湖北省枣阳市高二数学上学期 周末测试试题 新人教A版
2022-2023学年人教A版高二上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知点，，，若为直角三角形，则必有（ ）A.＝B.C.D.2. 已知直线与直线互相垂直，垂足为，则的值为（ ）A.B.C.D.3. 知识卡片试题A.相似三角形的性质B.相似三角形的判定C.相似三角形的性质与判定D.翻折变换（折叠问题）4. 已知椭圆 的左焦点为，上顶点为，右顶点为，过点作 轴垂线，该垂线与直线交点为，若 ，且 的面积为 ，则的标准方程为( )O(0,0)A(0,b)B(a,)a 3△OAB b a 3b =+a 31a(b −)(b −−)=0a 3a 31a|b −|+|b −−|=0a 3a 31a:ax +4y −2=0l 1:2x −5y +b =0l 2(1,c)a +b +c −42024C ：+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F B A F x AB M =3AM −→−BM −→−△AFM 93–√2CA.B.C.D.5. 已知实数，满足＝，则的最小值为（ ）A.B.C.D. 6. 在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则可表示为（用，、表示）． （ ）A.B.C.D.7. 在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成曲边三角形，作两个内切半圆的公切线把曲边三角形分隔成两块，阿基米德发现被分隔的这两块的内切圆是同样大小的，由于其形状很像皮匠用来切割皮料的刀子，他称此为“皮匠刀定理”．如图，若 ，则阴影部分与最大半圆的面积比为( )+=1x 28y 26+=1x 24y 23+=1x 22y 2+=1x 24y 22x y (x −3+)2y 212O −ABC =a OA −→−=b OB −→−=c OC −→−D BC E AD OE −→−a b c a +b +c 121414a +b −c 121312a +b +c 131414a −b +c 131414AC =2CB 10A.B.C.D.8. 已知为椭圆 的右焦点，为坐标原点，为椭圆上一点，若，，则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知直线：＝，其中，下列说法正确的是（ ）A.当＝时，直线与直线＝垂直B.若直线与直线＝平行，则＝C.直线过定点D.当＝时，直线在两坐标轴上的截距相等10. 已知圆，若直线与圆相切，则的值可以为（ ）A.B.C.D.108120814989F C ：+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2O P C |OP|=|OF|∠POF =120∘C 2–√23–√3−12–√−13–√l (+a +1)x −y +1a 20a ∈R a −1l x +y 0l x −y 0a 0l (0,1)a 0l C :+−4x +3=0x 2y 2y =kx C k 3–√36–√3−3–√3−6–√3→−)⋅(−)=0→11. 已知，是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有( )A.B.C.与不可能垂直D.12. 已知曲线，下列说法正确的是（ ）A.若，则是椭圆，其焦点在轴上B.若，则是双曲线，其渐近线方程为C.若，则是圆，其半径为D.若，则是两条直线卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为________．14. 设椭圆的两个焦点是，过点的直线与交于点若，且，则椭圆的离心率为_________．15. 在棱长为的正方体 中，平面与正方体每条棱所成的角均相等，则平面截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大值为________.16. 已知动点到点的距离等于点到点的距离的倍，那么点的轨迹方程为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知函数，且.求的值；在函数的图象上任意取定两点，，记直线的斜率为，求证：存在唯一，使得成立． a →b →π3c →(−)⋅(−)=0a →c →b →c →|+|=1a →b →|−|=1a →b →+a →b →c →||<c →3–√C :m +n =1x 2y 2m >n >0C x mn <0C y =±x −m n−−−−√m =n >0C 1n m =0,n >0C l P(2,1)x y A B O OAB Γ,F 1F 2F 1F P ，Q ，|P |=||F 2F 1F 23|P |=4|Q |F 1F 1Γ1ABCD −D A 1B 1C 1ααM A (8,0)M B (2,0)2M f (x)=−a ln x x 2f (x)≥1(1)a (2)f (x)A (，f ())x 1x 1B (,f ())(<)x 2x 2x 1x 2AB k ∈(,)x 0x 1x 2()=k f ′x 0C (0,−1),(2,1)18. 已知圆心在直线 上的圆过两点 .求圆的方程；若直线 与圆相交于,两点，①当 时，求的方程；②在轴上是否存在定点，使 ，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由. 19. 已知三棱台中，平面平面，，，，（1）求证：平面（2）点是的中点，求二面角的余弦值．20. 椭圆的左焦点为，右顶点为，，且，，成等差数列．求椭圆的方程；过点的直线与椭圆相交于不同于的，两点，直线，与直线分别相交于，两点，求证：以为直径的圆过点．21. 如图，多面体是四棱柱沿着平面截去部分所得的几何体．已知平面，底面是直角梯形，，，．证明：平面；求点到平面的距离．22. 已知曲线：上的点到点的距离与到直线的距离的比为．点为直线上的一个动点，且过点的直线与曲线交于，两点．求曲线的方程；若为等边三角形，求线段的长．C y =x +1(0,−1),(2,1)(1)C (2)y =kx +2C A B |AB|=14−−√AB y M ∠CMA =∠CMB M ABC −A 1B 1C 1B C ⊥B 1C 1ABC ∠ACB =90∘B =C ==2B 1C 1B 1C 1BC =4AC =6B ⊥C 1A CA 1C 1DB 1C 1−BD −A 1B 1+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F (−c,0)P |PF|=8a b c (1)(2)F l P A B PA PB x =−a 2c M N MN F ABCD −E A 1B 1D 1ABCD −A 1B 1C 1D 1C E D 1A ⊥A 1ABCD ABCD AD//BC AB ⊥AD BC =2AD =2AB =2E =2A =4B 1A 1(1)C //D 1D A 1B 1(2)C D A 1B 1C +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2D M (2,0)m :x =36–√3P m M l C A B (1)C (2)△ABP AB参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】利用已知可得，，，且．分以下三种情况：①，②，③，利用垂直与数量积的关系即可得出．【解答】∵，，，且．①若，则＝，∴＝或＝，但是，应舍去；②若，则＝，∵，∴＝；③若，则＝，得＝，即．综上可知：为直角三角形，则必有．2.【答案】A【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】首先根据垂直得出从而求出的值，再由在直线和上求出和的值，即可得出结果．【解答】解；∵直线与直线互相垂直=(a,−b)AB →a 3=(0,b)OA →=(a,)OB →a 3ab ≠0⊥OA →OB →⊥OA →AB →⊥OB →AB →=(a,−b)AB →a 3=(0,b)OA →=(a,)OB →a 3ab ≠0⊥OA →OB →⋅=b OA →OB →a 30a 0b 0ab ≠0⊥OA →AB →⋅=b(−b)OA →AB →a 30b ≠0b ≠0a 3⊥OB →AB →⋅=+(−b)OB →AB →a 2a 3a 301+−ab a 40b −−=0a 31a △OAB (b −)(b −−)=0a 3a 31a −×=−1a 425a (1,c)5x +2y −1=02x −5y +b =0c b :ax +4y −2=0l 1:2x −5y +b =0l 2×=−12∴解得：∴直线∵在直线上∴解得：又∵也在直线上∴解得：∴故选：．3.【答案】A【考点】直线的倾斜角【解析】1【解答】一.相似三角形的相关概念1.相似三角形：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．2.相似三角形对应边的比叫做相似比，通常用字母表示．如果，那么相似比.相似三角形的性质1.相似三角形的对应边成比例，对应角相等．2.相似三角形对应边上的高的比等于相似比．3.相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．4.相似三角形对应角的平分线之比等于相似比．5.相似三角形周长的比等于相似比．6.相似三角形面积的比等于相似比的平方.二.方法：平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似．如图所示，若，则，其基本图形大致有这三种．其中，我们把①②叫做“型”平行线，把③叫做“型”平行线．方法：相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似．方法：相似三角形的判定定−×=−1a 425a =10:5x +2y −1=0l 1(1,c)5x +2y −1=05+2c −1=0c =−2(1,−2):2x −5y +b =0l 22×1+5×2+b =0b =−12a +b +c =10−12−2=−4A k △ABC ∼△DEF k=AB DE =BC EF =AC DF1BC//DE △ABC ∼△ADE A X 213理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．方法：相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似．三。
高二数学上学期周末测试试题A试题
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹白水高中高二数学周末考卷一、选择题〔题型注释〕1．二项式()n1sinx +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值是25，那么x 在[0，2π]内的值是 〔〕A ．6π或者3πB ．6π或者65πC ．3π或者32πD ．3π或者65π2．在()()()567111x x x +++++的展开式中,含4x 项的系数是等差数列35n a n =－的 〔〕A ．第2项B ．第11项C ．第20项D ．第24项3．设(3x 31+x 21)n展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，假设t+h=272，那么展开式的x 2项的系数是〔〕A ．21B ．1C ．2D ．34．三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为〔〕 Ａ．25Ｂ．26Ｃ．36Ｄ．375．教学大楼一共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有〔〕 A ．10种B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种6．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，那么不同的分法一共有〔〕 A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种7．设A ，B 是两个非空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，假设{}{}0121234P Q ==，，，，，，，那么P*Q 中元素的个数是〔〕Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．168．把5件不同的商品在货架上排成一排，其中a，b两种必须排在一起，而c，d两种不能排在一起，那么不同排法一共有〔〕〔A〕12种〔B〕20种〔C〕24种〔D〕48种9．有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，那么不同的分组方案一共有〔〕〔A〕88A种〔B〕48A种〔C〕44A·44A种〔D〕44A种10．1063被8除的余数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．7二、填空题〔题型注释〕11．整数630的正约数〔包括1和630〕一共有个．12．圆周上有2n个等分点〔1n>〕，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为．13．假设对于任意实数x，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x=+-+-+-，那么123a a a++的值是__________. 14．对于二项式(1-x)1999①展开式中T1000=9999991999C x-；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．15．五男二女排成一排，假设男生甲必须排在排头或者排尾，二女必须排在一起，不同的排法一共有种．三、解答题〔题型注释〕16．求函数y=的最小值17．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．〔1〕选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？〔2〕假设每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？〔3〕假设要选出不同年级的两人参加里组织的活动，有多少种不同的选法？18．〔12分〕1(2)4nx+的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数．19．一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单〔1〕前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？〔2〕3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？〔3〕3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？20．方程222(3)x y t x+-+22(14)t y+-41690t++=表示一个圆。
高中数学人教A版选修2-1-上学期高二数学周测10(含参考答案).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2011-2012学年上学期高二数学周测十（满分100分，时间60-90分钟）班级 座号 姓名 （选择题、填空题答案请写在第3页相应的答题栏内）一、选择题：（每小题5分，共计50分）1、若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是（ D ）A ．14822=+x yB ．161022=+x y C ．18422=+x y D ．161022=+y x2、若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为 （ D ）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1） 3、设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是（ D ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 4、椭圆12222=+b y a x 和k by a x =+2222()0>k 具有（ A ）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴 5、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ B ）．A ．12B ．22C ．2D ．326、椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ A ） A ．14 B ．12C ． 2D ．4 7、若椭圆经过点P （2，3），且焦点为F 1(－2,0),F 2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于（ C ） A.22 B. 13 C. 12 D.328、过椭圆22a x +22by =1（0<b<a ）中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，则△ABF 2的最大面积是 （ C ） A ．ab B ．acC ．bcD ．b 29、椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ D ） A ．3B ．11C ．22D ．1010、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(,0),(0,)A a B b -为椭圆的两个顶点，若F 到AB 的距离等于7b，则椭圆的离心率为 （ C ） A. 777- B. 777+ C. 12 D. 45二、填空题（每小题4分，满分16分） 11、离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为__________2212734x y+=_ .12、与椭圆 4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为__________2211510x y+=_____．13、已知椭圆中心在原点，一个焦点为(3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 2214xy += ．14、 已知椭圆12222=+by a x 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且∠PF 1F 2=30°，∠PF 2F 1=60°，则椭圆的离心率e = 31- .班级 座号 姓名 （选择题、填空题答案请写在第3页相应的答题栏内）一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11、 12、 13、 14、 三、解答题15、已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程． 2222111448014480x y y x +=+=或 16、已知长方形ABCD , AB =22, BC =1. 以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy .(Ⅰ)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;yCD(Ⅱ)过点P (0,2)的直线l 交(Ⅰ)中椭圆于M,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.221)142x y +=2)22y x =±+2)17、 已知可行域11202020y x y C x A A x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩的外接圆与轴交于点、，椭圆2C 以先段1A 2A 为长轴，离心率22e =（Ⅰ）求圆1C 及椭圆2C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2C 的右焦点为F ，点P 为圆12C 1上异于A 、A 的动点，过原点O作直线PF 的垂线交直线2x =于点Q ，判断直线PQ 与圆1C 的位置关系，并给出证明。
