高二数学下期末测试题及答案
高二年级下学期期末考试数学试题与答案解析(共三套)
高二年级下学期期末考试数学试题（一）注意事项：1．本试卷共22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）A．36 B．32 C．28 D．242.的展开式中的常数项为（）A．﹣60 B．240 C．﹣80 D．1803.设曲线在处的切线与直线y＝ax+1平行，则实数a等于（）A．﹣1 B．C．﹣2 D．24.在2022年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X～N（86，σ2），若已知P（80＜X≤86）＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（）A．0.86 B．0.64 C．0.36 D．0.145.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m﹣1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．m≤2 B．m≥4 C．1＜m≤2 D．0＜m≤36.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关，通过随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K2＝4.236．P（K2≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0）k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828参照附表，可得正确的结论是（）A．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”B．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”C．有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”D．有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”7.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．27种8.若两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足，则的值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷(含解析)
浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（ ）{}{}31,1e M x x N x x =-<=<≤M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}23x x <≤{}24x x <<{}2e x x <≤{}1e x x <≤2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）i 31i z -=-z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．样本数据的中位数和平均数分别为（ ）27,30,28,34,35,35,43,40A ．34，35B ．34，34C ．34.5，35D ．34.5，344．已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（ ）30kx y k --=22:1O x y +=k A ．1B ．C ．D ．131-2-5．在中，角的对边分别是，且，则ABC ,,A B C ,,a b c ()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C=+++（ ）cos A =A ．B ．C ．D ．12-1312236．已知正方体的棱长为为棱的中点，则四面体的体积为1111ABCD A B C D -2,P 1BB 1ACPD （ ）A ．2B C ．D ．837．已知，则（ ）4sin25α=-tan2πtan 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．4B ．2C ．D ．2-4-8．已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于，且与的22:1C y x -=F A x C 上支交于两点，则的最小值为（ ）,BD BF DF+A．B CD21-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，设函数()(),f x g x R ()()e xf xg x +=，则（ ）()()()g x G x f x =()G x A ．是奇函数B ．是偶函数C ．在上单调递减D ．在上单调递增R R 10．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π3y 对称，则（ ）A ．的图象关于直线对称B ．的最小值为()f x π3x =ω12C ．的最小正周期可以为D ．的图象关于原点对称()f x 4π52π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相1111ABCD A B C D -1111D C B A 等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略11111111m 224AB BC A B B C====1m不计，则下列说法正确的是（ ）A ．1AA =B ．该四棱台的侧面积为(2mC ．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面0.9m D ．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点A 1C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 13．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取22224:1(0)3x y C a a a +=>12,,F F A C 12AF AF 值范围是．14．已知两个不同的正数满足，则的取值范围是．,a b 33(1)(1)a b a b ++=ab 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数()1e 4xf x =(1)求曲线在点处的切线在轴上的截距；()y f x=()()1,1f l y (2)探究的零点个数．()f x 16．如图，在直三棱柱中，为棱上一点，111ABC A BC -12,1,AB BC AC AA M ====1CC 且．1AM BA ⊥(1)证明：平面平面；AMB ⊥1A BC (2)求二面角的大小．B AM C --17．设数列满足，且．{}n a ()122n n na n a +=+14a=(1)求的通项公式；{}n a(2)求的前项和．{}n a n n S 18．在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机Q R k 构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事A B 件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数()Q P A B =()R P B A =，其中．1o ee p p k p -=-()()()()()(),o e p P AB P AB p P A P B P A P B =+=+(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．Q R 实际有雷实际无雷总计检测到有雷402464检测到无雷102636总计5050100(2)对任意一次测试，证明：．()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-(3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若0.61k <≤0.20.6k <≤，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．00.2k ≤≤k 19．已知抛物线的焦点为，以点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别2:4C y x =F F x 交于点，与在第一象限的交点为．,H G C P (1)证明：直线与相切．PG C (2)若直线与的另一交点分别为，直线与直线交于点．,PH PF C ,M N MN PG T （ⅰ）证明：；4TM TN=（ⅱ）求的面积的最小值．PNT【分析】求得集合，可求{}24M x x =<<M N⋂【详解】因为，{}{}{}3124,1e M x x x x N x x =-<=<<=<≤所以．{}2e M N x x ⋂=<≤故选：C ．2．B【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念，以及复数的几何意义即可求解.【详解】因为，()()()()3i 1i i 342i 2i 1i 1i 1i 2z -++---====----+所以，2i z =-+故在复平面内对应的点为位于第二象限．z (2,1)-故选：B.3．D【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念公式进行计算即可.【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列可得，27,28,30,34,35,35,40,43故中位数为，343534.52+=平均数为．()12728303435354043348⨯+++++++=故选：D.4．B，求解即可.1≤【详解】由直线与圆有公共点，30kx y k --=22:1O x y +=可得圆心到直线的距离为，()0,0O 30kx y k--=1d =≤解得，所以的取值范围为．k ≤≤k ⎡⎢⎣故选：B.【分析】根据题意，利用正弦定理化简得，结合余弦定理，即可求解.222b c a bc +-=-【详解】因为，()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++由正弦定理得，即，()()2222a b c b c b c=+++222b c a bc +-=-又由余弦定理得.2221cos 22b c a A bc +-==-故选：C.6．A【分析】设与交于点，证得平面，得到，且AC BD O AC ⊥11BDD B 113OPD V S AC =⨯中，结合，即可求解.AC =11BDD B 111111BDD B BOP B OP D P D ODD S S S S S =--- 【详解】设与交于点，在正方形中，，AC BD O ABCD AC BD ⊥又由正方体中，平面，1111ABCD A B C D -1DD ⊥ABCD 因为平面，可得，AC ⊂ABCD 1AC DD ⊥又因为且平面，所以平面，1BD DD D = 1,BD DD ⊂11BDD B AC ⊥11BDD B所以四面体的体积为，且，1ACPD 113OPD V S AC =⨯ AC =在对角面中，可得，11BDD B 111111BDD B BOP B D P OPD ODD S S S S S =-=--所以四面体的体积为．1ACPD 123V =⨯=故选：A.7．D【分析】由已知可得，利用，可求值.251tan tan 2αα+=-tan2tan 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭22tan 1tan 2tan ααα=++【详解】因为，所以，2222sin cos 2tan 4sin2sin cos tan 15ααααααα===-++251tan tan 2αα+=-所以．2tan22tan 1tan tan 4ααπαα=⨯-⎛⎫+ ⎪⎝⎭221tan 2tan 2tan 41tan (1tan )1tan 2tan ααααααα-===-++++故选：D.8．B【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得，进而可得，利用两点1212,x x xx +22121x x +=间距离公式求出，并利用不等式方法求出其最小值.BF DF+【详解】由题可知．设圆，，.(F 22:()2A x a y -+=()11,B x y ()22,D x y 联立，得，则，22221()2y x x a y ⎧-=⎨-+=⎩222210x ax a -+-=212121,2a x x a x x -+==因此，故.()22212121221x x x x x x +=+-=222222121212112213y y x x x x +=+++=++=+=因为，所以，同理可得22111y x -=11BF===-.21DF =-故.)122BF DF yy +=+-又，且，故，从而22123y y +=12,1yy≥1y =≤=2y=≤=.())22121y y -≤所以)122BF DF y y +=+-2=2=2=2≥2==当时，有，，此时1a =()0,1B (D 11BF DF +=-+=所以的最小值是BF DF+故选：B.关键点睛：本题解题关键是由圆的方程与双曲线方程联立得到，再用不等式方法求22121x x +=其最小值.9．AD【分析】根据奇、偶性得到方程组求出、的解析式，从而得到的解析式，再()f x ()g x ()G x 由奇偶性的定义判断的奇偶性，利用导数判断函数的单调性.