高二下期期末数学测试题及答案解析
西城区2023-2024学年第二学期期末高二数学试题及答案
北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第1页（共5页）北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学2024.7本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在等差数列{}n a 中，13a =，35a =，则10a =（A ）8（B ）10（C ）12（D ）14（2）设函数()sin f x x =的导函数为()g x ，则()g x 为（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数（D ）非奇非偶函数（3）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（A ）110（B ）310（C ）15（D ）35（4）在等比数列{}n a 中，若11a =，44a =，则23a a =（A ）4（B ）6（C ）2（D ）6±（5）投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X ，则方差()D X =（A ）518（B ）13（C ）53（D ）536北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第2页（共5页）（6）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =-，1053231S S =，则6a =（A ）132-（B ）164-（C ）132（D ）164（7）设函数()ln f x x =的导函数为()f x '，则（A ）(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<-（B ）(3)(3)(2)(2)f f f f ''<-<（C ）(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<-（D ）(2)(3)(2)(3)f f f f ''<-<（8）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）如果()e x f x ax =-在区间(1,0)-上是单调函数，那么实数a 的取值范围为（A ）1(,][1,)e -∞+∞ （B ）1[,1]e（C ）1(,]e-∞（D ）[1,)+∞（10）在数列{}n a 中，12a =，若存在常数(0)c c ≠，使得对于任意的正整数,m n 等式m n m n a a ca +=+成立，则（A ）符合条件的数列{}n a 有无数个（B ）存在符合条件的递减数列{}n a （C ）存在符合条件的等比数列{}n a （D ）存在正整数N ，当n N >时，2024n a >北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第3页（共5页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
高二下学期期末考试数学试卷与答案解析(共四套)
高二下学期期末考试数学试卷（一）注意事项：1．本试卷共22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知各项为正数的等比数列{a n}中，a2＝1，a4a6＝64，则公比q＝（）A．4 B．3 C．2 D．2.从4种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有（）A．4种B．12种C．24种D．64种3.直线与曲线相切，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．14.若函数f（x）＝alnx﹣x2+5x在（1，3）内无极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[3，+∞）5.已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3，4，5}，从集合A中任取3个不同的元素，其中最小的元素用a表示，从集合B中任取3个不同的元素，其中最大的元素用b表示，记X＝b﹣a，则随机变量X的期望为（）A．B．C．3 D．46.在二项式（x﹣2y）6的展开式中，设二项式系数和为A，各项系数和为B，x的奇次幂项的系数和为C，则＝（）A．﹣B．C．﹣D．7.已知x与y之间的几组数据如表：x 1 2 3 4y 1 m n 4如表数据中y的平均值为2.5，若某同学对m赋了三个值分别为1.5，2，2.5，得到三条线性回归直线方程分别为y＝b1x+a1，y＝b2x+a2，y＝b3x+a3，对应的相关系数分别为r1，r2，r3，下列结论中错误的是（）参考公式：线性回归方程y＝中，其中，．相关系数r＝．A．三条回归直线有共同交点B．相关系数中，r2最大C．b1＞b2D．a1＞a28.已知数列{a n}：，，，，，，，，，，，，，…（其中第一项是，接下来的22﹣1项是，，再接下来的23﹣1项是，，，，，，，依此类推．）的前n项和为S n，下列判断：①是{a n}的第2036项；②存在常数M，使得S n＜M恒成立；③S2036＝1018；④满足不等式S n＞1019的正整数n的最小值是2100．其中正确的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中高二下学期数学期末考试试题答案解析
高中高二下学期数学期末考试试题答案解析一.基础题1.【解析】选A。
坐，徒，空。
2.【解析】选C。
C项与例句一样，均为名词作状语，在梦里/在早上。
A项，动词的为动用法，为忧虑。
B项，动词的使动用法，使开放。
D项，描画词的使动用法，使增多。
3.【解析】选C。
A项，明年，古义指第二年，今义指往年的下一年。
B项，颜色，古义指容颜，今义指颜色。
D项，然后，古义指这以后，今义指表示一件事情之后接着又发作另一件事情。
4.【解析】选D。
D项，动词作名词活着的人。
A项，名词作动词，敲鼓。
B项，名词作动词，穿衣。
C项，名词作动词，种植。
5.【解析】选B。
B项是名词作动词，解释为游水，其他三项均为名词作状语。
6.【解析】选D。
A项，江河，古义特指长江、黄河，今义泛指一切河流。
B项，爪牙，古义指爪子和牙齿，今义比喻坏人的党羽。
C项，以为，古义指把制成，今义是以为。
7.【解析】选C。
C项与例句同为定语后置句。
A项，为宾语前置;B项，为状语后置;D项，为宾语前置。
9、C (A.成分完整，遭受缺少宾语的冲击两面与一面搭配不当，将前半句中的能否能否去掉。
D.句式杂糅，去掉取得的或靠的。
白话文阅读【解析】11、B【解析】12、B 【解析】13、⑴你父亲严挺之居然有你这样的儿子!严武虽然耐心暴烈，却也不以为他忤逆。