湖北省部分地区2022-2023学年高二上学期元月期末考试数学试题含答案
C.直线 的方程为 D. 的周长为
11.已知数列 满足 ， ，且 ，则（）
A. B.数列 是等比数列
C.数列 是等差数列D.数列 前 项和为
12.如图，正三棱柱 中， ，点P在线段 上（不含端点），则（）
A.不存在点P，使得
B. 面积的最小值为
C. 的最小值为
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.直线 的倾斜角为（）
A.30°B.60°C.120°D.150°
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
（2）存在，
【21题答案】
【答案】（1） ，P点坐标为
（2）
【22题答案】
【答案】（1）
（2）① ；②
6.已知数列 满足 ， ，则 （）
A. B.
C. D.
7.设点F是抛物线 的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若 ， ，则抛物线的方程为（）
A. B.
C. D.
8.在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来” 美好愿景．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．若第1个图中的三角形的周长为1，记第n个图形的周长为 ， 为数列 的前n项和，则 （）
2022-2023学年人教A版高二上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 直线过点，且不过第四象限，那么的斜率的取值范围是（ ）A.B.C.D.2. 若直线与直线平行，则实数（ ）A.B.C.D.3. 已知，，， ，且满足，，则的最小值为（ ）A.B.C.D.4. 方程所确定的圆中，最大面积是( )l A(1,2)l [0,2][0,1][0,]12(0,)12:ax +y +1=0l 1:x +ay +2a −1=0l 2a =1−1±1m n a b ∈R 3m +4n =−43a +4b =1+(m −a)2(n −b)2−−−−−−−−−−−−−−−−√3–√2–√112++x +(m −1)y +=0x 2y 212m 2–√A.B.C.D.不存在5. 已知圆，点是直线上一点，若圆上存在一点，使得，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.6. 已知两点，，则线段的垂直平分线的方程为（ ）A.B.C.D.7. 已知点、，直线与线段恒有公共点，则的取值范围是（ ）A.或B.或C.D.8. 若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于，则半径的取值范围是( )A.B.C.π3–√2π343πO :+=1x 2y 2M(,)x 0y 0x −y +2=0O N ∠NMO =π6x 0[−2,0][−1,1][2,4](−1,3)A(7,4)B(−5,6)AB 5x +6y +11=06x −y −1=05x +6y −11=06x −5y +1=0A(2,−3)B(−3,−2)l :λx −4y +4−λ=0AB λλ≥3λ≤−16λ≥34λ≤−4−16≤λ≤33≤λ≤16+=(x −1)2(y +1)2R 24x +3y −11=01R 1<R <2R <31<R <3R ≠2D.9. 已知曲线，以下判断正确的是（ ）A.曲线与轴交点为B.曲线C 关于轴对称C.曲线上的点的横坐标的取值范围是D.曲线上点到原点的距离最小值为10. 已知两点，若曲线上存在点,使得,则实数的取值范围为( )A.B.C.D.11. 已知圆，直线经过点，过直线上的点引圆的两条切线，若切线长的最小值为，则直线的斜率( )A.B.C.或D.或12. 已知直线过原点，圆，则下列叙述错误的是（ ）A.圆的圆心为点B.设直线与圆交于两点，，则中点轨迹为一段圆弧C.存在实数，使直线与圆相切D.不存在实数，使圆上恰有三个点到直线的距离为卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）R ≠2C :⋅=3+(x +1)2y 2−−−−−−−−−−−√+(x −1)2y 2−−−−−−−−−−−√C y (0,±2)y C [−2,2]C 2–√A(a,0),B(−a,0)(a >0)+−6x +8y +16=0x 2y 2P ∠APB =90∘a (0,8)(4,8)[2,8](0,4)C :+=1x 2(y −1)2l A (3,0)l P C 2l k =−1312−212−1312l C :+−6x +5=0x 2y 2C (3,0)l C A B AB M k m :y =k (x −4)C k C m :y =k (x −4)113. 在平面直角坐标系中，经过且方向向量为 的直线与轴的交点为，是过，两点且与轴正半轴相切的圆的圆心，设点为轴上任意一点，则最小值为________．14. 在平面内的直线上确定一点，使到点的距离最小．则点的空间坐标为________．15. 设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是________.16. 点在函数的图象上，若满足到直线的距离为的点只有个，则实数的取值范围为________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知两条直线和，试分别确定、的值，使：（1）与相交于一点；（2）且过点；（3）且在轴上的截距为．18. 已知圆的圆心在直线 上，并且与轴的交点分别为 .求圆的方程；若直线过原点且垂直直线 ，直线交圆于,，求 的面积.19. 已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为．求圆的方程；若点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为、点，求四边形面积的最小值．20. 已知圆，圆，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长． 21. 已知直线过点.若直线在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程；若直线与轴正半轴，轴正半轴分别交于，两点，试求面积的最小值及此时直线的方程.22. 已知动点（其中）到定点的距离比点到轴的距离大．（1）求点的轨迹的方程；(0,3)m=(1,2)x N M A(1,5)B(3,B)x P y ⋅PM →PN →xOy x +y =1M M N(6,5,1)M F 1F 2−=4x 2y 2P F 1∠P F 1F 2M M x +y −3=02–√M y =2e x y =2x +b 5–√M 2b :mx +8y +n =0l 1:2x +my −1=0l 2m n l 1l 2P(m,1)//l 1l 2l 1(3,−1)⊥l 1l 2l 1y −1C 3x +2y =0x A(−2,0),B(6,0)(1)C (2)l 3x +2y =0l C M N △MCN C C y =3x x y =x 27–√(1)C (2)P x +y +1=0P C PA PB A B PACB :+−3x −3y +3=0C 1x 2y 2:+−2x −2y =0C 2x 2y 2l P(1,2)(1)l 6l (2)l x y A B △AOB l P(x,y)x ≥0F(l,0)P y 1P C（2）过椭圆：+＝的右顶点作直线交曲线于、两点，其中为坐标原点．①求证：；②设、分别与椭圆相交于点、，证明：原点到直线的距离为定值．C 11C A B O OA ⊥OB OA OBDE DE参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】A【考点】直线的斜率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】B【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】根据两条直线平行可得，求出的值经过验证即可得出．【解答】解：由，得,解得或,当时，的方程分别为，的方程， 与重合，故舍去，当，的方程分别为，即，的方程，符合题意，∴.故选．3.【答案】C=1a 2a //l 1l 2=1a 2a =1a =−1a =1l 1x +y +1=0l 2x +y +1=0l 1l 2a =−1l 1−x +y +1=0x −y −1=0l 2x −y −3=0a =−1B【考点】两条平行直线间的距离【解析】将问题转化为求两平行线间的距离，利用公式直接计算得答案．【解答】解：此题可理解为点与点分别在直线与直线：上，求，两点间的距离的最小值，根据直线方程可知，∴ .故选．4.【答案】B【考点】圆的标准方程与一般方程的转化圆的标准方程【解析】圆的方程配方化为标准方程后，表示出圆心坐标和半径的平方，根据二次函数求最值的方法求出半径的最大值时的值，此时圆的面积最大，即可得出结论．【解答】解：将方程配方，得．∴，此时．∴最大面积是．故选．5.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】A (m,n)B (a,b):3x +4y =−4l 1l 23x +4y =1A B //l 1l 2|AB ==1|min|−4−1|+3242−−−−−−√C k (x ++(y +=12)2m −12)2−(m +1+3)24=r 2max 34m =−1π34B此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】B【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系中点坐标公式【解析】先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段的垂直平分线的方程，再化为一般式．【解答】解：两点，，它的中点坐标为：，直线 的斜率为：，垂线的斜率为：，线段的垂直平分线方程是：，即：．故选．7.【答案】A【考点】直线恒过定点直线的斜率【解析】求出直线中，过的定点，然后求出，与定点的斜率，即可得到的取值范围．【解答】解：直线经过定点，所以，，所以直线：与线段恒有公共点，AB A(7,4)B(−5,6)(1,5)AB =−6−4−5−716AB 6AB y −5=6(x −1)6x −y −1=0B λx −4y +4−λ=0A B λl :λx −4y +4−λ=0M(1,1)==−4K MA −3−12−1==K MB −2−1−3−134λx −4y +4−λ=0AB λ3−4λ它的斜率，或，解得或．故选．8.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】先求圆心到直线的距离，再求半径的范围即可.【解答】解：已知圆的圆心坐标为，则圆心到直线的距离.又因为圆有且仅有两个点到直线的距离等于，满足，即：，解得，故半径的取值范围是.故选.9.【答案】B,C,D【考点】两点间的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】略10.【答案】C【考点】≥λ434≤−4λ4λ≥3λ≤−16A +=(x −1)2(y +1)2R 2(1,−1)d ==2|4−3−11|+4232−−−−−−√+=(x −1)2(y +1)2R 24x +3y −11=01|R −d|<1|R −2|<11<R <3R 1<R <3C圆与圆的位置关系及其判定点与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：把圆的方程化为,因，所以在以为直径的圆上，即,若曲线上存在,使得,则两圆有公共点，故，解得： .故选.11.【答案】C【考点】圆的切线方程直线和圆的方程的应用【解析】首先利用点斜式设出直线的方程，进一步利用点到直线的距离公式求出结果.【解答】解：因为直线过点，直线的方程可表示为，因为所以圆心为，半径为，又因为直线上一点在圆上的切线长的最小值为当且仅当圆心到直线的距离等于圆心到点的距离相等时取最小值，所以圆心到直线的距离为.又因为圆心到直线的距离为，所以，解得或．故选.12.【答案】C +−6x +8y +16=0x 2y 2(x −3+(y +4=9)2)2∠APB =90∘P AB +=x 2y 2a 2+−6x +8y +16=0x 2y 2P ∠APB =90∘|a −3| 5 a +32≤a ≤8C l A (3,0)l y =k (x −3)+=1x 2(y −1)2(0,1)1l P 2,P =+1222−−−−−−√5–√|3k +1|1+k 2−−−−−√=|3k +1|1+k 2−−−−−√5–√k =12−2C【考点】直线与圆的位置关系轨迹方程【解析】无【解答】解：对于，化成标准方程，故正确；对于，因为，所以点的集合为以为直径的圆在圆内的弧，故正确；对于，因为直线过定点在圆内，所以直线不能与圆相切，故错误；对于，圆的半径为，所以要满足圆上恰有三个点到直线的距离为，需圆心到直线的距离为，此时直线斜率不存在，故正确.故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】圆的切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知，经过且方向向量为的直线的斜率为，故其直线方程为，所以 ．设，因为直线的斜率为，且线段的中点坐标为，所以线段的中垂线方程为，由题意得，所以或 （舍）．设，则，故A +=4(x −3)2y 2AB ∠OMC =90∘M OC C B C m (4,0)C m C CD C 2C m 1C m 1m D C −614(0,3)m =(1,2)22x −y +3=0N(−,0)32M(a,b)AB 2AB (2,7)AB x +2y −16=0{a +2b −16=0(a −1+(b −5=)2)2b 2{a =6，b =5a =−9，b =252P(0,m)⋅=PM →PN →(6,5−m)⋅(−,−m)=−9−m(5−m)=−5m−32m 29=(m −−≥−52)2614614→61的最小值为 ．故答案为：．14.【答案】【考点】空间两点间的距离公式空间中的点的坐标【解析】先设点，然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．【解答】解：设点则∴当时，．∴点的坐标为时到点的距离最小．故答案为：15.【答案】【考点】双曲线的应用点到直线的距离公式直线与双曲线结合的最值问题直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，延长与直线交于，连接，⋅PM →PN −614−614(1,0,0)M(x,1−x,0)M(x,1−x,0)|MN |==(x −6+(1−x −5+(1−0)2)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√2(x −1+51)2−−−−−−−−−−−−√x =1|MN =|min 51−−√M (1,0,0)N(6,5,1)(1,0,0)5PF 2M F 1N OM可得，.又，所以，，所以，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，所以点的轨迹方程为，则圆心到直线的距离为：，所以圆上一点到直线的距离的最大值为：，即点到直线的距离的最大值是.故答案为：.16.【答案】【考点】圆的切线方程【解析】此题暂无解析【解答】【答案】【解析】依题意设在函数点处切线斜率为即，解得，则对应的切点为要满足题意，结合图形只需满足：到直线的距离小于【考点】切线问题及用数形结合解决问题三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】|P |=|PN|F 1|M |=|MN|F 1|O|=|O |F 1F 2OM//N F 2OM =N 12F 2|OM|=|N|12F 2=(|PN|−|P |)12F 2=(|P |−|P |)12F 1F 2=×2a =212M O 2M +=4x 2y 2O x +y −3=02–√d ==3|−3|2–√1+1−−−−√x +y −3=02–√3+2=5M x +y −3=02–√55(−3,7)(−3,7)y =2e x (,2)x 0e x 022=2e x 0=0x 0(0,2)(0,2)y =2x +b 5–√P(m,1)P(m,1)+8+n =02解：（1）由于与相交于一点，把点代入，的方程得，，联立解得，．（2）∵且过点，∴，解得或（3）由且在轴上的截距为，当时，的方程化为，的方程化为．∴，解得．∴，．而时，直线与不垂直．综上可知：，．【考点】两条直线的交点坐标直线的一般式方程与直线的平行关系直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】（1）由于与相交于一点，把点代入，的方程得，，联立解得即可．（2）由于且过点，根据平行线的斜率相等及点适合直线的方程可得，解得即可；（3）由且在轴上的截距为，当时，的方程化为，的方程化为．可得，解得即可．而时，直线与不垂直．【解答】解：（1）由于与相交于一点，把点代入，的方程得，，联立解得，．（2）∵且过点，∴，解得或（3）由且在轴上的截距为，当时，的方程化为，的方程化为．∴，解得．∴，．而时，直线与不垂直．综上可知：，．18.【答案】解：线段的中垂线方程为： ，由得 .∴圆心为 .又半径 ，∴圆的方程为 l 1l 2P(m,1)P(m,1)l 1l 2+8+n =0m 22m +m −1=0m =13n =−739//l 1l 2l 1(3,−1) −=−m 82m 3m −8+n =0{m =4n =−4{m =−4n =20⊥l 1l 2l 1y −1m =0l 18y +n =0l 22x −1=0−8+n =0n =8m =0n =8m ≠0l 1l 2m =0n =8l 1l 2P(m,1)P(m,1)l 1l 2+8+n =0m 22m +m −1=0//l 1l 2l 1(3,−1)l 1 −=−m 82m 3m −8+n =0⊥l 1l 2l 1y −1m =0l 18y +n =0l 22x −1=0−8+n =0m ≠0l 1l 2l 1l 2P(m,1)P(m,1)l 1l 2+8+n =0m 22m +m −1=0m =13n =−739//l 1l 2l 1(3,−1) −=−m 82m 3m −8+n =0{m =4n =−4{m =−4n =20⊥l 1l 2l 1y −1m =0l 18y +n =0l 22x −1=0−8+n =0n =8m =0n =8m ≠0l 1l 2m =0n =8(1)AB x =2{x =2,3x +2y =0,y =−3C (2,−3)r =|AC|=5C (x −2+(y +3=25.)2)2(2)l易得直线的方程为：，所以点到直线的距离为： ,∴,【考点】直线与圆相交的性质圆的标准方程点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：线段的中垂线方程为： ，由得 .∴圆心为 .又半径 ，∴圆的方程为 易得直线的方程为：，所以点到直线的距离为： ,∴,19.【答案】解：设圆的标准方程为：，，圆心为，由圆关于直线对称，有，①圆与轴相切，有，②点到直线的距离为，又圆被直线截得的弦长为，则，结合②，有，∴，又，∴，则，∴圆的标准方程为：.∵，与圆相切，∴，，，(2)l 2x −3y =0C l d ==|4+9|4+9−−−−√13−−√|MN|=2=4−r 2d 2−−−−−−√3–√∴=×|MN|×d =×4×=2.S △MCN 12123–√13−−√39−−√(1)AB x =2{x =2,3x +2y =0,y =−3C (2,−3)r =|AC|=5C (x −2+(y +3=25.)2)2(2)l 2x −3y =0C l d ==|4+9|4+9−−−−√13−−√|MN|=2=4−r 2d 2−−−−−−√3–√∴=×|MN|×d =×4×=2.S △MCN 12123–√13−−√39−−√(1)C (x −a +(y −b =)2)2r 2(a >0,b >0)C (a,b)C y =3x b =3a C x r =b =3a C y =x d ===a |a −b |2–√2a 2–√2–√C y =x 27–√=+(r 2d 27–√)29=a 22+7a 2=a 21a >0a =1r =b =3a =3(x −1+(y −3=9)2)2(2)PA PB CA ⊥PA CB ⊥PB |CA |=|CB |=3由，得，又，且的最小值为到直线的距离，等于，∴．∴四边形面积的最小值为．【考点】圆的标准方程直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】（1）设圆的标准方程为：＝，，由题意列关于，的方程求得与的值，进一步求得值，则圆的方程可求；（2）画出图形，把四边形面积转化为三角形的面积，进一步转化为含有长度的代数式，即可求得最小值．