()G x 【详解】因为①，所以，()()e xf xg x +=()()e xf xg x --+-=即②，联立①②，解得，()()e xf xg x --=()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==所以，定义域为，又，()e e e e x x x x G x ---=+R ()()e e e e x xx xG x G x ----==-+所以是奇函数，又，()G x ()()()()()2222ee e e 40eeeexx x x xx xx G x ----+--=+'=>+所以在上单调递增，故A ，D 正确，B 、C 错误．()G x R 故选：AD10．ABD【分析】根据图象平移判断A ，根据关于直线对称可得判断B ，由周π3x =()132k k ω=+∈Z 期计算可判断C ，可先证明函数关于点对称，再由图象平移判断D.ω()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】对于A ，将的图象向左平移个单位长度后，关于轴对称，所以的图()f x π3y ()f x 象关于直线对称，故A 正确；π3x =对于B ，由题可知，解得，又，所以的最小()ππππ332k k ω+=+∈Z ()132k k ω=+∈Z 0ω>ω值为，故B 正确；12对于C ，若最小正周期，则，由B 项可知，不存在满足条件的，故C 错4π5T =2π52T ω==ω误；对于D ，因为，代入，得2π2ππsin 333f ω⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()132k k ω=+∈Z ，()2πsin 2π03f k ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以的图象关于点对称，将的图象向右平移个单位长度可以得到()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 2π3的图象，2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭则对称中心对应平移到坐标原点，故的图象关于原点对称，故D 正确．2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ABD 11．BD【分析】由勾股定理即可判断A ，由梯形的面积公式代入计算，即可判断B ，做出轴截面图形代入计算，即可判断C ，将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D 【详解】对于A ，由题意可得，故A错误；132AA ==对于B ，梯形11ADD A =所以梯形的面积为11ADD A 242+=梯形，11ABB A=所以梯形的面积为，11ABB A 122+=故该四棱台的侧面积为，故B正确；2⨯=对于C ，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，球恰好与面、面、面均相切，11ADD A 11BCC B ABCD 过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形，较长的底边上的底角的正切值为，则，12212=-tan 2MPN ∠=-由于互补，故，,MPN MON ∠∠tan 2MON ∠=则，所以，从而球的半径为22tan 21tan MOPMOP ∠=-∠tanMOP ∠=，0.9=<所以将半径为的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C 错误；0.9cm对于D ，将平面与平面展开至同一平面，ABCD 11DCC D 如图（2），则，1AC ==将平面与平面展开至同一平面，如图（3），ABCD 11BCC B 则，145333044AC ⎛=+=< ⎝D 正确．故选：BD难点点睛：解答本题的难点在于选项D 的判断，解答时要将空间问题转化为平面问题，将几何体侧面展开，将折线长转化为线段长，即可求解.12．672【分析】利用二项式定理，求得二项展开式中的通项，把含x 的进行幂运算合并，然后令指数等于3，即可求解.【详解】因为通项为，令，得，712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭77721771C (2)2C rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭72r 3-=2r =所以的系数为．3x 72272C 672-=故672.13．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据椭圆、、之间的关系，求出，再根据椭圆的定义，把换成a b c 12c a=1AF ，最后根据，代入即可.22a AF -[]2,AF a c a c ∈-+【详解】设椭圆的半焦距为，则，C (0)c c >12c a==，12222221AF a AF aAF AF AF -==-因为，即，[]2,AF a c a c ∈-+213,22AF a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，即.2211,33a AF ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦121,33AF AF ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为.1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．10,4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可.【详解】将两边展开，33(1)(1)a b a b ++=得到，22113333a a b b a b +++=+++从而，()()221130ab a b a b ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭故，而，()130a b a b ab ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭a b¹故，又，130a b ab ++-=00a b ＞，＞故，133a b ab =++>从而．321+<设函数，则，()3223g x x x=+112gg ⎛⎫<= ⎪⎝⎭观察易得在，()g x ()0,∞+12<又，所以．0,0a b >>104ab <<故答案为.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性解决问题.321+<()3223g x x x =+15．(1)12-(2)有两个零点()f x【分析】（1）求得，，利用导数的几何意()1e 4x f x '=()e 1142f ='-()e 114f =-义，求得切线方程，进而求得其在轴上的截距；y（2）得到在上递增，结合，得到，()1e 4x f x '=()0,∞+()10,104f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭''01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得，进而求得单调性，结合零点的存在性定理，即可求解.()00f x '=()f x【详解】（1）解析：由函数，可得，()1e 4x f x =()1e 4x f x '=()e 1142f ='-又，所以的方程为，即，()e 114f =-l ()e 1e 11424y x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭e 11422y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，可得，所以直线在轴上的截距为．0x =12y =-l y 12-（2）解：因为和上均单调递增，1e 4x y =y =()0,∞+所以在上单调递增，()1e 4x f x '=()0,∞+又因为，所以，使得，()141111e 10,1e 04442f f ⎛⎫=-=''- ⎪⎝⎭01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00f x '=所以，当时，，在单调递减；()00,x x ∈()0f x '<()f x ()00,x 当时，，在单调递增，()0,x x ∞∈+()0f x '>()f x ()0,x ∞+又因为，()()14100111e 1e 0,110,4e 2010041044f f f ⎛⎫=->=-=- ⎪⎝⎭所以有两个零点．()f x 方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型e xln x①，构造函数或；e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤()lnf x x x =()e xg x x =②，构造函数或；e e ln ln e ln a a a b b a b b <⇔<()ln x f x x =()e x g x x =③，构造函数或.e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±()lnf x x x =±()e xg x x =±16．(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）由线面垂直得到，结合勾股定理逆定理得到，证明出1AA BC ⊥BC AC ⊥平面，得到，结合题目条件证明出平面，得到面面垂直；BC⊥11AA C C AMBC ⊥AM ⊥1A BC （2）建立空间直角坐标系，设点，根据向量垂直得到方程，求出()0,0,M a ，进而求出平面的法向量，得到二面角的余弦值，得到答案.a M ⎛=⎝【详解】（1）在直三棱柱中，平面，111ABC A B C -1AA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，1AA BC ⊥∵2,1,AB BC AC ===∴，222AB AC BC =+∴，BC AC ⊥，平面，1AC AA A⋂=1,AC AA ⊂11AA C C ∴平面．BC ⊥11AA C C 平面，AM ⊂ 11AA C C ∴，AM BC ⊥，平面，11,AM A B A B BC B ⊥= 1,A B BC ⊂1A BC ∴平面．AM ⊥1A BC 又平面，AM ⊂AMB平面平面．∴AMB ⊥1A BC （2）由（1）可知两两垂直，1,,CA CB CC 如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标C 1,,CA CB CC x y z 系，Cxyz 则．())()10,0,0,,,0,1,0C AAB设点，()0,0,M a 则．()()()1,,0,1,0,AM a BA CB AB ==-==，解得．11,30AM BA AM BA ⊥∴⋅=-+=a M ⎛=∴ ⎝设平面的法向量为，AMB (),,m x y z =则可取．0,0,m AM z m AB y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩(m = 易知为平面的一个法向量．()0,1,0n CB ==AMCcos ,m n m n m n ⋅〈〉===⋅故由图可知二面角的大小为．B AM C --4π17．(1)()12nn a n n =+⋅(2)()21224+=-+⋅-n n S n n【分析】（1）由已知可得，累乘法可求的通项公式；()122n n n a a n ++={}n a （2）由（1）可得，利用错位相减法可求的前()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ {}n a 项和.n n S 【详解】（1）由题易知，且，0n a ≠()122n n n a a n ++=所以，()2341231212324251231n n n a a a a a a a a n -+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯- 所以，()()121121212n n n n n a n n a --+⋅==+⋅⨯所以也满足该式，()112,n n a n n a =+⋅所以．()12nn a n n =+⋅（2），①()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ ，②()()2121221212n n n S n n n n +=⨯⨯++-⋅++⋅ ②-①，得．()()11212212222n n n S n n n +=+⋅-⨯⨯+⨯++⋅ 设，③1212222nn T n =⨯+⨯++⋅ 则，④()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ④-③，得，()()()1121112222222122n n n n n n T n n n ++++=⋅-+++=⋅--=-+ 所以．()()()1121122124224n n n n S n n n n n +++=+⋅--⋅-=-+⋅-18．(1)；．0.625=Q 0.8R =(2)证明见解析(3)0.32【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可；（2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可；（3）由（2）计算出的值，判断机器人的检测效果即可.k 【详解】（1），()()()400.62564P AB Q P A B P B ====．()()()400.850P AB R P B A P A ====（2），()()()()()()1111111o e oe e P AB P AB p p p k p p P A P B P A P B ----==-=-----要证明，()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-需证明．