人教版八年级数学下册-平行四边形全章复习与巩固(提高)巩固练习
初二下册数学期末复习13平行四边形巩固必刷基础练习题(原卷版)
16．（2019 秋•安丘市期末）如图，在正方形 ABCD 的内侧，作等边 DCE ，则 BAE 的度数是 ．
17．（2019 秋•青白江区期末）如图， ABC 中， ACB 90 ， AC 8 ， BC 6 ，分别以 ABC 的边 AB 、 BC 、 CA 为一边向 ABC 外作正方形 ABDE 、 BCMN 、 CAFG ，连接 EF 、 ND ，则图中阴影部分的面积 之和等于 ．
22．（2019 秋•兰州期末）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 交于点 O ，AB / /DC ，AB BC ，BD 平分 ABC ，过点 C 作 CE AB 交 AB 的延长线于点 E ，连接 OE ． （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 AB 2 5 ， BD 4 ，求 OE 的长．
B． 28
C． 62
D． 67
7．（2020 春•德城区校级月考）检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是 ( )
A．测量两条对角线是否相等
B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直
C．测量两条对角线是否互相平分
D．测量门框的三个角是否都是直角 8．（2020 春•沙坪坝区校级月考）如图，在 ABCD 中， CD 2 AD ， BE AD 于点 E ， F 为 DC 的中点， 连结 EF 、 BF ，若 FBE 40 ，则 DFE ( )
2019-2020 学年八年级数学下册同步必刷题闯关练（人教版）
第十八章《平行四边形》 章节复习巩固
一．选择题 1．（2020•浙江自主招生）如图所示，甲、乙两动点分别从正方形 ABCD 的顶点 A ，C 同时沿正方形的边开 始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的 4 倍，则它们第 2009 次相遇在边 ( )
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)期末复习综合提升训练试卷(含答案)
人教版八年级数学下册《第18章平行四边形》期末复习综合提升训练1（附答案）1．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝3，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（ ）A．12B．18C．6D．242．如图，在正方形ABCD中，点M，N为CD，BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN中点，连接PQ，若AB＝10，DM＝4，则PQ的长为（ ）A．4B．8C．D．3．已知一个平行四边形的两条对角线长是6cm和8cm，则下列线段长度可以是它的边长的是（ ）A．10cm B．9cm C．8cm D．5cm4．如图，B、E、F、D四点在同一条直线上，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF 的面积为50cm2，则菱形的边长为（ ）A．10cm B．12cm C．13cm D．15cm5．下列说法不正确的是（ ）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．一个角是直角的四边形是矩形D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形6．如图，周长为24的平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点O，AC⊥CD且BE＝CE，若AC＝6，则△AOE的周长为（ ）A．6B．9C．12D．157．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BE，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长（ ）A．B．3C．3D．8．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝AC，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论：①CN⊥BD；②MN＝NP；③四边形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM．其中正确的有（ ）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个9．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（ ）A．1.5B．2C．2.4D．2.510．如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E在边CD上，DE＝2；作EF∥BC．分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG，BE的中点，则MN的长是（ ）A．4B．5C．6D．711．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD、正方形BEFG的边长分别为2、3，H为线段DF的中点，则BH的长为（ ）A．B．C．D．12．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝6，DE⊥AB于点E，则DE的长为（ ）A．4.8B．5C．9.6D．1013．如图，菱形ABCD的边长为17，对角线AC＝30，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G．则EG＝ ．14．已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AB边的中点，点F为BC边上的动点，点B 和点B'关于EF对称，则B'D的最小值是 ．15．矩形一个角的角平分线分矩形一边为1和3两部分，则这个矩形的面积为 ．16．如图，正方形ABCD中，AE＝2cm，CG＝5cm．长方形EFGD的面积是11，四边形NGDH 和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，则图中阴影部分的面积是 cm2．17．如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于O，DE⊥BC于E，连接OE，∠BAD＝40°，则∠OED的度数为 ．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝2，则AE的长为 ．19．如图，已知正方形ABCD，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H．BE＝6，则GH＝ ．20．如图，E为正方形ABCD内部一点，且AE＝3，BE＝4，∠E＝90°，则阴影部分的面积为 ．21．如图，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点：下列结论：①EH＝EF；②当AB＝CD，EG平分∠HGF；③当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形；其中正确的结论序号是 ．22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，点D在边BC上，若以AD、CD 为边，以AC为对角线，作平行四边形ADCE，则对角线DE的最小值为 ．23．如图所示，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）若点E是AB边上的中点，点F为AD边上一点，∠1＝2∠2，CF＝5，求AF+BC 的值．24．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．25．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）直接写出GF与GC的数量关系： ；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．26．已知：如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，（1）如图1，若CE＝CF；求证：AE＝AF；（2）如图2，若∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠CEF的度数．27．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．（1）求证：AE＝CF；（2）求证：BE∥DF．28．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝11cm，点P从点D出发向终点A运动；同时点Q从点B出发向终点C运动．当P、Q两点其中有一点到达终点时，另一点随之停止，点P、Q的速度分别为1cm/s，2cm/s，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t （s）．（1）如图（1），当t为何值时，四边形ABQP是矩形？（2）如图（2），若点E为边AD上一点，当AE＝3cm时，四边形EQCP可能为菱形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．29．如图：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC，AD上，且DF＝BE．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）连接AC，EF，若AC平分∠EAF，且EF＝4，AC＝7，求四边形AECF的面积．30．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AM⊥BD，CN⊥BD，垂足分别为M、N．延长AM至G，使AM＝MG，连接CG．（1）求证：△AOM≌△CON．（2）当AM：OA＝2：时，判断四边形MGCN的形状，并说明理由．参考答案1．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝2，∴BD＝4，∵OA＝3，∴AC＝6，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝．故选：A．2．解：在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝∠DCN＝90°，在△ADM与△DCN中，∵AD＝CD，DM＝CN，∠ADC＝∠DCN，∴△ADM≌△DCN（SAS），∴∠DAM＝∠CDN，∴∠DMA＝∠CND，在△DPM中∠PDM+∠PMD＝90°，∴∠DPM＝90°'∵∠DPM＝∠APN，∴△ANP为直角三角形，AN为直角三角形的斜边，由直角三角形的性质得PQ＝AN，在△ANB中AN＝＝2，故选：C．3．解：如图所示，∵平行四边形的两条对角线长分别为6cm和8cm，∴OA＝OC＝3cm，OB＝OD＝4cm，∴1＜AB＜7，同理：1＜AD＜7，故选：D．4．解：连接AC，BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∵B、E、F、D四点在同一条直线上，∴E，F在BD上，∵正方形AECF的面积为50cm2，∴AC2＝50，∴AC＝10cm，∴AO＝CO＝5cm，∵菱形ABCD的面积为120cm2，∴×AC×BD＝120，∴BD＝24cm，∴BO＝DO＝12cm，∴AB＝＝＝13cm，故选：C．