均值不等式【高考题】
均值不等式习题大全
均值不等式题型汇总 杨社锋均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。
类型一：证明题1. 设*,,1,a b R a b ∈+=求证：1125()()4a b a b ++≥2. 设,,(0,),a b c ∈+∞)a b c ≥++3. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222b c a a b c a b c++≥++ 4. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222a b c ab bc ac ++≥++ 5. 已知实数,,x y z 满足：2221x y z ++=，求xy yz +得最大值。
6. 已知正实数,,a b c ，且1abc =9≥7. （2010辽宁）已知,,a b c 均为正实数，证明：2222111()a b c a b c+++++≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立。
类型二：求最值：利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。
使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。
1. 设11,(0,)1x y x y∈+∞+=且，求x y +的最小值。
2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求112x y +的最小值。
3. 已知,a b 为正实数，且1a b +=求1ab ab+的最小值。
4. 求函数11(01)1y x x x=+<<-的最小值。
变式：求函数291(0)122y x x x =+<<-的最小值。
5. 设,(0,)x y ∈+∞，35x y xy +=，求34x y +的最小值。
6. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求x y +的最小值。
7. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求xy 的最大值。
8. （2010浙江高考）设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，求2x y +的最大值。
高考备考 均值不等式和柯西不等式 含历年高考真题
1、(2008江苏)设a ，b ，c 为正实数，求证：333111abc+++abc ≥．2、（2010辽宁理数）已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cbac b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。
3、（2012江苏理数）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <． 4、（2013新课标Ⅱ）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.5、（2012福建）已知函数f (x )=m -|x -2|,m ∈R,且f (x +2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m 的值; (2)若a ,b ,c ∈R,且1a + 12b + 13c =m ,求证:a + 2b +3c ≥96、（2011浙江）设正数z y x ,,满足122=++z y x . (1)求zx yz xy ++3的最大值； （2）证明：26125111113≥+++++xz yz xy 7. (2017全国新课标II 卷) 已知330,0,2a b a b >>+=。
证明： （1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤。
8.(2017天津) 若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.9. 【2015高考新课标2，理24】设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab cd >+>（Ⅱ）>是a b c d -<-的充要条件． 10. 【2015高考福建，理21】选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4． (Ⅰ)求a b c ++的值； (Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值．11.【2015高考陕西，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．（I ）求实数a ，b 的值；（II ）求+的最大值． 【均值不等式】例题1：已知y x ,均为正数，且y x >，求证：3221222+≥+-+y yxy x x ． 例题2：已知z y x ,,均为正数．求证：zy x xy z zx y yz x 111++≥++． 变式：设z y x ,,为正数，证明：()()()()y x z z x y z y x z y x +++++≥++2223332． 【柯西不等式】例题1：若正数c b a ,,满足1=++c b a ，求121121121+++++c b a 的最小值．变式：若21,32x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭<例题2：已知z y x ,,是正数．()1若1=+y x ，求y y x x +++2222的最小值； ()2若1222=+++++z zy y x x ，求证：1222222≥+++++zz y y x x ． 变式1：设0,,>c b a ，1=++c b a ，求证：53222≥-+-+-c c b b a a ． 变式2：已知正数y x ,满足xyz z y x =++，求zxyzxy211++的最大值．【能力提升】1、 设c b a ,,均为正实数，求证：ba c a cbc b a +++++≥++111212121．。
（完整版）均值不等式专题20道-带答案
（完整版）均值不等式专题20道-带答案均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________⼀、填空题1．若则的最⼩值是__________．2．若,且则的最⼤值为______________.3．已知，且，则的最⼩值为______．4．已知正数满⾜，则的最⼩值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最⼩值是______．6．设正实数满⾜，则的最⼩值为________7．已知，且，则的最⼩值是________8．已知正实数x，y满⾜，则的最⼩值是______9．已知，函数的值域为，则的最⼩值为________．10．已知，，且，则的最⼩值为__________．11．若正数x，y满⾜，则的最⼩值是______．12．已知正实数x，y满⾜，则的最⼩值为______．13．若，，，则的最⼩值为______．14．若，则的最⼩值为________.15．已知a，b都是正数，满⾜，则的最⼩值为______．16．已知，且，则的最⼩值为______．17．已知点在圆上运动，则的最⼩值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最⼩值为____．19．已知正实数，满⾜，则的最⼤值为______.20．