()()()()()()()1221P AB P AB Q R QR Q R P AB P A P B P A P B --+-=+---等式右边：()()()()()()()()||2||22||2P A B P B A P A B P B A Q R QR Q R P AB P A B P B A P AB +-+-=+-+-．()()()()()()()()()()()()()22P AB P AB P AB P AB P B P A P B P A P AB P AB P AB P B P A +-⨯⨯=+-()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左边：因为，()()()()()1P A B P AB P A P B P AB ⋃=-=+-所以()()()()()()()()()()()()()121111P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P B P A P B P A P B --+-=⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦．()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左右两边相等，因此成立．()212Q R QRk Q R P AB +-=-+-（3）由（2）得，因为，0.6250.820.6250.810.320.6250.820.4k +-⨯⨯=-=+-⨯0.20.320.6<<所以（1）中机器人的检测效果一般．19．(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）163【分析】（1）根据题意，表示出直线的方程，然后与抛物线方程联立，由即可证明；PG Δ0=（2）（ⅰ）根据题意，设直线的方程为，与抛物线方程联立，即可得到点的PF 1x ty =+,N H 坐标，从而得到直线的方程，再与抛物线方程联立，即可得到点的坐标，再结合相似PH M 三角形即可证明；（ⅱ）由条件可得，再由代入计算，即可43PNTPNES S =△△12PNES EP EN = 证明.【详解】（1）由题意知，()1,0F 设，则，()2,2(0)P n n n >21PF n =+所以，所以，21GF FH n ==+()2,0G n -所以直线的斜率为，方程为．PG 1n ()21y x n n =+联立方程得，()221,4,y x n n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩22440y ny n-+=因为，所以直线与相切．Δ0=PG C （2）（ⅰ）设直线的方程为，PF 1x ty =+由可得，则，又因为，所以．24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩2440y ty --=4P N y y =-()2,2P n n 212,N n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭由（1）知，点，直线的斜率为，方程为，()22,0H n +PH n -()22y n x n=---由得，由，()224,2,y x y n x n ⎧=⎪⎨=---⎪⎩224480y y n n +--=248P M y y n =--得．22444,2M n n n n ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭作，垂足为，则，直线的方程为，NE PG ⊥E EN PM ∥EN 212y n x n n ⎛⎫=---⎪⎝⎭将直线与的方程联立，得解得．EN PG ()2212,1,y n x n n y x n n ⎧⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩11,E n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以，所以，2211441,,4,4EN n PM n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4PM EN =由相似三角形的性质可得．4TM TN=（ⅱ）由（ⅰ）知，所以，故，4TM TN=4TP TE=43PNT PNES S =△△因为，221111,,1,EP n n EN n n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以（当且仅当时等号成立），()323311114222PNEn S EP EN n n n +⎛⎫===+≥ ⎪⎝⎭ 1n =故，即的面积的最小值为．41633PNT PNES S =≥△△PNT 163方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。
2022-2023学年山东省滨州市高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省滨州市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是（ ） A ．∀x ∉R ，x 2≠xB ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x ∉R ，x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2＝x2．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣1，0}B ．{0，1}C ．{﹣1，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1}3．函数y =sinxe x +e −x (x ∈[−2，2])的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．若a =30.7，b =(13)0.8，c =log 312，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞b ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b5．现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则P （B |A ）＝（ ） A ．13B ．47C ．23D ．346．高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种B ．90种C ．125种D ．150种7．设a ∈R ，则“a ＜12”是“函数f(x)=12x 2−4ax +lnx 为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．李老师全家一起外出旅游，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3．已知邻居记得浇水的概率为0.6，忘记浇水的概率为0.4，那么李老师回来后发现花还存活的概率为（ ） A ．0.45B ．0.5C ．0.55D ．0.6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分． 9．已知实数a ，b ，c ，则下列命题中正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则ac ＞bcB ．若ac 2＞bc 2，则a ＞bC ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2D ．若b ＞a ＞0，则a+c b+c＞ab10．下列命题中正确的是（ ）A ．若X ～B （n ，p ），且E （X ）＝28，D （X ）＝24，则p =17B ．若ξ～N （0，1），且P （ξ＞1）＝p ，则P(−1＜ξ≤0)=12−p C ．若离散型随机变量X ，Y 满足Y ＝2X +1，则E （Y ）＝4E （X ）D ．对于任意一个离散型随机变量X ，都有D （X ）＝E （X 2）﹣（E （X ））211．袋内装有大小形状完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地随机取球，每次任取1个，直至取到白球后停止取球，则（ ） A ．抽取2次后停止取球的概率为35B ．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为910C ．取球3次的概率为110D ．取球次数ξ的期望为3212．已知函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数．对任意的x 1，x 2∈（1，2），且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则下列结论正确的是（ ）A ．f （2023）＝0B ．f （x ）是奇函数C ．f ′（2）＝0D ．f(−74)＜f(198)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知f （x ）＝xe x ，则f ′（0）＝ ．14．已知(1−2x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，则∑ 5i=1a i = ．15．已知0＜a ＜2，则42−a +1a 的最小值是 ．16．已知函数f(x)={−1x，x ＜0，4x x 2+1，x ≥0.函数g （x ）＝f （x ）﹣t 有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则实数t 的取值范围是 ；−1x 1+1x 2+1x 3的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=13x 3+x 2+ax(a ∈R)，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线平行于直线y ＝0． （1）求a 的值；（2）求函数f （x ）的极值．18．（12分）设n ∈N ∗，(2√x √x n 的展开式中前三项的二项式系数之和为22．（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含x 2的项．19．（12分）已知函数f(x)=log 2(4x +a ⋅2x +16)，其中a ∈R ． （1）当a ＝﹣10时，判断函数f （x ）的奇偶性，并说明理由； （2）当x ∈[2，+∞）时，f （x ）＞x 恒成立，求实数a 的取值范围．20．（12分）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2013年至2022年的年份代码x 和年研发投入y （单位：亿元）的散点图，其中年份代码1﹣10分别对应年份2013﹣2022．根据散点图，分别用模型①y ＝bx +a ，②y =c +d √x 作为年研发投入y 关于年份代码x 的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：表中t i =√x i ，t =110∑ 10i=1t i ．（1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y 关于年份代码x 的经验回归方程模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选模型，求出y 关于x 的经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入． 附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），⋯，（x n ，y n ），其经验回归直线y =a +b x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b =∑(x i−x)ni=1(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2，a =y −b x ．21．（12分）为研究某市居民的身体素质与户外体育锻炼时间的关系，对该市某社区100名居民平均每天的户外体育锻炼时间进行了调查，统计数据如表：规定：将平均每天户外体育锻炼时间在[0，40）分钟内的居民评价为“户外体育锻炼不达标”，在[40，60]分钟内的居民评价为“户外体育锻炼达标”．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为性别与户外体育锻炼是否达标有关联？（2）从上述“户外体育锻炼不达标”的居民中，按性别用分层抽样的方法抽取5名居民，再从这5名居民中随机抽取3人了解他们户外体育锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男性居民的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；（3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有居民中随机抽取3人，求其中恰好有2人“户外体育锻炼达标”的概率．参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．参考数据：（χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值）22．（12分）已知函数f(x)=alnx+12x2−(a+1)x，其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＞0时，判断函数f（x）的零点个数．2022-2023学年山东省滨州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是（ ） A ．