的数学思想意识，培养学生思维的严谨性、灵活性和深刻性等良好的思维品质．同时展示数学的内在规律，新旧知识之间的联系，展现复数无穷的魅力．备课资料复数的起源与扩张16世纪意大利米兰学者卡当(Jerome Cardan1501～1576)在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”．他第一个把负数的平方根写到公式中，并且在讨论是否能把10分成两部分，使它们的乘积等于40.他把答案写成＝40，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40.给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(1596～1650)，他在《几何学》(1637年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来．数系中发现一颗新星——虚数，引起了数学界的一片困惑，很多大数学家不承认虚数．德国数学家莱布尼兹(1646～1716)在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”．法国数学家棣莫佛(1667～1754)在1730年发现著名的棣莫佛定理．欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i来表示－1的平方根，首创了i作为虚数的单位．“虚数”实际上不是想象出来的，它是确实存在的．挪威的成塞尔(1745～1818)在1779年试图给予这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视．德国数学家阿甘得(1777～1855)在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示．在平面直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数a＋bi.像这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“阿甘得平面”．高斯在1831年，用实数组(a，b)代表复数a＋bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”．他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合，统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数一一对应，扩展为平面上的点与复数一一对应．高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间一一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法．至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了．经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚呵！虚数成为了数系大家庭中的一员，从而实数集才扩充到了复数集．随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据．复数概念的进化是数学史中最奇特的一章，那就是数系的历史发展完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性．人们没有等待实数的逻辑基础建立之后，才去尝试新的征程．在数系扩张的历史过程中，往往许多中间地带尚未得到完全认识，而天才的直觉随着勇敢者的步伐已经到达了遥远的前哨阵地．回顾数系的历史发展，似乎给人这样一种印象：数系的每一次扩充，都是在旧的数系中添加新的元素．如分数添加于整数，负数添加于正数，无理数添加于有理数，复数添加于实数．但是，现代数学的观点认为：数系的扩张，并不是在旧的数系中添加新元素，而是在旧的数系之外去构造一个新的代数系，其元素在形式上与旧的可以完全不同，但是，它包含一个与旧代数系同构的子集，这种同构必然保持新旧代数系之间具有完全相同的代数构造．当人们澄清了复数的概念后，新的问题是：是否还能在保持复数基本性质的条件下对复数进行新的扩张呢？答案是否定的．当哈米尔顿试图寻找三维空间复数的类似物时，他发现自己被迫要做两个让步：第一，他的新数要包含四个分量；第二，他必须牺牲乘法交换律．这两个特点都是对传统数系的革命．他称这新的数为“四元数”．“四元数”的出现昭示着传统观念下数系扩张的结束.1878年，富比尼(F.Frobenius，1849～1917)证明：具有有限个原始单元的、有乘法单位元素的实系数先行结合代数，如果服从结合律，那就只有实数，复数和实四元数的代数．数学的思想一旦冲破传统模式的藩篱，便会产生无可估量的创造力．哈米尔顿的四元数的发明，使数学家们认识到既然可以抛弃实数和复数的交换性去构造一个有意义、有作用的新“数系”，那么就可以较为自由地考虑甚至偏离实数和复数的通常性质的代数构造．数系的扩张虽然就此终止，但是，通向抽象代数的大门被打开了．(设计者：王明平崔志新)。
人教版高中数学选修(1-2)-3.1《数系的扩充与复数的概念》教学设计
第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念一、教学目标1.核心素养通过学习数系的扩充和复数的概念，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.（2）理解复数的基本概念，复数的代数形式及复数相等的充要条件.（3）复数的向量表示.3.学习重点复数的概念，复数的代数形式，复数的向量表示.4.学习难点复数相等的条件，复数的向量表示.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1 阅读教材P102，思考：方程210x+=在实数集中无解.联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？任务2 阅读教材P103，思考：复数集C和实数集R有什么关系？