【解答】解：设圆的标准方程为：，，圆心为，由圆关于直线对称，有，①圆与轴相切，有，②点到直线的距离为，又圆被直线截得的弦长为，则，结合②，有，∴，又，∴，则，∴圆的标准方程为：.∵，与圆相切，△PAC ≅△PBC =S 四边形PACB 2S △CAP =2×|CA |⋅|PA |=123|PA ||PA |==|PC −|CA |2|2−−−−−−−−−−−−√|PC −9|2−−−−−−−−√|PC |C x +y +1=0=|1+3+1|2–√52–√=3|PA |≥3=S 四边形PACB (−952–√)2−−−−−−−−−√314−−√2PACB 314−−√2C (x −a +(y −b )2)2r 2(a >0,b >0)a b a b r PACB CAP |PC |(1)C (x −a +(y −b =)2)2r 2(a >0,b >0)C (a,b)C y =3x b =3a C x r =b =3a C y =x d ===a |a −b |2–√2a 2–√2–√C y =x 27–√=+(r 2d 27–√)29=a 22+7a 2=a 21a >0a =1r =b =3a =3(x −1+(y −3=9)2)2(2)PA PB CA ⊥PA CB ⊥PB |CA |=|CB |=∴，，，由，得，又，且的最小值为到直线的距离，等于，∴．∴四边形面积的最小值为．20.【答案】解：把圆和圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线方程为．由于圆，即 圆：，故，半径，求得点到公共弦所在的直线的距离，故公共弦的长为．【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】把两个圆的方程相减求得公共弦所在的直线方程．利用点到直线的距离公式求出圆心到公共弦所在的直线的距离，再根据圆的半径，利用弦长公式求得公共弦长．【解答】解：把圆和圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线方程为．由于圆，即 圆：，CA ⊥PA CB ⊥PB |CA |=|CB |=3△PAC ≅△PBC =S 四边形PACB 2S △CAP =2×|CA |⋅|PA |=123|PA ||PA |==|PC −|CA |2|2−−−−−−−−−−−−√|PC −9|2−−−−−−−−√|PC |C x +y +1=0=|1+3+1|2–√52–√=3|PA |≥3=S 四边形PACB (−952–√)2−−−−−−−−−√314−−√2PACB 314−−√2:+−3x −3y +3=0C 1x 2y 2:+−2x −2y =0C 2x 2y 2x +y −3=0:+−2x −2y =0C 2x 2y 2C 2(x −1+(y −1=)2)22–√(1,1)C 2=r 22–√C 2d ==|1+1−3|2–√2–√22=2=−r 22d 2−−−−−−√2−12−−−−−√6–√C 2d r 2:+−3x −3y +3=0C 1x 2y 2:+−2x −2y =0C 2x 2y 2x +y −3=0:+−2x −2y =0C 2x 2y 2C 2(x −1+(y −1=)2)22–√==|1+1−3|–√故，半径，求得点到公共弦所在的直线的距离，故公共弦的长为．21.【答案】解：依题意直线不过原点，设直线的方程为，把点代入可得，联立解得或故直线的方程为或；设直线的方程为，把点代入可得，则 ，即，当且仅当，即时取等号，故，此时直线的方程为.【考点】基本不等式在最值问题中的应用直线的截距式方程【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意直线不过原点，设直线的方程为，把点代入可得，联立解得或故直线的方程为或；设直线的方程为，(1,1)C 2=r 22–√C 2d ==|1+1−3|2–√2–√22=2=−r 22d 2−−−−−−√2−12−−−−−√6–√(1)l l +=1x a y b P +=11a 2b +=1，1a 2b a +b =6，{a =3，b =3{a =2，b =4.l +=1x 3y 3+=1x 2y 4(2)l +=1(a >0,b >0)x a y b P +=11a 2b 1=+≥21a 2b 2ab −−−√ab ≥8=1a 2b a =2,b =4=ab ≥×8=4S △AOB 1212l +=1x 2y 4(1)l l +=1x a y bP +=11a 2b +=1，1a 2b a +b =6，{a =3，b =3{a =2，b =4.l +=1x 3y 3+=1x 2y 4(2)l +=1(a >0,b >0)x a y b =112把点代入可得，则 ，即，当且仅当，即时取等号，故，此时直线的方程为.22.【答案】设，由题意，＝，两边平方得＝，所以，所求点的轨迹方程为＝．①证明：设过椭圆的右顶点的直线的方程为＝，代入椭圆的方程＝，得＝，设，，得，所以＝＝＝，所以，②证明：设，，直线的方程为＝，代入椭圆的方程+，得＝，所以＝-，＝，从而＝＝＝•＝，因为，所以＝，代入整理得＝，所以原点到直线的距离＝＝，为定值．【考点】直线与椭圆结合的最值问题轨迹方程【解析】此题暂无解析P +=11a 2b 1=+≥21a 2b 2ab −−−√ab ≥8=1a 2ba =2,b =4=ab ≥×8=4S △AOB 1212l +=1x 2y 4P(x,y)(x ≥0)x +1(x ≥8)y 24x P C :y 54x (4,6)AB x my +4y 28x −4my −16y 27A(,)x 1y 1B(,)x 3y 2+x 1x 2y 4y 2(m +8)(m +4)+y 1y 2y 6y 2(1+)+8m(+)+16m 6y1y 2y 1y 24OA ⊥OB D(,)x 3y 3E(,)x 6y 4DE x ty +λ(3+6)+6tλy +3−48t 2y 2λ20+y 4y 4y 3y 4x 3x 4(t +λ)(t +λ)y 8y 4+tλ(+)+t 2y 2y 4y 3y 8λ2t 2+tλ(−7OD ⊥OE +x 3x 4y 7y 404λ248(+5)t 2DE d【解答】此题暂无解答。
人教A版高二上学期数学期末试卷【答案+解析】
人教A版高二上学期数学期末试卷一、选择题1．已知命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则下列叙述正确的是（）A．命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8≤0，则x＜﹣3B．命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0C．命题p的否命题是：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0D．命题p的逆否命题是真命题2．抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B．C．D．3．已知等比数列{a n}，a1＝1，，则a5＝（）A．B．C．D．4．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，，A＝45°，B＝60°，则a ＝（）A．B．2C．4 D．65．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．26．已知，，且，则x的值是（）A．6 B．5 C．4 D．37．若过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直，则m的值为（）A．2 B．0 C．10 D．﹣88．焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线标准方程是（）A．B．C．D．9．“x≠0”是“x＞0”的（）A．充分而不必要B．充分必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件10．直线l过抛物线y2＝4x的焦点且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＝6，则线段AB长等于（）A．10 B．8 C．6 D．411．抛物线y＝2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y＝x+m对称，且x1•x2＝﹣，则m等于（）A．B．2 C．D．312．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足：函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数）成立．若，b＝（ln2）•，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b二、填空题（本题包括4小题）13．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上异于顶点的一点，M在PF1上，且满足＝2，PO⊥F2M，O为坐标原点．则椭圆离心率e的取值范围．14．若函数e x f（x）（e＝2.71828是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为．①f（x）＝②f（x）＝③f（x）＝x3④f（x）＝x2+215．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为．16．给出下列命题：①直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m的方向向量＝（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l 的方向向量＝（0，1，﹣1），平面α的法向量＝（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为＝（0，1，3），＝（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1．其中真命题的是．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题17．已知双曲线的方程是16x2﹣9y2＝144．（1）求双曲线的实轴长和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差10 11 13 12 8 6x（℃）22 25 29 26 16 12就诊人数y（人）该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx+a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？19．如图，已知抛物线C：y2＝4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；（Ⅱ）若|AB|＝20，求直线l的方程．20．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．（1）当m为何值时，方程C表示圆．（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，且MN＝，求m的值．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E是BC中点．（1）求证：A1B∥平面AEC1；（2）在棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PDC⊥平面ABCD，AD＝PD＝2，PB＝AB＝6．（Ⅰ）证明：BD⊥PA；（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．参考答案一、选择题（本题包括12小题）1．已知命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则下列叙述正确的是（）A．命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8≤0，则x＜﹣3B．命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0C．命题p的否命题是：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0D．命题p的逆否命题是真命题【分析】根据四种命题之间的关系，对选项中的命题真假性进行判断即可．解：命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8＞0，则x＜﹣3，故A错误；命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0，故B、C错误；因为命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0是真命题，所以p的逆否命题也是真命题，D正确．故选：D．2．抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B．C．D．【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2＝2y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．解：∵抛物线，即x2＝2y中，p＝1，＝，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，），故选：B．3．已知等比数列{a n}，a1＝1，，则a5＝（）A．B．C．D．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a1＝1，，可得q2＝．即可得出a5＝．解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1＝1，，∴q2＝．则a5＝＝1×＝．故选：D．4．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，，A＝45°，B＝60°，则a ＝（）A．B．2C．4 D．6【分析】由已知利用正弦定理即可解得a的值．解：∵，A＝45°，B＝60°，∴由正弦定理，可得：a＝＝＝4．故选：C．5．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．2【分析】先确定抛物线与椭圆的焦点坐标，根据抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，可建立方程，从而可求m的值解：抛物线的焦点坐标为椭圆，∵a2＝7，b2＝3，∴c2＝a2﹣b2＝4，∴椭圆的左焦点坐标为（﹣2，0）∵抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，∴∴故选：A．6．已知，，且，则x的值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据题意，由向量、的坐标，结合空间向量的数量积坐标计算公式可得•＝（﹣3）×1+2x+5×（﹣1）＝2x﹣8＝4，计算可得x的值，即可得答案．解：根据题意，，，若，则有•＝（﹣3）×1+2x+5×（﹣1）＝2x﹣8＝4，解可得x＝6，故选：A．7．若过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直，则m的值为（）A．2 B．0 C．10 D．﹣8【分析】求出AB所在直线的斜率，然后利用过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直求得m的值．解：∵A（﹣2，m），B（m，4），∴，直线2x+y﹣1＝0的斜率为﹣2，由过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直，得，解得：m＝2．故选：A．8．焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线标准方程是（）A．B．C．D．【分析】由虚轴长是12求出半虚轴b，根据双曲线的性质c2＝a2+b2以及离心率然，求出a2，写出双曲线的标准方程．解：根据题意可知2b＝12，解得b＝6 ①又因为离心率e＝＝②根据双曲线的性质可得a2＝c2﹣b2 ③由①②③得，a2＝64双所以满足题意的双曲线的标准方程为：故选：D．9．“x≠0”是“x＞0”的（）A．充分而不必要B．充分必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：当x＝﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立，即充分性不成立，若x＞0，则x≠0一定成立，即必要性成立，故“x≠0”是“x＞0”的必要不充分条件，故选：C．10．直线l过抛物线y2＝4x的焦点且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＝6，则线段AB长等于（）A．10 B．8 C．6 D．4【分析】根据抛物线定义，把|AB|转化为点A、B到准线的距离之和，由梯形的中位线性质可求．解：由抛物线定义知，|FB|＝|BB′|，|AA′|＝|AF|，准线x＝﹣1，设M为AB中点，M（3，y），MN⊥A′B′，垂足为N点，如图所示：则|AB|＝（|AF|+|BF|）＝（|AA′|+|BB′|）＝2|MN|＝2[3﹣（﹣1）]＝8，故选：B．11．抛物线y＝2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y＝x+m对称，且x1•x2＝﹣，则m等于（）A．B．2 C．D．3【分析】先利用条件得出A、B两点连线的斜率k，再利用A、B两点的中点在直线y＝x+m 求出关于m以及x2，x1的方程，再与已知条件联立求出实数m的值．解：由条件得A（x1，y1）、B（x2，y2）两点连线的斜率k＝，而y2﹣y1＝2（x22﹣x12）①，得x2+x1＝﹣②，且（，）在直线y＝x+m 上，即＝+m，即y2+y1＝x2+x1+2m③又因为A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在抛物线y＝2x2上，所以有2（x22+x12）＝x2+x1+2m，：即2[（x2+x1）2﹣2x2x1]＝x2+x1+2m④，把①②代入④整理得2m＝3，解得m＝故选：A．12．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足：函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数）成立．若，b＝（ln2）•，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【分析】由导数性质推导出当x∈（﹣∞，0）或x∈（0，+∞）时，函数y＝xf（x）单调递减．由此能求出结果．解：∵函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，∴y＝f（x）关于y轴对称，∴函数y＝xf（x）为奇函数．∵[xf（x）]'＝f（x）+xf'（x），∴当x∈（﹣∞，0）时，[xf（x）]'＝f（x）+xf'（x）＜0，函数y＝xf（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，函数y＝xf（x）单调递减．∵，，，，∴a＞b＞c．故选：A．二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共计20分）13．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上异于顶点的一点，M在PF1上，且满足＝2，PO⊥F2M，O为坐标原点．则椭圆离心率e的取值范围（，1）．【分析】直接利用圆锥曲线的定义的应用和不等式的应用求出结果．解：设点P（x0，y0），M（x M，y M），由于满足＝2，PO⊥F2M，所以．整理得，故：，即．联立消去y0，得到．解得或，由于﹣a＜x0＜a，所以，所以0＜a2﹣ac＜ac，解得e，故椭圆的离心率为（）．故答案为：（）14．若函数e x f（x）（e＝2.71828是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①④．①f（x）＝②f（x）＝③f（x）＝x3④f（x）＝x2+2【分析】根据题意，对函数y＝e x f（x）求导，分析可得若函数f（x）具有M性质，必有f（x）+f′（x）＞0在f（x）的定义域上恒成立，据此分析所给的四个函数，验证f （x）+f′（x）＞0是否成立，综合即可得答案．