已知，，则的最⼩值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利⽤基本不等式求解的最⼩值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题考查基本不等式求解和的最⼩值问题，关键是能够利⽤对数相等得到的关系，从⽽构造出符合基本不等式的形式. 2．【解析】【分析】先平⽅，再消元，最后利⽤基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最⼤值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最⼤值为，综上的最⼤值为【点睛】本题考查利⽤基本不等式求最值，考查基本分析求解能⼒，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利⽤代数式的恒等变换和利⽤均值不等式的应⽤求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满⾜，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】由题意可得经过圆⼼，可得，再+利⽤基本不等式求得它的最⼩值．【详解】圆，即，表⽰以为圆⼼、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆⼼，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最⼩值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应⽤，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最⼩值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最⼩值为8.【点睛】在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另⼀边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应⽤，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最⼩值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最⼩值是【点睛】由已知分离，然后进⾏1的代换后利⽤基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满⾜，则当且仅当且即，时取得最⼩值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利⽤基本不等式求解最值，解题的关键是进⾏分离后利⽤1的代换，在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另⼀边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应⽤，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利⽤基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成⽴，所以的最⼩值为，故答案为.【点睛】本题主要考查⼆次函数的图象与性质，以及基本不等式的应⽤，属于中档题. 在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另⼀边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应⽤，否则会出现错误.10．【解析】【分析】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最⼩值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利⽤基本不等式求最值,将所求式运⽤“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题. 11．【解析】【分析】利⽤乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满⾜，则，，当且仅当时取等号，故的最⼩值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应⽤属基础题．12．2【解析】【分析】利⽤“1”的代换，求得最值，再对直接利⽤基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满⾜，，，当且仅当，即，时，取等号，的最⼩值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应⽤，熟记不等式应⽤条件，多次运⽤基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最⼩值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最⼩值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运⽤，注意运⽤“1”的代换，考查化简运算能⼒，属于基础题．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利⽤，可得到最⼩值，要注意等号取得的条件。
(完整版)均值不等式常考题型
均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式练习题及答案解析
均值不等式练习题及答案解析一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
1解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?54,?5?4x?0，?y?4x?2?14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，???2?3?1 ??3?1????5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求y?x的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。
当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。
32评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设0?x?，求函数y?4x的最大值。
322x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2????222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。
高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用
高考：均值不等式专题◆知识梳理1．常见基本不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则b b m a a m +<+； 若a,b 同号且a>b 则11a b<。
ab b a R b a 2,,22≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈2．均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,ab b a 222≥+等。