任务3 阅读教材P104-P105，思考：实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可以用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？2.预习自测1.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )A.±1B.±iC.±2iD.±2i解：C2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )A.2，1B.2，5C.±2，5D.±2，1解：C3.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )A.1B.0C.－1D.－1或1解：B（二）课堂设计1.知识回顾（1）对因生产和科学发展的需要而逐步扩充数集的过程进行概括自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数2.问题探究问题探究一数系的扩充x+=，没有实数根.我们能否将实数集进行对于实系数一元二次方程210扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？●活动一回顾旧知，回顾数集的扩充过程对因生产和科学发展的需要而逐步扩充数集的过程进行概括自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数（教师引导）●活动二类比旧知，探究数系的扩充.x+=，没有实数根，我们能否将实数集进行对于实系数一元二次方程210扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？。
最新人教版高中数学选修1-2《数系的扩充和复数的概念》示范教案
第三章数系的扩充与复数的引入本章概览教材分析复数在数学、力学、电学等其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础．本章内容分为两节：3.1数系的扩充和复数的概念，3.2复数代数形式的四则运算．教材通过问题情境：“方程x2＋1＝0在实数集中无解，如何设想一种方法使该方程有解？”引出扩充数系的必要性，从而引入虚数、复数的概念．复数实际上是一对有序数对，即a＋bi (a，b)，类比实数可以用数轴上的点表示，复数就可以在直角坐标系中用点或向量表示，从而有了复数的几何意义，使数和形得到了有机的结合．复数代数形式的四则运算可以类比代数式运算中的“合并同类项”“分母有理化”等，利用i2＝－1，将复数代数形式的四则运算归结为实数的四则运算，体现了化虚为实的化归思想．复数的加法、减法运算还可以通过向量的加法、减法的平行四边形或三角形法则来进行，这不仅又一次看到了向量这一工具的功能，也把复数及其加、减运算与向量及其加、减运算完美地统一起来．教材每节设置了“思考”“探究”，让学生通过类比思想，并借助于具体实例对数系进行了扩充，研究了复数代数形式的几何意义和复数加、减法的运算及几何意义，体现了《课标》以学生为主体的教学理念，有利于培养学生的思想素质和激发学习数学的兴趣和欲望．本章的重点是复数的概念及复数代数形式的四则运算，本章的难点是复数的引入和复数加、减法的几何意义．课标要求(1)在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．(2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．(3)了解复数的代数表示法及其几何意义．(4)能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．教学建议(1)数的概念的发展与数系的扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需求．建议教学时详细介绍从自然数系逐步扩充到实数系的过程，使数系的扩充与复数的引入更为自然，让学生充分领略数系扩充过程中所蕴涵的数学思想和科学发展思想．(2)在讲解复数的相关概念时，在“复数相等”环节，可以类比“相反数”的概念．(3)学习复数代数形式时的加、减、乘等运算时，可设置研究问题：用第二章“类比推理”思想，将多项式的运算法则与之进行类比．(4)删减的内容不必再补．对于弱化的部分，建议也只是在其出现的地方作适当延伸，不必重点讲解．课时分配本章教学时间大约需5课时，具体分配如下(仅供参考)3.1数系的扩充和复数的概念3．1.1数系的扩充和复数的概念整体设计教材分析教材通过三个环节完成了对实数系的扩充过程：(1)提出问题(用什么方法解决方程x2＋1＝0在实数集中无解的问题)，引发学生的认知冲突，激发学生扩充实数系的欲望；(2)回顾从自然数集逐步扩充到实数集的过程和特点(添加新数，满足原来的运算律)；(3)类比、设想扩充实数系的方向及引入新数i所满足的条件(使i2＝－1成立，满足原来的运算律)．由于学生对数系扩充的知识并不熟悉，教学中教师需多作引导．复数的概念是复数这一章的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的．虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的概念，以及虚数、纯虚数等概念的理解，教学中可结合具体例子，以促进对复数实质的理解．课时分配1课时．教学目标1．知识与技能目标了解引进复数的必要性；理解虚数单位i以及i与实数的四则运算规律．理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)．2过程与方法目标通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识．3．情感、态度与价值观通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．重点难点重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念．难点：虚数单位i的引进及复数的概念．教学过程引入新课请同学们回答以下问题：(1)在自然数集N中，方程x＋4＝0有解吗？(2)在整数集Z中，方程3x－2＝0有解吗？(3)在有理数集Q中，方程x2－2＝0有解吗？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，最后师生总结．