⑵杜甫曾旅游耒阳的岳庙，被洪水阻隔，十多天都得不到食物。
⑶宗武的儿子嗣业，从耒阳迁走杜甫的棺柩，只需大家用心学习，仔细温习，就有能够在高中的战场上考取自己理想的效果。
查字典数学网的编辑为大家带来的高中2021年高二下学期数学期末考试试题答案解析，希望能为大家提供协助。
2023-2024学年重庆市高二(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年重庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ，若系数b ，c ，d 可以发生改变，则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29，当地人小王16岁时身高167cm ，他父亲身高170cm ，则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ，在x =−1时有极大值6e −1，则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品(单位：件)均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16，则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题：本题共3小题，共18分。
高二下学期期末数学考试试卷含答案(共5套)
i A. > B. > 1 C. a 2 > b 2 D. ab < a + b - 18、已知 x > 0 ， y > 0 ，若 2 y + > m 2 + 2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是（）高二年级下学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、不等式 2x - 3 < 5 的解集为（）A. (-1,4)B. (1,4)C. (1,-4)D. (-1,-4)2、设复数 z 满足 (1 + i) z = 2 （ i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数在复平面中对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、某市对公共场合禁烟进行网上调查，在参与调查的 2500 名男性市民中有 1000 名持支持态度，2500 名女性市民中有 2000 人持支持态度，在运用数据说明市民对在公共场合禁烟是 否支持与性别有关系时，用什么方法最有说明力（ ） A. 平均数与方差 B. 回归直线方程 C. 独立性检验 D. 概率4、若函数 f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c 满足 f '(1) = 2 ，则 f '(-1) 等于（）A. - 1B. - 2C. 2D. 05 、函数 y = f ( x ) 的图象过原点，且它的导函数y = f '( x ) 的图象是如图所示的一条直线，y = f ( x ) 的图象的顶点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6、在一组样本数据 ( x , y ) ， ( x , y ) ，……， ( x , y ) (n ≥ 2, x , x ⋅ ⋅ ⋅ x 不全相等）的散点图中， 1 122nn12n若所有样本点 ( x , y ) (i = 1,2 ⋅ ⋅ ⋅ n) 都在直线 y = i i （ ）1 2x + 1上，则这组样本数据的样本相关系数为A. - 1B. 0C. 12D. 17、若 a < 1 ， b > 1 那么下列命题正确的是（ ）1 1 b a b a8xx yA. m ≥ 4 或 m ≤ -2B. m ≥ 2 或 m ≤ -4C. - 4 < m < 2D. - 2 < m < 49、某同学为了了解某家庭人均用电量（ y 度）与气温（ x o C ）的关系，曾由下表数据计算回归直线方程 y = - x + 50 ，现表中有一个数据被污损，则被污损的数据为（）+ 的取值范围A. ⎢ ,+∞ ⎪B. - ∞, ⎥C. ⎢ ,+∞ ⎪D. - ∞,- ⎥气温 30 2010 0 人均用电量20 30*50A. 35B. 40C. 45D. 4810、已知函数 f ( x ) 的导函数 f '( x ) = a( x + 1)( x - a) ，若 f ( x ) 在 x = a 处取得极大值，则a 的取值范围是（）A. (-∞,1)B. (-1,0)C. (0,1)D. (0,+∞ )11、已知函数 f ( x ) = x 3 - 2ax 2 - bx 在 x = 1 处切线的斜率为 1 ，若 ab > 0 ，则 1 1a b（ ）⎡ 9 ⎫ ⎛ 9 ⎤ ⎡ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎤ ⎣ 2 ⎭⎝ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎭ ⎝2 ⎦12、已知 a > b > c > 1 ，设 M = a - cN = a - bP = 2( a + b- ab ) 则 M 、 N 、 P 的大小2关系为（ ）A. P > N > MB. N > M > PC. M > N > P二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、下列的一段推理过程中，推理错误的步骤是_______ ∵ a < b∴ a + a < b + a 即 2a < b + a ……①∴ 2a - 2b < b + a - 2b 即 2(a - b ) < a - b ……②∴ 2(a - b )(a - b ) < (a - b )(a - b ) 即 2(a - b )2 < (a - b )2 ……③∵ (a - b )2 > 0∴ 可证得 2 < 1 ……④D. P > M > N14、已知曲线 y = x 2 4- 3ln x 在点（ x , f ( x ) 处的切线与直线 2 x + y - 1 = 0 垂直，则 x 的值为0 0 0________15、 f ( x ) = x +1( x > 2) 在 x = a 年取得最小值，则 a =________x - 216、设 a 、 b ∈ R ， a - b > 2 ，则关于实数 x 的不等式 x - a + x - b > 2 的解集是_______三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。
高二下学期期末考试数学试卷和答案