解：根据题意，y＝e x f（x），其导数y′＝（e x）′f（x）+e x f′（x）＝e x[f（x）+f′（x）]，若函数f（x）具有M性质，必有y′≥0在函数f（x）的定义域上恒成立，必有f（x）+f′（x）＞0在f（x）的定义域上恒成立，据此分析所给的四个函数：对于①，f（x）＝＝（）x，其导数f′（x）＝（）x ln＝﹣ln2×，此时f （x）+f′（x）＝﹣ln2×＝（1﹣ln2）＞0，具有M性质，符合题意；对于②，f（x）＝＝（）x，其导数f′（x）＝（）x ln＝﹣ln3×，此时f （x）+f′（x）＝﹣ln3×＝（1﹣ln3）＜0，不具有M性质，不符合题意；对于③，f（x）＝x3，其导数f′（x）＝3x2，此时f（x）+f′（x）＝x3+3x2＝x2（x+3），不能满足f（x）+f′（x）＞0在f（x）在R上恒成立，不具有M性质，不符合题意；对于④，f（x）＝x2+2，其导数f′（x）＝2x，此时f（x）+f′（x）＝x2+2+2x＝（x+1）2+1＞0，具有M性质，符合题意；综合可得：具有M性质的函数为：①④；故答案为：①④．15．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为．【分析】直接利用椭圆的定义的应用求出结果．解：根据椭圆的定义，知：|PF1|+|PF2|＝10，由于PF1⊥PF2，所以，故|PF1|•|PF2|＝42，所以，所以，解得d＝，故答案为：16．给出下列命题：①直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m的方向向量＝（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量＝（0，1，﹣1），平面α的法向量＝（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为＝（0，1，3），＝（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1．其中真命题的是①④．（把你认为正确命题的序号都填上）【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m；②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α；③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β；④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值．解：对于①，∵＝（1，﹣1，2），＝（2，1，﹣），∴•＝1×2﹣1×1+2×（﹣）＝0，∴⊥，∴直线l与m垂直，①正确；对于②，＝（0，1，﹣1），＝（1，﹣1，﹣1），∴•＝0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）＝0，∴⊥，∴l∥α或l⊂α，②错误；对于③，∵＝（0，1，3），＝（1，0，2），∴与不共线，∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴＝（﹣1，1，1），＝（﹣1，1，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，∴，即；则u+t＝1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④．故答案为：①④．三、解答题（10+12+12+12+12+12＝70分）17．已知双曲线的方程是16x2﹣9y2＝144．（1）求双曲线的实轴长和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．【分析】（1）利用已知条件化简双曲线方程，然后求解即可．（2）利用双曲线的定义，结合已知条件，通过余弦定理转化求解即可．解：（1）由题知：，a＝3，b＝4，则长轴长为6，渐近线方程是y＝x．（2）||PF1|﹣|PF2||＝6，且|PF1|•|PF2|＝32，则cos∠F1PF2＝＝＝0．故∠F1PF2＝90°18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差10 11 13 12 8 6x（℃）22 25 29 26 16 12就诊人数y（人）该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx+a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？【分析】（Ⅰ）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果．（Ⅱ）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．（Ⅲ）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，设抽到相邻两个月的数据为事件A，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62＝15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，∴P（A ）＝＝；（Ⅱ）由数据求得＝11，＝24，由公式求得＝＝＝，再由＝﹣b，求得＝﹣，∴y关于x的线性回归方程为＝x﹣，（Ⅲ）当x＝10时，＝，|﹣22|＝＜2，当x＝6时，＝，|﹣12|＝＜2，∴该小组所得线性回归方程是理想的．19．如图，已知抛物线C：y2＝4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；（Ⅱ）若|AB|＝20，求直线l的方程．【分析】（I）利用“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式即可得出；（II）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），与抛物线方程联立化为k2x2﹣（4+2k2）x+k2＝0，得到根与系数的关系，利用弦长公式|AB|＝x1+x2+p即可得到k．解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，2），则，，．由，，可得（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），∴4k l＝4，解得k l＝1．由y2＝4x得焦点F（1，0）．∴直线l的方程为：y＝x﹣1．（II）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），联立化为k2x2﹣（4+2k2）x+k2＝0，∴．∵|AB|＝x1+x2+p＝，解得k＝．∴直线l的方程为．20．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．（1）当m为何值时，方程C表示圆．（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，且MN＝，求m的值．【分析】（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，应有5﹣m＞0．（2）先求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，利用弦长公式求出m的值．解：（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，显然，当5﹣m＞0时，即m＜5时，方程C表示圆．（2）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，圆心C（1，2），半径，则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4＝0 的距离为，∵，有，∴，解得m＝4．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E是BC中点．（1）求证：A1B∥平面AEC1；（2）在棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）连结A1C交AC1于点O，连结EO，推导出EO∥A1B，由此能证明A1B∥平面AEC1．（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）连结A1C交AC1于点O，连结EO，∵ACC1A1是正方形，∴O为A1C的中点，又E为CB的中点，∴EO∥A1B，∵EO⊂平面AEC1，A1B⊄平面AEC1，∴A1B∥平面AEC1．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（1，1，0），设M（0，0，m），（0≤m≤2），则＝（﹣2，0，m﹣2），＝（1，﹣1，﹣2），∵B1M⊥C1E，∴＝﹣2﹣2（m﹣2）＝0，解得m＝1，∴M（0，0，1），＝（1，1，﹣1），＝（0，2，1），设平面MEC1的法向量＝（x，y，z），则，取y＝﹣1，得＝（3，﹣1，2），∵AC⊥平面ABB1A1，∴取平面ABB1A1的法向量为＝（0，2，0），∴cos＜＞＝＝﹣，∴平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PDC⊥平面ABCD，AD＝PD＝2，PB＝AB＝6．（Ⅰ）证明：BD⊥PA；（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取PA的中点M，连结DM，BM，推导出DM⊥PA，BM⊥PA，从而PA⊥平面BDM，由此能证明BD⊥PA．（Ⅱ）过点P作PO⊥DC于点O，连结AO，交BD于H，推导出PO⊥平面ABCD，从而PO⊥BD，进而BD⊥平面PAO，以D为坐标原点，DA，DC所在的直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取PA的中点M，连结DM，BM．由AD＝PD，得DM⊥PA，由PB＝AB，得BM⊥PA，∵DM∩BM＝M．∴PA⊥平面BDM．∵BD⊂平面BDM，∴BD⊥PA．解：（Ⅱ）在平面PDC中，过点P作PO⊥DC于点O，连结AO，交BD于H．∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝DC，∴PO⊥平面ABCD．∴PO⊥BD．由（1）及PA∩PO＝P，∴BD⊥平面PAO，∵AO⊂平面PAO，∴BD⊥AO在Rt△BAD中，tan∠ADB＝＝，即∠ADB＝60°．∴AH＝PH＝AD•sin60°＝3，DH＝AD cos60°＝．在Rt△DHO中，HO＝DH tan30°＝1，DO＝2．∴PO＝＝2．以D为坐标原点，DA，DC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），P（0，2，2），B（2，6，0），C（0，6，0）．＝（0，﹣4，2），＝（﹣2，﹣4，2）．设平面PBC的法向量是＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，）．设直线AP与平面PBC所成角为θ，又＝（2，﹣2，﹣2），则sinθ＝|cos＜＞|＝＝．∴直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．。
2022-2023学年人教A版高二上数学月考试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：108 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1. 如图的平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则 A.B.C.D.2. 已知四棱柱的底面四边形为菱形，且平面，若，，则直线与平面所成角的正切值为( )A.B.C.D.3. 已知抛物线过点，其准线与轴交于点，直线与抛物线的另一个交点为，若，则实数为（ ）A.ABCD −A 1B 1C 1D 1M BB 1N DD 1BM =B 12B 1N =D D 113D 1=x +y +z MN −→−AB −→−AD −→−AA 1−→−x +y +z =()17162332ABCD −A 1B 1C 1D 1A ⊥A 1ABCD ∠BCD =120∘A =AB A 1BD 1ABB 1A 1239−−√13226−−√1339−−√1326−−√13=2px(p >0)y 2A (,)122–√x B AB M =λMB −→−AB −→−λ131B.C.D.4. 已知正方体的体积为，点在线段上（点异于，两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段的取值范围为（ ）A.B.C.D.5. 正六边形中，，，设，为一组基底，则可以用，表示为（ ）A.B.C.D.6. 如图，甲站在水库底面的点处，乙站在水拟斜面上的点处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从，到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲、乙两人相距（ ）A.B.C.1232ABCD −A 1B 1C 1D 11M BC M B C N CC 1AMN ABCD −A 1B 1C 1D 1BM ABCDEF =FH −→−13HE −→−−2=2−EC −→−BD −→−GB −→−CG −→−=AB −→−e 1→=AF −→−e 2→HG −→−e 1→e 2→+34e 1→23e 2→+23e 1→53e 2→+23e 1→76e 2→+1712e 1→34e 2→D C 120∘D C DA =30m CB =40m AB =20 m 3–√70 m70 m3–√90 m90 m3–√D.7. 在长方体中，，点为的中点,则异面直线与所成角的正切值为( )A.B.C.D.8. 已知向量，向量与向量的夹角为，且，则（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）9. 若，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则10. 已知，是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有( )A.90 m3–√ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =4，AD =A =2A 1P C AP CD 15–√43–√42–√414=(1,1)m →n →m →3π4⋅=−1m →n →||=n →−112−2m n αβm ⊥αn //αm ⊥nn ⊥αn //m m ⊥αm ⊥αm//βα⊥βα⊥βm//αm ⊥βa →b →π3c →(−)⋅(−)=0a →c →b →c →|+|=1a →b →−|=1→B.C.与不可能垂直D.11. 已知，，分别是三边，，的中点，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D.12. 长方体中， ，点在线段上运动，则下列命题正确的是( )A.直线与平面所成的角为B.直线和平面平行C.三棱锥的体积为D.二面角所成的角为定值卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13. 如图，正方体中，点，是上的两个三等分点，点，是上的两个三等分点，点，，分别为， 和的中点，点是上的一个动点，下面结论中正确的是________.①与异面且垂直； ②与相交且垂直；③平面； ④，，，四点共面．|−|=1a →b →+a →b →c →||<c →3–√D E F △ABC AB BC CA ABCD −A 1B 1C 1D 12BC =2B =AB =2B 1P AD 1C B 1BPC 1π3A 1B 1BPC 1−BP B 1C 116P −B −D C 1ABCD −A 1B 1C 1D 1E F BC G H A 1D 1M N P AB C 1D 1CD Q A 1M FH AC 1FG AC 1Q //D 1EFN B 1H F P14.如图，三棱锥的底面是等腰直角三角形，＝，且＝＝＝，＝，则点到平面的距离等于________．15. 在三角形中，若，且，则________.16. 已知非零向量、、、满足：，、、为不共线三点，给出下列命题：①若，则、、、四点在同一平面上；②当时，若，，，，则的最大值为；③已知正项等差数列，若，，，且、、三点共线，但点不在直线上，则的最小值为；④若，，则、、三点共线且分所成的比一定为．其中你认为正确的所有命题的序号是________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17. 已知空间三点，，，设，．（1）求和的夹角的余弦值；（2）若向量与互相垂直，求实数的值；（3）若向量与共线，求实数的值． 18. 如图，在正四面体中，点，分别是，的中点，点，分别在，上，P −ABC ABC ∠ACB 90∘PA PB AB PC C PAB ABC +=3AB −→−AC −→−AP −→−=x +y CP −→−AB −→−AC −→−x −y =OA −→−OB −→−OC −→−OD −→−=α+β+γ(α,β,γ∈R)OA −→−OB −→−OC −→−OD −→−B C D α=，β=，γ=−13212A B C D α>0,β>0,γ=2–√||=OA −→−3–√||=||=||=1OB −→−OC −→−OD −→−<，>=OB −→−OC −→−5π6<，>=<，>=OD −→−OB −→−OD −→−OC −→−π2α+β−6–√2–√(n ∈N ∗)a n α=a 2β=a 2009γ=0A B C O BC +1a 34a 20089α+β=1(αβ≠0)γ=0A B C A BC −→−λαβA(−2,0,2)B(−1,1,2)C(−3,0,4)=a →AB −→−=b →AC −→−a →b →θk +a →b →k −2a →b →k λ−a →b →−λa →b →λA −BCD E F AB BC G H CD AD且＝，＝．（1）求证：直线，必相交于一点，且这个交点在直线上；（2）若＝，求点到平面的距离．19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，分别为，的中点，为棱上靠近点的三等分点， .若点在线段的延长线上，且，问：在棱上是否存在点，使得与垂直？请说明理由．求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20.如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.试用向量，，表示向量；若，，，求的值． 21. 如图，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，是的中点．（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离．DH AD DG CD EH FG BD AB 2B EFGH P −ABC PAC ⊥ABC D M AC DP N PC C PA =PC =AB =BC =2,AB ⊥BC (1)H BD DB =DH AP E HE BN (2)BMN ABC OABC 2=BD −→−DC −→−E AD =OA −→−a →=OB −→−b →=OC −→−c →(1)a →b →c →OE −→−(2)OA =OC =3OB =2∠AOC =∠BOC =∠AOB =60∘⋅OE −→−AC −→−ABC −A 1B 1C 1∠BAC =90∘AB =AC =2A =4A 1A 1ABC BC E D B 1C 1D ⊥A 1BC A 1B AC A 1C 122. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点．求直线与平面的距离；若，求二面角的平面角的余弦值．P −ABCD ABCD PA ⊥ABCD PA =AB =6–√E PB (1)AD PBC (2)AD =3–√A −EC −D参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1.【答案】B【考点】空间向量的加减法【解析】利用向量的三角形法则、向量的运算性质即可得出．【解答】解：∵，，，∴，∴，，，∴．故选：．2.