活动成果：问题(1)在自然数集中，方程x＋4＝0无解，为此引进负数，自然数→整数；问题(2)在整数集中，方程3x－2＝0无解，为此引进分数，整数→有理数；问题(3)在有理数集中，方程x2－2＝0无解，为此引进无理数，有理数→实数．数集的每一次扩充，对数学本身来说，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，如分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾．提出问题：从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充？每一次扩充的主要原因是什么？每一次扩充的共同特征是什么？活动设计：先让学生独立思考，然后小组讨论，师生共同归纳总结．活动成果：扩充原因：①满足解决实际问题的需要；②满足数学自身完善和发展的需要．扩充特征：①引入新的数；②原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展，都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．设计意图回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程，帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征．探究新知提出问题：方程x2＋1＝0在R上有解吗？如何对实数集进行扩充，使方程x2＋1＝0在新的数集中有解？活动设计：小组讨论，类比猜想，设想新数的引进，师生共同完成．学情预测：学生讨论可能没有统一结果，无法描述．类比原来不同阶段数系的每一次扩充的特点，在实数集中方程x2＋1＝0无解，需要引进“新数”扩充实数集．让我们设想引入一个新数i，使i满足两个条件：(1)i是方程x2＋1＝0的根，即i2＝－1；(2)新数i与实数之间满足加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．设计意图面对新问题的需要，感到扩充实数集的必要性，通过类比，猜想增添的新数需满足的条件．提出问题：同学们设想，实数a与新数i相加，实数b与新数i相乘，结果如何表达？实数a与实数b和新数i相乘的结果相加，如何表示？活动设计：学生动手操作，尝试写出新数与实数加法和乘法的运算，然后教师引导，更正不正确的写法，统一新数的特点，为引出复数的概念做铺垫．活动成果：a＋i，bi，a＋bi.根据条件(2)，i可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法和加法的交换律，从而都可以把结果写成a＋bi(a，b∈R)的形式．提出问题：形如a＋bi(a，b∈R)的数包括所有实数吗？包括你原来没遇到过的新数吗？写出实数系经过上述扩充后得到的新数构成的集合C.活动设计：学生思考，可以讨论，师生共同总结，得出复数的概念．活动成果：形如a＋bi(a，b∈R)的数，包括所有实数，也包括新数bi和a＋bi，实数a 和新数i可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样数的特殊形式，即a＝a＋0i，i＝0＋i.实数系经过上述扩充后，得到的新数集C＝{a＋bi|a，b∈R}．我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C叫做复数集，即C＝{a＋bi|a，b∈R}．复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．注意：今后不做特殊说明，a，b∈R，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．设计意图让学生自己添加上这些新数，感受实数系的扩充过程，认识扩充后新数的特点，知道复数的代数形式及有关概念．提出问题：你认为满足什么条件，可以说这两个复数相等？活动设计：学生讨论探究a ＋bi ＝c ＋di 时，实部和虚部应满足的条件，教师补充． 活动结果：若a ＋bi ＝c ＋di(其中a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝b 且c ＝d ，即两个复数相等的充要条件是实部和虚部分别相等．特别地，a ＋bi ＝0⇔a ＝0且b ＝0.设计意图通过探究讨论，让学生对复数相等的概念达成共识，并揭示复数相等的内涵，利用两复数相等，可以得到关于实数的方程组，进而得到a ，b 的值．理解新知提出问题：对于复数z ＝a ＋bi ，当且仅当a ，b 满足什么条件时，z 为实数，为0，为虚数，为纯虚数？活动设计：学生思考、讨论，师生总结．活动结果：当且仅当b ＝0时，复数z ＝a ＋bi 是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，复数z ＝a ＋bi 为0；当且仅当b ≠0时，复数z ＝a ＋bi 是虚数；当且仅当a ＝0且b ≠0时，复数z ＝a ＋bi 为纯虚数．设计意图让学生进一步理解复数的代数形式，明确复数z ＝a ＋bi 为实数、虚数和纯虚数的充要条件．提出问题：实数系扩充到复数系后，实数集R 与复数集C 有怎样的关系？你能类比实数的分类，对复数进行合理的分类吗？试用韦恩图表示复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系．活动设计：小组讨论，学生尝试分类，教师引导归纳．活动结果：实数集R 是复数集C 的真子集，即R C .复数z ＝a ＋bi 可以分类如下：复数z ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数) 复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系用图表示如下：设计意图让学生了解数系扩充后复数的正确分类及各数系之间的包含关系．提出问题：任意两个复数可以比较大小吗？若可以，请说明进行比较的方法；若不可以，请说明理由．活动设计：让学生思考，议论后发言，教师点拨．学情预测：学生可能不知所云，无法下结论，也可能类比实数的大小比较，认为可以比较大小．