高二下学期期末考试数学试卷和答案一、 选择题：(每题4分，共48分) 将答案填图在答题卡上.1．复数31ii--等于（ ） A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i - 2．=-⎰π20)sin (dx x （ ）A ．0 C.－23．若复数i i z -=1，则=|z |( )A ．21B ．22C ．1D ．24．从0，1，2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，能够确定不在x 轴上的点的个数是（ ）A ．100 B ．90 C ．81 D ．725.若函数3()33f x x bx b =-+在（0，1）内有极小值，则（ ） A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b <6．在二项式5)1(xx -的展开式中，含x 3的项的系数是（ ）7．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ）.A ．B ．C ．D ．8．若圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x （θ为参数），直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x （t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）。
A. 相交过圆心B.相交而不过圆心C.相切D.相离9．有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中7个球标有字母A 、3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一号盒子中任取一球，若取得标有字母A 的球，则在第二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三号盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，那么试验成功的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．y y y10．设31(3)n x x+的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P +S =272，则n 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．811．设一随机试验的结果只有A 和A ，()P A p =，令随机变量10A X A =⎧⎨⎩，出现，，不出现，，则X 的方差为（ ）Ａ．p Ｂ．2(1)p p -Ｃ．(1)p p -- Ｄ．(1)p p -天津市大港一中08—09学年高二下学期期末考试（数学理）12.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==1112t t y t x （t 为参数）所表示的曲线是（ ）。
高二下学期期末数学试卷及答案
高二下学期期末数学试卷一、单项选择1、设，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2、已知点A （2，-3），B （-3，-2），直线l 方程为kx+y-k-1=0，且与线段AB 相交，求直线l的斜率k 的取值范围为（ ）A或 B C D 3、直线与曲线有两个不同的交点，则实数的k 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．4、已知圆，直线l ：，若圆上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，则b 的取值范围为 A ．B ．C ．D ．5、若直线被圆截得弦长为，则） A ． B ． C6、设△ABC 的一个顶点是A （3，-1），∠B，∠C 的平分线方程分别是x=0，y=x ，则直线BC 的方程是（ ） A ．B ．C ．D ．7、已知圆：，则过点（1，2）作该圆的切线方程为（ ）A ．x+4y-4=0B ．2x+y-5=0C ．x=2D ．x+y-3=0 8、阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A 、B 间4k ≤-220(0,0)ax by a b -+=>>222410x y x y ++-+=494(0,1)k k k >≠的距离为,动点P、A、B不共线时，三角形PAB面积的最大值是（）ABD9、若圆上有个点到直线的距离为1，则等于（）A．2 B．1 C．4 D．310、圆的一条切线与圆相交于，两点，为坐标原点，则（）AB．C．2 D11、已知直线与圆相交，则的取值范围是（）A． B． C．D．12、古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（）.A．B．C．D．13、已知直线l1：（k-3）x+（4-k）y+1=0与l2：2（k-3）x-2y+3=0平行，则k的值是（）A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或214、我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上面的已知条件可求得该女子第4天所织布的尺数为( )A．B C D15、在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（）A．B．C．D．16、设数列满足,记数列的前项之积为，则2P22:(5)(1)4C x y-++=n4320x y+-=n 221x y+=224x y+=()11,A x y()22,B x y O1212x x y y+=2-:cos sin1()l x yααα+=∈R222:(0)C x y r r+=>r 01r<≤01r<<1r≥1r>)0(>>ba{}na21=a n n S{}1na+nS 122n+-3n2n31n-（ ） A ．B ．C ．D ．17、已知公比不为的等比数列满足，若，则（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 18、设等差数列的前项和为，已知，，则（ ）A ．B ．C ．D ．19、在等差数列中，若，是方程的两根，则的前11项的和为（ ）A ．22B ．-33C ．-11D ．1120、已知数列满足，数列前项和为，则( )ABCD21、已知数列满足，，是数列的前项和，则（ ）A ．B ．C ．数列是等差数列 D ．数列是等比数列22、已知等数差数列中，是它的前项和，若且,则当最大时的值为（ ）A ．9B ．10 C ．11 D ．1823、已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12 ）1{}n a 15514620a a a a +=210m a =m ={}n a nnS ()()201920212017201720171201912000a a a -++-=()()20192021202020202020-1+201912038a a a +-=4036S =2019202020214036{}n a 2*1222...2()n n a a a n n N +++=∈n nS 12310...S S S S ⋅⋅⋅⋅={}n a n S n 180S >190S <n S nABCD ．