5．解：A、∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴选项A不符合题意；B、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项B不符合题意；C、∵三个角是直角的四边形是矩形，∴选项C符合题意；D、∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，∴选项D不符合题意；故选：C．6．解：∵平行四边形ABCD的周长为24，∴AB+BC＝12，∵平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点O，且BE＝CE，∴AO＝AC＝3，OE＝AB，∵AC⊥CD，且BE＝CE，∴Rt△ABC中，AE＝BC，∴△AOE的周长＝AO+AE+OE＝3+（BC+AB）＝3+＝9，故选：B．7．解：取AB的中点F，连接NF、MF，△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵AM＝MD，AF＝FB，∴MF是△ABD的中位线，∴MF＝BD＝3，MF∥BC，∴∠AFM＝∠CBA，同理，NF＝AE＝2，NF∥CC，∴∠BFN＝∠CAB，∴∠AFM+∠BFN＝∠CAB+∠CBA＝90°，∴∠MFN＝90°，∴MN＝＝，故选：D．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，OA＝OC＝AC，∵AD＝AC，∴OC＝BC，∵N是OB的中点，∴CN⊥BD，①正确；∵M、N分别是OA、OB的中点，∴MN是△AOB的中位线，∴MN∥AB，MN＝AB，∵CN⊥BD，∴∠CND＝90°，∵P是CD的中点，∴NP＝CD＝PD＝PC，∴MN＝NP，②正确；∵MN∥AB，AB∥CD，∴MN∥CD，又∵NP＝PC，MN＝NP，∴MN＝PC，∴四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；∵MN∥CD，∴∠PDN＝∠MND，∵NP＝PD，∴∠PDN＝∠PND，∴∠MND＝∠PND，∴ND平分∠PNM，④正确；正确的个数有3个，故选：C．9．解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝10，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴BO＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝4.8，∴MN＝4.8，∴BO＝MN＝2.4，故选：C．10．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°∵EF∥BC，∴∠BFE+∠ABC＝180°，∴∠BFE＝90°，∴四边形BCEF为矩形，连接FM，FC，如图：∵N是BE的中点，四边形BCEF为矩形．∴点N为FC的中点，BE＝FC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，又∵∠AFG＝90°，∴△AFG为等腰直角三角形．∵M是AG的中点，∴AM＝MG，∴FM⊥AG，∴△FMC为直角三角形，∵点N为FC的中点，∴MN＝FC，∵四边形ABCD是边长为8的正方形，DE＝2，∴BC＝CD＝8，CE＝6，在Rt△BCE中，由勾股数可得BE＝10，∴FC＝10，∴MN＝FC＝5．故选：B．11．解：如图，连接BD、BF，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形∴AB＝AD＝2，BE＝EF＝3，∠A＝∠E＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠EBF＝∠FBG＝45°∴∠DBF＝90°，BD＝2，BF＝3，∴在Rt△BDF中，DF＝＝＝，∵H为线段DF的中点，∴BH＝＝，故选：B．12．解：∵四边形ABCD为菱形，∴AO＝CO，BO＝DO＝3，AC⊥BD，∴AO＝＝＝4，∴AC＝8，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×8×6＝24，∵DE⊥AB，∴S菱形ABCD＝AB•DE＝5DE，∴5DE＝24，∴DE＝＝4.8，故选：A．13．解：连接BD，交AC于点O，如图，∵菱形ABCD的边长为17，点E，F分别是边CD，BC的中点，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD＝17，EF∥BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝30，∴AC⊥BD，AO＝CO＝15，OB＝OD，又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，在Rt△COD中，∵OC⊥OD，CD＝17，CO＝15，∴OB＝OD＝8，∴BD＝2OD＝16，∴EG＝BD＝16．故答案为：16．14．解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝6，点E为AB边的中点，点B和点B'关于EF对称，∴AE＝BE＝B'E＝2，∠A＝90°，∴DE＝＝2，∴当点B'在线段DE上时，B'D取得最小值，此时B'D＝2﹣2，故答案为：2﹣2．15．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AB＝AE，①如图，当AE＝3时，AB＝3，AD＝1+3＝4，此时矩形的面积是：3×4＝12；②同理可得，当AE＝1时，AB＝1，AD＝4，此时矩形的面积是1×4＝4；故答案为：4或12．16．解：设正方形ABCD的边长为xcm，由题意DE＝x﹣2（cm），DG＝x﹣5（cm），则（x﹣2）（x﹣5）＝11，∴x2﹣7x＝1∵四边形NGDH和MEDQ都是正方形，∴DE＝ME＝x﹣2（cm），DG＝DH＝x﹣5（cm），∴MF＝x﹣2+x﹣5＝2x﹣7（cm），∴图中阴影部分的面积＝（2x﹣7）2＝4x2﹣28x+49＝4（x2﹣7x）+49＝4+49＝53（cm2），故答案为：53．17．解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝40°，∴∠DAO＝BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，∴∠DOA＝90°，∴∠ADO＝90°﹣∠DAO＝70°，∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠ODE＝∠AD∠E﹣∠ADO＝20°，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵DO＝BO，∴OE＝BD＝OD，∴∠OED＝∠ODE＝20°，故答案为：20°．18．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝8，AB∥CD，∴∠ADF＝∠ECF，∵点F为边DC的中点，∴DF＝CF＝4，又∵∠DFA＝∠CFE，∴△ADF≌△ECF（ASA），∴AF＝EF，∵CD∥AB，∴∠DFA＝∠FAB，∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠FAB，∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝DF，又∵DG⊥AF，∴AG＝GF，∵GF＝＝＝2，∴AG＝GF＝2，∴AF＝4＝EF，∴AE＝8，故答案为：8．19．解：过点A作GH的平行线，交DC于点H′，交BE于点O'，如图所示：∵ABCD是正方形，∴AG∥H′H，BA＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，∴∠H′AD+∠AH′D＝90°，∵GH⊥BE，AH′∥GH，∴AH′⊥BE，∴∠H′AD+∠BEA＝90°，∴∠BEA＝∠AH′D，在△BAE和△ADH′中，，∴△BAE≌△ADH′（AAS），∴BE＝AH′，∵AG∥H′H，AH′∥GH，∴四边形AH′HG是平行四边形，∴GH＝AH′，∴GH＝BE＝6，故答案为：6．20．解：∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝3，BE＝4，由勾股定理得：AB＝＝＝5，∴正方形的面积是5×5＝25，∵△AEB的面积是AE•BE＝×3×4＝6，∴阴影部分的面积是25﹣6＝19，故答案是：19．21．解：∵点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，∴EF∥CD，HG∥CD，EF＝CD，HG＝CD，HE＝AB，AB∥HE，∴EF＝HG，EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AB不一定等于CD，∴EH不一定等于EF，故①错误，∵AB＝CD，∴EH＝EF，∴平行四边形HEFG是菱形，∴EG平分∠HGF，故②正确，③∵AB⊥CD，∴∠ABC+∠BCD＝90°，∵四边形HEFG是平行四边形，∴GF∥HE∥AB，∴∠GFC＝∠ABC，∵EF∥CD，∴∠BFE＝∠BCD，∴∠GFC+∠EFB＝90°，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形HEFG是矩形，故③正确，故答案为：②③．22．解：∵∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，根据勾股定理得AB＝3，∵四边形ADCE是平行四边形，∴OD＝OE，OA＝OC＝2.5，∴当OD取最小值时，线段DE最短，即OD⊥BC时最短，∴OD∥AB，∴OD是△ABC的中位线，∴，∴DE＝2OD＝3，23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，又∠A＝∠D，∴∠A＝∠D＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形；（2）解：延长DA，CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°，AD∥BC，∴∠GAE＝90°，∠G＝∠ECB，∵E是AB边的中点，∴AE＝BE，在△AGE和△BCE中，，∴△AGE≌△BCE（AAS），∴AG＝BC，∠G＝∠2，∴AF+BC＝AF+AG＝FG，∵∠1＝∠2+∠G＝2∠2，∴∠2＝∠G，∴FG＝CF＝5，∴AF+BC＝5．24．（1）证明：四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC，AD＝CD，∵DE∥AC且DE＝AC，∴DE＝OA＝OC，∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形OCED是矩形；（2）解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝6，∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝3．∴在Rt△ACE中，AE＝＝3．25．