活动结果：若两个复数都是实数，则可以比较大小；否则就不能比较大小．因此，一般说来，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较其大小．运用新知例1请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0. 思路分析：根据复数的代数形式及实部和虚部的概念找出各复数的实部和虚部，根据虚数、纯虚数的概念判断．解：①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部0，虚部为0，是实数．点评：复数a ＋bi 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部．巩固练习符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．解答：(1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.例2实数m 取什么数值时，复数z ＝m ＋1＋(m －1)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．思路分析：因为m ∈R ，所以m ＋1，m －1都是实数．由复数z ＝a ＋bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m 的取值．解：(1)当m －1＝0，即m ＝1时，复数z 是实数；(2)当m －1≠0，即m ≠1时，复数z 是虚数；(3)当m ＋1＝0，且m －1≠0，即m ＝－1时，复数z 是纯虚数．点评：这是一道巩固复数概念的题目，首先要在变化中认识复数代数形式的结构，正确判断复数的实部和虚部；然后依据复数是实数、虚数、纯虚数的条件，用列方程(或不等式)的方法求出相应的m 的取值．变式练习已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝______.提示：由M ∩N ＝{3}知，3∈M ，即有(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1. 例3已知(2x －1)＋i ＝y －(3－y)i ，其中x ，y ∈R ，求x ，y 的值．思路分析：根据两复数相等的概念，列出关于x 与y 的方程组，可求得x ，y 的值．解：根据复数相等的定义可得，⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－(3－y )，解得x ＝52，y ＝4. 点评：根据两复数相等的定义求其中参数值的问题，应首先将复数转化为代数形式，并确定其实部和虚部，然后利用两复数相等的充要条件，即实部和虚部分别相等列出相应的方程组，然后解方程组求出参数的值．变练演编1．给出实数－1、1和0，你能构成哪些不同的复数？2．已知复数z ＝(x 2＋5x ＋6)＋(x 2－2x －15)i(x ∈R )，需要添加条件：____________，即可求实数x 的值．答案：1.可以构成不同的复数有：－1＋i ，－1＋0i ，1－i ，1＋0i ，i ，－i ；2．可以添加的条件很多，如z 为实数，z 为虚数，z 为纯虚数，z ＝0，z ＝6－15i 等等． 达标检测1．下列说法正确的是( )①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集．A ．①②③B ．①②④C ．②④D ．①②③2．a ＝0是复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )为纯虚数的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4ai 相等，则实数a 的值为( )A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－44．以2i －5的虚部为实部，以5i －2i 2的实部为虚部的复数是__________．答案或提示：1.B 2.B3．C(提示：由两复数相等的条件列出关于a 的方程组)4．2＋2i(提示：先确定两个已知复数的实部和虚部，注意：i 2＝－1)课堂小结可以先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解题规律等；然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络、思想方法、解题规律等．1．内容知识：2．解题规律方法：3．思想方法：布置作业教材本节练习第3题，习题3.1 A 组1,2题．补充练习1．设集合C ＝{复数}，A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是… ( )A ．A ∪B ＝C B ．A ＝BC ．A ∩B ＝D ．B ∪B ＝C2．在下列命题中，正确命题的个数为( )①两个复数不能比较大小；②1＋i 2>0；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1；④若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b)＋(a ＋b)i 是纯虚数．A ．0B ．1C ．2D ．33．复数(2x 2＋5x ＋2)＋(x 2＋x －2)i 为虚数，则实数x 满足( )A ．x ＝－12B ．x ＝－2或－12C ．x ≠－2D ．x ≠1且x ≠－24．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i}，集合P ＝{－1,0}．若M ∩P ＝{0}，则实数m 的值为( )A ．－1B ．－1或4C ．6D ．6或－15．复数z 1＝a ＋|b|i ，z 2＝c ＋|d|i(a 、b 、c 、d ∈R )，则z 1＝z 2的充要条件是__________．6．已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z ＝12＋4i? 答案或提示：1.D 2.A 3.D 4.A 5.a ＝c 且b 2＝d 26．解：(1)若z ∈R ，则m 须满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3＝0，m －1≠0， 解之，得m ＝－3.