高二数学选修2-2测试题(含答案)

高二数学选修2—2测试题
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000
()()
lim
h f x h f x h h
→+--
的值为（ ）
A ．'0()f x
B ．'02()f x
C ．'02()f x -
D ．0
2、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A ．7米/秒
B ．6米/秒
C ．5米/秒
D ．8米/秒 3、函数3
y
x x 的递增区间是（ ）
A ．),0(+∞
B ．)1,(-∞
C ．),(+∞-∞
D ．),1(+∞
4、32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）
A ．
3
19 B ．
316 C ．313 D ．3
10 5、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6、如图是导函数/()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数
A. 13(,)x x
B. 24(,)x x
C.46(,)x x
D.56(,)x x
7、设*211111()()123S n n n n n n n
=
+++++∈+++N ，当2n =时，(2)S =（ ）Ａ．12Ｂ．1123+Ｃ．111234++ Ｄ．11112345+++
8、如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为（ ）
(A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J 9、 有一段“三段论”推理是这样的：
对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点. 以上推理中（ ）
A ．大前提错误
B ． 小前提错误
C ．推理形式错误
D ．结论正确 10、已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（ ）
（A ）e 1 （B ）e 1- （C ）e 2 （D ）e
2-
11、在复平面内, 复数1 + i 与31+i 分别对应向量OA 和OB , 其中O 为坐标原
点,=（ ） A.2 B.2 C. 10 D. 4
12、 若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋3
4上移动，经过点P 的切线的倾斜角
为α，则角α的取值范围是( )
A ．[0，π2)
B ．[0，π2)∪[2π3，π)
C ．[2π3，π) D．[0，π2)∪(π2，2π
3]
二、填空题（每小题5分，共30分） 13、=---⎰dx x x )2)1(1(1
02
14、函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为________。

15、已知)(x f 为一次函数，且1
0()2()f x x f t dt =+⎰，则)(x f =_______.
16、函数g (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2－3ax 在区间⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，a 3内单调递减，则a 的取值
范围是________．
三、解答题（每小题12分，共60分）
17、（本小题10分）已知等腰梯形OABC 的顶点A B ，在复平面上对应的复数分别为12i +、26i -+，且O 是坐标原点，OA BC ∥．求顶点C 所对应的复数z ．
18、（本小题12分） 20()(28)(0)x
F x t t dt x =+->⎰．
（1）求()F x 的单调区间； （2）求函数()F x 在[13]，上的最值．
19．（本小题12分）设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+．
（1）求()y f x =的表达式；
（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．
20、（本小题12分）某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间定价为每天１８０元时，房间会全部住满；房间单价增加１０元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费２０元的各种维护费用。

房间定价多少时，宾馆利润最大？
21、（本小题满分12分） 证明： b a a
b b a +≥+
22、（本小题12分）已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ． （1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；
（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
参考答案
13、
14
-π
14、4,11- 15、()1f x x =- 16、 ]1,(--∞ 17、解：设i()z x y x y =+∈R ，．
由OA BC ∥，OC AB =，得OA BC k k =，C B A z z z =-，
即2612y x -⎧=⎪+=， OA BC ≠，3x ∴=-，4y =舍去． 5z ∴=-．
18、解：依题意得，23232
00
11()(28)8833x
x F x t t dt t t t x x x ⎛⎫=
+-=+-=+- ⎪⎝⎭
⎰，定义域是(0)+∞，
． （1）2
()28F x x x '=+-, 令()0F x '>，得2x >或4x <-， 令()0F x '<，得42x -<<，
由于定义域是(0)+∞，
， ∴函数的单调增区间是(2)+∞，，单调递减区间是(02)，．
（2）令()0F x '=，得2(4)x x ==-舍， 由于20(1)3F =-
，28
(2)3
F =-，(3)6F =-， ()F x ∴在[13]，上的最大值是(3)6F =-，最小值是28
(2)3
F =-
．
19、解：（1）设2
()(0)f x ax bx c a =++≠， 则()2f x ax b '=+．
由已知()22f x x '=+，得1a =，2b =．
2()2f x x x c ∴=++．
又方程2
20x x c ++=有两个相等的实数根，
440c ∴∆=-=，即1c =．
故2
()21f x x x =++； （2）依题意，得
221
(21)(21)t
t
x x dx x x dx ---++=++⎰
⎰，
32320
1
1133t
t
x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫∴++=++ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，
整理，得32
26610t t t -+-=，即3
2(1)10t -+=，
1t ∴= 20、)(x L =)20)(10
180
50(---
x x =.680180,13607010
12
<<-+-
x x x 令,0705
1)('
=+-=x x L 解得350=x .
当)350,180(∈x 时，,0)('
>x L 当)680,180(∈x 时0)('<x L
因此, 350=x 时是函数)(x L 的极大值点,也是最大值点.所以,当每个房间每天的定价为350元时,宾馆利润最大 21、证明：要证
b a a
b b
a +≥+
， 只需证)(b a ab b b a a +≥
+
即证)())((b a ab b a ab b a +≥+-+
即证ab ab b a ≥
-+
即证ab b a 2≥+，即0)(2
≥-b a
该式显然成立，所以
b a a
b b
a +≥+
22、解：（1）依题设可得111212a =
=
⨯，211
623
a ==⨯， 3111234a ==⨯，411
2045
a ==
⨯； （2）猜想：1
(1)
n a n n =
+．
证明：①当1n =时，猜想显然成立． ②假设*
()n k k =∈N 时，猜想成立， 即1
(1)
k a k k =
+．
那么，当1n k =+时，111(1)k k S k a ++=-+， 即111(1)k k k S a k a +++=-+． 又11
k k k
S ka k =-=+， 所以
111(1)1
k k k
a k a k +++=-++， 从而111
(1)(2)(1)[(1)1]
k a k k k k +=
=+++++．
即1n k =+时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．。