证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF＝GC；（2）BH＝AE，理由是：证法一：如图，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，∵AD＝AB，∴DM＝BE，由（1）知：∠ADE＝∠EDF，∠FDG＝∠GDC，∵∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠EDF+∠FDG+∠GDC＝90°，∴2∠EDF+2∠FDG＝90°，∴∠EDF+∠FDG＝45°，即∠EDG＝45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，∴△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠ADE＝90°，DE＝EH，∴∠ADE＝∠BEH，在△DME和△EBH中，，∴△DME≌△EBH（SAS），∴EM＝BH，Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，∴EM＝AE，∴BH＝AE；证法二：如图，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH＝90°，由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，，∴△DAE≌△ENH（AAS），∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH＝HN＝AE．26．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝DA，又∵CE＝CF，∴BE＝DF，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF．（2）解：连接AC，如图2所示：∵四边形ABCD为菱形，∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝DA．∴△ABC与△CDA为等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠ACD＝∠BAC＝60°，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△EAF为等边三角形，∴∠AEF＝60°，∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，∴60°+20°＝60°+∠CEF，∴∠CEF＝20°．27．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠DAE＝∠BCF，∵∠1＝∠DAE+∠ADE，∠2＝∠BCF+∠CBF，∠1＝∠2，∴∠ADE＝∠CBF，∵在△ADE与△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE＝CF；（2）证明：∵∠1＝∠2，∴DE∥BF．又∵由（1）知△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∴BE∥DF．28．解：由题意可得DP＝t，BQ＝2t，则AP＝11﹣t，（1）若四边形ABQP是矩形，则AP＝BQ，∴11﹣t＝2t，解得t＝，故当t＝时，四边形ABQP是矩形；（2）由题意得PE＝8﹣t，CQ＝11﹣2t，CP2＝CD2+DP2＝16+t2，若四边形EQCP为菱形，则PE＝CQ＝CP，∴t2+16＝（8﹣t）2＝（11﹣2t）2，解得t＝3，故当t＝3时，四边形EQCP为菱形．29．（1）证明：∵四边形ABCD平行四边形∴AD＝BC．又∵BE＝DF，∴AF＝EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；（2）∵四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE，∴∠FAC＝∠ACE，∵AC平分∠EAF，∴∠EAC＝∠FAC，∴∠EAC＝∠ACE，∴AE＝CE，∴四边形AECF是菱形，∵EF＝4，AC＝7，∴四边形AECF的面积＝×4×7＝14．30．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴∠AMO＝∠CNO，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS）；（2）解：四边形MGCN为正方形，理由如下：由（1）得：△AOM≌△CON，∴AM＝CN，OM＝ON，∵AM＝MG，∴CN＝MG，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴∠GMN＝90°，AM∥CN，∴MG∥CN，∴四边形MGCN是平行四边形，∴四边形MGCN是矩形，∵AM：OA＝2：，∴设AM＝2a，则OA＝a，∴OM＝＝＝a，∴MN＝2OM＝2a，∵MG＝AM＝2a，∴MG＝MN，∴四边形MGCN是正方形。
65八年级数学下册《平行四边形》巩固提高 新人教版8
八年级数学下册《平行四边形》巩固提高新人教版一、选择题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，则DC和EF的大小关系是( )A．DC＞EF B．DC＜EF C．DC＝EF D．无法比较2. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q 从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC 为平行四边形时，运动时间为（）A．4s B．3s C．2s D．1s3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P在矩形ABCD内，且满足S△PAB＝13S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为( )A.29B.34 C．5 2 D.414. 如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（）A.∠ECD=112.5°B.DE平分∠FDCC.∠DEC=30°D.AB=CD5. 如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB∥DC，AB，BC，CD分别为2,2,2＋2，则∠BAD的度数等于( )A．120° B．135° C．150° D．以上都不对6. 下面几组条件中，能判断一个四边形是平行四边形的是（）A.一组对边相等B.两条对角线互相平分C.一组对边平行D.两条对角线互相垂直7. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝20，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝4.若∠AFC＝90°，则BC的长度为( )A ．24B ．28C ．20D ．128. 如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，点F 是AB 的中点，E 为BC 边上一点，且EF⊥ED，连结DF ，M 为DF 的中点，连结MA ，ME ．若AM⊥ME，则AE 的长为（ ）A.5B.C.D.9. 在平行四边形ABCD 中，点1A ，2A ，3A ，4A 和1C ，2C ，3C ，4C 分别是AB 和CD 的五等分点，点1B ，2B 和1D ，2D 分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．2B ．35C ．53D ．1510. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 是AB 的中点，CD ＝DE ＝a ，则AB 的长为( )A ．2a B.22a C ．3a D.433a二、填空题1. 木工师傅做了一张桌面，要求为长方形，现量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为66cm，这个桌面______________(填“合格”或“不合格”)．2. 如图，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作CB的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为____．3. 直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是_____________．4. 如图，已知AB是Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，O是AB的中点，其中OC是2cm，则OD＝__________.5. 如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处．若∠1＝∠2＝50°，则∠A′的度数为________．6. 如图，正方形ABCD的边长是4，点E是BC的中点，连接DE，DF⊥DE交BA的延长线于点F．连接EF、AC，DE、EF分别与C交于点P、Q，则PQ＝_____．7. 如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠B AC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，连接AO、DO．若AO＝3，则DO的长为_____．8. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有__________（写出所有正确结论的序号）①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为；⑤当△ABP≌△ADN时，BP=．三、解答题1. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行四边形．2. 求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．3. 已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB．（2）四边形ABCD是平行四边形．4. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.FEDCBA5. 如图,在▱ABCD中,∠BAD和∠BCD的平分线AF,CE分别与对角线BD交于点F,E.求证:四边形AFCE是平行四边形.6. 如图，在平行四边形ABCD 中，E为BC边上一点，且ABAE=．（1）求证：ABC EAD△≌△．（2）若AE平分DAB∠，25EAC=∠，求AED∠的度数．7. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AF＝DC；(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．8. 如图,正方形ABCD的两条对角线相交于点O,求∠AOB和∠BAO的度数.。
人教版八年级下数学平行四边形(提高)巩固练习