不存在24、的内角，，所对的边分别是，，.已知，则的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．25、已知，，为的三个内角，，的对边，向量，，若，且，则角( )A ．B ．C ．D ．二、填空题26、点到直线的距离的最大值为________.27、已知点和圆，过点 作圆的切线有两条，则实数的取值范围是______28、已知直线l ：x+y-6=0，过直线上一点P 作圆x 2+y 2=4的切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAOB 面积的最小值为______，此时四边形PAOB 外接圆的方程为______． 29、已知实数满足，则的取值范围为________.30、已知实数x ，y 满足6x+8y-1=0，则的最小值为______．31、等比数列的前n 项和为32、若等差数列满足，则数列的前项和取得最大值时_________ 33、已知数列满足，则数列的最大值为________.34、已知数列中，，是数列的前项和，且对任意的，都有，则=_____35、已知首项与公比相等的等比数列中，若，，满足，则()1,2P 222:20C x y kx y k ++++=P C k {}n a n S {}n a 7897100,a a a a a ++>+<{}n a n n S =n {}n a 11a =n S {}n a n *,r t N ∈n a的最小值为_____．36、在锐角三角形中，角的对边分别为，若，则的最小值是_______．37、在锐角中，角，，所对应的边分别为，，.则________；若，则的最小值为________. 38、若△ABC 的内角，则的最小值是 ． 39、已知分别是的内角的对边，，，则周长的最小值为_____。
广东省湛江市2023-2024学年高二下学期期末调研考试数学试卷(解析版)
湛江市2023—2024学年度第二学期期末调研考试高二数学说明：本卷满分150分.考试用时120分钟.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.过()2,0−和()0,2两点的直线的斜率是（ ）A.1B.1− C.π4D.3π4【答案】A 【解析】【分析】由斜率公式2121y y k x x −=−可得.【详解】根据斜率公式求得所给直线的斜率02120k −=−−.故选：A2.用最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5,6)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23y x =+，若6130ii x==∑，则61ii y==∑（ ）A.11B.13C.63D.78【答案】D 【解析】【分析】根据线性回归方程为ˆ23y x =+一定过点(),x y ，先求出x ，代入回归方程即可得出y ，进而可得61i i y =∑的值.【详解】依题意，因为6130ii x==∑，所以3056x==， 因线性回归方程为ˆ23y x =+一定过点(),x y ，为所以2325313y x =+=×+=，所以6161378ii y==×=∑.故选：D.3. 若圆22:()(4)4C x a y a −+−=被直线:320l x y −+=平分，则=a （ ） A.12B. 1C.32D. 2【答案】D 【解析】【分析】由题设，将圆心坐标代入直线方程即可求解.【详解】由题意得圆心(),4a a 在直线:320l x y −+=上， 则3420a a −+=，解得2a =. 故选：D.4. 函数()y f x =的导函数()y f x =′的图像如图所示，以下命题正确的是（ ）A. ()y f x =在0x =处的切线的斜率大于0B. ()1f −是函数的极值C. ()y f x =在区间()3,1−上不单调D. ()1f −是函数的最小值【答案】A 【解析】【分析】根据()y f x =′的图像分析()y f x =的单调性和最值，即可判断BCD ；对于A ：根据导数的几何意义分析判断.【详解】由图象可知：当3x <−时，()0f x ′<；当3x >−时，()0f x ′≥（当且仅当=1x −时，等号成立）；可知()y f x =在(),3∞−−内单调递减，在()3,∞−+内单调递增， 则()3f −为()y f x =的最小值（也为极小值），无最大值，故BCD 错误；对于A ：可知()00f ′>，即()y f x =在0x =处的切线的斜率大于0，故A 正确； 故选：A.5. 某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取25名女生，25名男生调查，结果形成以下22×列联表，通过数据分析，认为喜欢课外阅读与学生性别之间（ ）喜欢课外阅读不喜欢课外阅读合计 男生 5 20 25 女生 15 10 25 合计203050参考数据及公式如下：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d −=++++ ()20P K k ≥0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.828A. 不能根据小概率的0.05α=的2χ独立性检验认为两者有关B. 根据小概率的0.01α=的2χ独立性检验认为两者有关C. 根据小概率的0.001α=的2χ独立性检验认为两者有关D. 根据小概率0.05α=的2χ独立性检验认为两者无关 【答案】B 【解析】【分析】根据给定的数表，求出2χ的观测值，再与临界值比对即得.【详解】由数表知，2250(5101520)25203025253χ××−×==×××，而256.63510.8283<<， 所以根据小概率值0.01α=的2χ独立性检验认为两者有关． 故选：B6. 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，的则不同的选法种数为（ ） A. 20 B. 25C. 225D. 450【答案】C 【解析】【分析】根据分步计数原理，结合组合数公式，即可求解.【详解】甲和乙的选择方法分别有1255C C 15+=种方法， 所以甲和乙不同的选择方法有1515225×=种. 故选：C7. 如图，在三棱锥−P ABC 中，2,90,60,PA PB PC APB BPC APC M ∠∠∠====== 为BC 的中点，Q 为AM 的中点，则线段PQ 的长度为（ ）A.B.C.32D.【答案】C 【解析】【分析】先得到111244PQ PA PB PC =++，再平方求解.【详解】解：由题意得1111122244PQ PA PM PA PB PC =+=++，故222211111141616448PQ PA PB PC PA PB PA PC PB PC +++⋅+⋅+⋅， 111191044244=+++++=，则32PQ =. 