∀x ∉R ，x 2≠xB ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x ∉R ，x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2＝x解：根据全称命题的否定是特称命题， ∴命题的否定是：∃x ∈R ，x 2＝x ． 故选：D ．2．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{﹣1，0}B ．{0，1}C ．{﹣1，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1}解：N ＝{x |x 2﹣x ﹣2≤0}＝{x |﹣1≤x ≤2}， 所以M ∩N ＝{﹣1，0，1，2}， 故选：C ．3．函数y =sinxe x +e −x (x ∈[−2，2])的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．解：f （﹣x ）=sin(−x)e −x +e x =−sinxe x +e−x =−f （x ），所以f （x ）为奇函数，排除选项A ， 又f （π2）=sin π2e π2+e −π2=1e π2+e −π212√e π2⋅e −π2=12，所以f （π2）∈（0，12），排除选项C 和D ． 故选：B ．4．若a =30.7，b =(13)0.8，c =log 312，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞b ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b解：a ＝30.7＞30＝1，b =(13)0.8＜(13)0=1，又b =(13)0.8＞0， c =log 312＜log 31=0， 所以a ＞b ＞c ． 故选：C ．5．现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则P （B |A ）＝（ ） A ．13B ．47C ．23D ．34解：由题意可得：事件A 基本事件数，C 42+C 32=9； 事件B 的基本事件数，C 32=3；所以P （B |A ）=39=13． 故选：A ．6．高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种B ．90种C ．125种D ．150种解：根据题意，分2步进行分析： 将5名交警分成1、2、2的三组，有C 52C 32C 11A 22=15种分组方法；将分好的三组全排列，对应3个路口，有A 33=6种情况， 则共有15×6＝90种分配方案． 故选：B ．7．设a ∈R ，则“a ＜12”是“函数f(x)=12x 2−4ax +lnx 为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：根据题意，f(x)=12x 2−4ax +lnx ，其定义域为（0，+∞）， 其导数f ′(x)=x −4a +1x ，若函数f(x)=12x 2−4ax +lnx 为增函数， 则f ′(x)=x −4a +1x ≥0在（0，+∞）上恒成立，即4a ≤x +1x在（0，+∞）上恒成立， 因为x +1x ≥2√x ⋅1x =2，当且仅当x =1x ，即x ＝1时，等号成立， 所以4a ≤2，解得a ≤12， 因为{a|a ＜12}⫋{a|a ≤12}，所以“a ＜12”是“函数f(x)=12x 2−4ax +lnx 为增函数”的充分不必要条件． 故选：A ．8．李老师全家一起外出旅游，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3．已知邻居记得浇水的概率为0.6，忘记浇水的概率为0.4，那么李老师回来后发现花还存活的概率为（ ） A ．0.45B ．0.5C ．0.55D ．0.6解：设事件A ：邻居记得浇水，事件B ：邻居忘记浇水，事件C ：花存活， 则有P （A ）＝0.6，P （B ）＝0.4，P （C |A ）＝0.8，P （C |B ）＝0.3，由全概率公式可得P （C ）＝P （A ）P （C |A ）+P （B ）P （C |B ）＝0.48+0.12＝0.6． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分． 9．已知实数a ，b ，c ，则下列命题中正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则ac ＞bcB ．若ac 2＞bc 2，则a ＞bC ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2D ．若b ＞a ＞0，则a+c b+c＞ab解：对于选项A ，当c ≤0时，若a ＞b ，则ac ≤bc ，错误； 对于选项B ，若ac 2＞bc 2，故c 2＞0，则a ＞b ，正确；对于选项C ，若a ＜b ＜0，则a 2﹣ab ＝a （a ﹣b ）＞0，ab ﹣b 2＝b （a ﹣b ）＞0， 所以a 2＞ab ＞b 2，正确； 对于选项D ，a+c b+c−a b=(a+c)b−a(b+c)(b+c)b=(b−a)c (b+c)b，当b ＞a ＞0时，b ﹣a ＞0，但是c 的符号与b +c 的符号不确定， 所以a+c b+c与ab大小关系不确定，错误．故选：BC ．10．下列命题中正确的是（ ）A ．若X ～B （n ，p ），且E （X ）＝28，D （X ）＝24，则p =17B ．若ξ～N （0，1），且P （ξ＞1）＝p ，则P(−1＜ξ≤0)=12−pC ．若离散型随机变量X ，Y 满足Y ＝2X +1，则E （Y ）＝4E （X ）D ．对于任意一个离散型随机变量X ，都有D （X ）＝E （X 2）﹣（E （X ））2 解：对于A ：∵随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），∴E （X ）＝np ＝28，D （X ）＝np （1﹣p ）＝24，解得p =17，故A 正确； 对于B ：∵随机变量ξ服从正态分布N （0，1）， ∴P(−1＜ξ≤0)=P(0＜ξ≤1)=12−p ，故B 正确； 对于C ：∵Y ＝2X +1，∴E （Y ）＝2E （X ）+1，故C 错误；对于D ：令P （X ＝x k ）＝p k ，k ＝1，2，⋯，n ，则D(X)=p 1(x 1−E(X))2+p 2(x 2−E(X))2+⋯+p n (x n −E(X))2=p 1x 12+p 2x 22+⋯+p n x n 2−2E(X)(p 1x 1+p 2x 2+⋯+p n x n )+(p 1+p 2+⋯+p n )E(X)2＝E （X 2）﹣2E （X ）•E （X ）+（E （X ））2＝E （X 2）﹣（E （X ））2，故D 正确． 故选：ABD ．11．袋内装有大小形状完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地随机取球，每次任取1个，直至取到白球后停止取球，则（ ） A ．抽取2次后停止取球的概率为35B ．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为910C ．取球3次的概率为110D ．取球次数ξ的期望为32解：设ξ 为取球的次数，则ξ的可能取值为1，2，3， 故P （ξ＝1）=35， P （ξ＝2）=25×34=310，P （ξ＝3）=25×14=110， 对于A ：抽取2次后停止取球的概率为P （ξ＝2）=310，故A 错误； 对于B ：停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为P （ξ＝1）+P （ξ＝2）=35+310=910，故B 正确；对于C ：取球三次的概率为P （ξ＝3）=110，故C 正确； 对于D ：E （ξ）＝1×35+2×310+3×110=32，故D 正确． 故选：BCD ．12．已知函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数．对任意的x 1，x 2∈（1，2），且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则下列结论正确的是（ ）A ．f （2023）＝0B ．f （x ）是奇函数C ．f ′（2）＝0D ．f(−74)＜f(198)解：因为f （x +1）为奇函数，f （x +2）为偶函数，所以f （x ）的图象关于点（1，0）对称，且关于直线x ＝2对称， 所以f （1+x ）＝﹣f （1﹣x ），f （2+x ）＝f （2﹣x ），f （1）＝0， 所以f （2+x ）＝f （2﹣x ）＝f （1+1﹣x ）＝﹣f [1﹣（1﹣x ）]＝﹣f （x ）， 所以f （x +4）＝﹣f （2+x ）＝f （x ）， 所以f （x ）是周期函数，4是它的一个周期，对于A ：f （﹣1）＝f （﹣1+4）＝f （3）＝f （2+1）＝f （2﹣1）＝f （1）＝0， 所以f （2023）＝f （4×506﹣1）＝f （﹣1）＝0，故A 正确； 对于B ：因为f （1+x ）＝﹣f （1﹣x ）， 所以f （2﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （﹣x ）＝﹣f （2+x ）＝﹣f （2﹣x ）＝f （x ），f （x ）是偶函数，故B 错误； 对于C ：对任意的x 1，x 2∈（1，2），且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，即1＜x 1＜x 2＜2时，f （x 1）＜f （x 2），所以f （x ）在（1，2）是单调递增，即f ′（x ）＞0， 又因为f （x ）的图象关于直线x ＝2对称，所以f （x ）在（2，3）是单调递减，即f ′（x ）＜0，所以x ＝2是f （x ）的极大值点，因为导函数f ′（x ）的定义域均为R ，即f ′（2）存在， 所以f ′（2）＝0，C 正确； 对于D ：f(−74)=f(74)，f(198)=f(−198)=f(−198+4)=f(138)，2＞74＞138＞1，f(74)＞f(138)， 所以f(−74)＞f(198)，故D 错． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知f （x ）＝xe x ，则f ′（0）＝ 1 ． 解：因f （x ）＝xe x ，所以f ′（x ）＝e x +xe x ＝（x +1）e x ， 所以f ′（0）＝（0+1）e 0＝1． 故答案为：1．14．已知(1−2x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，则∑ 5i=1a i = ﹣2 ． 解：令x ＝0可得：（1﹣2×0）5＝a 0，所以a 0＝1， 令x ＝1可得：（1﹣2×1）5＝a 0+a 1+a 2+⋯+a 5， 即1+a 1+a 2+⋯+a 5＝﹣1， 所以a 1+a 2+⋯+a 5＝﹣2． 故答案为：﹣2． 15．已知0＜a ＜2，则42−a+1a的最小值是92．解：因为0＜a ＜2， 则42−a+1a=12（42−a +1a）（2﹣a +a ）=12（5+4a 2−a +2−a a ）≥12（5+2√4a 2−a ⋅2−a a ）=92，当且仅当4a 2−a =2−a a，即a =23时取等号故答案为：92．16．已知函数f(x)={−1x ，x ＜0，4x x 2+1，x ≥0.函数g （x ）＝f （x ）﹣t 有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则实数t 的取值范围是 （0，2） ；−1x 1+1x 2+1x 3的取值范围是 （4，+∞） ． 解：当x ≥0时，f （x ）=4x x 2+1=4x+1x，由对勾函数的性质可知，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当x＝1时，f（x）max＝2，作出f（x）的图象，如图所示：若函数g（x）＝f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3，则函数y＝f（x）的图象与直线y＝t有3个交点，由图可知，实数t的取值范围为（0，2），当y＝2时，x1=−12，x2＝x3＝1，此时−1x1+1x2+1x3=4，因为4x+1x =t（0＜t＜2），所以x2−4tx+1=0，所以x2+x3=4t，x2x3＝1，所以1x2+1x3=x2+x3x2x3=4t，又因为−1x1=t，所以−1x1+1x2+1x3=t+4t，由对勾函数的性质可知，y＝t+4t在（0，2）上单调递减，所以−1x1+1x2+1x3＞4，即−1x1+1x2+1x3的取值范围为（4，+∞）．故答案为：（0，2）；（4，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=13x3+x2+ax(a∈R)，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于直线y＝0．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的极值．解：（1）由题意得f′（x）＝x2+2x+a，∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于直线y＝0，即f′（1）＝0，∴12+2×1+a＝0，解得a＝﹣3；（2）由（1）得f(x)=13x3+x2−3x，f′（x）＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），由f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣3，由f′（x）＜0得﹣3＜x＜1，∴f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣3）和（1，+∞），单调递减区间是（﹣3，1），∴当x＝﹣3时，f（x）取得极大值f(−3)=13×(−3)3+(−3)2−3×(−3)=9，当x＝1时，f（x）取得极小值f(1)=13+1−3=−53．18．（12分）设n∈N∗，(2√x√xn的展开式中前三项的二项式系数之和为22．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中含x2的项．