【巩固练习】一.选择题1．平行四边形一边长12cm，那么它的两条对角线的长度可能是( )．A.8cm和16cmB.10cm和16cmC.8cm和14cmD.8cm和12cm2．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( )个．A.1B.2C.3D.无数3．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )．A.5B.6C.8D.124. 如图所示，在 ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，下图中有（）个平行四边形.A. 7B. 8C. 9D. 105. 如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O. E、F是对角线AC上的两个不同点，当E、F两点满足下列条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形( ).A. AE＝CFB.DE＝BFC.CBF=∠AED∠∠ D.CFBADE∠=6．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）.A．7 B．9 C．10 D．11二.填空题7. 如图, E、F分别是 ABCD 的两边AB、CD的中点, AF交DE于P, BF交CE于Q,则PQ与AB的关系是 .8. 如图，在 ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连结EC交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为．9. 在 ABCD中, ∠A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段, 则 ABCD的周长为_______________.10.如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是__________.11. 如图，在周长为20cm的 ABCD中，AB≠AD，AC、BD 相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为________.12．如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，AF＝5，2BG，则△CEF的周长为______．4三.解答题13. 在 ABCD中，对角线BD、AC相交于点O，BE＝DF，过点O作线段GH交AD于点G，交BC于点H，顺次连接EH、HF、FG、GE，求证：四边形EHFG是平行四边形.14.如图1所示，（1）已知D 是等腰△ABC 底边BC 上一点，DE ∥AC ，交AB 于点E ．DF ∥AB ，交AC 于点F ．请你探究DE 、DF 、AB 之间的关系，并说明理由．（2）如图2所示，已知D 是等腰△ABC 底边BC 延长线上一点，DE ∥AC ，交BA 的延长线于点E ．DF ∥AB ，交AC 的延长线于点F ．请你探究DE 、DF 、AB 之间的关系，并说明理由．图1 图215. 如图所示，已知△ABC 是等边三角形，D 、F 两点分别在线段BC 、AB 上，∠EFB ＝60°，DC ＝EF ．(1)求证：四边形EFCD 是平行四边形；(2)若BF ＝EF ，求证：AE ＝AD ．【答案与解析】一.选择题1．【答案】B ；【解析】设对角线长为22a b ，，需满足12a b +>，只有B 选项符合题意. 2．【答案】C ；【解析】分别以AB ，BC ，AC 为对角线作平行四边形.3．【答案】D ；【解析】过C 点作CF 垂直于BD 的延长线，CF 就是两短边间的距离，如图所示，∠C ＝30°，CF ＝11241222CD =⨯=.4.【答案】C ；【解析】在 ABCD 中，∵ EF ∥AB ，GH ∥AD ．∴ EF ∥AB ∥CD ，GH ∥AD ∥BC ．∴ 除 ABCD外，还有8个平行四边形： AGHD 、 BGHC 、 ABFE 、 DEFC 、 DEOH 、HOFC 、AEOG 、 OGBF ．即图中有9个平行四边形． 5.【答案】B ；【解析】C 选项和D 选项均可证明△ADE ≌△CBF ，从而得到AE ＝CF ，EO ＝FO ，BO ＝DO ，所以可证四边形DEBF 是平行四边形.6.【答案】D ；【解析】EF ＝HG ＝12BC ，EH ＝FG ＝12AD ，所以四边形EFGH 是平行四边形，由勾股定理BC ＝5，所以周长等于3＋3＋5＝11.二.填空题7.【答案】PQ ∥AB ，PQ ＝12AB ； 【解析】P ，Q 分别是AF ，BF 的中点.8.【答案】6；【解析】易证△AEF ≌△DCF ，所以AF ＝DF ，由CF 平分∠BCD ，AD ∥BC 可证AB ＝DC ＝DF ＝3，所以BC ＝AD ＝6.9.【答案】20cm 或22cm ；【解析】由题意，AB 可能是4，也可能是3，故周长为20cm 或22cm .10.【答案】DEF BEF ADF ABED S S S S =--△△△梯形==11.【答案】10cm ； 【解析】因为BO ＝DO ，OE⊥BD，所以BE ＝DE ，△ABE 的周长为AB ＋AE ＋DE ＝120102⨯=. 12．【答案】7；【解析】可证△ABE 与△CEF 均为等腰三角形，AB ＝BE ＝6，CE ＝CF ＝9－6＝3，由勾股定理算得AG ＝EG ＝2，所以EF ＝AF －AE ＝5－4＝1，△CEF 的周长为7.二.解答题13.【解析】证明：在ABCD 中AD ∥BC ，AO ＝CO ，BO ＝DO∴∠GAO ＝∠HCO在△AGO 和△CHO 中GAO HCO AO CO GOA HOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AGO ≌△CHO∴GO ＝HO又∵BO ＝DO ，BE ＝DF∴EO ＝FO∴四边形EHFG 为平行四边形.14.【解析】解： (1)DE ＋DF ＝AB ．理由如下：因为DE ∥AC ，DF ∥AB ，所以由平行四边形的定义可得四边形AEDF 是平行四边形，所以DF ＝AE ．又因为△ABC 是等腰三角形，所以∠B ＝∠C ．因为DE ∥AF ，所以∠C ＝∠EDB ．所以∠B ＝∠EDB ．所以△BDE 是等腰三角形，所以BE ＝DE ，所以DE ＋DF ＝BE ＋AE ＝AB ．(2)若D 在BC 的延长线上，则(1)中的结论不成立，正确结论是DE －DF ＝AB ． 理由如下：因为DE ∥AC ，DF ∥AB ，所以四边形AFDE 是平行四边形．所以DF ＝AE ，DE ＝AF ．因为△ABC 是等腰三角形，所以∠B ＝∠ACB ．又因为∠ACB ＝∠FCD ，所以∠B ＝∠FCD ．又因为AB ∥DF ，所以∠B ＝∠FDC ．所以∠FCD ＝∠FDC ，所以DF ＝FC ， 所以DE －DF ＝AF －CF ＝AC ＝AB ．15.【解析】证明：(1)∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠ABC ＝60°．又∵ ∠EFB ＝60°，∴ EF ∥BC ，即EF ∥DC ．又∵ DC ＝EF ，∴ 四边形EFCD 是平行四边形．(2)如图，连接BE ．∵ BF ＝EF ，∠EFB ＝60°，∴ △EFB 是等边三角形，∴ BE ＝BF ＝EF ，∠EBF ＝60°，∴ DC ＝EF ＝BE ．∵ △ABC 是等边三角形，∴ AC ＝AB ，∠ACD ＝60°．在△ABE 和△ACD 中，∵ AB ＝AC ，∠ABE ＝∠ACD ，BE ＝CD ，∴ △ABE ≌△ACD ，∴ AE ＝AD ．。
人教版八年级数学下册 平行四边形 基础知识巩固练习
平行四边形基础知识巩固练习【巩固练习】一.选择题1. 如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（）.A.AC⊥BDB.AB＝CDC. BO＝ODD.∠BAD＝∠BCD2. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ).A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3. 下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比, 其中能识别四边形ABCD为平行四边形的是( ).A. 1:2:3:4B. 2:3:2:3C. 2:2:3:3D. 1:2:2:14. 如图所示，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，E是边BC的中点，AB＝4，则OE的长是( )．A．2 B．1 D．1 25. 平行四边形的一边长是10cm，那么它的两条对角线的长可以是（）.A.4cm和6cmB.6cm和8cmC.8cm和10cmD.10cm和12cm6. 如图， ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB＝5，BC＝3，则EC的长（）.A．1 B．1.5 C．2 D．3二.填空题7. 如图所示，在 ABCD中，对角线相交于点O，已知AB＝24 cm，BC＝18 cm，△AOB的周长为54 cm，则△AOD的周长为________cm．8. 已知 ABCD，如图所示，AB＝8cm，BC＝10cm，∠B＝30°， ABCD的面积为____2cm．9．在 ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝______，AB＝______．10. 在 ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，则 ABCD的面积为______．11．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．12．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是．三.解答题13．如图：工人师傅要把一块三角形的钢板，通过切割焊接成一个与其面积相等的平行四边形．请你设计一种方案并在图中标出焊接线，然后证明你的结论．14. 已知：如图，E、F是 ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长.【答案与解析】一.选择题1.【答案】A ；2.【答案】C ；【解析】①②③能判定平行四边形.3.【答案】B ；【解析】平行四边形对角相等.∠A 与∠C 为对角，∠B 与∠D 为对角.4.【答案】A ；【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝OC ．又∵BE ＝EC ，∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE ＝12AB ＝2． 5.【答案】D ； 【解析】设两条对角线的长为22a b ，.所以10a b +>,2220a b +>,所以选D. 6.【答案】C ；【解析】因为∠DAE ＝∠BAE ，∠BAE ＝∠DEA ，所以AD ＝DE ＝BC ＝3，EC ＝DC －DE ＝5－3＝2.二.填空题7.【答案】48；【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OD ＝OB ，AD ＝BC ＝18cm ．又因为△AOB 的周长为54cm ，所以OA ＋OB ＋AB ＝54cm ，因为AB ＝24cm ，所以OA ＋OB ＝54－24＝30(cm )，所以OA ＋OD ＝30(cm )，所以OA ＋OD ＋AD ＝30＋18＝48(cm )．即△AOD 的周长为48cm ．8.【答案】40；【解析】过点A 作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABH 中，∠B ＝30°，AB ＝8cm ，∴AH ＝12AB ＝4(cm )．∴ABCD S = BC ·AH ＝10×4＝40(2cm )．9.【答案】53cm ，5；【解析】由题意，∠DAC ＝∠BCA ＝30°，AB ＝152AB =，AC ==. 10．【答案】1202cm ；【解析】8AE ==，所以ABCD 的面积为15×8＝1202cm ． 11．【答案】平行四边形；12.【答案】18°； 【解析】由题意1122PF BC AD PE ===，所以△PEF 为等腰三角形，∠PFE ＝∠PEF ＝18°.三.解答题13.【解析】解：沿中位线将三角形分割开，将得到的小三角形绕AC 的中点旋转180度再与梯形拼接即可，如图所示：14.【解析】解：连接BD ，交AC 于O ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO ＝DO ，AO ＝CO又∵AE ＝CF ，∴AO －AE ＝CO －CF ，即EO ＝FO∴四边形BEDF 是平行四边形．15.【解析】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴AC∥DE．又∵CE∥AD，∴四边形ACED 是平行四边形．∴DE＝AC ＝2在Rt△CDE 中，由勾股定理CD =∵D 是BC 的中点，∴BC＝2CD ＝在Rt△ABC 中，由勾股定理AB =． ∵D 是BC 的中点，D E⊥BC，∴EB＝EC ＝4∴四边形ACEB 的周长＝AC ＋CE ＋BE ＋BA ＝10＋。