(2)若z 是虚数，则m 须满足m 2＋2m －3≠0且m －1≠0，解之，得m ≠1且m ≠－3.(3)若z 是纯虚数，则m 须满足⎩⎪⎨⎪⎧ m (m ＋2)m －1＝0，m 2＋2m －3≠0，解之，得m ＝0或m ＝－2.(4)若z ＝12＋4i ，则m 须满足⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋2)m －1＝12，m 2＋2m －3＝4，解之，得m ∈∅．设计说明本节课的教学设计以问题为驱动，通过不断提出问题，研究问题，解决问题，使学生回顾旧知识获得新知识，完成数系的扩充和复数概念的教学．复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，本课时将已有知识和新学知识通过问题链设计教学，让学生体验已学过的数集的扩充历史，体会数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；通过小组合作学习，使学生了解数的发展过程和规律，对各种数集之间的关系有着比较清晰、完整的认识，从而学生更容易积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类以及两复数相等的条件．备课资料数的发展史数的概念是从实践中产生和发展起来的．早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1,2,3,4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N .随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展．为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数．这样就把数集扩充到有理数集Q.显然N Q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q、N Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集．有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数．所谓无理数，就是无限不循环小数．有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集．数因为生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾．但是，数集扩到实数集R以后，像x2＝－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位．并由此产生了复数．(设计者：刘洪福)。
人教版高中数学选修1-2《数系的扩充与复数的引入》教案
《数系的扩充与复数的引入》教案【教学目标】1．了解数系发展的主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；2．理解复数的有关概念以及符号表示；3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念；4.在问题情境中了解数系得扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．【重点难点】教学重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念．教学难点：复数概念的理解．【教学过程】一、数的发展史1. 自然数：数出来远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，用划痕、石子、结绳记个数，历经漫长的岁月，创造了自然数1、2、3、4、5、…自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地．古代印度人最早使用了“0”.2. 被“分”出来的分数如果分配猎获物时，2个人分1件东西，每个人应该得多少呢？分数的引入,解决了在整数集中不能整除的矛盾.3.被“欠”出来的负数为了表示种具有相反意义的量以及满足记数法的需要，人类引进各了负数．负数概念最早产生于我国，东汉初期的“九章算术”中就有负数的说法．公元3世纪，刘徽在注解“九章算术”时，明确定义了正负数：“两算得失相反，要令正负以名之”．不仅如此，刘徽还给出了正负数的加减法运算法则．千年之后，负数概念才经由阿拉伯传人欧洲。
负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾.4.被“推”出来的无理数2500年古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方 形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究, 终于证明出它不 能用整数或分数表示. 但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数，扩大了数域，为数学的发展做出了贡献。
由于希伯斯坚持真理，他被扔进大海，为此献出了年轻的生命。
无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）自然数 整数 有理数 无理数 实数可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留。
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学生姓名 授课教师
性别 上课时间
年级 年月日
学科
第（ ）次课 共（ ）次课
数学 课时：1 课时
教学课题 人教版 选修 1-2 第三章数系的扩充和复数的概念 同步教案
（1） 了解复数的概念和代数表示的几何意义即复数的点表示及向量的表示。 教学目标 （2） 掌握复数的模及模的几何意义。会利用复数的模的几何意义解决实际问题。
A.1+I
B.-1-i
C.-1+i
D.1-i
9、已知复数 z=(5+2i)2(i 为虚数单位),则 z 的实部为
.