解：（1）因为展开式中前三项的二项式系数之和为22，所以C n0+C n1+C n2=22，即n2+n﹣42＝0，解得n＝6，或n＝﹣7（舍）．所以展开式中共7项，二项式系数最大的项为第4项，即T4=C63(2√x)31√x)3=−160．（2）由题意知展开式的通项为T r+1=C6r(2√x)6−r 1√x)r=(−1)r C6r26−r x3−r，r＝0，1，2，⋯，6．令3﹣r＝2，解得r＝1．所以展开式中含x2的项为T2=(−1)1×C61×25x2=−192x2．19．（12分）已知函数f(x)=log2(4x+a⋅2x+16)，其中a∈R．（1）当a＝﹣10时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当x∈[2，+∞）时，f（x）＞x恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝﹣10时，f(x)=log2(4x−10×2x+16)，由4x﹣10×2x+16＞0得（2x﹣2）（2x﹣8）＞0，故2x＜2或2x＞8，得x＜1或x＞3，故函数f(x)=log2(4x−10×2x+16)的定义域为（﹣∞，1）∪（3，+∞），因函数f （x ）的定义域不关于原点对称， 所以函数f （x ）为非奇非偶函数．（2）由f （x ）＞x ，得log 2(4x +a ⋅2x +16)＞x =log 22x ， 得4x +a •2x +16＞2x ， 即4x +（a ﹣1）•2x +16＞0， 设t ＝2x ，g （t ）＝t 2+（a ﹣1）•t +16 因x ∈[2，+∞），故t ＝2x ≥4，所以当x ∈[2，+∞）时，f （x ）＞x 恒成立，即为g （t ）＝t 2+（a ﹣1）•t +16在t ∈[4，+∞）上最小值大于0， 函数g （t ）＝t 2+（a ﹣1）•t +16的对称轴为t =1−a2， 当1−a 2＜4，即a ＞﹣7时，函数g （t ）在[4，+∞）上单调递增，此时g （4）＝42+4（a ﹣1）+16＞0，得a ＞﹣7， 当1−a 2≥4，即a ≤﹣7时，函数g （t ）在对称轴取得最小值，此时g(1−a2)=(1−a2)2+(a −1)(1−a2)+16＞0， 得﹣7＜a ＜9（舍去），故a 的取值范围为（﹣7，+∞）．20．（12分）为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2013年至2022年的年份代码x 和年研发投入y （单位：亿元）的散点图，其中年份代码1﹣10分别对应年份2013﹣2022．根据散点图，分别用模型①y ＝bx +a ，②y =c +d √x 作为年研发投入y 关于年份代码x 的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：表中t i =√x i ，t =110∑ 10i=1t i． （1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y 关于年份代码x 的经验回归方程模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选模型，求出y 关于x 的经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入． 附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），⋯，（x n ，y n ），其经验回归直线y =a +b x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b =∑(x i−x)ni=1(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2，a =y −b x ．解：（1）根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜． （2）设t =√x ，所以y ＝c +dt ， 所以d =∑ 10i=1(y i −y)(t i −t)∑ 10i=1(t i −t)2=6.3，c =y −d t =60.825，所以y 关于x 的经验回归方程为y =60.825+6.3√x ， 令x ＝16，则y ＝60.825+6.3×4＝86.025，即预测该公司2028年的高科技研发投入86.025亿元．21．（12分）为研究某市居民的身体素质与户外体育锻炼时间的关系，对该市某社区100名居民平均每天的户外体育锻炼时间进行了调查，统计数据如表：规定：将平均每天户外体育锻炼时间在[0，40）分钟内的居民评价为“户外体育锻炼不达标”，在[40，60]分钟内的居民评价为“户外体育锻炼达标”．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为性别与户外体育锻炼是否达标有关联？（2）从上述“户外体育锻炼不达标”的居民中，按性别用分层抽样的方法抽取5名居民，再从这5名居民中随机抽取3人了解他们户外体育锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男性居民的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；（3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有居民中随机抽取3人，求其中恰好有2人“户外体育锻炼达标”的概率．参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．参考数据：（χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值）解：（1）零假设为H0：性别与户外体育锻炼是否达标无关联．根据列联表中的数据，经计算得到χ2=100×(30×10−15×45)275×25×45×55=10033≈3.030＜3.841=χ0.05，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为性别与户外体育锻炼是否达标无关联．（2）易知，所抽取的5名居民中男性为5×3075=2名，女性为5×4575=3名．X的所有可能取值为0，1，2，P(X=0)=C33C53=110，P(X=1)=C21C32C53=35，P(X=2)=C22C31C53=310，所以X的分布列为所以E(X)=0×110+1×35+2×310=65． （3）设所抽取的3名居民中“户外体育锻炼达标”的人数为ξ， 列联表中居民“户外体育锻炼达标”的频率为25100=14，将频率视为概率则ξ～B(3，14)，所以P(ξ=2)=C 32×(14)2×34=964，所以从该市所有居民中随机抽取3人，其中恰有2人“户外体育锻炼达标”的概率为964．22．（12分）已知函数f(x)=alnx +12x 2−(a +1)x ，其中a ∈R ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＞0时，判断函数f （x ）的零点个数． 解：（1）因为f(x)=alnx +12x 2−(a +1)x ， 所以函数f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′(x)=a x +x −(a +1)=x 2−(a+1)x+a x =(x−1)(x−a)x， 令f '（x ）＝0，得x ＝1或x ＝a ，①当a ≤0时，令f ′（x ）＜0，得x ∈（0，1），令f ′（x ）＞0，得x ∈（1，+∞）， 所以函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； ②当0＜a ＜1时，令f ′（x ）＜0，得x ∈（a ，1）， 令f ′（x ）＞0，得x ∈（0，a ）∪（1，+∞），所以函数f （x ）在（0，a ）和（1，+∞）上单调递增，在（a ，1）上单调递减；③当a ＝1时，f ′(x)=(x−1)2x≥0，所以函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增； ④当a ＞1时，令f ′（x ）＜0，得x ∈（1，a ）， 令f ′（x ）＞0，得x ∈（0，1）∪（a ，+∞），所以函数f （x ）在（0，1）和（a ，+∞）上单调递增，在（1，a ）上单调递减． 综上所述，a ≤0时，f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； 0＜a ＜1时，f （x ）在（0，a ）和（1，+∞）上单调递增，在（a ，1）上单调递减；a＝1 时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；a＞1时，f（x）在（0，1）和（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减．（2）由（1）得f′(x)=(x−1)(x−a)x，因为a＞0，①若0＜a＜1，当0＜x＜a时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当a＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；所以f（x）有极大值f(a)=alna+12a2−(a+1)a=a(lna−12a−1)＜0，极小值f(1)=−a−12＜0，又f（2a+2）＝aln（2a+2）＞0，所以函数f（x）有1个零点．②若a＝1，则f′(x)=(x−1)2x≥0，所以函数f（x）单调递增，此时f(1)=−32＜0，f（2a+2）＝aln（2a+2）＞0，所以函数f（x）有1个零点．③若a＞1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x＜a时，f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减；当x＞a时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；所以f（x）有极大值f(1)=−a−12＜0，显然极小值f（a）＜0，又f（2a+2）＝aln（2a+2）＞0，所以函数f（x）有1个零点．综上所述，当a＞0时，函数f（x）的零点个数为1．。
2023-2024学年重庆市高二(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年重庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ，若系数b ，c ，d 可以发生改变，则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29，当地人小王16岁时身高167cm ，他父亲身高170cm ，则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ，在x =−1时有极大值6e −1，则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品(单位：件)均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16，则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题：本题共3小题，共18分。
潍坊市高二数学下学期期末考试试题含解析
学生
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
平均
标准差
数学
88
62
物理
75
63
若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩分布曲线，虚线表示全班物理成绩分布曲线，则下列正确的是( ）
∴ 面 ,又 面 ，即有 ，故B正确
选项C中，点 运动到 中点时，即在△ 中 、 均为中位线
∴Q为中位线的交点
∴根据中位线的性质有： ，故C错误
选项D中,由于 ，直线 与 所成角即为 与 所成角：
结合下图分析知：点 在 上运动时
当 在 或 上时， 最大为45°
当 在 中点上时， 最小为
∴ 不可能是30°，故D正确
故选:B
【点睛】本题主要考查利用棱柱侧面展开图求解距离最值问题,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
8. 在桌面上有一个正四面体 .任意选取和桌面接触的平面的三边的其中一条边，以此边为轴将正四面体翻转至另一个平面,称为一次操作.如图，现底面为 ，且每次翻转后正四面体均在桌面上，则操作3次后，平面 再度与桌面接触的概率为（ ）
二、多项选择题：
9。 已知复数 的共轭复数为 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A。 B。 虚部为 C。 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先利用题目条件可求得 ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．
【详解】由 可得, ,所以 ， 虚部为 ；
高二下学期期末考试数学试卷(含参考答案)