人教版八年级数学下册平行四边形全章复习与巩固(基础)典型例题讲解+练习及答案.doc
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】平行四边形全章复习与巩固（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.3. 掌握三角形中位线定理.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：高底平行四边形⨯=S4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：宽＝长矩形⨯S４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 要点三、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形1、如图，在口ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N．求证：四边形MFNE是平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC,AD∥BC（平行四边形的对边相等且平行）又∵DF∥BE（已知）∴四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE＝BF（平行四边形的对边相等）∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF又∵AE∥CF∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴AF∥CE∴四边形MFNE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）【总结升华】要证明一个四边形是平行四边形首先要根据已知条件选择一种合理的判定方法，如本题中已有一边平行，只须说明另一边也平行即可，故选用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明.举一反三：【变式】如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB,通过观察分析线段DE，DF，AB三者之间有什么关系，试说明你的结论．【答案】AB＝DE＋DF，提示：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠C＝∠EDB∴DF＝AE．∵△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EDB，∴DE＝BE，∴AB＝AE＋BE＝DF＋DE2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=12 BC，进而得到EF=CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．【答案与解析】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=12BC，∴EF=DF-DE=BC-12CB=12CB，∴DE=EF；（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．举一反三：【变式】（2015•哈尔滨）如图1，口ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）如图2，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△OAE与△OCF中，∴△OAE≌△OCF，∴OE=OF，同理OG=OH，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）解：与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵EF∥AB，GH∥BC，∴四边形GBCH，ABFE，EFCD，EGFH为平行四边形，∵EF过点O，GH过点O，∵OE=OF，OG=OH，∴口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH，口ACHD它们面积=口ABCD的面积，∴与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH．类型二、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD 和△CMN 中，∵DAC NCA MA MC AMD CMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA ），∴AD＝CN ，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN 是平行四边形，∴CD＝AN ；②∵∠AMD＝2∠MCD ，∠AMD＝∠MCD＋∠MD C ，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形，∴MD＝MN ＝MA ＝MC ，∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6，又∵ 在Rt △ADC 中，226810AC +=．∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ．在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+，即222(8)4x x -=+，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB ＝ 3cm，BC ＝ 5cm，则重叠部分△DEF的面积是__________2cm．【答案】5.1.提示：由题意可知BF＝DF，设FC＝x，DF＝5－x，在Rt△DFC中，222DC FC DF+=，解得x＝85，BF＝DE＝3.4，则DEF1=DE AB2S⨯△＝12×3.4×3＝5.1.类型三、菱形5、如图,在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于( ).A.80°B.70°C.65°D.60°【答案】D；【解析】解：连结BF，由FE是AB的中垂线，知FB＝FA，于是∠FBA＝∠FAB＝＝40°.∴∠CFB＝40°＋40°＝80°,由菱形ABCD知，DC＝CB，∠DCF＝∠BCF，CF＝CF，于是△DCF≌△BCF，因此∠CFD＝∠CFB＝80°,在△CDF中, ∠CDF＝180°－40°－80°＝60°.【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性质.举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型四、正方形6、（2015春•上城区期末）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积．【思路点拨】（1）通过证明Rt△DHG≌△AEH，得到∠DHG=∠AEH，从而得到∠GHE=90°，然后根据有一个角为直角的菱形为正方形得到四边形EFGH为正方形；（2）作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，利用AB∥CD得到∠AEG=∠QGE，再根据菱形的性质得HE=GF，HE∥GF，则∠HEG=∠FGE，所以∠AEH=∠QGF，于是可证明△AEH≌△QGF，得到AH=QF=2，然后根据三角形面积公式求解．【答案与解析】（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，∴HG=EH，∵AH=2，DG=2，∴DG=AH，在Rt△DHG和△AEH中，，∴Rt△DHG≌△AEH，∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AH E=90°，∴∠DHG+∠AHG=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形；（2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，∵四边形EFGH为菱形，∴HE=GF，HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠QGF，在△AEH和△QGF中，∴△AEH≌△QGF，∴AH=QF=2，∵DG=6，CD=8，∴CG=2，∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2．【总结升华】本题考查了正方形的判定与性质：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定；正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．也考查了菱形和矩形的性质．举一反三：【变式】如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形．(1)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．(2)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．(3)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．【答案】四边形EFGH为平行四边形；解：(1)AC＝BD，理由：如图①，四边形ABCD的对角线AC＝BD，此时四边形EFGH为平行四边形，且EH＝12BD，HG＝12AC，得EH＝GH，故四边形EFGH为菱形．(2)AC⊥BD，理由：如图②，四边形ABCD的对角线互相垂直，此时四边形EFGH为平行四边形．易得GH⊥BD，即GH⊥EH，故四边形EFGH为矩形．(3)AC＝BD且AC⊥BD，理由：如图③，四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，综合(1)(2)可得四边形EFGH为正方形．本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻边相等为菱形，加上对角线互相垂直为矩形，综合得到正方形．。
初二数学下《四边形》全章复习与巩固(基础)知识讲解+巩固练习