3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则 时,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则 时,22Sxy 积有最大值（）4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
◆课前热身1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 .4. 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为◆考点剖析 一、基础题型。
1.直接利用均值不等式求解最值。
例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 。
(完整版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
专题17 均值不等式及其应用(解析版)
提升训练2.7 均值不等式及其应用一、选择题1．已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】 ∵x ＞0，∴函数96y x x =+≥=，当且仅当x=3时取等号， ∴y 的最小值是6． 故选：C ．2．已知1(0,4x ∈,则(14)x x -取最大值时x 的值是( ) A ．14B ．16C ．18D ．110【答案】C 【解析】因为1(0,)4x ∈，所以40,140x x >->，所以2114141(14)=4(14)44216x x x x x x +-⎛⎫-⋅-≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当414x x =-时，即18x =，等号成立. 故答案选C .3．()2301x x y x x++=>+的最小值是( )A ．B ．1C ．1D ．2【答案】B 【解析】1,10x x >-∴+>，231x x y x++∴==+3311111x x x x +=++-++…， 当且仅当311x x=++，即1x =时等号成立， 所以()2301x x y x x++=>+的最小值是1-，故选B.4．已知a ，b 都为正实数，21a b +=，则ab 的最大值是( ) A ．29B ．18C ．14D ．12【答案】B 【解析】因为a ，b 都为正实数，21a b +=，所以221212228ab a b ab +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =，即11,42a b ==时，ab 取最大值18. 故选B5．已知正实数a 、b 满足a+b=ab ，则ab 的最小值为（ ） A ．1 B ．C ．2D ．4【答案】D 【解析】 ∵ab=a+b≥2，≥2，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，故ab 的最小值为4，故选：D ．6．若0,0,31x y x y >>+=，则113x y+的最小值为（ ） A ．2 B ．12x xC ．4D．【答案】C 【解析】11113()(3)224333y x x y x y x y x y +=++=++≥+=,当且仅当132x y ==时取等号，故113x y+的最小值为4，选C. 7．若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为（ ）A ．3+B ．3C ．2+D ．3【答案】A 【解析】由题意，因为21m n +=，则11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+，当且仅当2n mm n =，即n =时等号成立，所以11m n+的最小值为3+ A.8．若两个正实数x ，y 满足211x y+=，则2x+y 的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】A 【解析】两个正实数x y ，满足211x y+=，则()2122224159y x x y x y x y x y y ⎛⎫+=++=+++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当22y xx y=，即3x y ==时取等号， 故2x y +的最小值为9. 故选A ． 9．若正实数满足，则（ ）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最大值【答案】D【解析】对于A，取，则，故A错误；对于B，取，则，故B错误；对于C，取，则，故C错误；对于D，因为，又，故，即，当且仅当时等号成立，故D正确.10．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，∴，即.故选:B11．若正数a，b满足111a b+=，则1911a b+--的最小值为（）A．6B．9C．12D．15【答案】A【解析】由111a b+=得：1111ab a a-=-=，即：1aba=-0b>，0a>10a∴->()19191916111111a a ab a a a ∴+=+=+-≥=------ 当且仅当()1911a a =--，即4a =时取等号 min19611a b ⎛⎫∴+= ⎪--⎝⎭本题正确选项：A12．设，，均为正实数，则三个数，，( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D 【解析】 假设，，均小于，则，又因为，，，故，这与矛盾， 故假设不正确，即，，至少有一个不小于．故选D ． 二、填空题13．若0a >，0b >，25a b +=，则ab 的最大值为__________． 【答案】258【解析】因为0a >，0b >，25a b +=，所以21122522228a b ab a b +⎛⎫=⋅≤=⎪⎝⎭， 当且仅当2a b =时，取等号； 故答案为25814．若a b >，则()82a b a b-+-的最小值为______．【答案】8 【解析】因为a b >，所以()828a b a b -+≥=-, 当且仅当2a b -=时取等号,即()82a b a b-+-的最小值为8.15．若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________.【答案】【解析】 由已知得，，所以，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以该矩形的周长的最大值为.故答案为. 16．若，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】由a 2+2ab ﹣3b 2＝1得（a+3b ）（a ﹣b ）＝1，令x ＝a+3b ，y ＝a ﹣b ，则xy ＝1且a ，b ，所以a 2+b 2＝（）2+（）2，当且仅当x 2，y 2时取等．故答案为．三、解答题17．已知正实数a ，b 满足，求的最小值.【答案】 【解析】，当且仅当，即时取等号，的最小值为.18．设,x y 都是正数，且123x y+=，求2x y +的最小值．【答案】83. 【解析】∵123x y +=，∴11213x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴()()11222123x y x y x y x y ⎛⎫+=+⨯=+⨯+⎪⎝⎭1414433y x x y ⎛⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝ (83)=. 当且仅当4y x x y=，即2y x =时，取“＝”． 又∵123x y +=，∴23x = 43y =.∴2x y +的最小值为83. 19．已知，求证：.【答案】证明见解析 【解析】 证明：，， ，上面三式相加，得：，所以，.20．