高中二年级学业水平考试数学（测试时间120分钟，满分150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知i 是虚数单位，若复数))((R a i a i ∈+-的实部与虚部相等，则=a （A ）2-（B ）1- （C ）1 （D ）2（2）若集合{}0,1,2A =，{}24,B x x x N =≤∈，则AB =（A ）{}20≤≤x x（B ）{}22≤≤-x x （C ）{0,1,2} （D ）{1,2}（3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为（A ）9-（B ）9-（C ）9（D ）9（5）在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为 （A ）23 （B ）15 （C ）52 （D ）14（6）已知抛物线2y x =的焦点是椭圆22213x y a +=的一个焦点，则椭圆的离心率为（A ）37（B ）13（C ）14 （D ）17（7）以下函数，在区间[3,5]内存在零点的是（A ）3()35f x x x =--+ （B ）()24x f x =-图2俯视图侧视图主视图（C ）()2ln(2)3f x x x =-- （D ）1()2f x x=-+ （8）已知(2,1),(1,1)a b ==，a 与b 的夹角为θ，则cos θ=（A）10 （B）10 （C）5 （D）5（9）在图1的程序框图中，若输入的x 值为2，则输出的y 值为（A ）0 （B ）12 （C ）1- （D ）32- （10）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的侧面积是（A ）76 （B ）70 （C ）64 （D ）62 （11）设2()3,()ln(3)xf x eg x x =-=+，则不等式(())(())11f g x g f x -≤的解集为（A ）[5,1]- （B ）(3,1]- （C ）[1,5]- （D ）(3,5]-(12) 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为（A ）∞（-,-2） （B ）1∞（-,-) （C ）(1,+)∞ （D ）(2,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）函数()cos f x x x =+的最小正周期为 ．（14）已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-3322y x y x x y ，则y x -2的最小值为 .（15）已知直线l ：0x y a -+=，点()2,0A -，()2,0B . 若直线l 上存在点P 满足AP BP ⊥，则实数a 的取值范围为 .（16）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2,b =3B π=，且△ABC 的面DC 1B 1CBA积S =a c += .三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足141,4a a ==；数列{}n b 满足12b a =，25b a =，数列{}n n b a -为等比数列． (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（Ⅱ）已知该地区有X ,Y 两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X 型车，高一级学生都租Y 型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的概率.（19）（本小题满分12分）如图3，已知四棱锥11A CBB C -的底面为矩形，D 为1AC 的中点，AC ⊥平面BCC 1B 1． （Ⅰ）证明：AB//平面CDB 1; （Ⅱ）若AC=BC=1，BB 1（1）求BD 的长；（2）求三棱锥C-DB 1C 1的体积. 图3 （20）（本小题满分12分）已知过点(0,1)A 的动直线l 与圆C ：224230x y x y +---=交于M ，N 两点. （Ⅰ）设线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程; （Ⅱ）若2OM ON ⋅=-,求直线l 的方程. （21）（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若对任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()213022f x x ax +++≤成立，求实数a 的取值范围． 请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14，得曲线C . （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：410x y ++=与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|2|||f x x x a =-+-. （Ⅰ）若2a =-，解不等式5)(≥x f ；（Ⅱ）如果当x R ∈时，()3f x a ≥-，求a 的取值范围．数学参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：部分解析：（10）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其侧面积为42+44+245=64⨯⨯⨯⨯.（11）(())(())11f g x g f x -≤即22(3)3211450x x x x +--≤⇒+-≤51x ⇒-≤≤，注意到30x +>，即3x >-，故31x -<≤.（12）当0a =时，函数2()31f x x =-+有两个零点，不符合题意，故0a ≠，2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，令'()0f x =得0x =或2x a =，由题意知，0a >，且2()0f a>，解得2a >．二、填空题：（15）问题转化为求直线l 与圆2222x y +=有公共点时，a 的取值范围，数形结合易得a -≤.（16）由余弦定理得2222cos 4b a c ac B =+-=，即224a c ac +-=，1sin 24S ac B ac ===得4ac =，故2()164a c a c +=⇒+= 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由数列{}n a 是等差数列且141,4a a ==∴公差4113a a d -==， ------------------------------------------------------------------------------1分 ∴1(1)n a a n d n =+-=，------------------------------------------------------------------------------3分 ∵12b a ==2，25b a ==5，∴11221,3,b a b a -=-= ∴数列{}n n b a -的公比22113b a q b a -==-，-----------------------------------------------------------5分∴1111()3n n n n b a b a q ---=-=，∴13n n b n -=+；-------------------------------------------------------------------------------------------7分 (Ⅱ)由13n n b n -=+得21(12)(1333)n n S n -=++++++++--------------------------------------------------------9分(1)31231n n n +-=+- 3(1)12n n n ++-=------------------------------------------------------------------------------------ 12分 （18）解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为56=29+6⨯， ------2分 高二学生的人数为:59=39+6⨯； -------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）解法1：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，(a 2,b 1), (a 2,b 2), (a 2,b 3), (b 1,b 2), (b 1,b 3), (b 2,b 3)，共10种可能； ----------------------------------------------------------8分 其中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的有：111213(,),(,),(,)a b a b a b ，212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共9种，------------------------------------------10分故所求的概率910P =.-----------------------------------------------------------------------------------------12分 【解法:2：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，EABCB 1C 1D212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共10种可能；--------------------------------------8分其中所抽的2人都不租X 型车的有：12(,)a a 一种，-------------------------------------------------9分 故所求的概率1911010P =-=. ---------------------------------------------------------------------------12分 （19）解：（Ⅰ）证明：连结1BC 交1B C 于E ，连结DE ， ------------------------------------------1分 ∵D 、E 分别为1AC 和1BC 的中点，∴DE//AB,---------------------------------- --------------------2分 又∵DE ⊂平面1CDB ,AB ⊄平面1CDB ,∴AB//平面CDB 1;---------------------------------------------4分 （Ⅱ）（1）∵AC ⊥平面BCC 1B 1，BC ⊂平面11BCC B ， ∴BC AC ⊥, 又∵1BC CC ⊥,1ACCC C =，∴BC ⊥平面1ACC ， ∵CD ⊂平面1ACC ,∴BC CD ⊥,----------------------------------------------------------------------------------------------------6分 在Rt BCD ∆,∵BC=1，1112CD AC ===, ∴BD =分【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】 （2）解法1：∵BC ⊥平面1ACC ，BC//B 1C 1∴11B C ⊥平面1CC A ,-----------------------------------------------------------------------------------------10分 ∴111111113C DB C B CDC CDC V V S B C --∆==⋅111134=⨯⨯=. ---------------------------------12分 【解法2：取1CC 中点F,连结DF ，∵DF 为△1ACC 的中位线，∴DF//AC,-------------------------------------------------------------------9分 ∵AC ⊥平面11CBB C ，从而可得DF ⊥平面11CBB C ,----------------------------------------------10分∴11111113C DB C D CB C CB C V V S DF --∆==⋅1111322=⨯⨯=. --------------------------------12分 （20）解法（Ⅰ）将224230x y x y +---=化为标准方程得:222(2)(1)x y -+-=, ----------------------------------------------------------------------------1分可知圆心C 的坐标为(2,1),半径r =设点P 的坐标为(,)x y ,则(2,1),(,1)CP x y AP x y =--=-,---------------------------------------2分 依题意知CP AP ⊥,∴0CP AP ⋅=(2)(1)(1)0x x y y ⇒-+--=整理得:222210x y x y +--+=, ------------------------------------------------------------------------4分∵点A 在圆C 内部, ∴直线l 始终与圆C 相交,∴点P 的轨迹方程为222210x y x y +--+=.