《四边形》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 掌握多边形内角和与外角和公式，灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题；通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解它们这些性质在生产、生活中的广泛应用．2. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系. 掌握它们的性质和判别方法, 并能运用这些知识进行证明和计算.3. 掌握三角形中位线定理，并能灵活应用.4. 理解用多边形进行镶嵌的应用，能灵活运用公式解决有关问题.体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2. 正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n条对角线．要点二、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点三、平行四边形1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.性质与判定性质：（1）．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；（2）．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；（3）．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；（4）．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.判定：（1）.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）.对角线互相平分的四边形是平行四边形.3.平行线的性质（1）平行线间的距离都相等（2）等底等高的平行四边形面积相等要点四、特殊的平行四边形1.矩形、菱形、正方形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.2.矩形的性质与判定性质： 1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.判定： 1. 有三个角是直角的四边形是矩形.2. 对角线相等的平行四边形是矩形.3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.3.菱形的性质与判定性质： 1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.判定： 1. 四条边相等的四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.4正方形的性质与判定性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形.2.有一个内角是直角的菱形是正方形.5.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 要点五、镶嵌的概念和特征用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、多边形1、一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形【思路点拨】首先设此多边形是n边形，由多边形的外角和为360°，即可得方程180（n－2）＝360，解此方程即可求得答案．【答案】A；【解析】解：设此多边形是n边形，∵多边形的外角和为360°，∴180（n－2）＝360，解得：n＝4．∴这个多边形是四边形．【总结升华】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为360°，n边形的内角和等于180°（n－2）．举一反三：【变式】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多边形的内角和是多少？【答案】设这个多边形的边数为，这个内角为，则，即.∵等式左边是180°的整数倍，∴等式右边也是180°的整数倍.又∵，∴，此时.∴这个多边形的内角和是：.2．一个十二边形有几条对角线.【思路点拨】根据多边形对角线条数公式，把边数代入计算即可．【答案与解析】解：∵过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，∴十二个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，∴实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）∴十二边形的对角线共有54条.【总结升华】对于一个n边形的对角线的条数，我们可以总结出规律条，牢记这个公式，以后只要用相应的n的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢.举一反三：【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C；类型二、四边形的不稳定性3. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形（四边形具有不稳定性）常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：应用了三角形的稳定性.【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．类型二、平行四边形4、如图，在ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交与点M，CE与DF交于点N．求证：四边形MFNE是平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC，AD∥BC（平行四边形的对边相等且平行）又∵DF∥BE（已知）∴四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE＝BF（平行四边形的对边相等）∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF又∵AE∥CF∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴AF∥CE∴四边形MFNE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）【总结升华】要证明一个四边形是平行四边形首先要根据已知条件选择一种合理的判定方法，如本题中已有一边平行，只须说明另一边也平行即可，故选用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明.举一反三：【变式】如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF•∥AB，•通过观察分析线段DE，DF，AB三者之间有什么关系，试说明你的结论．【答案】AB＝DE＋DF，理由：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠C＝∠EDB∴DF＝AE．∵等腰△ABC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EDB，∴DE＝BE，∴AB＝AE＋BE＝DF＋DE类型三、特殊的平行四边形5、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△AND和△CMN中，∵DAC NCA MA MCAMD CMN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由①知四边形ADCN是平行四边形，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴四边形ADCN是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．举一反三：【变式】（秋•抚州校级期中）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF平分∠DAB．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE，又∵DF=BE，∴四边形DEBF为平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF为矩形；（2）∵四边形DEBF为矩形，∴∠BFC=90°，∵CF=9，BF=12，∴BC==15，∴AD=BC=15，∴AD=DF=15，∴∠DAF=∠DFA，∴∠FAB=∠DFA，∴∠FAB=∠DFA，∴AF平分∠DAB．【高清课堂 417084 四边形全章复习例2】6、如图,在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于( )A.80°B.70°C.65°D.60°【答案】D；【解析】解：连结BF，由FE是AB的中垂线，知FB＝FA，于是∠FBA＝∠FAB＝＝40°.∴∠CFB＝40°＋40°＝80°,由菱形ABCD知，DC＝CB，∠DCF＝∠BCF，CF＝CF，于是△DCF≌△BCF，因此∠CFD＝∠CFB＝80°,在△CDF中, ∠CDF＝180°－40°－80°＝60°.【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性质.举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF∴四边形ABCD是菱形.7、（春•上城区期末）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF．（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积．【思路点拨】（1）通过证明Rt△DHG≌△AEH，得到∠DHG=∠AEH，从而得到∠GHE=90°，然后根据有一个角为直角的菱形为正方形得到四边形EFGH为正方形；（2）作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，利用AB∥CD得到∠AEG=∠QGE，再根据菱形的性质得HE=GF，HE∥GF，则∠HEG=∠FGE，所以∠AEH=∠QGF，于是可证明△AEH≌△QGF，得到AH=QF=2，然后根据三角形面积公式求解．【答案与解析】（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，∴HG=EH，∵AH=2，DG=2，∴DG=AH，在Rt△DHG和△AEH中，，∴Rt△DHG≌△AEH，∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHG=90°，∴∠DHG+∠AHG=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形；（2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，∵四边形EFGH为菱形，∴HE=GF，HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠QGF，在△AEH和△QGF中，∴△AEH≌△QGF，∴AH=QF=2，∵DG=6，CD=8，∴CG=2，∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2．【总结升华】本题考查了正方形的判定与性质：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定；正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．也考查了菱形和矩形的性质．举一反三：【变式】如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形．(1)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．(2)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．