3
2.复数的几何意义 1.复数 z=a+bi——有序实数对(a,b)——复平面中的点 Z(a,b) 2．建立了平面直角坐标系来表示复数的平面------复数平面 (简称复平面)x 轴------实轴 y 轴------虚轴
例题精讲
【题型一、复数的有关概念】
【例
1】设
i
1＋ai 是虚数单位，复数 2－i 为纯虚数，则实数
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a＝c；b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模
向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2.
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
【方法技巧】复数的几何意义可以让我们运用数形结合思想把复数、向量、解析几何有机的结合在 一起，能够更加灵活的解决问题．高考中对复数几何意义的考查主要集中在复数对应点的位置、加 减法的几何意义、模的意义等．
巩固训练
1、复数 z＝22－＋ii(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(
A．2－i
B．2＋i
C．－1－2i
D．－1＋2i
3、若 a，b∈R，i 为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则( )．
A．a＝1，b＝1
B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1
D．a＝－1，b＝－1
4、设复数 z 满足(1＋i)z＝2，其中 i 为虚数单位，则 z＝( )．
A．2－2i
B．2＋2i
C．1－i
D．1＋i
5、i2(1＋i)的实部是________．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【能力提升】
6、i 是虚数单位,复数=( )
A.1-i
B.-1+i
C.+i
D.-+i
7、复平面内表示复数 i(1-2i)的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8、是 z 的共轭复数,若 z+=2,(z-)i=2(i 为虚数单位),则 z=( )
a
为(
)．
A．2
B．－2
C．－12
D.12
1
【方法技巧】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，
只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程即可．
巩固训练
1、已知 a∈R，复数 z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若zz12为纯虚数，则复数zz12的虚部为________．
)．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2、复数11＋－ii＋i2 012 对应的点位于复平面内的第________象限．
课后作业
【基础巩固】
1、(人教 A 版教材习题改编)复数1－＋i2i(i 是虚数单位)的实部是(
)．
A.15
B．－15
C．－15i
D．－25
2
1－3i 2、设 i 是虚数单位，复数 1－i ＝( )．
2、(2014 课标Ⅱ,2,5 分)设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则 z1z2=( )
A.-5
B.5
C.-4+i
D.-4-i
【题型二、复数的几何意义】
【例 2】在复平面内，复数 6＋5i，－2＋3i 对应的点分别为 A，B，若 C 为线段 AB 的中点，则点 C
对应的复数是( )．
教学重点 重点：复数的概念和其几何意义及复数的：复数的模的几何意义 与难点
教学过程
知识梳理
1．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部．若 b＝0，则 a＋bi 为实数，
若 b≠0，则 a＋bi 为虚数，若 a＝0 且 b≠0，则 a＋bi 为纯虚数．