----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ,若直线l 与x 轴垂直,则l 的方程为0x =,代入224230x y x y +---=得2230y y --=,解得1y =-或3y =,不妨设121,3y y =-=,则3OM ON ⋅=-,不符合题设, ------------------------------------------------7分 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为1y kx =+,由224230,1.x y x y y kx ⎧+---=⎨=+⎩消去y 得:22(1)440k x x +--=, --------------------------------8分 216(2)0k ∆=+>,则12122244,11x x x x k k+==-++,------------------------------------------------------------------------9分 由2OM ON ⋅=-得212121212(1)()12x x y y k x x k x x +=++++=-,∴22244(1)1211kk k k-+++=-++2410k k ⇒-+=,解得:2k =±分∴当2OM ON ⋅=-时,直线l 的方程为(21y x =++或(21y x =-+. --------------12分 （21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()ln 1f x x '=+，令'()0f x =得1x e=，-------------------------------------------------------------2分 当10x e <<时'()0f x <，当1x e>时，'()0f x >， ∴函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，----------------------------------------4分∴函数()f x 无极大值， 当1x e =时，函数()f x 在(0,)+∞有极小值，11()()f x f e e==-极小，--------------------------5分 （Ⅱ）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()213022f x x ax +++≤，得3ln 22x a x x ≤---，--------------6分 记()3ln 22x g x x x =---，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()()2231113222x x g x x x x +-'=--+=-， 当∈x 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，得'()0g x >，当∈x ()1,e 时， '()0g x <∴()g x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,e 上单调递减，---------------------------------------------------9分又113122e g e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3122e g e e=---， ∵012)()1(<-+=-e e e g e g ，∴()1g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，-------------------------------------------------10分故()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故只需1a g e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即实数a 的取值范围是13,122e e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦．------------------------------------------------------------12分 选做题：（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式1',4'.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得4','x x y y ==-------------------------------------2分 代入221x y +=中得2216''1x y +=，--------------------------------------------------------------------3分故曲线C 的参数方程为1cos ,4sin .x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数）；----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由题知，121(,0),(0,1)4P P --，--------------------------------------------------------------------6分 故线段P 1 P 2中点11(,)82M --，---------------------------------------------------------------------------7分∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14，故线段P 1 P 2的中垂线的方程为111()248y x +=+------------------------------------------------------8分即832150x y --=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得其极坐标方程为8cos 32sin 150ρθρθ--=----------------------------------------------------------10分 （23）解：(Ⅰ)当a ＝－2时，f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|， ①当2x ≤-时，原不等式化为：25,x -≥解得52x ≤-，从而52x ≤-；-------------------------1分 ②当22x -<≤时，原不等式化为：45≥，无解；---------------------------------------------------2分 ③当2x >时，原不等式化为：25,x ≥解得52x ≥，从而52x ≥；----------------------------------3分 综上得不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2525x x x 或.----------------------------------------------------------------5分(Ⅱ)当x R ∈时，|2||||2()||2|x x a x x a a -+-≥---=- ---------------------------------------7分 所以当x R ∈时，()3f x a ≥-等价于|2|3a a -≥------（*） 当2a ≥时，（*）等价于23,a a -≥-解得52a ≥，从而52a ≥；----------------------------------8分 当2a <时，（*）等价于23,a a -≥-无解；------------------------------------------------------------9分 故所求a 的取值范围为5[,+2∞）. --------------------------------------------------------------------------10分。
高二下学期期末考试数学试卷和答案
高二下学期期末考试数学试卷和答案一、 选择题：(每题4分，共48分) 将答案填图在答题卡上.1．复数31ii--等于（ ） A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i - 2．=-⎰π20)sin (dx x （ ）A ．0 C.－23．若复数i i z -=1，则=|z |( )A ．21B ．22C ．1D ．24．从0，1，2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，能够确定不在x 轴上的点的个数是（ ）A ．100 B ．90 C ．81 D ．725.若函数3()33f x x bx b =-+在（0，1）内有极小值，则（ ） A ．01b <<B ．1b <C ．0b >D ．12b <6．在二项式5)1(xx -的展开式中，含x 3的项的系数是（ ）7．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ）.A ．B ．C ．D ．8．若圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x （θ为参数），直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x （t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）。
A. 相交过圆心B.相交而不过圆心C.相切D.相离9．有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中7个球标有字母A 、3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一号盒子中任取一球，若取得标有字母A 的球，则在第二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三号盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，那么试验成功的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．y y y10．设31(3)n x x+的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P +S =272，则n 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．811．设一随机试验的结果只有A 和A ，()P A p =，令随机变量10A X A =⎧⎨⎩，出现，，不出现，，则X 的方差为（ ）Ａ．p Ｂ．2(1)p p -Ｃ．(1)p p -- Ｄ．(1)p p -天津市大港一中08—09学年高二下学期期末考试（数学理）12.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==1112t t y t x （t 为参数）所表示的曲线是（ ）。
2022-2023学年山东省枣庄市高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省枣庄市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．一个质点运动的位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）的关系可用s （t ）＝3﹣2t +t 2表示，那么质点在t ＝2秒时的瞬时速度是（ ） A ．2米/秒B ．3米/秒C ．4米/秒D ．5米/秒2．下列求导运算正确的是（ ） A ．(1x )′=1x 2 B ．(√x)′=12√xC ．(x e x )′=x−1e xD ．（cos x ）′＝sin x3．在对一组成对样本数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，3，⋯，n ）进行分析时，从已知数据了解到预报变量y 随着解释变量x 的增大而减小，且大致趋于一个确定的值．则下列拟合函数中符合条件的是（ ） A ．y ＝kx +b （k ＞0） B ．y ＝﹣klnx +b （k ＞0） C ．y =−k √x +b(k ＞0)D ．y ＝ke ﹣x +b （k ＞0）4．某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X 为其中有奖的瓶数，则E （5X +1）为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．75．在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+⋯+（1﹣x ）10的展开式中，含x 2的项的系数为（ ） A ．165B ．﹣165C ．155D ．﹣1556．现将甲、乙、丙、丁4位老师安排到A ，B ，C 三所学校工作，要求每所学校都有人去，每人只能去一所学校，则甲、乙两人至少有1人到A 学校工作的分配方案数为（ ） A ．12B ．22C ．24D ．267．已知事件A ，B 满足P(A)=35，P(B|A)=23，P(B|A)=14，则P （B ）＝（ ） A ．12B ．35C ．710D ．458．已知a =79，b ＝0.7e 0.1，c =cos 23，则（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列等式成立的是（ ）A ．A n m =n!m!B ．C n m=m+1n+1C n+1m+1C ．A n+1n+1−A n n =n 2A n−1n−1D ．C n 1+C n 2+⋯+C n n=2n10．下列结论正确的是（ ）A ．经验回归直线y =b x +a 恒过样本点的中心(x ，y)，且在经验回归直线上的样本点越多，拟合效果越好B ．在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，那么χ2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大C ．若散点图中所有点都在直线y ＝﹣x +1上，则相关系数r ＝1D ．根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得χ2＝2.974．依据α＝0.05的独立性检验P （χ2≥3.841＝0.05），则变量x 与y 独立11．随机变量X ～N （30，62），Y ～N （34，22），则下列命题中正确的是（ ） A ．若P （X ≤27）＝a ，则P （30≤X ＜33）＝0.5﹣aB ．