故选：C.8. 定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差.设{}n a 是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，53a =，则数列12{}n n a a ++的前24项和为（ ）A.B. 3C. D. 6【答案】D 【解析】【分析】先由等方差数列的定义得到{}2n a 是公差为2的等差数列并求出n a ，进而求出12n n a a ++，再利用裂项相消法求和即得.【详解】依题意，2212n n a a +−=，即{}2n a 是公差为2的等差数列，而53a =， 于是2252(5)21n a a n n =+−=−，即n a =则12n n a a +=+，所以数列12{}n n a a ++的前24项和为：1)716++++=−= .故选：D二､多选题：本题共36分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若13465,135a a a a +=+=，则（ ） A. 114a = B. 3q =C. 1134n n a −=× D.()1314nn S =− 【答案】BD 【解析】【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得1,a q ，代入公式即可一一判断.【详解】依题，21321(1)5(1)135a q a q q += += ，解得11,23a q== 故A 错误，B 正确； 则111132n n n a a q −−==×，1)(1)131(1)1(3144n nn n a q S q −==−−−=−，故C 错误，D 正确.故选：BD.10. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同. 先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球. 记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件1A 、2A ，从乙口袋中取出的球是红球为事件B ，则下列结论正确的是（ ） A. ()134P A =B. ()214P B A = C. ()1916P A B =D. ()2211P A B =【答案】ACD 【解析】【分析】直接使用古典概型方法可以计算得出()134P A =，()214P A =，()134P B A =，()212P B A =，即可判断A 选项，再结合条件概率公式和全概率公式即可确定B ，C ，D 选项的正确性. 【详解】对于A ，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以()134P A =，故A 正确； 对于B ，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为()22142P B A ==，故B 错误； 对于C ，若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为()34P =，所以()()()1113394416P A B P A P B A ==⋅=，故C 正确； 对于D ，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以()214P A =，结合以上分析，所以()()()()()()()()()22221122112243311114424P B A P A P A B P A B P B P B A P A P B A P A ⋅====+⋅+⋅，故D 正确.故选：ACD11. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点P 是线段1AD 上的点，点E 是线段1CC 上的一点，则下列说法正确的是（ ）A. 存在点E ，使得1A E ⊥平面11AB DB. 当点E 为线段1CC 的中点时，点1B 到平面1AED 的距离为2C. 点E 到直线1BDD. 当点E 为棱1CC 的中点，存在点P ，使得平面PBD 与平面EBD 所成角为4π 【答案】ABD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求解A ，求解平面法向量，即可根据点面距离，以及点线距离，求解BC ，利用两平面的法向量的夹角即可求解D.【详解】对A 选项，以DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建系如图：则根据题意可得(0D ,0,0),1(0D ,0,2),1(2A ,0,2),1(2B ,2,2),()2,0,0A ， 设(0E ,2,)(02)a a ≤≤，所以1(2,0,2)AD − ，1(0,2,2)AB = ，1(2,2,2)A E a =−−，假设存在点E ，使得1A E ⊥平面11AB D ，则()114220AD A E a ⋅=+−= ，()114220AB A E a ⋅=+−=，解得0a =，所以存在点E ，使得1A E ⊥平面11AB D ，此时点E 与点C 重合，故A 正确；对于B ，点E 为线段1CC 的中点时，()0,2,1E ,(2,2,1)AE −,1(2,0,2)AD − ,设平面1AED 的法向量为(),,m x y z = ，则1220220AD m x z AE m x y z ⋅=−+= ⋅=−++=，取2x =，则()2,1,2m = ， 1(0,2,2)AB = ,故点1B 到平面1AED 的距离为12423AB m m ⋅+==，故B 正确， 对C 选项,(0E ,2,)(02)a a ≤≤，()()12,0,,2,2,2BE a BD =−=−−,点E 到直线1BD==故当1a =时，即点E 为1CC 中点时，此时点E 到直线1BD ，故C 错误；对D 选项，点E 为线段1CC 的中点时，()0,2,1E ,()0,2,1DE = ,()2,2,0DB =, 设平面EBD 的法向量为()111,,a x y z = ，则111120220DE a y z DB a x y ⋅=+= ⋅=+=，取11x =，则()1,1,2a =− ，设()(),0,202P x x x −≤≤,(),0,2DP x x =− ,()2,2,0DB = , 设平面PBD 的法向量为()222,,b x y z =，则()222220220DP b xx x z DB b x y ⋅=+−= ⋅=+=，取22x x =−，则()2,2,b x x x =−−−，若存在点P ，使得平面PBD 与平面EBD 所成角为4π， 则cos ,a b a b a b⋅==，化简得27880x x −−=，解得x =或，由于02x ≤≤，所以x =D 正确， 故选：ABD ．