【答案】C【考点】直线与平面所成的角【解析】由条件，以，分别为，轴，过作的平行线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间向量的相关知识求解即可.【解答】=−MN −→−AN −→−AM −→−=+AN −→−AD −→−23AA 1−→−=+AM −→−AB −→−12AA 1−→−=+−−MN −→−AD −→−23AA 1−→−AB −→−12AA 1−→−=−++AB −→−AD −→−16AA 1−→−x =−1y =1z =16x +y +z =16B OA −→−OB −→−y x O AA 1z O −xyz ABB 1A 1=1解：延长至，使得，连接，，故即为直线与平面所成角.不妨设，则，，而，故.故选．3.【答案】D【考点】直线与抛物线的位置关系平面向量的坐标运算【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系、向量的坐标运算．【解答】解：把点代入抛物线方程，得，解得，所以抛物线的方程为，则．设，则，．由，得解得或（舍去）．故选．4.【答案】B 1A 1E E =A 112A 1B 1BE E D 1∠BE D 1BD 1ABB 1A 1AB =2E ⊥D 1A 1B 1E =D 13–√BE =13−−√tan ∠BE ===D 1E D 1BE 3–√13−−√39−−√13C A (,)122–√2=2p ×12p =2=4x y 2B(−1,0)M (,)y 2M 4y M =(−,−)AB −→−322–√=(−1−,−)MB −→−y 2M 4y M =λMB −→−AB −→− −1−=−λ,y 2M 432−=−λ,y M 2–√λ=2λ=1DB【考点】点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】D【考点】平行向量的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A【考点】向量在几何中的应用点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】解：由于，所以=++DC −→−DA −→−AB −→−BC −→−|=(++DC −→−|2DA −→−AB −→−BC −→−)2=|+|+|+2(⋅+⋅+⋅)DA −→−|2AB −→−|2BC −→−|2DA −→−AB −→−AB −→−BC −→−DA −→−BC −→−=+(20++2×(0+0+30×40×cos )=49002–√)22∘，于是，故甲、乙两人相距．故选．7.【答案】A【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则, ,设异面直线与所成角为，则，=，，∴异面直线与所成角的正切值为.故选.8.【答案】B【考点】=+(20++2×(0+0+30×40×cos )=49003023–√)240260∘||=70DC −→−70 m A D DA x DC y DD z A(2,0,0)，P(0,4,1)，(0,4,2)，(0,0,2)C 1D 1=(−2,4,1)，AP −→−=(0,−4,0)C 1D 1−→−−AP C 1D 1θcos θ===|⋅|AP −→−C 1D 1−→−−||⋅||AP −→−C 1D 1−→−−16⋅421−−√421−−√sin θ=1−1621−−−−−−√5–√21−−√tan θ==sin θcos θ5–√4AP C 1D 15–√4A平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，由平面向量数量积的定义可得,，解得.故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）9.【答案】A,B,C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系【解析】由直线与平面垂直的性质判断；由直线与平面垂直的性质及判定定理判断；由直线与平面平行的性质及平面与平面垂直的判定判断；由直线与平面的位置关系判断．【解答】若，则垂直内的所有直线及平行于的所有直线，又，∴，故正确；若，则垂直于内的两条相交直线与，又，∴垂直于内的两条相交直线与，则，故正确；若，过作平面与相交，交线为，则，又，则，可得，即，故正确；若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故错误．10.【答案】B,C,D【考点】=(1,1)m →||==m →+1212−−−−−−√2–√⋅=||⋅||cos m →n →m →n →3π4=×||×(−)=−12–√n →2–√2||=1n →B A BCD m ⊥αm ααn //αm ⊥n A n ⊥αn αa b n //m m αa b m ⊥αB m//βm βn m//n m ⊥αn ⊥αβ⊥αα⊥βC α⊥βm//αm//βm ⊂βm βD平面向量数量积数量积表示两个向量的夹角向量的模数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】考察平面向量数量积的基本定义和运算.【解答】解：，，所以，故错误；，，所以，故正确；，，所以，即与不可能垂直，故正确；，由，可知，，故，其中为与夹角，故，，所以，故正确.故选.11.【答案】A,B,C,D【考点】向量的加法及其几何意义【解析】此题暂无解析A (+=+2⋅⋅+a →b →)2a →2a →b →b →2=2+2⋅cos ||⋅||=360∘a →b →|+|=a →b →3–√A B (−=−2⋅⋅+a →b →)2a →2a →b →b →2=2−2⋅cos ||⋅||=160∘a →b →|−|=1a →b →B C (−)(−)a →c →b →c →=⋅−(+)⋅+a →b →a →b →c →c →2=−(+)⋅+=012a →b →c →c →2(+)⋅=+>0a →b →c →c →212+a →b →c →C D A C +−(+)⋅c →212a →b →c →=|−cos θ⋅||⋅|+|+=0c →|2c →a →b →12||(||−cos θ)=−<0c →c →3–√12θc →+a →b →||<cos θc →3–√cos θ∈[−,]3–√3–√3–√||<c →3–√D BCD【解答】此题暂无解答12.【答案】B,D【考点】二面角的平面角及求法直线与平面所成的角命题的真假判断与应用空间中直线与平面之间的位置关系柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：对于，平面即平面，在长方体中，，，又，平面，平面，所以平面，故选项错误；对于，因为平面与面是同一平面，且，平面，平面，所以平面，故选项正确；对于，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，又因为，，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离即为点到该平面的距离，为定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项错误；对于，二面角所成的角就是二面角所成的角，即为定值，故选项正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13.【答案】①③④【考点】A BPC 1ABC 1D 1ABCD −A 1B 1C 1D 1C ⊥B B 1C 1C ⊥B 1C 1D 1B ∩=C 1C 1D 1C 1B ⊂C 1ABC 1D 1⊂C 1D 1ABC 1D 1C ⊥B 1ABC 1D 1B BPC 1ABC 1D 1//AB A 1B 1AB ⊂ABC 1D 1⊂A 1B 1ABC 1D 1//A 1B 1BPC 1C −BP B 1C 1P −BB 1C 1P ∈AD 1A //B D 1C 1A ⊂D 1BB 1C 1B ⊂C 1BB 1C 1A //D 1BB 1C 1A P 2−BP B 1C 113D P −B −D C 1−B −D D 1C 1BD平面与平面平行的判定直线与平面平行的判定空间中直线与直线之间的位置关系用向量证明垂直【解析】解：连接，，，，如图，∵，，即，又，∴平面.∵点，是上的两个三等分点，点，是上的两个三等分点，∴，∴平面.又平面，∴，故①正确；建立空间直角坐标系如图所示：设，则，，，.，，，故与不垂直，故②错误；连接，，取中点，连接，，，已知，，分别为，和的中点，∴平面平面，即平面平面.又平面，∴平面，故③正确；取靠近的三等分点，连接，，易得，∴，∴，∴，∴，∴，，，四点共面，故④正确．故答案为：①③④.【解答】解：连接，，，，如图，B A 1AB 1D C 1FH B ⊥A A 1B 1B ⊥BC A 1B ⊥A 1B 1C 1A ∩=B 1B 1C 1B 1B ⊥A 1ADC 1B 1E F BC G H A 1D 1B//FH A 1FH ⊥ADC 1B 1A ⊂C 1ADC 1B 1FH ⊥AC 1A =3A 1F(1,3,0)G(2,0,3)A(3,0,0)(0,3,3)C 1=(1,−3,3)FG −→−=(−3,3,3)AC 1−→−⋅=−3−9+9=−3≠0FG −→−AC 1−→−FG AC 1MP PD 1A 1B 1J JN CN JB M N P AB C 1D 1CD JNCB//DA A 1D 1EFN//DA A 1D 1Q ⊂D 1DA A 1D 1Q//D 1EFN B 1C 1C 1R NR HB 1△NR ∼△H C 1B 1A 1∠NR =∠H C 1A 1B 1∠NR =∠H C 1B 1C 1NR//HB 1PF//HB 1B 1H F P B A 1AB 1D C 1FH∵，，即，又，∴平面.∵点，是上的两个三等分点，点，是上的两个三等分点，∴，∴平面.又平面，∴.又过正方体中心，必不过正方体中心，与异面，故①正确；建立空间直角坐标系：设，则，，，.，，，故与不垂直，故②错误；连接，，取中点，连接，，，已知，，分别为，和的中点，∴平面平面，即平面平面.又平面，∴平面，故③正确；取靠近的三等分点，连接，，易得，∴，，∴，∴，∴，，，四点共面，故④正确．故答案为：①③④.14.【答案】【考点】点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析B ⊥A A 1B 1B ⊥BC A 1B ⊥A 1B 1C 1A ∩=B 1B 1C 1B 1B ⊥A 1ADC 1B 1E F BC G H A 1D 1B//FH A 1FH ⊥ADC 1B 1A ⊂C 1ADC 1B 1FH ⊥AC 1∵AC 1FH ∴FH AC 1A =3A 1F(1,3,0)G(2,0,3)A(3,0,0)(0,3,3)C 1=(1,−3,3)FG −→−=(−3,3,3)AC 1−→−⋅=−3−9+9=−3≠0FG −→−AC 1−→−FG AC 1MP PD 1A 1B 1J JN CN JB M N P AB C 1D 1CD JNCB//PM A 1D 1EFN//PM A 1D 1Q ⊂D 1PM A 1D 1Q//D 1EFN B 1C 1C 1R NR HB 1△NR ∽△H C 1B 1A 1∠NR =∠H C 1A 1B 1∴∠NR =∠H C 1B 1C 1NR//HB 1PF//HB 1B 1H F P【解答】此题暂无解答15.【答案】【考点】向量的线性运算性质及几何意义【解析】解：由，得，所以，所以.故答案为：.【解答】解：由，得，所以，所以.故答案为：.16.【答案】①③【考点】共线向量与共面向量空间向量的基本定理及其意义空间向量的夹角与距离求解公式【解析】①根据空间四点共面的充要条件若且，则、、、四点在同一平面上；可知①正确；②把两边平方，化成，即，利用基本不等式即可求得的最大1+=3=3(+)AB −→−AC −→−AP −→−AC −→−CP −→−=(+)−=−CP −→−13AB −→−AC −→−AC −→−13AB −→−23AC −→−x =,y =−1323x −y =11+=3=3(+)AB −→−AC −→−AP −→−AC −→−CP −→−=(+)−=−CP −→−13AB −→−AC −→−AC −→−13AB −→−23AC −→−x =,y =−1323x −y =11=α+β+γ(α,β,γ∈R)OA −→−OB −→−OC −→−OD −→−α+β+γ=1A B C D =α+β+γOA −→−OB −→−OC −→−OD −→−3=++2−αβα2β23–√=(α+β−(2+)αβ+2)23–√α+β4+23–√β=A C值为，，故可知②错；③根据，，，且、、三点共线，可得，利用等差数列的性质可得，利用基本不等式即可求得结果；④根据三点共线的充要条件可知且，则、、三点共线，而分所成的比一定为错，如点在线段的延长线上，且，，而此时的，因此错．【解答】解：①若，则、、、四点在同一平面上；①正确；②，两边平方得，，∴，当且仅当时等号成立，故②错；③若，，，且、、三点共线，∴，∴，则．③对．④若，，则、、三点共线，若点在线段的延长线上，且，，而，∴，∴，故④错故答案为①③．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17.【答案】解：，．，∴和的夹角的余弦值为．（2） ，∵向量与互相垂直，∴∴，或．（3） ，∵向量与共线，∴存在实数，使得即∴4+23–√α=a 2β=a 2009γ=0A B C +=1a 2a 2009+=1a 3a 2008=α+βOA −→−OB −→−OC −→−α+β=1A B C A BC −→−λαβA BC BA =43λ=−3=−αβ14α+β+γ=1A B C D =α+β+OA −→−OB −→−OC −→−2–√OD −→−3=++2−αβα2β23–√=(α+β−(2+)αβ+2≥(α+β−(2+)+2)23–√)23–√(α+β)24α+β≤4+23–√α=β=2+3–√α=a 2β=a 2009γ=0A B C +=1a 2a 2009+=1a 3a 2008+=(+)(+)≥5+4=91a 34a 20081a 34a 2008a 3a 2008α+β=1(αβ≠0)γ=0A B C A BC BA =43λ=−3=+=+OA −→−OB −→−BA −→−OB −→−43BC −→−=+(−)=−+OB −→−43OC −→−OB −→−13OB −→−43OC −→−α=−，β=1343=−αβ14==(1,1,0)a →AB −→−==(−1,0,2)b →AC −→−(1)cos θ===−||⋅||a →b →˙−1+0+0×2–√5–√10−−√10a →b →θ−10−−√10k +=(k −1,k,2)a →b →k −2=(k +2,k,−4)a →b →k +a →b →k −2a →b →(k +)⋅(k −2)=(k −1,k,2)⋅(k +2,k,−4)=(k −1)(k +2)+−8=2+k −10=0a →b →a →b →k 2k 2k =−52k =2λ−=(λ+1,λ,−2)a →b →−λ=(1+λ,1,−2λ)a →b →λ−a →b →−λa →b →μλ−=μ(−λ)a →b →a →b →(λ+1,λ,−2)=μ(1+λ,1,−2λ) λ+1=μ(λ+1)λ=μ−2=−2μλλ=1λ=−1∴，或．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式空间向量的数乘运算共线向量与共面向量【解析】（1）利用向量夹角公式即可得出；（2）利用向量垂直于数量积的关系即可得出；（3）利用向量共线定理即可得出．【解答】解：，．，∴和的夹角的余弦值为．（2） ，∵向量与互相垂直，∴∴，或．（3） ，∵向量与共线，∴存在实数，使得即∴∴，或．18.【答案】证明：因为，，所以，故，，，四点共面，必相交于一点，设＝，因为，所以平面，同理：平面，而平面平面＝，故，即直线，必相交于一点；连结，，正四面体的棱长为，则该正四面体的高为，所以到平面的距离为，λ=1λ=−1==(1,1,0)a →AB −→−==(−1,0,2)b →AC −→−(1)cos θ===−||⋅||a →b →˙−1+0+0×2–√5–√10−−√10a →b →θ−10−−√10k +=(k −1,k,2)a →b →k −2=(k +2,k,−4)a →b →k +a →b →k −2a →b →(k +)⋅(k −2)=(k −1,k,2)⋅(k +2,k,−4)=(k −1)(k +2)+−8=2+k −10=0a →b →a →b →k 2k 2k =−52k =2λ−=(λ+1,λ,−2)a →b →−λ=(1+λ,1,−2λ)a →b →λ−a →b →−λa →b →μλ−=μ(−λ)a →b →a →b →(λ+1,λ,−2)=μ(1+λ,1,−2λ) λ+1=μ(λ+1)λ=μ−2=−2μλλ=1λ=−1E F G H FG EH ∩FG M M ∈EH M ∈ABD M ∈BCD ABD∩BCD BD M ∈BD EH FG EG BG 2E BFG＝，点，分别是，＝，在中，由余弦定理可得：，在等腰梯形中可得：到的距离为，而到的距离也为，所以的面积与的面积相等，由＝可得：＝，可得，故点到平面的距离为．【考点】平面的基本性质及推论点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】解：∵，为的中点，，∴，同理可证，∵平面平面，∴平面．∴，且∴可以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则从而∴∴，DH AD CD E F AB CF 1△CFG EFGH G EF G BF △BFG △BFG V E−BFG V B−EFG B EFGH (1)PA =PC D AC PD ⊥AC BD ⊥AC PAC ⊥ABC PD ⊥ABC PD ⊥AD PD ⊥BD.DA DB DPx,y,z A(,0,0),B(0,,0),C(−,0，0),2–√2–√2–√H(0,−,0），P(0,0,).2–√2–√M (0,0,),N (−,0,)2–√222–√32–√3=(0,−,),BM −→−2–√2–√2=(−,−，BN −→−22–√32–√),2–√3=(,，0),,=(−,0,)HA −→−2–√2–√AP −→−2–√2–√k (0≤k ≤1)−→−−→−设，则，∴ ，∵，∴，即，故不存在满足条件的点．设是平面的法向量，∴ 令，则，是平面的一个法向量．.∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【考点】两条直线垂直的判定用空间向量求平面间的夹角二面角的平面角及求法【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，为的中点，，∴，同理可证，∵平面平面，∴平面．∴，且∴可以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则从而∴∴，设，则，∴ ，∵，∴，即，故不存在满足条件的点．=k (0≤k ≤1)AE −→−AP −→−=+=+k =(1−k,1,k)HE −→−HA −→−AE −→−HA −→−AP −→−2–√⋅=(−,−,)⋅BN −→−HE −→−22–√32–√2–√3(1−k,1,k)2–√=2k −1030≤k ≤12k −≠0103⋅≠0BN −→−HE −→−E (2)=(x,y,z)n →BMN⋅=−y +z =0,n →BM −→−2–√2–√2⋅=−x −y +z =0，n →BN −→−22–√32–√2–√3z =4=(−1,2,4)n →=(0,0,)DP −→−2–√ABC cos ,n ==DP −→−⋅DP −→−n →||⋅||DP −→−n →421−−√21BMN ABC 421−−√21(1)PA =PC D AC PD ⊥AC BD ⊥AC PAC ⊥ABC PD ⊥ABC PD ⊥AD PD ⊥BD.DA DB DPx,y,z A(,0,0),B(0,,0),C(−,0，0),2–√2–√2–√H(0,−,0），P(0,0,).2–√2–√M (0,0,),N (−,0,)2–√222–√32–√3=(0,−,),BM −→−2–√2–√2=(−,−，BN −→−22–√32–√),2–√3=(,，0),,=(−,0,)HA −→−2–√2–√AP −→−2–√2–√=k (0≤k≤1)AE −→−AP −→−=+=+k =(1−k,1,k)HE −→−HA −→−AE −→−HA −→−AP −→−2–√⋅=(−,−,)⋅BN −→−HE −→−22–√32–√2–√3(1−k,1,k)2–√=2k −1030≤k ≤12k −≠0103⋅≠0BN −→−HE −→−E (x,y,z)→设是平面的法向量，∴ 令，则，是平面的一个法向量． .∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.20.【答案】解：因为，所以，所以.因为点为的中点，所以．由题意知，，，，所以 ．