某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为302m ，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】房屋正面长为6m ，侧面宽为5m 时，总造价最低为59800元. 【解析】令房屋地面的正面长为x m ，侧面宽为y m ，总造价为z 元， 则30x y ⋅=，1500390065800450054005800z x y x y =⋅+⋅+=++，∵45005400229003054000x y +≥=⨯=⨯⨯=， ∴45005400580054000580059800z x y =++≥+=，当且仅当4500540030x y x y =⎧⎨⋅=⎩即65x y =⎧⎨=⎩时取等号，答：房屋正面长为6m ，侧面宽为5m 时，总造价最低为59800元. 21．已知，．（1）求的最小值；（2）是否存在，满足？并说明理由．【答案】（1）；（2）不存在. 【解析】（1），当且仅当时，等号成立．所以的最小值为2．（2）不存在． 因为，所以，又，所以．从而有，因此不存在，满足．22．设a>0，b>0，且证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：由，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．。
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应用一、求最值 直接求例1、若x ，y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是【 】 A ．3B ．27C ．4D ．29例2、设yx b a b a b a R y x yx11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为【 】 A. 2B.23 C. 1D. 21 练习1.若0x >，则2x x+的最小值为.练习2.设,x y 为正数, 则14()()x y x y++的最小值为【 】A.6B.9C. 12D. 15练习3.若0,0>>b a ,且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于【 】 A.2B ．3C ．6D ．9练习4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =吨.练习5.求下列函数的值域：（1）22213x x y += （2）xx y 1+= 练习6.已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2()a b cd+的最小值是【 】 A.0B.4C.2D.1例3、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则111(1)(1)(1)a b c---最小值为【 】 A. 5B.6C.7D.8 凑系数例4、若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ⋅的最大值是．练习1.已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为. 练习2. 当40<<x 时，求(82)y x x =-的最大值. 凑项例5、若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在x a =处取最小值，则a =【 】 A.21+B ．31+C ．3D ．4练习1.已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.练习2.函数1(3)3x x x +>-的最小值为【 】A. 2B. 3C. 4D.5练习3.函数232(0)x x x+>的最小值为【 】A.39323923952392两次用不等式例6、已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为__________.例7、已知0,0a b >>，则11a b++ 】A.2 B ．C ．4D ．5 例8、设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是【 】A.2B.4C.5 练习1.设0a b >>，则()211a ab a a b ++-的最小值是【 】 A. 1B.2 C.3 D.4 练习2.设0a b >>，则21()a b a b +-的最小值是【 】A. 2B.3C.4D.5 练习3.设0a b ≥>，则1(2)a b a b +-的最小值是【 】练习4.设20a b >>，则29()(2)a b b a b -+-的最小值是.换元例9、若y x y x -=+则,422的最大值是.练习1.设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是【 】 A ．22-B ．335-C ．3-D ．27-例10、设,x y 是实数，且224,x y +=则22xyS x y =+-的最小值是【 】A.2-B.C.2-1) 练习1.若221,x y +=1xyx y +-则最大值是练习2.若01,01,a x y <<<≤<且(log )(log )1a a x y =则xy 【 】 A.无最大值也无最小值B.无最大值但有最小值 C.有最大值但无最小值D.有最大值也有最小值 消元例11、设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是.练习1。
已知实数,,0a b c >满足9,24,a b c ab bc ca ++=++=,则b 的取值范围为两次用例12、已知正数,,x y z 满足2221,x y z ++=则12zS xyz+=的最小值是【 】A.34D.1)练习1。
已知正数,,x y z 满足2221,x y z ++=则212S xyz=的最小值是【 】 A. 3B.92C.4D.练习2.已知,,x y z 均为正数，则222xy yzx y z+++的最大值是【 】A.2练习3.已知实数,,x y z 满足2221,x y z ++=yz +的最大值是整体代换例13、已知2,0,0=+>>b a b a ，则14y a b=+的最小值是【 】 A.72B ．4C ．92D ．5 例14、函数1(01)xy a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为． 例15、设0,0.a b >>1133a ba b+与的等比中项，则的最小值为A. 8B. 4C. 1D. 14例16、已知,,a b c都是正实数，且满足93log (9)log a b +=，则使4a b c +≥恒成立的c 的取值范围是A.4[,2)3B.[0,22)C.[2,23)D.(0,25]练习1.函数log (3)1a y x =+-(01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为__________． 练习2.若+∈R y x ,,且12=+y x ，则yx 11+的最小值为.练习3.已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值.练习4.若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值.练习5.已知+∈R y x b a ,,,且1=+ybx a ，求y x +的最小值.练习6.已知212121,1,1000,x x x x >>=则1213lg lg x x +的最小值等于【 】 A.4B.3练习7.若01,,x a b <<为常数，则221a b x x+-的最小值是 练习8.已知11ma b c a b b c a c>>+≥---且恒成立，则m 的取值范围是练习9.,(0,),31,a b a b ∈+∞+=最小值为 分离法【分式】例17、0t >已知，则函数241t t y t-+=的最小值为__________.