三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 6x 展开式中2x 项的系数为________. 【答案】30 【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，即可求出指定项的系数.【详解】6x −展开式的通项表达式为()()6621661C 1C rr r r r r r rr T x x −−+−−， 当622r −=时，2r =，()22222361C 30T x x −=.故答案为:30.13. 已知()2e x f x m x =−，若()f x ′为奇函数，则m =______. 【答案】0 【解析】【分析】求导后利用奇函数的性质得到()()f x f x ′′=−−，代入计算再结合指数函数的性质可得结果. 【详解】()e 2xf x m x ′=−， 因为()f x ′为奇函数，所以()()f x f x ′′=−−，即()e 2e 2xxm x m x −−=−+，化简可得()e e0x xm −+=， 因为e 0,e 0x x −>>， 所以0m =. 故答案为：0.14. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点，若222sin 3sin ABF BAF ∠=∠，21cos 8ABF ∠=−，则C 的离心率为______．【答案】 【解析】【分析】引入参数t ，结合双曲线定义、正弦定理表示出2AF t =，223BF t =，12AF t a =−，1223BF a t =+，143AB a t =−，在2ABF △中由余弦定理可得4t a =，在12BF F △中，运用余弦定理可得出228c a =，结合离心率公式即可得解.【详解】在2ABF △中，设2AF t =，由正弦定理得2222sin sin AF BF ABF BAF =∠∠，则223BF t =， 所以由双曲线的定义可知12AF t a =−，1223BF a t =+，故11143AB BF AF a t =−=−， 在2ABF △中，2222124133cos 1282433a t t t ABF a t t−+− ∠==−×−×，解得4t a =， 所以在12BF F △中，1143a BF =，283aBF =，122F F c =， 又222128144133cos 8148233a a c F BF a a +− ∠==−××，解得228c a =，所以离心率cea==故答案为：【点睛】关键点点睛：关键在于适当引入参数，结合已知得出参数与,,a b c 的关系，进而结合离心率公式即可得解.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知585S =，且617a a =． （1）求n a 和n S ； （2）设15n n n b a a +=，求数列{}n b 前n 项和n T ． 【答案】（1）61na n =−；232n S n n =+； （2）65n T nn =+． 【解析】【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前n 项和； （2）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】设{}n a 的公差为d ，因为15535()5852a a S a +===，所以317a =， 又617a a =，所以()1737172d d +=−，解得6d =，所以()()33173661n a a n d n n =+−=+−×=−， ()()125613222n n n a a n n S n n ++−===+． 【小问2详解】 ()()155511616566165n n n b a a n n n n + ===− −+−+ ， 所以5111111116511111767616165n T n n n n =−+−++−+− −−−+ 511656565n n n =−= ++ ． 16. 四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AB ==，点E 是棱PC 上一点．（1）求证: 平面PAC ⊥平面BDE ；（2）当E 为PC 中点时， A BE D −−的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由正方形的性质得到BD AC ⊥，又由线面垂直的性质得到PA BD ⊥，即可得到BD ⊥平面PAC ，从而得证；（2）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】底面ABCD 是正方形，BD AC ∴⊥，PA ⊥ 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥，又BD AC ⊥，PA AC A = ，,PA AC ⊂平面PAC ，BD ∴⊥平面PAC ，又BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE ．【小问2详解】如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()2,2,0C ，()0,0,2P ，()1,1,1E ，所以()2,0,0AB = ，()1,1,1BE =− ，()2,2,0BD =− ，设平面ABE 的法向量为(),,n x y z = ，则200n AB x n BE x y z ⋅== ⋅=−++= ，取()0,1,1n =− ， 设平面DBE 的法向量为(),,m a b c = ，则2200m BD a b m BE a b c ⋅=−+= ⋅=−++= ，取()1,1,0m = ， 设二面角A BE D −−为θ，由图可知二面角A BE D −−为锐二面角，所以1cos 2m n m n θ⋅==⋅ ，所以sin θ，即二面角A BE D −−.17. 已知F 1，F 2分别为椭圆W ：2214x y +=的左、右焦点，M 为椭圆W 上的一点． （1）若点M 的坐标为（1，m ）（m >0），求△F 1MF 2的面积；（2）若点M 的坐标为（x 0，y 0），且∠F 1MF 2是钝角，求横坐标x 0的范围． 【答案】（1）32（2）【解析】【分析】（1）代入法求得m 值，然后求出焦点坐标后可得三角形面积；（2）由余弦定理可得．【小问1详解】因为点M （1，m ）在椭圆上，所以2114m +=， 因为m >0，所以m =， 因为a ＝2，b ＝1，所以c =1(F，2F ，所以1212113222F MF S m F F ==×= 【小问2详解】因为点M 在椭圆上，所以－2≤x 0≤2，由余弦定理得 cos ∠F 1MF 2＝22212122||||||2||||MF MF F F MF MF +−⋅，因为∠F 1MF 2是钝角，所以22220000((120x y x y +++−<，又因为220014x y =−，所以2083x <，解得0x <<，故横坐标x 0的范围为 .18. 