【考点】向量加减混合运算及其几何意义平面向量数量积【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，(2)=(x,y,z)n →BMN ⋅=−y +z =0,n →BM −→−2–√2–√2⋅=−x −y +z =0，n →BN −→−22–√32–√2–√3z =4=(−1,2,4)n →=(0,0,)DP −→−2–√ABC cos ,n ==DP −→−⋅DP −→−n →||⋅||DP −→−n →421−−√21BMN ABC 421−−√21(1)2=BD −→−DC −→−==(−)BD −→−13BC −→−13OC −→−OB −→−=(−)13c →b →=+=+(−)OD −→−OB −→−BD −→−b →13c →b →=+23b →13c →E AD =(+)=++OE −→−12OA −→−OD −→−12a →13b →16c →(2)⋅=a →c →92⋅=3a →b →⋅=3c →b →=−AC −→−c →a →⋅=(++)⋅(−)OE −→−AC −→−12a →13b →16c →c →a →=−++⋅+12a →216c →213a →c →⋅−⋅=−13b →c →13b →a →32(1)2=BD −→−DC −→−=(−)−→−1−→−1−→−−→−所以，所以.因为点为的中点，所以．由题意知，，，，所以 ．21.【答案】证明：（1）设为的中点，由题意得平面，∴．∵，∴．又，、平面故平面．…由，分别为、的中点，得，且，又，从而，且，∴为平行四边形．故，…又∵平面，∴平面． …（2）∵平面，平面，∴又为的中点，∴…∵，为中点，∴，∴，∴，∴…∴中边上的高为，∴，而，…设到平面的距离为由得，∴到平面的距离为．…【考点】点、线、面间的距离计算==(−)BD −→−13BC −→−13OC −→−OB −→−=(−)13c →b →=+=+(−)OD −→−OB −→−BD −→−b →13c →b →=+23b →13c →E AD =(+)=++OE −→−12OA −→−OD −→−12a →13b →16c →(2)⋅=a →c →92⋅=3a →b →⋅=3c →b→=−AC −→−c →a →⋅=(++)⋅(−)OE −→−AC −→−12a →13b →16c →c →a →=−++⋅+12a →216c →213a →c →⋅−⋅=−13b →c →13b →a →32E BC E ⊥A 1ABC E ⊥AE A 1AB =AC AE ⊥BC E ∩BC =E A 1E A 1BC ⊂BCA 1AE ⊥BC A 1D EB 1C 1BC DE //B B 1DE =B B1A //BE A 1A =BEA 1DE //A A 1DE =A A 1AED A 1D //AE A1AE ⊥BC A 1D ⊥A1BC A1E ⊥A 1ABC BC ⊂ABC E ⊥BCA 1E BC C =B A 1A 1∠BAC =90∘E BC AE =BE Rt △EA ≅Rt EB A 1A 1B =A =4A 1A1C =4A 1△AC A 1AC ==−(A 1C 2AC 2)2−−−−−−−−−−−−√−4212−−−−−−√15−−√=⋅2⋅=S △AC A 11215−−√15−−√=AC ⋅AB =⋅2⋅2=2S △ABC 1212E ===A 1−E A 1B 2B 2−−−−−−−−−−√−(422–√−−−−−−−√)214−−√B AC A 1C 1d=V −ABCA 1V B−ACA1d ===E ⋅A 1S △ABC S △AC A 12⋅14−−√15−−√2210−−−√15B AC A 1C 12210−−−√15直线与平面垂直的判定【解析】（1）设为的中点，推导出，，从而平面，再推导出为平行四边形，由此能证明平面．（2）推导出，，，由，能求出到平面的距离．【解答】证明：（1）设为的中点，由题意得平面，∴．∵，∴．又，、平面故平面．…由，分别为、的中点，得，且，又，从而，且，∴为平行四边形．故，…又∵平面，∴平面． …（2）∵平面，平面，∴又为的中点，∴…∵，为中点，∴，∴，∴，∴…∴中边上的高为，∴，而，…设到平面的距离为由得，∴到平面的距离为．…22.【答案】解：如图，以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.E BC E ⊥AE A 1AE ⊥BC AE ⊥BC A 1AED A 1D ⊥A 1BC A 1E ⊥BC A 1C =B A 1A 1AE =BE =V −ABC A 1V B−AC A 1B AC A 1C 1E BC E ⊥A 1ABC E ⊥AE A 1AB =AC AE ⊥BC E ∩BC =E A 1E A 1BC ⊂BCA 1AE ⊥BC A 1D EB 1C 1BC DE //B B 1DE =B B 1A //BE A 1A =BEA 1DE //A A 1DE =A A 1AED A 1D //AE A 1AE ⊥BC A 1D ⊥A 1BC A 1E ⊥A 1ABC BC ⊂ABC E ⊥BCA 1E BC C =B A 1A 1∠BAC =90∘E BC AE =BE Rt △EA ≅Rt EB A 1A 1B =A =4A 1A 1C =4A 1△AC A 1AC ==−(A 1C 2AC 2)2−−−−−−−−−−−−√−4212−−−−−−√15−−√=⋅2⋅=S △AC A 11215−−√15−−√=AC ⋅AB =⋅2⋅2=2S △ABC 1212E ===A 1−E A 1B 2B 2−−−−−−−−−−√−(422–√−−−−−−−√)214−−√B AC A 1C 1d=V −ABC A 1V B−AC A 1d ===E ⋅A 1S △ABC S △AC A 12⋅14−−√15−−√2210−−−√15B AC A 1C 12210−−−√15(1)A AB AD AP x y z A −xyz (,0,)–√–√设，则，，，．因此，，．则，，所以平面．又由，知平面，故直线与平面的距离为点到平面的距离，即为．设平面的法向量为，因为，，所以令，得，，所以．设平面的法向量为，因为，，所以令，得，所以．故，所以二面角的平面角的余弦值为．【考点】用空间向量求平面间的夹角点、线、面间的距离计算【解析】本题主要考查了点，线，面的距离计算．无【解答】解：如图，以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.D(0,a,0)B(,0,0)6–√C(,a,0)6–√P(0,0,)6–√E (,0,)6–√26–√2=(,0,)AE −→−6–√26–√2=(0,a,0)BC −→−=(,a,−)PC −→−6–√6–√⋅=0AE −→−BC −→−⋅=0AE −→−PC −→−AE ⊥PBC AD//BC AD//PBC AD PBC A PBC ||=AE −→−3–√(2)AEC =(,,)n 1−→x 1y 1z 1=(,0,)AE −→−6–√26–√2=(,,0)AC −→−6–√3–√ +=0,6–√2x 16–√2z 1+=0,6–√x 13–√y 1=−1x 1=y 12–√=1z 1=(−1,,1)n 1−→2–√EDC =(,,)n 2−→x 2y 2z 2=(,,−)EC −→−6–√23–√6–√2=(−,0,0)CD −→−6–√ +−=0,6–√2x 23–√y 26–√2z 2−=0,6–√x 2=z 22–√=1y 2=(0,1,)n 2−→2–√cos ， ==n 1−→n 2−→|⋅|n 1−→n 2−→||||n 1−→n 2−→6–√3A −EC −D 6–√3(1)A AB AD AP x y z A −xyz设，则，，，．因此，，．则，，所以平面．又由，知平面，故直线与平面的距离为点到平面的距离，即为．设平面的法向量为，因为，，所以令，得，，所以．设平面的法向量为，因为，，所以令，得，所以．故，所以二面角的平面角的余弦值为．D(0,a,0)B(,0,0)6–√C(,a,0)6–√P(0,0,)6–√E (,0,)6–√26–√2=(,0,)AE −→−6–√26–√2=(0,a,0)BC −→−=(,a,−)PC −→−6–√6–√⋅=0AE −→−BC −→−⋅=0AE −→−PC −→−AE ⊥PBC AD//BC AD//PBC AD PBC A PBC ||=AE −→−3–√(2)AEC =(,,)n 1−→x 1y 1z 1=(,0,)AE −→−6–√26–√2=(,,0)AC −→−6–√3–√ +=0,6–√2x 16–√2z 1+=0,6–√x13–√y 1=−1x 1=y 12–√=1z 1=(−1,,1)n 1−→2–√EDC =(,,)n 2−→x 2y 2z 2=(,,−)EC −→−6–√23–√6–√2=(−,0,0)CD −→−6–√ +−=0,6–√2x23–√y 26–√2z 2−=0,6–√x2=z 22–√=1y 2=(0,1,)n 2−→2–√cos ， ==n 1−→n 2−→|⋅|n 1−→n 2−→||||n 1−→n 2−→6–√3A −EC −D 6–√3。
2022-2023学年人教A版高二上数学期末考试(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学期末考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）1. 已知直线，：，若，则的值为（ ）A.B.C.D.或2. 已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知四面体的每条棱长都等于，点，，分别是棱，，的中点，则等于（ ）A.B.C.D.4. 已知椭圆，若长轴长为，离心率为，则此椭圆的标准方程为( )A.B.C.:3x +2ay −5=0l 1l 2(3a −1)x −ay −2=0//l 1l 2a −1660−16{}a n d n S n d >0+>2S 4S 6S 5ABCD 2E F G AB AD DC ⋅GE −→−GF −→−1−14−4C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2812+=1x 264y248+=1x 264y 216+=1x 216y 24=122D.5. 已知向量，则向量在向量方向上的投影为 A.B.C.D.6. 若直线与曲线有交点，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.7. 在同一直角坐标系中，反映直线与位置关系正确的是（ ）A.B.C.D.8. 从一个边长为的等边三角形开始，把三角形的每一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边三角形（如图），但要去掉与原三角形叠合的边，接着对此图形每一个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程．若按照上述规律，则第四个图形的周长是（ ）+=1x 216y 212=(−,1)，=(3,)a →3–√b →3–√b →a →()−3–√3–√−11y =kx +=1(x −)3–√2(|y|−1)2k [−,]3–√3–√[−1,1][−,]2–√22–√2[−,]3–√33–√3y =ax y =x +a 3143A.B.C.D.9. 设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（ ）A.，B.，C.，D.，10. 如图，在平行四边形中，，，点为的中点，若，则A.B.C.D.11. 下列说法正确的是（ ）A.椭圆上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为B.过双曲线焦点的弦中最短弦长为C.抛物线 上两点 则弦经过抛物线焦点的充要条件为D.若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切二、 多选题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）12. （5分） 如图所示，“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行．若用和分别表示椭圆轨道和的焦距，用和分别表示椭圆轨道和的长轴长，下列式子正确的是（ ）143320492569643{}a n n S n (−1+2019(−1)=1a 4)3a 4(−1+2019(−1)=−1a 2016)3a 2016=−2019S 2019>a 2016a 4=2019S 2019>a 2016a 4=−2019S 2019<a 2016a 4=2019S 2019<a 2016a 4ABCD AB =2AD =5–√F CD ⋅=0AF −→−DF −→−⋅=BF −→−AC −→−( )4321+=1x 2a 2y 2b 2−b 2a2−=1x 2a 2y 2b22b 2a =2px y 2A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2AB =x 1x 2p 24P F I P F II 2c 12c 2I II 2a 12a 2I IIA.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 抛物线上一个点（在轴上方）到焦点的距离是，此时点的坐标是________．14. 已知双曲线＝，过轴上点的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），直线交双曲线左支于点（为坐标原点），连接．若＝，＝，则该双曲线的渐近线方程为________．15. 已知圆，直线与圆相交于，两点，当钝角三角形的面积为时，则实数________．16. 如图，是边长为的等边三角形，是以为圆心，为半径的圆上的任意一点，则的最小值为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知数列的前项和 .求数列的通项公式；在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若________，求数列的前项和 .18. 如图，将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列四种说法：① 是等边三角形；② ；③+=+a 1c 1a 2c 2−=−a 1c 1a 2c 2<c 1a 1c 2a 2>c 1a 2a 1c 2=8x y 2P P x 8P 1(a >0,b >0)x P M N M MO Q O QN ∠MPO 120∘∠MNQ 150∘C :+−4x −2y −20=0x 2y 23x +4y −a =0C A B ABC 12a =△ABC 23–√P C 1⋅AP −→−BP −→−{}a n n =S n n 2(1){}a n (2)=b n 8n (⋅)a n a n+12=⋅b n a n 2n =⋅b n (−1)n S n {}b n n T n 1ABCD AC ADC ⊥ABC D −ABC △DBC AC ⊥BD AB ⊥CD AD BC C60∘；④直线和所成的角的大小为．其中所有正确的序号是( )A. ①③B.②④C.①②③D.①②④19. 在平面直角坐标系中动圆与圆外切，与圆内切.求动圆圆心的轨迹方程；直线过点且与动圆圆心的轨迹交于，两点．是否存在面积的最大值，若存在，求出的面积的最大值；若不存在，说明理由．20. 如图，已知抛物线的焦点为，过的两条动直线，与抛物线交出，，，四点，直线，的斜率存在且分别是，．若直线过点，求直线与轴的交点坐标；若，求四边形面积的最小值．21. 在直四棱柱中，底面为正方形，，，，分别是，，的中点．证明：平面平面；求直线与平面所成角的正弦值．22. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为且双曲线过点求双曲线的方程；若点 在双曲线上，（其中 ，求 的值．AB ⊥CD AD BC C 60∘xOy P M ：(x +1+=1)2y 2N ：(x −1+=9)2y 2(1)P (2)l E(−1，0)P A B △AOB △AOB x 2=2py(p >0)F(0,1)F AB CD A B C D AB CD (>0)k 1k 1k 2(1)BD (0,3)AC y (2)−k 1k 2=2ACBD ABCD −A 1B 1C 1D 1ABCD A =2AB =4A 1M N P AD DD 1CC 1(1)MNC//A P D 1(2)DP MNC F 1F 22–√P(4,−)10−−√(1)(2)M (3,m)m <0)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期末考试一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）1.【答案】D【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】根据两直线平行的条件可知，．从而可求出的值．【解答】解：∵，∴．即．解得或．故选．2.【答案】C【考点】等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】由要，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“”是“”的充要条件，选．3.【答案】A【考点】空间向量的数量积运算向量在几何中的应用【解析】3(−a)−2a(3a −1)=0a //l 1l 23(−a)−2a(3a −1)=06+a =0a 2a =0a =−16D +−2=10+21d −2(5+10d)=d S 4S 6S 5a 1a 1d >0+−2>0S 4S 6S 5+>2S 4S 6S 5+>2S 4S 6S 5d >0d >0+>2S 4S 6S 5C此题暂无解析【解答】解：取的中点，连接，，如图所示，四面体的每条棱长都等于，点，，分别是棱，，的中点，所以，，，且，所以平面，又平面，所以，又 所以，又，所以所以.故选.4.【答案】D【考点】椭圆的标准方程【解析】由椭圆的离心率为，长轴长为及联立方程组求解，，则椭圆的方程可求.【解答】解：椭圆，长轴长为，离心率为，所以，，，因为，所以，，所以椭圆的标准方程为.故选．5.【答案】A【考点】向量的投影BD M AM CM ABCD 2E F G AB AD DC GF =AC =112AM ⊥BD CM ⊥BD AM ∩CM =M BM ⊥AMC AC ⊂ACM BD ⊥AC EF//BD,EF ⊥AC AC//FG FG ⊥EF;⋅=(+)GE −→−GF −→−GF −→−FE −→−⋅=+GF −→−GF −→−2⋅=+0=1FE −→−GF −→−12A 128−=a 2b 2c 2a b C ：+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 28122a =8a =4=c a 12−=a 2b 2c 2c =2b =23–√C +=1x 216y 212D根据向量的数量积公式得到向量在方向上的投影为它们的数量积除以的模．【解答】解：向量，则向量在方向上的投影为：.故选．6.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式直线与圆相交的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：时，曲线方程为 ，时，曲线方程为．当直线与曲线相切时，，则的取值范围是，故选．7.【答案】C【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由得斜率为排除、，由与中同号知若递增，则与轴的交点在轴的正半轴上；若递减，则与轴的交点在轴的负半轴上，得到结果．【解答】解：由得斜率为排除、，由与中同号知若递增，则与轴的交点在轴的正半轴上；若递减，则与轴的交点在轴的负半轴上；故选．8.b →a →a →=(−,1)，=(3,)a →3–√b →3–√b →a →||==−a →−23–√1+3−−−−√3–√A y ≥0+=1(x −)3–√2(y −1)2y <0+=1(x −)3–√2(y +1)2y =kx k =±3–√k [−,]3–√3–√A y =x +a 1B D y =ax y =x +a a y =ax y =x +a y y y =ax y =x +a y y y =x +a 1B D y =ax y =x +a a y =ax y =x +a y y y =ax y =x +a y y CD【考点】数列的应用【解析】设曲线的边长分别为，边长个数为，设周长为，，，，选．【解答】解：设曲线的边长分别为，边长个数为，设周长为，，，，.故选．9.【答案】D【考点】数列的函数特性等差数列的性质等差数列的前n 项和【解析】由，，设，．即，化为，可得．即．再利用等差数列的性质与前项和公式即可得出．