苏教版高中数学选修2-2《1.1.2 瞬时变化率——导数(3)》教案

教学目标：
1．通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵；
2．会求简单函数的导数，通过函数图象直观地了解导数的几何意义；
3．体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学的思想方法．
教学重点：
导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵，导数的几何意义．
教学难点：
对导数的几何意义理解．
教学过程：
一、复习回顾
1．曲线在某一点切线的斜率．
()()PQ f x
x f x k x
＋－＝∆∆（当∆x 无限趋向0时，k PQ 无限趋近于点P 处切线斜率） 2．瞬时速度．
v 在t 0的瞬时速度＝00()()f t t f t t ∆∆＋－ 当∆t →0时．
3．物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度．
x
v 在t 0的瞬时加速度＝
00()()v t t v t t
∆∆＋－ 当∆t →0时． 二、建构数学
导数的定义． 函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）上有定义，x 0∈(a ，b )，如果自变量x 在x 0处
有增量△x ，那么函数y 相应地有增量△y ＝f (x 0＋△x )－f (x 0)；比值
y x
∆∆就叫函数y ＝f （x ）在x 0到（x 0＋△x ）之间的平均变化率，即00()()f x x f x y x x
+∆-∆=∆∆．如果当0x ∆→时，y A x ∆→∆，我们就说函数y ＝f （x ）在点x 0处可导，并把A 叫做函数y ＝f （x ）在点x 0处的导数，记为0x x y ='
， 0'000()()(),0x x f x x f x y y f x x x x
=+∆-∆'===∆→∆∆当 三、数学运用
例1 求y ＝x 2＋2在点x ＝1处的导数.
解 ∆y ＝－(12＋2)＝2∆x ＋(∆x )2
y x ∆∆＝2
2()x x x
∆∆∆＋＝2＋∆x ∴y x
∆∆＝2＋∆x ，当∆x →0时，1x y '∣＝＝2． 变式训练：求y ＝x 2＋2在点x ＝a 处的导数.
解 ∆y ＝－(a 2＋2)＝2a ∆x ＋(∆x )2
y x ∆∆＝2
2()a x x x
∆∆∆＋＝2a ＋∆x ∴y x
∆∆＝2a ＋∆x ，当∆x →0时，y '＝2a ． 小结 求函数y ＝f (x )在某一点处的导数的一般步骤：
（1）求增量 ∆y ＝f (x 0＋∆x )－f (x 0)；
（2）算比值
y x ∆∆＝00()()f x x f x x
∆∆＋－； （3）求0x x y '∣＝＝y x ∆∆，在∆x →0时． 四、建构数学
导函数．
若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数f (x )称为的导函数，记作f (x )，
即f (x 0)＝y ＝y x ∆∆＝00()()f x x f x x ∆∆＋－，当∆x →0时的值． 五、数学运用
例2 已知y y
，并求出函数在x ＝2处的切线方程．
解 y ∆，
y x ∆∆
y y x x
∆∆∆'∴＝＝
∆x →0时的值． 当x ＝2时切线的斜率为
k
所以在x ＝2切线方程为2)
y x －即
切线方程为y x ． 练习：
课本P14 -1，2，3．
六、回顾小结
问题1 本节课你学到了什么？
（1）了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵；
（2）会求简单函数在某一点的导数；会求简单函数在某个区间上的导函数 ；
（3）通过函数图象直观地了解导数的几何意义．
问题2 本节课体现了哪些数学思想方法？
（1）形结合的思想方法．
（2）极限的思想方法．。