学校师生参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.（1）求在有女生参加活动条件下，恰有一名女生参加活动的概率；（2）记参加活动的女生人数为X ，求X 的分布列及期望()E X ；（3）若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为Y ，求Y 的期望()E Y .【答案】（1）89（2）分布列见解析，()23E X =（3）13个工时的【解析】【分析】（1）根据条件概率公式，结合组合的定义、古典概型公式进行求解即可；（2）根据超几何分布的概率公式，结合数学期望公式进行求解即可；（3）根据数学期望公式和性质进行求解即可.【小问1详解】设“有女生参加活动”为事件A ，”恰有一名女生参加活动“为事件B .则()()11112424222266C C C C C 83,C 15C 5P AB P A +====， 所以()()()8815|395P AB P B A P A === 【小问2详解】依题意知X 服从超几何分布，且22426C C ()C k k P X k −==(0,1,2)k =， ()()()21124422222666C C C C 2810,1,2C 5C 15C 15P X P X P X ⋅=========， 所以X 的分布列为：()2812012515153E X =×+×+×=； 【小问3详解】设一名女生参加活动可获得工时数为1X ，一名男生参加活动可获得工时数为2X ，则1X 的所有可能取值为36,，2X 的所有可能取值为6,9， 111(3)(6)2P X P X ====，1119()36222E X =×+×=， 221(6)(9)2P X P X ====，21115()69222E X =×+×=， 有X 名女生参加活动，则男生有()2X −名参加活动.()915215322Y X X X =+−=−， 所以()()()2153153153133E Y E X E X −−−×. 即两人工时之和的期望为13个工时..19. 已知函数()()e ,()x f x x a x a =−−∈R .（1）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线为x 轴，求a 的值；（2）在（1）的条件下，判断函数()f x 的单调性；（3）()221()1e 12x g x x ax x x =−+−++，若1−是()g x 的极大值点，求a 的取值范围. 【答案】（1）0（2）(),0∞−上单调递减，()0,∞+上单调递增（3）()e,∞−+【解析】【分析】（1）求导，然后根据(0)0f ′=列式计算即可；（2）求导，然后通过二次求导确定导函数的正负，进而确定函数的单调性；（3）求导，然后因式分解，确定导函数的零点，讨论零点大小，进而确定极值点.【小问1详解】由已知()(1)e 1x f x x a ′=−+−，则0(0)(1)e 1f a a ′=−+−=−，由于曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线为x 轴，所以0a −=，所以0a =；【小问2详解】当0a =时，()(1)e 1x f x x ′=+−，令()(1)e 1x h x x =+−，则()(2)e x h x x ′=+，当<2x −时，()0h x ′<，()f x ′单调递减，当2x >−时，()0h x ′>，()f x ′单调递增，又当<2x −时，()0f x ′<恒成立，2(2)e 1f −′−=−−，0(0)e 10f ′−，所以当0x <时()0f x ′<，0x >时，()0f x ′>，所以()f x 在(),0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增；【小问3详解】由已知()()()2()12e 11(1)e 1x x g x x ax x a x x x a ′ =−++−−+=+−+− ，令()(1)e 1x v x x a =−+−，则()(2)e xv x x a ′=−+， 当2x a <−时，()0v x ′<，()v x 单调递减，当2x a >−时，()0v x ′>，()v x 单调递增，又当2x a <−时，()0v x <恒成立，且()22e 10a v a −−=−−<，当x →+∞时，()0v x >，即()v x 在()2,a −+∞上有且只有一个零点，设为0x ，当01x <−，即()11(11)e 10v a −−=−−+−>，解得e a <−， 此时若()0g x ′<，解得01x x <<−，()g x 在()0,1x −上单调递减，若()0g x ′>，解得0x x <或1x >−，()g x 在()()0,,1,x −∞−+∞上单调递增，此时()g x 在=1x −处取极小值，不符合题意，舍去；当01x >−，即()11(11)e 10v a −−=−−+−<，解得e a >−， 此时若()0g x ′<，解得01x x −<<，()g x 在()01,x −上单调递减，若()0g x ′>，解得1x <−或0x x >，()g x ()()0,1,,x −∞−+∞上单调递增，此时()g x 在=1x −处取极大值，符合1−是()g x 的极大值点，当01x =−时，即()11(11)e 10v a −−=−−+−=，解得a e =−，此时()0g x ′≥恒成立，()g x 无极值点，综上所述：a 的取值范围为()e,∞−+.【点睛】方法点睛：函数的极值跟导函数的零点有关，当零点不确定的时候，就需要对零点的存在性以及零点的大小进行分类讨论，从而达到确定极值点的目的.在。
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高二下期期末数学测试题
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1.过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（B ）
A． B． C． D．
2.曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+3=0的最短距离是（A）
A．B．2 C．3 D．0
3.曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（ A ）A．B．C．D．1
4.已知函数与的图象如图所示，则（C）
A．在区间(0,1)上是减函数B．在区间(1,4)上是减函数
C．在区间上是减函数D．在区间上是减函数
5.设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（D ）
A．B．C．D．
6.某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（A ）
A．B． C.D．