【解答】解：∵，，∴，设，，则，化为.∵，∴，∴，∴．∵，又，∴，即.∵，,,,a 1a 2a 3a 4,,,b 1b 2b 3b 4(n =1,1,2,3,4)S n =3,=3a 1b 1=×=1,==,==,=3,=3×4,=3×4,=3×4×4a 2a 113a 313a 213a 413a 319b 1b 2b 3b 4=9,=12,=16,=S 1S 2S 3S 4643D ,,,a 1a 2a 3a 4,,,b 1b 2b 3b 4(n =1,2,3,4)S n =3,=3a 1b 1=×=1,==,==a 2a 113a 313a 213a 413a 319=3,=3×4,=3×4×4,=3×4×4×4b 1b 2b 3b 4=9,=12,=16,=S 1S 2S 3S 4643D y −1+2016(−1)=1a 4)3a 4(−1+2016(−1)=−1a 2013)3a 2013−1=m a 4−1=n a 2013+2016m ++2016n =0m 3n 3(m +n)(+−mn +2016)=0m 2n 2m +n =0+=2a 4a 2013n (−1+2019(−1)=1a 4)3a 4(−1+2019(−1)=−1a 2016)3a 2016(−1+2019(−1)+(−1+2019(−1)=0a 4)3a 4a 2016)3a 2016−1=m a 4−1=n a 2016+2019m ++2019n =0m 3n 3(m +n)(+−mn +2019)=0m 2n 2+−mn +2019>0m 2n 2m +n =−1+−1=0a 4a 2016+=2a 4a 2016===2019S 20192019(+)a 1a 201922019(+)a 4a 20162(−1+2019(−1)=(−1)[(−1+2019]=1a 4)3a 4a 4a 4)2(−1+2019>0a 4)2−1>0a 4>1a 4(−1+2019(−1)=(−1)[(−1+2019]=−1a 2016)3a 2016a 2016a 2016)2(−1+2019>0)2又，∴，即，∴.故选.10.【答案】C【考点】平面向量数量积的运算数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由已知得到，以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出，，，，即可得到，，再利用向量的数量积运算即可得解.【解答】解：因为，所以.因为，所以.因为为的中点，所以.因为，所以.以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系.则，，，，所以，，所以.故选.11.【答案】A,C【考点】椭圆的标准方程双曲线的特性【解析】(−1+2019>0a 2016)2−1<0a 2016<1a 2016>1>a 4a 2016D AB ⊥DF A AF y AB x A (0,0)B (2,0)C (1,2)F (0,2)=(−2,2)BF −→−=(1,2)AC −→−⋅=0AF −→−DF −→−AF ⊥DF AB//DC AF ⊥DF F CD DF =FC =AB =112AD =5–√AF ===2A −DF D 22−−−−−−−−−−√5−1−−−−√A AB x AF y A (0,0)B (2,0)C (1,2)F (0,2)=(−2,2)BF −→−=(1,2)AC −→−⋅=−2×1+2×2=2BF −→−AC −→−C数形结合；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理． 直线和圆锥曲线相交带来的问题，只要联立方程，恰当利用韦达定理就可对四个选项做出判断．【解答】解：．正确；设椭圆的左右顶点分别为，，椭圆上除左右顶点以外的任意一点，①，又点在椭圆上， ，代入①，得，；．错误；设双曲线右焦点直线与双曲线右支相交于，，当直线斜率不存在时，则直线方程为，则．当直线斜率存在时，则直线方程为，联立，得，，得或，由焦半径公式可得,所以当直线与轴垂直时，的长为最小，即最小值为．特别的当直线斜率存在且为时，，所以最小值为或．．正确；充分性：当直线斜率存在时，设直线的方程为：,由，得，，又 ，，，或，直线方程为（舍）或，当时，．当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，又因为，所以，弦经过焦点；必要性：当直线经过抛物线的焦点时，设过焦点的直线方程为，代入，可得，A A(−a,0)B(a,0)P(m,n)∴⋅=⋅=k PA k PB nm +a nm −a n 2−m 2a 2∵P(m,n)∴+=1m 2a 2n 2b 2∴=(1−)n 2m 2b 2b 2∴⋅=−k PA k PB b 2a 2B −=1x 2a 2y 2b 2F(c,0)A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2AB AB x =c |AB|=2b 2a AB AB y =k(x −c) −=1x 2a 2y 2b 2y =k(x −c)(−)+2c x −−=0b 2a 2k 2x 2a 2k 2a 2k 2c 2a 2b 2 Δ>0+>0x 1x 2>0x 1x 2k >b a k <−b a |AB|=|AF|+|BF|=e (+)−2a x 1x 2=⋅−2a =−2a =−2a >−2a =c a 2c a 2k 2−a 2k 2b 22ac 2k 2−a 2k 2b 22ac 2−a 2b 2k 22c 2a 2b2aAB x |AB|2b 2a AB 0|AB|=2a |AB|2b 2a 2a C AB AB y =kx +b {y =kx +b=2px y 2+(2bk −2p)x +=0k 2x 2b 2∴⋅=x 1x 2b 2k 2∵=2px(p >0)y 2⋅=x 1x 2p 24∴=b 2k 2p 24∴k =2b p k =−2b p ∴AB y =x +b 2b p y =−x +b 2b p y =0x =p 2AB AB x =x 1=x 1x2=x 1x 2p 24==x 1x 2p 2∴= x 1x 2p 24AB AB F (,0)p 2AB x =my +p 2=2px y 2−2pmy −=0y 2p 2==2222由韦达定理得，，， 弦经过焦点． 抛物线上两点，，则弦经过抛物线焦点的充要条件为；．错误；当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线和抛物线是相交关系．故选．二、 多选题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）12.【答案】B,D【考点】命题的真假判断与应用椭圆的应用椭圆的标准方程【解析】根据图象可知，，进而根据基本不等式的性质分别进行判断即可．可知；，进而判断①④不正确．③正确；根据，可知；【解答】解：由图可知，，∴，∴不正确，∵，，∴，∴正确．，可得，，即，∵，∴，∴正确；此时，∴不正确．故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】抛物线的性质【解析】根据抛物线可知，准线方程为，进而根据抛物线的定义可知点到其焦点的距离等于点到其准线的距离，求得点的横坐标，代入抛物线方程即可求得纵坐标．【解答】=−y 1y 2p 2===x 1x 2y 21y 224p 2()y 1y 224p 2p 24∴AB x =x 1x 2p 24∴=2px y 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2AB =x 1x 2p 24D AC >a 1a 2>c 1c 2+>+a 1c 1a 2c 2>c 1a 1c 2a 2−=|PF |a 1c 1−=|PF |a 2c 2−=−a 1c 1a 2c 2>a 1a 2>c 1c 2+>+a 1c 1a 2c 2A −=|PF |a 1c 1−=|PF |a 2c 2−=−a 1c 1a 2c 2B +=+a 1c 2a 2c 1(+=(+a 1c 2)2a 2c 1)2−+2=−+2a 21c 21a 1c 2a 22c 22a 2c 1+2=+2b 21a 1c 2b 22a 2c 1>b 1b 2>c 1a 2a 1c 2D >c 1a 1c 2a 2C BD (6,4)3–√=8x y 2p =4x =−2P P x =−2P =8x2解：根据抛物线，得，根据抛物线的定义可知点到其焦点的距离等于点到其准线的距离，则可得点的横坐标为，把代入抛物线方程，解得．因为在轴上方，所以点的坐标是．故答案为：．14.【答案】＝【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】或【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】利用圆心到直线距离与弦长、半径之间的关系表示出弦长和距离，三角形的面积用距离和弦长表示，最后用点到直线的距离公式求解未知数．【解答】解：设圆心到直线的距离为，直线被圆所截的弦长为，则；由圆的方程得知圆心为，半径，所以；所以，联立解出，或，；因为三角形为钝角三角形，所以，则．因为，所以或 ．故答案为：或．16.【答案】=8x y 2p =4P P x =−2P x =6x =6y =±43–√P x P (6,4)3–√(6,4)3–√y ±x−525d d l =dl S △ABC 12(2,1)r =5=25−()l 22d 2⋅=d 2()l 22122=9d 2(=16l 2)2=16d 2(=9l 2)2ABC <d 2()l 22=9d 2d ==3|3×2+4×1−a|+3242−−−−−−√a =−5a =25−5251【考点】向量的线性运算性质及几何意义平面向量数量积的运算相等向量与相反向量【解析】根据是边长为的等边三角形，算出，分别将和分解为以、和为基向量的式子，将数量积展开，化简整理得，最后研究的大小与方向，可得的最大、最小值，最终得到的取值范围．【解答】解：∵，，∴.∵，，∴.∵，∴.∵是边长为的等边三角形，∴向量是与垂直且方向向上，长度为的一个向量，由此可得，点在圆上运动，当与共线反向时，取最小值，且这个最小值为，故的最小值为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：依题意，当时， ,当时，，当时，也满足上式，∴，.选条件①：由可得：，∴.选条件②：由可得 ，则,△ABC 23–√⋅=6AC −→−BC −→−AP −→−BP −→−AC −→−BC −→−CP −→−⋅AP −→−BP −→−⋅=7+(+)AP −→−BP −→−CP −→−AC −→−BC −→−+AC −→−BC −→−(+)CP −→−AC −→−BC −→−⋅AP −→−BP −→−==2|AC |−→−−−|BC |−→−−−3–√∠ACB =60∘⋅=2⋅2cos =6AC −→−BC −→−3–√3–√60∘=+AP −→−AC −→−CP −→−=+BP −→−BC −→−CP −→−⋅=(+)(+)AP −→−BP −→−AC −→−CP −→−BC −→−CP −→−=⋅+(+)+AC −→−BC −→−CP −→−AC −→−BC −→−CP −→−2=1|CP |−→−−−⋅=6+(+)+1AP −→−BP −→−CP −→−AC −→−BC −→−=7+(+)CP −→−AC −→−BC −→−△ABC 23–√+AC −→−BC −→−AB 6P C CP −→−+AC −→−BC −→−(+)CP −→−AC −→−BC −→−−6⋅AP −→−BP −→−7−6=11(1)n =1==1a 1S 1n ≥2=−=−=2n −1a n S n S n−1n 2(n −1)2n =1=1a 1=2n −1a n n ∈N ∗(2)(1)=b n 8n (⋅)a n a n+12=8n (2n −1)2(2n +1)2=−1(2n −1)21(2n +1)2=++⋯+T n b 1b 2b n =−+−+112132132152⋯+−1(2n −1)21(2n +1)2=1−1(2n +1)2(1)=⋅=(2n −1)b n a n 2n 2n =1×2+3×+5×+T n 2223⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)⋅2n−12n 2=1×+3×+5×+234n+1,两式相减，可得： ，∴.选条件③：由可得 .当为偶数时，为奇数，，当为奇数时，为偶数，，综上所述，可得.【考点】数列递推式等差数列的通项公式数列的求和【解析】【解答】解：依题意，当时， ,当时，，当时，也满足上式，∴，.选条件①：由可得：，∴.选条件②：由可得 ，则,,两式相减，可得：，2=1×+3×+5×+T n 222324⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)2n 2n+1−=2+2×+2×+T n 2223⋯+2⋅2n −(2n −1)2n+1=2+−(2n −1)⋅8−2n+21−22n+1=−6−(2n −3)⋅2n+1=6+(2n −3)⋅T n 2n+1(1)=⋅b n (−1)n =⋅S n (−1)n n 2(i)n n −1=++⋯+T n b 1b 2b n=−+−+12223242⋯−+(n −1)2n 2=(−)+(−)+⋯+[−]22124232n 2(n −1)2=3+7+⋯+2n −1=(3+2n −1)n 22=n (n +1)2(ii)n n −1=−=−=T n T n−1n 2n (n −1)2n 2−n (n +1)2=⋅T n (−1)n n (n +1)2(1)n =1==1a 1S 1n ≥2=−=−=2n −1a n S n S n−1n 2(n −1)2n =1=1a 1=2n −1a n n ∈N ∗(2)(1)=b n 8n (⋅)a n a n+12=8n (2n −1)2(2n +1)2=−1(2n −1)21(2n +1)2=++⋯+T n b 1b 2b n =−+−+112132132152⋯+−1(2n −1)21(2n +1)2=1−1(2n +1)2(1)=⋅=(2n −1)b n a n 2n 2n =1×2+3×+5×+T n 2223⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)⋅2n−12n 2=1×+3×+5×+T n 222324⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)2n 2n+1−=2+2×+2×+T n 2223⋯+2⋅2n −(2n −1)2n+1=2+−(2n −1)⋅8−2n+21−22n+1=−6−(2n −3)⋅2n+1=6+(2n −3)⋅n+1∴.选条件③：由可得 .当为偶数时，为奇数，，当为奇数时，为偶数，，综上所述，可得.18.【答案】D【考点】两条直线垂直的判定异面直线及其所成的角【解析】①因为 取中点，连接，，则，因为平面 平面，平面平面 ，所以 平面，所以 所以 ，故①正确；对于②，取的中点，连接，则，因为 又因为 ，所以 平面，又因为平面，所以 ；对于③可以采用反证法进行否定；对于④，以为坐标圆的建立空间坐标系，转化成向量的夹角处理．【解答】解：过作于，连接，由题意知：，∵平面平面，∴平面，∴，∴，即为等边三角形，①正确；∵为的中点，，∴，∴平面，平面，∴，②正确；假设.又因为，，所以平面，因为平面，所以，又知道，，所以 平面，这与空间中过一点有且只有一条直线与一个平面垂直矛盾，故③错．建立空间直角坐标系如图：=6+(2n −3)⋅T n 2n+1(1)=⋅b n (−1)n =⋅S n (−1)n n 2(i)n n −1=++⋯+T n b 1b 2b n=−+−+12223242⋯−+(n −1)2n 2=(−)+(−)+⋯+[−]22124232n 2(n −1)2=3+7+⋯+2n −1=(3+2n −1)n 22=n (n +1)2(ii)n n −1=−=−=T n T n−1n 2n (n −1)2n 2−n (n +1)2=⋅T n (−1)n n (n +1)2CD =BC AC E BE DE DE ⊥AC,BE ⊥AC,DE =BE =2–√2ACD ⊥ABC ADC∩ABC =AC DE ABC DE ⊥BE BD ==1D +B E 2E 2−−−−−−−−−−√AC E BE DE BE ⊥AC,DE ⊥AC DE ∩BE =E AC ⊥BDE BDC BDE AC ⊥BD E D DO ⊥AC O BO DO =BO =2–√2ADC ⊥ABC DO ⊥ABC DO ⊥BO BD =1△BCD O AC AB =BC BO ⊥AC AC ⊥BOD BD ⊂BOD AC ⊥BD AB ⊥CD AB ⊥BC BC ∩CD =C AB ⊥BCD BD ⊂BCD AB ⊥BD AC ⊥BD AB ∩AC =A BD ⊥ABC (−,,0)−→−–√–√(,0,)−→−–√–√则，，∴，，∴异面直线与所成的角是，∴④正确．综上，正确的序号为：①②④．故选19.【答案】解：设点，动圆的半径为，由题意知，，，∴．由椭圆定义可知，动圆圆心在以，为焦点的椭圆上，∴，，∴，轨迹方程为．由于圆与圆内切于点，则．因此，动圆圆心的轨迹方程为．因为直线过点，若直线的方程为，显然构成不了，故舍去；故可设直线的方程为，则整理得，由，设点，，则，，则，因为，设，则，则 ，设，，所以在区间上为增函数，所以，所以，当且仅当时取等号，即，=(−,,0)AB −→−2–√22–√2=(,0,)CD −→−2–√22–√2cos <AB −→−>=−CD −→−12AB CD 60∘D.(1)P (x,y)P r |PM |=r +1|PN |=3−r |PM |+|PN |=4>|MN |=2P M N a =2c ==1−a 2b 2−−−−−−√b =3–√+=1x 24y 23M N (−2,0)x ≠−2P +=1(x ≠−2)x 24y 23(2)l E (−1,0)l y =0△AOB l x =my −1{3+4=12，x 2y 2x =my −1，(3+4)−6my −9=0m 2y 2Δ=+36(3+4)(6m)2m 2=144(+1)m 2>0A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2+=y 1y 26m3+4m 2=−y 1y 293+4m 2|−|=y 1y 2−4(+)y 1y 22y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=−4×(−)()6m 3+4m 2293+4m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=12+1m 2−−−−−−√3+4m 2S △AOB =|OE |⋅|−|12y 1y 2=×1×1212+1m 2−−−−−−√3+4m 2t =≥1+1m 2−−−−−−√=−1m 2t 2==S △AOB 6t3(−1)+4t 26t3+1t 2=63t +1tg(t)=3t +1t (t)=g ′3−1t 2t 2g(t)[1,+∞)g =g(1)=4(t)min ≤S △AOB 32m =0=()S △AOB max 323因此，面积的最大值为.【考点】轨迹方程直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）设动圆圆，半径为）．利用已知条件转化判断动圆圆心在以，为焦点的椭圆上，求出，然后求解椭圆的方程；（2）设直线！的方程为或（舍）．联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理、弦长公式表示的面积，利用换元法和导数在函数最值中的应用即可求出结果．【解答】解：设点，动圆的半径为，由题意知，，，∴．由椭圆定义可知，动圆圆心在以，为焦点的椭圆上，∴，，∴，轨迹方程为．由于圆与圆内切于点，则．因此，动圆圆心的轨迹方程为．因为直线过点，若直线的方程为，显然构成不了，故舍去；故可设直线的方程为，则整理得，由，设点，，则，，则，因为，设，则，则 ，2△AOB 32加P (x,y)P M N a b x =my −1y =01AOB (1)P (x,y)P r |PM |=r +1|PN |=3−r |PM |+|PN |=4>|MN |=2P M N a =2c ==1−a 2b 2−−−−−−√b =3–√+=1x 24y 23M N (−2,0)x ≠−2P +=1(x ≠−2)x 24y 23(2)l E (−1,0)l y =0△AOB l x =my −1{3+4=12，x 2y 2x =my −1，(3+4)−6my −9=0m 2y 2Δ=+36(3+4)(6m)2m 2=144(+1)m 2>0A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2+=y 1y 26m 3+4m 2=−y 1y 293+4m 2|−|=y 1y 2−4(+)y 1y 22y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=−4×(−)()6m 3+4m 2293+4m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=12+1m 2−−−−−−√3+4m 2S △AOB =|OE |⋅|−|12y 1y 2=×1×1212+1m 2−−−−−−√3+4m 2t =≥1+1m 2−−−−−−√=−1m 2t 2==S △AOB 6t 3(−1)+4t 26t 3+1t 2=63t +1tt)=3−12设，，所以在区间上为增函数，所以，所以，当且仅当时取等号，即，因此，面积的最大值为.20.