(3)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．【答案】四边形EFGH为平行四边形；解：(1)AC＝BD，理由：如图①，四边形ABCD的对角线AC＝BD，此时四边形EFGH为平行四边形，且EH＝12BD，HG＝12AC，得EH＝GH，故四边形EFGH为菱形．(2)AC⊥BD，理由：如图②，四边形ABCD的对角线互相垂直，此时四边形EFGH为平行四边形．易得GH⊥BD，即GH⊥EH，故四边形EFGH为矩形．(3)AC＝BD且AC⊥BD，理由：如图③，四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，综合(1)(2)可得四边形EFGH为正方形．本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻边相等为菱形，加上对角线互相垂直为矩形，综合得到正方形．类型四、镶嵌问题8．分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是( )A、①B、②C、③D、④【答案】C；【总结升华】用多边形组合成平面图形，实质上是相关多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.【巩固练习】一.选择题1．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架．如图所示，要使这个木架不变形，他至少要再订上几根木条?( )A．0根 B．1根 C．2根 D．3根2．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．93.（•河北模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1．若∠AFC=90°，则BC的长度为（）A．12 B．13 C．14 D．154．杨伯家小院子的四棵小树E、F、G、H刚好在其梯形院子ABCD各边的中点上，若在四边形EFGH种上小草，则这块草地的形状是（）A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形5.下列不能够镶嵌的正多边形组合是（）A．正三角形与正六边形 B．正方形与正六边形C．正三角形与正方形 D．正五边形与正十边形6. 如图所示，ABCD的周长为16cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC，交AD于点E，则△DCE的周长为( )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm7. 矩形对角线相交成钝角120°，短边长为2.8cm，则对角线的长为（）A．2.8cm B．1.4cm C．5.6cm D．11.2cm8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为（）A．16a B．12a C．8a D．4a二.填空题9．如图，若ABCD与EBCF关于B，C所在直线对称，∠ABE＝90°，则∠F＝______．10．矩形的两条对角线所夹的锐角为60 ，较短的边长为12，则对角线长为__________. 11．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为______．12. 已知多边形的内角和为540°，则该多边形的边数为；这个多边形一共有条对角线．13.如图, 有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角形的直角顶点落在点A，两条直角边分别与CD交于点F，与CB的延长线交于点E，则四边形AECF的面积是 _________.14．（秋•南沙区校级期中）我们在教材中已经学习了：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤菱形．在以上五种几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是．15. 菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝4cm．那么，菱形ABCD的面积是________，对角线BD的长是_________．16. 一个多边形的内角和与一个外角的和为1500°，则这是个边形．三.解答题17.（春•澧县校级期中）已知一个多边形的内角和与外角和的差为1080°，求这个多边形的边数．18. 如图所示，在ABCD中，AC、BD交于点O，AE⊥BC于E，EO交AD于F，求证：四边形AECF是矩形．19. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2AD，E、F分别为AB、BC的中点．求证：(1)四边形AFCD为矩形；(2)FE⊥DE．20. 已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE ＝ AF．（1）求证：BE ＝ DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM ＝ OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．【答案与解析】一.选择题1.【答案】B；2.【答案】C；【解析】设这个多边形的边数为n，根据题意得：180（n－2）=1080，解得：n=8．3.【答案】C；【解析】解：如图，∵∠AFC=90°，AE=CE，∴EF==6，DE=1+6=7；∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴BC=2DE=14，故选C．4.【答案】A；5.【答案】B；【解析】A、正六边形的内角是120°，正三角形内角是60°，能组成360°，所以能镶嵌成一个平面，故本选项不合题意；B、正六边形的内角是120°，正方形内角是90°，不能组成360°，所以不能镶嵌成一个平面，故本选项符合题意；C、正三角形的内角为60°，正方形的内角为90°，能组成360°，所以能镶嵌成一个平面，故本选项不合题意；D、正五边形的内角为108°，正十边形的内角为144°，能组成360°，所以能镶嵌成一个平面，故本选项不合题意．故选B．6.【答案】C；【解析】因为ABCD的周长为16 cm，AD＝BC，AB＝CD，所以AD＋CD＝12×16＝8(cm)．因为O为AC的中点，又因为OE⊥AC于点O，所以AE＝EC，所以△DCE的周长为DC＋DE＋CE＝DC＋DE＋AE＝DC＋AD＝8(cm).7.【答案】C；8.【答案】C；【解析】OE＝a，则AD＝2a，菱形周长为4×2a＝8a.二.填空题9．【答案】45；10．【答案】24；11．【答案】222+（，）；【解析】过D作DH⊥OC于H，则CH＝DH＝2，所以D的坐标为222+（，）.12.【答案】5 ，5；【解析】根据n边形的内角和定理得到关于n的方程∴（n﹣2）•180°=540°，解方程求得n，然后利用n边形的对角线条数为计算即可．13.【答案】16；【解析】证△ABE≌△ADF，四边形AECF的面积为正方形ABCD的面积.14．【答案】②⑤；【解析】解：①等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；②矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确；③平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；④等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；⑤菱形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确；故答案为：②⑤．15.【答案】2cm；；【解析】由题意知△ABC为等边三角形，AE＝2cm，BD＝2AE＝ .16.【答案】十；【解析】设这个多边形的边数为n，一个外角为0°至180°之间，则依题意可得（n﹣2）×180°+一个外角=1500°，解得只有n=10时符合要求．三.解答题17.【解析】解：设多边形的边数是n，根据题意，得（n﹣2）•180=1080+360，解得：n=10．故这个多边形的边数是十．18.【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，BO＝DO.∴∠1＝∠2.又∵∠FOD＝∠EOB，∴△DOF≌△BOE.∴ DF＝BE.∴ AD－DF＝BC－BE，即AF＝EC.又∵ AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵ AE⊥BC，所以∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形．19.【解析】证明：(1)∵ BC＝2AD，点F是BC的中点，∴ BF＝FC＝AD．∵ AD∥BC，∴四边形AFCD为平行四边形．又∵ DC⊥BC，∴四边形AFCD为矩形．(2)∵四边形AFCD为矩形，且∠B＝60°，∠BAF＝30°，∴ BF＝12 AB．又∵点E是AB的中点，∴ BF＝BE＝EF，即△BEF是等边三角形．∴∠BEF＝60°．∵ AE＝BE＝BF＝CF＝AD，∠BAD＝120°，∴∠AED＝12(180°－120°)＝30°，∴∠FED＝180°－∠BEF－∠AED＝90°，即FE⊥DE．20.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．∵AE ＝ AF，∴Rt RtABE ADF△≌△．∴BE＝DF．（2）四边形AEMF是菱形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA ＝∠DCA＝45°，BC＝DC．∵BE＝DF，∴BC－BE＝DC－DF. 即CE＝CF．∴OE＝OF．∵OM＝OA，∴四边形AEMF是平行四边形．∵AE＝AF，∴平行四边形AEMF是菱形．A DB EFOCM。
人教版八年级下册数学第十八章《平行四边形》巩固与复习
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
E
P
∵AB∥CD， ∴∠EAO=∠HCO.
Q
G
又∵ ∠AOE＝∠COH， ∴△AEO≌△CHO（ASA），
F
H
同理可得△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB，
∴S阴影=S△BCD，
则S△BCD=
1 2
S平行四边形ABCD=
12×6×4=12．
∴CE=2
∴AB=1，
3、在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是2cm 和3cm的两条线段，求该平行四边形的周长是多少.
解：如图，∵在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE． 又∠ABE=∠CBE, ∴∠ABE=∠AEB, ∴AB=AE． （1）当AE=2时，则平行四边形的周长=2(2+5)=14． （2）当AE=3时，则平行四边形的周长=2(3+5)=16．
8、 如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC， 设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F， 连接AE、AF.
(1)求证：∠ECF＝90°； (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请
说明理由；
(1)证明：∵CE平分∠BCO， CF平分∠GCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF， ∴∠ECF＝ 1 ×180°＝90°.