7.将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为91，现场作的7个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则5个剩余分数的方差为（C ）
A．B． C. 6 D．30
8.在的展开式中，常数项是（D）
A．B．C．D．
9.由数字0，1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2018大的有（ B ）个
A．10 B．11 C．12 D．13
10.已知，在的图象上存在一点，使得在处作图象的切线，满足的斜率为，则的取值范围为（A ）
A．B．
C．D．
11.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：
连续剧连续剧播放时长/min 广告播放时长/min 收视人次/万人
甲70 5 60
乙60 5 25
电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min，广告的总播放时长不少于
30min，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（A ）
A．6，3 B．5，2 C. 4，5 D．2，7
12.若直线（）和曲线（）的图象交于
，，（）三点时，曲线在点，点处的切线总是平行，则过点可作曲线的（C ）条切线
A．0 B．1 C．2 D．3
第II卷（非选择题）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为 -5℃/h．
14.随机变量服从正态分布，若，则
0.259 ．
15.口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随
机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为．
16.若直线与曲线满足下列两个条件：（）直线在点处与曲线相切；（）曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线．下列命题正确的是___①③_____．（写出所有正确命题的编号）
①直线在点处“切过”曲线；
②直线在点处“切过”曲线；
③直线在点处“切过”曲线；
④直线在点处“切过”曲线．
①∵，，∴，∴曲线在点处切线为，
当时，，
当时，，
即曲线在点附近位于直线的两侧，①正确；
②设，，
当时，，在是减函数，
当时，，在是增函数，
∴，即在上恒成立，
∴曲线总在直线下方，不合要求，②不正确；
③∵，，∴，
∴曲线在点处切线为，
设，，∴是减函数，
又∵，∴当时，，即，
曲线在切线的下方，
当，，即，
曲线在切线的上方，③正确；
④设，，
当时，，
当时，，函数在区间上是减函数，
当时，，函数在区间上是增函数，
∴，即在上是恒成立，
∴总在直线上方，不合要求，④不正确．综上，正确命题有①③．
三、解答题（本题共6道小题,第1题10分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题12分,,共70分）
17.已知函数f（x）=（2x﹣1）2+5x
（1）求f′（x）
（2）求曲线y=f（x）在点（2，19）处的切线方程．
解：（1）f′（x）=4（2x﹣1）+5=8x+1；
（2）f′（2）=17，
故切线方程是：y﹣19=17（x﹣2），
即17x﹣y﹣15=0．
18.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为12.
（1）求该校报考飞行员的总人数；
（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考
飞行员的学生中（人数很多）任选2人，设表示体重超过60公斤
的学生人数，求的分布列和数学期望.
解：（1)设报考飞行员的人数为，前3个小组的频率分别为，则由条件可得：
解得，
又因为，所以.
(2)由（1)可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为，
由题意知服从二项分布，，
所以随机变量的分布列为
.
19某超市在元旦期间开展优惠酬宾活动，凡购物满100元可抽奖一次，满200元可抽奖两次…依此类推．抽奖箱中有7个白球和3个红球，其中3个红球上分别标有10元，10元，
20元字样．每次抽奖要从抽奖箱中有放回地
．．．．任摸一个球，若摸到红球，根据球上标注金额奖励现金；若摸到白球，没有任何奖励．
（Ⅰ）一次抽奖中，已知摸中了红球，求获得20元奖励的概率；
（Ⅱ）小明有两次抽奖机会，用表示他两次抽奖获得的现金总额，写出的分布列与数学期望．
解：（Ⅰ）设事件，事件
则所求概率为
（Ⅱ）的可能取值为0,10,20,30,40
∴的分布列为
所以，．
20.已知函数，（其中为自然对数的底数，）. （1）若函数的图象与函数的图象相切于处，求的值；
（2）当时，若不等式恒成立，求的最小值.
解（1），．（过程略）
（2）令，则，
当时，单调递增，而，∴时，不合题意
当时，令，则，
∵为减函数，∴时，，单调递增，
时，，单调递减，
∴，即．（△）但，等号成立当且仅当且．
故（△）式成立只能即．
21.第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.
(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数；
(2)从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人.
①记表示选取4人的成绩的平均数,求；
②记表示测试成绩在80分以上的人数,求的分布列和数学期望.
(1)众数为76，中位数为76.
抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，
故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为，故该校这次测试
成绩在70分以上的约有（人）
(2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94.
当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类.
一类是82，88，93，94，共1种；另一类是76，88，93，94，共3种.
所以.
②由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，4
,,
,,.
的分别列为
0 1 2 3 4
22.已知函数.
（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；
（2）的图像与轴交于，两点，中点为，求证：.
（1）依题意：，
在上递增，对恒成立，
即对恒成立，只需.
，，当且仅当时取“”，
，的取值范围为.
（2）由已知得两式相减，得. 由及，得
令，
，在上递减，.
则有，又，.。