例18、已知4254)(,252-+-=≥x x x x f x 则有【 】A ．最大值45B ．最小值45C ．最大值1D ．最小值1练习1.求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 练习2.若1x >，则函数21161xy x x x =+++的最小值为.放缩法—— 解不等式例19、设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值 是.例20已知()2320,0x y x y+=>>,则xy 的最小值是. 例21、若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为【 】A.15．4C ．5D ．2练习1.若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是__________. 练习2.若正实数,X Y 满足26,X Y XY ++= 则XY 的最小值是 练习3.已知0,0,228x y x y xy >>++=，则2x y +的最小值是【 】A.3B.4C.92D.112练习4.已知1)(,0,0=+->>b a ab b a ，求b a +的最小值.练习5：已知532(0,0)x y x y+=>>恒成立，则xy 的最小值是.练习6.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值.练习7.若实数,x y 满足114422x y x y +++=+则22x y t =+的取值范围是取平方例22、若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是【 】A.3 C.2练习1.若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-则2a b c ++的最小值为【 】11C. 2D. 2练习2.已知y x ,为正实数，1023=+y x ，求函数y x W 23+=的最值. 取平方+解不等式例23、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222a b c ++最小值为【 】A.12B.13C.14D.15结合单调性——与函数例24、若,,1a b R a b +∈+=，则1ab ab+的最小值为【 】 A. 144B.142C.124D.2 练习1.求函数2y =的值域.练习2．求下列函数的最小值，并求取得最小值时x 的值.（1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33y x x x =+>- （3）12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈练习3．已知01x <<，求函数y =.练习4．203x <<，求函数y =. 练习5.设+∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是【 】A.12-B.212- C.12+ D.212+ 例25、已知1a b +=，则44a b +的最小值是【 】A. 1B. 12C. 14D. 18练习1.若实数,,222,2222,a b a b a b c a b ca b c c ++++=++=满足则的最大值是.练习1.已知22,,1,2b a b R a +∈+=，则 】A. 1B.122例27、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222111a b c ++最小值为【 】 A. 12B.18C.24D.27 直接取值【讨论】例28、,2,2,1222222=+=+=+a c c b b a 则ca bc ab ++的最小值【 】12B ．12．12-D ．12+应用二、恒成立问题例1、若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是【 】A ．222a b ab +>B ．a b +≥C ．11a b +>．2b a a b +≥例2、设,,a b c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是【 】 A ．||||||c b c a b a -+-≤- B ．aa a a 1122+≥+ C ．21||≥-+-ba b a D ．a a a a -+≤+-+213 例3、设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是【 】 A ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭B ．2332ab b a ≥+ C ．b a b a 22222+≥++D ．b a b a -≥-||例4、已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a的最小值为【 】A. 8B. 6C. 4D. 2例5、若直线1x ya b+=通过点()cos sin M αα，，则【 】 A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 练习1.设+∈R b a ,，则下列不等式中不成立的是【 】A.4)11)((≥++b a b aB.ab ab b a 222≥+C.21≥+abab D.ab b a ab ≤+2 练习2.已知下列不等式：①)(233+∈>+R x x x ；②),(322355+∈+≥+R b a b a b a b a ；③)1(222--≥+b a b a . 其中正确的个数是【 】A.0个B.1个C.2个D.3个 练习3.已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围. 练习4.若+∈R y x a ,,，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是【 】A.22B.2C.2D.1练习5.已知,a b R +∈，则使不等式333()()a b k a b +≤+成立的最小k 的值是【 】 A.1B.2C.3D.4练习6.是否存在常数c ，使得不等式yx yy x x c y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正数y x ,恒成立，试证明你的结论. 应用三、证明不等式例1、已知0,0>>b a 且1=+b a ，求证：425)1)(1(≥++b b a a . 例2、若+∈R b a ,且1=+b a ，求证：22121≤+++b a .例3、已知z y x ,,是互不相等的正数且1=++z y x ，求证：8)11)(11)(11(>---z y x .练习1.在某两个正数y x ,之间插入一个数a ，使y a x ,,成等差数列；若插入两个数c b ,，使 y c b x ,,,成等比数列，求证：)1)(1()1(2++≥+c b a .练习2.证明：对于任意实数,,y x 有244)(21y x xy y x +≥+.应用四、比较大小例1、若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是. 例2、若b a b a ≠<<<<且,10,10，则ab b a ab b a 2,,2,22++中最大的是.练习1.若12120,0a a b b <<<<，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是【 】A. 1122a b a b +B. 1212a a b b +C. 1221a b a b +D. 21。