【答案】解：由题意可得抛物线方程为，设直线代入抛物线方程得，设，，，，，当时，得，，当时，，所以，直线方程是，令得，故直线与轴交点坐标是 ． ，设直线的方程是，代入得，设，，，，，则，点到的距离 ，点到的距离 ，，设，，则，所以在 上单调递减，在上单调递增，所以在内最小值，故当，时，．【考点】抛物线的标准方程抛物线的应用g(t)=3t +1t (t)=g ′3−1t 2t 2g(t)[1,+∞)g =g(1)=4(t)min ≤S △AOB 32m =0=()S △AOB max 32△AOB 32(1)=4y x 2y =kx +t −4kx −4t =0x 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2C (,)x 3y 3D (,)x 4y 4>x 3x 4t =1=−4x 1x 2=−4x 3x 4t =3=−12x 2x 4=⋅=−x 1x 3−4x 2−4x 443AC y −=(x −)y 1+x 1x 34x 1x =0y =−=x 1x 3413AC y (0,)13(2)F (0,1)l y =kx +1=4y x 2−4kx −4=0x 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2C (,)x 3y 3D (,)x 4y 4>x 3x 4{+=4,x 1x 2k 1=−4,x 1x 2{+=4,x 3x 4k 2=−4,x 3x 4|AB|=|+1++1|=|++4|=4(+1)y 1y 2k 1x 1k 1x 2k 12C AB ==d 1|−+1|k 1x 3y 31+k 12−−−−−−√−+1k 1x 3y 31+k 12−−−−−−√D AB ==d 2|−+1|k 1x 4y 41+k 12−−−−−−√−(−+1)k 1x 4y 41+k 12−−−−−−√S =|AB|(+)=2(+1)⋅12d 1d 2k 12(−)+(−)k 1x 3x 4y 4y 31+k 12−−−−−−√=2⋅(−)(−)1+k 12−−−−−−√k 1k 2x 3x 4=41+k 12−−−−−−√16+16k 22−−−−−−−−−√=16(1+)(−4+5)k 12k 12k 1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√f (x)=(1+)(−4x +5)x 2x 2x >0(x)=4(−3+3x −1)=4f ′x 3x 2(x −1)3f (x)(0,1)(1,+∞)(0,+∞)f (x)f(1)=4=1k 1=−1k 2=32S min直线与抛物线结合的最值问题【解析】（1）平辱析】（2）抛物线方程为，设（五乃），（元小），（丏），；，石，直线代入抛物线、________方程，当时，得乃：，巧﹦，当时，得巧兀，进而可得互巧值为一- ，写出直线方程，令得________，进而得出结论；【解答】解：由题意可得抛物线方程为，设直线代入抛物线方程得，设，，，，，当时，得，，当时，，所以，直线方程是，令得，故直线与轴交点坐标是 ． ，设直线的方程是，代入得，设，，，，，则，点到的距离 ，点到的距离 ，，设，，则，所以在 上单调递减，在上单调递增，所以在内最小值，故当，时，．21.【答案】证明：因为，，分别是，，的中点，所以，．又平面，平面，所以平面，同理平面.又，所以平面平面．∼=4y 4B C μD(x y)>πy =lcc +t 4t =1X t =3AC x =031y =−43(1)=4y x 2y =kx +t −4kx −4t =0x 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2C (,)x 3y 3D (,)x 4y 4>x 3x 4t =1=−4x 1x 2=−4x 3x 4t =3=−12x 2x 4=⋅=−x 1x 3−4x 2−4x 443AC y −=(x −)y 1+x 1x 34x 1x =0y =−=x 1x 3413AC y (0,)13(2)F (0,1)l y =kx +1=4y x 2−4kx −4=0x 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2C (,)x 3y 3D (,)x 4y 4>x 3x 4{+=4,x 1x 2k 1=−4,x 1x 2{+=4,x 3x 4k 2=−4,x 3x 4|AB|=|+1++1|=|++4|=4(+1)y 1y 2k 1x 1k 1x 2k 12C AB ==d 1|−+1|k 1x 3y 31+k 12−−−−−−√−+1k 1x 3y 31+k 12−−−−−−√D AB ==d 2|−+1|k 1x 4y 41+k 12−−−−−−√−(−+1)k 1x 4y 41+k 12−−−−−−√S =|AB|(+)=2(+1)⋅12d 1d 2k 12(−)+(−)k 1x 3x 4y 4y 31+k 12−−−−−−√=2⋅(−)(−)1+k 12−−−−−−√k 1k 2x 3x 4=41+k 12−−−−−−√16+16k 22−−−−−−−−−√=16(1+)(−4+5)k 12k 12k 1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√f (x)=(1+)(−4x +5)x 2x 2x >0(x)=4(−3+3x −1)=4f ′x 3x 2(x −1)3f (x)(0,1)(1,+∞)(0,+∞)f (x)f(1)=4=1k 1=−1k 2=32S min (1)M N P AD DD 1CC 1MN//AD 1CN//PD 1A ⊂D 1MNC MN ⊂MNC A //D 1MNC P //D 1MNC A ∩P =D 1D 1D 1MNC//A P D 1(2)解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，．设平面的法向量为，则令，得．设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．【考点】平面与平面平行的判定用空间向量求直线与平面的夹角【解析】此题暂无解析【解答】证明：因为，，分别是，，的中点，所以，．又平面，平面，所以平面，同理平面.又，所以平面平面．解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，．设平面的法向量为，(2)D D −xyz D (0,0,0)P (0,2,2)M (1,0,0)N (0,0,2)C (0,2,0)=(0,2,2)DP −→−=(−1,0,2)MN −→−=(−1,2,0)MC −→−MNC =(x,y,z)n → ⋅=−x +2z =0，MN −→−n →⋅=−x +2y =0，MC −→−n →z =1=(2,1,1)n →DP MNC θsin θ=|cos , |==DP −→−n →|⋅|DP −→−n →||||DP −→−n →3–√3DP MNC 3–√3(1)M N P AD DD 1CC 1MN//AD 1CN//PD 1A ⊂D 1MNC MN ⊂MNC A //D 1MNC P //D 1MNC A ∩P =D 1D 1D 1MNC//A P D 1(2)D D −xyz D (0,0,0)P (0,2,2)M (1,0,0)N (0,0,2)C (0,2,0)=(0,2,2)DP −→−=(−1,0,2)MN −→−=(−1,2,0)MC −→−MNC =(x,y,z)n → =−x +2z =0，−→−则令，得．设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．22.【答案】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴． ⋅=−x +2z =0，MN −→−n →⋅=−x +2y =0，MC −→−n →z =1=(2,1,1)n →DP MNC θsin θ=|cos , |==DP −→−n →|⋅|DP −→−n →||||DP −→−n →3–√3DP MNC 3–√3(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−。
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2012-2013学年度白水高中高二数学周末考卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释）1．二项式()n1sinx +的展开式中，末尾两项的系数之和为7则x 在[0，2π]内的值为 （ ）A BC D 2．在()()()567111x x x +++++的展开式中,含4x 项的系数是等差数列 35na n =－的（ ） A ．第2项B ．第11项C ．第20项D ．第24项3．设)n展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若t+h=272，则展开式的x 2项的系数是（ ）A B ．1 C ．2 D ．34．三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ ） Ａ．25 Ｂ． 26 Ｃ．36 Ｄ．375．教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有（ ） A ．10种B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种6．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（ ） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．7种 7．设A ，B 是两个非空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P*Q 中元素的个数是（ ） Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．168．把5件不同的商品在货架上排成一排，其中a ，b 两种必须排在一起，而c ，d 两种不能排在一起，则不同排法共有（ ）（A ）12种 （B ）20种 （C ）24种 （D ）48种9．有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（ ）（A ）88A 种 （B ）48A 种 （C ）44A ·44A 种 （D ）44A 种10．1063被8除的余数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．7二、填空题（题型注释）11．整数630的正约数（包括1和630）共有个．12．圆周上有2n个等分点（1n>），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为．13．若对于任意实数x，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x=+-+-+-，则123a a a++的值为__________.14．对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：①展开式中T1000=9999991999C x-；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）15．五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有种．三、解答题（题型注释）1617．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．（1）选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？18．（1237，求展式中二项式系数最大的项的系数．19．一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单（1）前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？20．已知方程222(3)x y t x+-+22(14)t y+-41690t++=表示一个圆。
(1)求t的取值范围；(2)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程21．（14x∈R，m是正整数，且10=xC，这是组合数mnC（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．(1) 求315-C的值；(2) 设x>０，当x(3) 组合数的两个性质；①mnnmnCC-=.②mnmnmnCCC11+-=+.是否都能推广到mxC（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.参考答案 1．B 【解析】试题分析：因为二项式()n1sinx +的展开式中，末尾两项的系数之和为1n nn n C C -+=7，所以n =6；系数最大的一项是33316(sin )T C x +==，所以sin x =x 在[0，2π]B 。
考点：本题主要考查二项式展开式、二项式系数的性质及已知三角函数值1求角。
点评：是一道不错的小综合题。
2．C 【解析】试题分析：在()()()567111x x x +++++的展开式中,含4x 项的系数是45C +4467C C +=55，所以是35n a n =－的第20项，故选C 。
考点：本题主要考查二项式系数的性质、等差数列通项公式。
点评：基本题型，思路明确，认真计算。
3．B 【解析】试题分析：由,27224nn =+得162n=，取r=4.计算得展开式的x 2项的系数是1，故选B 。
考点：本题主要考查二项式展开式、二项式系数的性质。
点评：运用“赋值法”，建立关于n 的方程。
4．C【解析】设三角形另外两边为X,Y x+y>11 x-y<11 x<11,y<11 且均为整数所以x,y 中有个数最大为11 最小的整数为1，最大边为11x=1的时候1个x=2的时候2个x=3的时候3个x=4的时候4个x=5的时候5个x=6的时候6个x=7的时候5个x=8的时候4个x=9的时候3个x=10的时候2个x=11的时候1个所以共有1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36．故选C。
考点：本题主要考查三角形构成条件、分类计数原理的应用。
点评：结合三角形知识，将符合条件的三角形分成11类，运用分类计数原理得解。
5．Ｄ【解析】试题分析：共分4步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共42=16种. 故选D。
考点：本题主要考查分步计数原理的应用。
点评：理解好题意，从一层到五层共分四步。
6．Ａ【解析】试题分析：分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆最至少1个，只有2种分法。
三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆最至少1个，只有2种分法。
三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的。
考点：本题主要考查分类计数原理的应用。
点评：本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始，分别计算不同分法，然后求和。
用列举法也可以，形象、直观易懂。
7．Ｃ【解析】试题分析：P*Q中元素的确定，分两步，P中元素有3种选法，即a有3种选法，Q中元素即b有4种选法，所以P*Q中元素的个数是3×4=12，故选C。
考点：本题主要考查分步计数原理的应用。
点评：背景新颖的简单题，审清题意。
8．C【解析】试题分析：a,b必须相连，全排列有22A种方法；把ab看做一整体再与e全排列，22A种方法；最后将c,d插入四个空内有24C种方法，所以共有22A22A24C=24种方法，故选C。
考点：简单的排列组合问题，主要考查排列组合的定义、排列数及组合数公式的应用。
点评：a，b两种必须排在一起，要考虑“捆绑法”，而c，d两种不能排在一起，采用“插空法”，由于前面进行了排列，所以最后将c,d插入四个空内有24C种方法，而不是24A。
9．D【解析】试题分析：共有四位司机、四个售票员组成四个小组，相当于先将司机（或售票员）固定，售票员进行全排列，所以有44A种方案，故选D。
考点：简单的排列问题，主要考查排列的定义、排列数公式的应用。
点评：解答这类题目，一般有两种思路，即“直接法”与“间接法”，这里运用了直接法。
10．A【解析】试题分析：由101063(641)=-展开后，最后一项为1，其余各项均含因数8，故1063被8除的余数是1，选A。
考点：本题主要考查二项式定理的应用。
点评：转化成二项式问题。
11．24【解析】试题分析：首先将630分解质因数630=2×32×5×7; 然后注意到每一因数可出现的次幂数，如2可有012,2两种情况，3有0123,3,3三种情况，5有015,5两种情况，7有017,7两种情况，按分步计数原理，整数630的正约数（包括1和630）共有2×3×2×2=24个。
考点：本题主要考查分步计数原理的应用。
点评：代表了此类题的统一解法，1恰好是均选0次幂的情况，630恰好是均选最高次幂的情况。
12．2(1)n n-【解析】试题分析：分两步：第一步，求得直径条数；第二步，确定另一顶点方法数。
圆周上有2n 个等分点，可以构成n条直径，每条直径与其他任意一点，可以构成一个直角三角形。
所以圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为:(22)n n-=2(1)n n-考点：本题主要考查分步计数原理的应用。
点评：结合几何图形，将直角三角形的构成分两步完成。
13．19【解析】解：因为对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则令x-=3,x=2,可知，123a a a ++=33-23=27-23=1914．①④【解析】试题分析：二项式(1-x)1999中999999999999100019991999()T C x C x =-=-，①正确；令1x =-得展开式中所有项的系数和是19992，展开式中常数项的系数和是1，所以展开式中非常数项的系数和是19992－1，②不正确；展开式中系数正、负间隔出现，系数最大项，不可能有两个，③不正确；当x=2000时，(1-x)1999展开式中除第一项不含因数2000，其余各项均有因数2000，所以(1-x)1999除以2000的余数是1，④正确。
考点：本题主要考查二项式定理、二项式展开式及二项式系数的性质。
点评：对四个命题注意考查，明确正确与否。
这是高考题目中常见题型。
15．480 【解析】试题分析：第一步，两女生在一起的排法是22A ； 第二步，甲的位置是12A ；第三步，此时甲已经安排好，余下5个元素（将2女看成一个元素）全排列有55A 种；所以不同的排法共有22A 12A 55A =480种。
考点：主要考查排列的定义、排列数公式的应用以及分步计数原理的应用。
点评：稍具综合性，运用了“捆绑法”，优先考虑特殊元素。
16．ymin=【解析】x 轴上的动点P(x,0)到两定点A （0，3）、B （5，－2）的距离之和，由“两点之间线段最短”可知，当A 、P 、B三点共线即x=3时17．（1）56415N =++=；（2）564120N =⨯⨯=；（3）56644574N =⨯+⨯+⨯=。
【解析】试题分析：解：（1）选其中1人为学生会主席，各年级均可分三类56415N =++=种； （2）每年级选1人为校学生会常委，可分步从各年级分别选择，564120N =⨯⨯=种； （3）要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，首先按年级分三类“1,2年级”，“1，3年级”，“2,3年级”，再各类分步选择56644574N =⨯+⨯+⨯=种。