4、如图，ABCD为平行四边形，E、F分别为AB、CD的中点，①求 证：AECF也是平行四边形；②连接BD，分别交CE、AF于G、H， 求证：BG=DH；③连接CH、AG，则AGCH也是平行四边形吗？
解： ❶：根据已知可知：
AE∥FC且AE=FC AD=BC DF=EB ∠ABC=∠ADC ∴△ADF≌△CBE (SAS) ∴AF=CE ∠DAF=∠ECB ∴四边形AECF是平行四边形
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人教版八年级数学下册-平行四边形全章复习与巩固(提高)巩固练习本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March【巩固练习】一.选择题1. 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形面积的( )A. B. C. D.2. 顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形3. 已知平行四边形的一条边长为10cm.其两条对角线长可能是（）,12cm B. 8cm,10cm C. 10cm,12cm D. 8cm,12cm4. 如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上的动点,点R是CD边上的定点。
点E、F分别是AP,PR的中点。
当点P在BC上从B向C移动时，下列结论成立的是（）A. 线段EF的长逐渐变大；B. 线段EF的长逐渐减小；C. 线段EF的长不改变；D. 线段EF的长不能确定.5.（2015春•嵊州市校级期中）如图，△ABC的周长为26，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P．若BC=10，则PQ的长是（）A． B．2 C．3 D．46. 如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB、CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和682cm,那么矩形ABCD的面积是）A．212cm D．92cmcm B．162cm C．2427. 正方形内有一点A，到各边的距离从小到大依次是1、2、3、4，则正方形的周长是（）Ａ．10 Ｂ．20 Ｃ．24 Ｄ．258．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C•顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF．若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（）°°°°二.填空题9.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是________.10．在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的动点，则PE 和PA的长度之和最小值为___________．11．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2……依此类推，则平行边形n nABC O的面积为___________．12. 如图所示，在口ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于点M、N．给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM＝13AC；③DN＝2NF；④12AMB ABCS S△△．其中正确的结论是________．(只填序号)13.已知菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm. 则菱形的周长是_____cm, 面积是_____ cm2.14.（2015春•启东市期中）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是．15. 如图所示，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的F处，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为________．16.（2015•潮南区一模）如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…S n（n为正整数），那么第8个正方形面积S8=__________．三.解答题17. 如图所示，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°．CD⊥AD，222+=．2AD CD AB(1)求证：AB＝BC．(2)当BE⊥AD于E时，试证明BE＝AE＋CD．18.在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．（3）若AC=6，DE=4，则DF=___________.19. 探究问题：(1)方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF ＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF＝45°∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．∵∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．即∠GAF＝∠________．又AG＝AE，AF＝AF∴△GAF≌△________．∴ _________＝EF，故DE＋BF＝EF．(2)方法迁移：如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝12∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．20.（2015•海淀区二模）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，∠DAE+∠BAC=180°．（1）直接写出∠ADE的度数（用含α的式子表示）；（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD；②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF．【答案与解析】一.选择题1.【答案】B ；【解析】由题意先证明△AOE ≌△COF ，∴S 阴影=S △COD=S 矩形ABCD.2．【答案】A ；3.【答案】C ；【解析】由三角形两边之和大于第三边判定.4.【答案】C ；【解析】由三角形中位线定理，EF 长度为AR 的一半. 5.【答案】C ；【解析】解：∵BQ 平分∠ABC ，BQ ⊥AE ，∴△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，∴点Q 是AE 中点，点P 是AD 中点（三线合一），∴PQ 是△ADE 的中位线，∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴DE=BE+CD ﹣BC=6，∴PQ=DE=3．故选：C ．6.【答案】B ； 【解析】设两个正方形的边长分别为x y ，,根据题意得：⎩⎨⎧=+=+106822y x y x ，则222100,x y xy ++=，解得16xy =.7.【答案】B ；【解析】1＋2＋3＋4＝周长的一半.8.【答案】B ；【解析】证△ECF 为等腰直角三角形.二.填空题9.【答案】7516； 【解析】由折叠的特性可知∠DBC′＝∠DBC ，由AD ∥BC 得∠ADB ＝∠DBC ，因此∠DBC′＝∠ADB ，故BE ＝DE.可设AE ＝x ，则BE ＝4－x ，在Rt △ABE 中，由勾股定理可得222AB AE BE +=，即()22234x x +=-，解得x ＝87，BE ＝825.因此阴影部分的面积为1675382521=⨯⨯.10【解析】连接CE ，因为A ，C 关于BD 对称，所以CE 11．【答案】⋅n 25； 【解析】 每一次变化，面积都变为原来的12. 12.【答案】①②③；【解析】易证四边形BEDF 是平行四边形，△ABM ≌△CDN ．∴ ①正确． 由BEDF 可得∠BED ＝∠BFD ，∴∠AEM ＝∠NFC ．又∵AD ∥BC ．∴∠EAM ＝∠NCF ， 又AE ＝CF ∴ △AME ≌△CNF ，∴AM ＝CN ．由FN ∥BM ，FC ＝BF ，得CN ＝MN ，∴CN ＝MN ＝AM ，AM ＝13AC ．∴ ②正确． ∵ AM ＝13AC ，∴ 13AMB ABC S S =△△，∴④不正确． FN 为△BMC 的中位线，BM ＝2NF ，△ABM ≌△CDN ，则BM ＝DN ，∴DN ＝2NF ，∴③正确．13.【答案】20；24；14.【答案】3；【解析】解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴四边形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，∴∠ADP+∠CDP=90°，∴∠ADP=∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD=90°，∴∠APD=∠E=90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE=DP，四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP==3．故答案为：3．15.【答案】7；【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，AB＝CD．又∵以BE为折痕，将△ABE向上翻折到△FBE的位置，∴ AE＝EF，AB＝BF．已知DE＋DF＋EF＝8，即AD＋DF＝8，AD＋DC－FC＝8．∴ BC＋AB－FC＝8．①又∵ BF＋BC＋FC＝22，即AB＋BC＋FC＝22．②，两式联立可得FC＝7．16.【答案】128；【解析】根据题意可得：第n个正方形的边长是第（n﹣1）个的倍；故面积是第（n ﹣1）个的2倍，已知第一个面积为1；则那么第8个正方形面积S8=27=128．故答案为128．三.解答题17.【解析】(1)证明：连接AC∵∠ABC＝90°，∴222+=．AB BC AC∴ CD⊥AD，∴222AD CD AC+=．∵222+=，AD CD AB2∴222+=．AB BC AB2∴ AB＝BC．(2)证明：过C作CF⊥BE于F．∵ BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形．∴ CD＝EF．∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF．∴ AE＝BF．∴ BE＝BF＋EF＝AE＋CD．18.【解析】解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，∴四边形AFDE是平行四边形．∴AF=DE，∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠FDB=∠C∴DF=BF∴DE+DF=AB=AC；（2）图②中：AC+DE=DF．图③中：AC+DF=DE．（3）当如图①的情况，DF=AC-DE=6-4=2；当如图②的情况，DF=AC+DE=6+4=10．故答案是：2或10．19. 解：(1)EAF、△EAF、GF．(2)DE＋BF＝EF，理由如下：假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转m°得到△ABG，如图，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵12 EAF m∠=°，∴112322BAD EAF m m m∠+∠=∠-∠=-=°°°．∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝12 m°．即∠GAF＝∠EAF．又AG＝AE，AF＝AF．∴△GAF≌△EAF．∴ GF＝EF．又∵ GF＝BG＋BF＝DE＋BF，∴ DE＋BF＝EF．20. 【解析】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，∴∠BAC=180°﹣2α，∵∠DAE+∠BAC=180°，∴∠DAE=2α，∵AE=AD，∴∠ADE=90°﹣α；（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥EF．∴∠EDC=∠ABC=α，由（1）知，∠ADE=90°﹣α，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，∴AD⊥BC．∵AB=AC，∴BD=CD；②证明：∵AB=AC，∠ABC=α，∴∠C=∠B=α．∵四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF，AE=BF．∴∠EAC=∠C=α，由（1）知，∠DAE=2α，∴∠DAC=α，∴∠DAC=∠C．∴AD=CD．∵AD=AE=BF，∴BF=CD．∴BD=CF．。