随机变量X 的密度曲线比随机变量Y 的密度曲线更“瘦高”C ．P （X ≤34）＞P （Y ≤34）D ．P （X ≤24）＜P （Y ≤30）12．已知函数f(x)=x 2e x +e x−4−ax 有四个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则（ ） A ．x 1+x 2＞2B ．2e2＜a ＜1e+1e 3C ．ln （x 1x 2x 3x 4）﹣（x 1+x 2+x 3+x 4）＝﹣8D ．若x 2=2−√3，则x 4=2+√3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．拟从5名班干部中选若干人在周一至周五期间值班（每天只需1人值班），要求同一名班干部不连续值班2天，则可能的安排方法有 种．（用数字作答） 14．已知变量x 和y 的统计数据如下表：若由表中数据得到经验回归直线方程为y =−3.2x +a ，则x ＝9时的残差为 ．15．数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理．由等式（1+x ）m （1+x ）n＝（1+x ）m +n利用算两次原理可得C m 0C n k +C m 1C n k−1+C m 2C n k−2+⋯⋯+C m k C n 0= ．16．已知定义在R 上的函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足f ′（x ）﹣f （x ）＜0，f （2）＝e ，则不等式f （x ）＞e x﹣1的解集是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）现有来自三个班级的考生报名表（一人一表），分装3袋．第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和3名女生的报名表，第三袋有5名男生和5名女生的报名表．随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率．18．（12分）某中学为调查本校学生“保护动物意识的强弱与性别是否有关”，采用简单随机抽样的方法，从该校分别抽取了男生和女生各50名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图： （1）根据已知条件，将如表2×2列联表补充完整：（2）根据（1）表中数据，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析该校学生保护动物意识的强弱与性别是否有关．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．19．（12分）已知f(x)=(2x −1x )n (n ∈N ∗)的展开式中第5项与第3项的二项式系数相等． （1）求n 及展开式中各项系数的和； （2）求(1+1x 4)f(x)的常数项．20．（12分）已知函数f(x)=13x3−4x+4．（1）求曲线y＝f（x）在点（3，1）处的切线方程；（2）若f（x）在区间（a，a+5）上既有最大值又有最小值，求a的取值范围．21．（12分）某学习平台中“挑战答题”积分规则如下：选手每天可参加一局“挑战答题”活动．每局中选手需依次回答若干问题，当累计回答正确3道题时，答题活动停止，选手获得10个积分；或者当累计回答错误2道题时，答题活动停止，选手获得8个积分．假定选手甲正确回答每一道题的概率均为p （0＜p＜1）．（1）甲完成一局“挑战答题”活动时回答的题数记为X，求X的分布列；（2）若p=23，记Y为“甲连续9天参加‘挑战答题’活动获得的积分”，求E（Y）．22．（12分）已知函数f(x)=lnx+ax−1x ，g(x)=xlnx+(a−1)x+1x．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）记f（x）的零点为x0，g（x）的极小值点为x1，当a∈（1，4）时，判断x0与x1的大小关系，并说明理由．2022-2023学年山东省枣庄市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．一个质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）的关系可用s（t）＝3﹣2t+t2表示，那么质点在t＝2秒时的瞬时速度是（）A．2米/秒B．3米/秒C．4米/秒D．5米/秒解：因为函数s（t）＝3﹣2t+t2，所以s′（t）＝﹣2+2t，当t＝2时，s′（2）＝﹣2+2×2＝2，故物体在t＝2秒时的瞬时速度为2米/秒．故选：A．2．下列求导运算正确的是（）A．(1x )′=1x2B．(√x)′=12√xC．(xe x )′=x−1e xD．（cos x）′＝sin x解：对于A，(1x)′=(x−1)′=−x−2=−1x2，A错误；对于B，(√x)′=(x 12)′=12x−12=12√x，B正确；对于C，(xe x)′=e x−xe xe2x=1−xe x，C错误；对于D，（cos x）′＝﹣sin x，D错误．故选：B．3．在对一组成对样本数据（x i，y i）（i＝1，2，3，⋯，n）进行分析时，从已知数据了解到预报变量y随着解释变量x的增大而减小，且大致趋于一个确定的值．则下列拟合函数中符合条件的是（）A．y＝kx+b（k＞0）B．y＝﹣klnx+b（k＞0）C．y=−k√x+b(k＞0)D．y＝ke﹣x+b（k＞0）解：当k＞0时，函数y＝kx+b为增函数，k＞0时，函数y＝﹣klnx+b、y=−k√x+b、y＝ke﹣x+b均为减函数，且当x→+∞，y＝﹣klnx+b→﹣∞，y＝﹣k√x+b→﹣∞，y＝ke﹣x+b→b，故选：D．4．某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X 为其中有奖的瓶数，则E（5X+1）为（）A ．4B ．5C ．6D ．7解：依题意，X 的可能值为0，1，2，则P(X =0)=C 32C 52=310，P(X =1)=C 31C 21C 52=35，P(X =2)=C 22C 52=110， 因此E(X)=0×310+1×35+2×110=45， 所以E （5X +1）＝5E （X ）+1＝5． 故选：B ．5．在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+⋯+（1﹣x ）10的展开式中，含x 2的项的系数为（ ） A ．165B ．﹣165C ．155D ．﹣155解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+⋯+（1﹣x ）10的展开式中含x 2的项的系数为：C 52+C 62+C 72+C 82+C 92+C 102=C 53+C 52+C 62+C 72+C 82+C 92+C 102−C 53 =C 63+C 62+C 72+C 82+C 92+C 102−10=C 73+C 72+C 82+C 92+C 102−10=C 83+C 82+C 92+C 102−10=C 93+C 92+C 102−10=C 103+C 102−10=C 113−10=165−10=155．故选：C ．6．现将甲、乙、丙、丁4位老师安排到A ，B ，C 三所学校工作，要求每所学校都有人去，每人只能去一所学校，则甲、乙两人至少有1人到A 学校工作的分配方案数为（ ） A ．12B ．22C ．24D ．26解：若甲乙两人中的1人到A 学校工作，有C 21种选择，其余3人到另外两个地方工作，先将3人分为两组，再进行排列，有C 32A 22安排种数， 故有C 21C 32A 22=12种；若甲乙两人中的1人到A 学校工作，有C 21种选择， 丙丁中一人也到A 学校工作，有C 21种选择，其余2人到另外两个地方工作，有A 22种选择，故安排种数有C 21C 21A 22=8种；若安排甲乙2人都到A 学校工作，其余丙丁2人到另外两个地方工作，安排种数有A 22=2种， 故总共有12+8+2＝22种． 故选：B ．7．已知事件A ，B 满足P(A)=35，P(B|A)=23，P(B|A)=14，则P （B ）＝（ ） A ．12B ．35C ．710D ．45解：由题意可得：P(A)=1−P(A)=25，P(B|A)=1−P(B|A)=34，所以P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=23×35+34×25=710． 故选：C ．8．已知a =79，b ＝0.7e 0.1，c =cos 23，则（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解：∵a =79，b ＝0.7e 0.1， ∴lnb −lna =0.1+ln0.7−ln 79=110+ln 910=1−910+ln 910， 令f （x ）＝1﹣x +lnx ，则f ′(x)=−1+1x =1−xx ，当0＜x ＜1时，f ′（x ）＞0，即f （x ）在（0，1）上单调递增， ∴lnb −lna =f(910)＜f(1)=0， ∴b ＜a ；c =cos 23=1−2sin 213，由0＜sin 13＜13， ∴c =cos 23=1−2sin 213＞1−29=79， ∴c ＞a ＞b ． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列等式成立的是（ ） A ．A n m =n!m!B ．C n m=m+1n+1C n+1m+1 C ．A n+1n+1−A n n =n 2A n−1n−1D ．C n 1+C n 2+⋯+C n n =2n解：对于A ，A n m =n!(n−m)!，故A 错误；对于B ，C n m =n!m!(n−m)!，m+1n+1C n+1m+1=m+1n+1×(n+1)!(n−m)!(m+1)!=n!m!(n−m)!，所以C n m=m+1n+1C n+1m+1，故B 正确；对于C ，A n+1n+1−A n n =(n +1)!−n!=n!(n +1−1)=n ⋅n!，n 2A n−1n−1=n 2(n −1)!=n ⋅n!， 所以A n+1n+1−A n n =n 2A n−1n−1，故C 正确；对于D ，当n ＝2时，C 21+C 22=3≠22，则C n 1+C n 2+⋯+C n n =2n 不成立，故D 错误．故选：BC ．10．下列结论正确的是（ ）A ．经验回归直线y =b x +a 恒过样本点的中心(x ，y)，且在经验回归直线上的样本点越多，拟合效果越好B ．在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，那么χ2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大C ．若散点图中所有点都在直线y ＝﹣x +1上，则相关系数r ＝1D ．根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得χ2＝2.974．依据α＝0.05的独立性检验P （χ2≥3.841＝0.05），则变量x 与y 独立解：经验回归直线y =b x +a 恒过样本点的中心(x ，y)，拟合效果与样本点在经验回归直线上的多少无关，故A 错误；在一个2×2列联表中，由计算得χ2的值，那么χ2的值越大，判断两个变量有关系的犯错概率越小，判断两个变量间有关联的把握就越大，故B 正确；若散点图中所有点都在直线y ＝﹣x +1上，则相关系数r ＝1，故C 正确；根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得χ2＝2.974．依据α＝0.05的独立性检验P （χ2≥3.841＝0.05），∵χ2＝2.974＜3.841，∴依据小概率值α＝0.05的独立性检验，变量x 与y 独立，故D 正确． 故选：BCD ．11．随机变量X ～N （30，62），Y ～N （34，22），则下列命题中正确的是（ ） A ．若P （X ≤27）＝a ，则P （30≤X ＜33）＝0.5﹣aB ．随机变量X 的密度曲线比随机变量Y 的密度曲线更“瘦高”C ．P （X ≤34）＞P （Y ≤34）D ．P （X ≤24）＜P （Y ≤30）解：随机变量X ～N （30，62），Y ～N （34，22），对于A ，当P （X ≤27）＝a 时，P （30≤X ＜33）＝P （27＜X ≤30）＝P （X ≤30）﹣P （X ≤27）＝0.5﹣a ，A 正确；对于B ，由于6＜2，则随机变量X 的密度曲线比随机变量Y 的密度曲线更“矮胖”，B 错误； 对于C ，P （X ≤34）＝P （X ≤30）+P （30＜X ≤34）＞P （X ≤30）＝0.5＝P （Y ≤34），C 正确； 对于D ，P （X ≤24）＝0.5﹣P （30﹣6＜X ≤30），P （Y ≤30）＝0.5﹣P （34﹣2×2＜Y ≤34）， 而P （30﹣6＜X ≤30）＜P （34﹣2×2＜Y ≤34），因此P （X ≤24）＞P （Y ≤30），D 错误． 故选：AC ．12．已知函数f(x)=x 2e x +e x−4−ax 有四个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则（ ）A ．x 1+x 2＞2B ．2e2＜a ＜1e+1e 3C ．ln （x 1x 2x 3x 4）﹣（x 1+x 2+x 3+x 4）＝﹣8D ．若x 2=2−√3，则x 4=2+√3 解：由题意知x 2e x+ex−4−ax =0有四个不同的根，显然x ≠0，则xe x+e x e 4x−a =0，令t =xe x ，则t +1e 4t−a =0，即e 4t 2﹣e 4at +1＝0， 另外y =x e x ，y ′=1−xex ， 当x ＜1时，y ′=1−xe x ＞0；当x ＞1时，y ′=1−xe x ＜0； 故y =xe x在区间（﹣∞，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减， 当x ＜0时，y =x e x ＜0，当x →+∞时，y =x e x →0，则y =x ex 的大致图像如图所示：根据题意知e 4t 2﹣e 4at +1＝0存在两根t 1，t 2，不妨设t 1＜t 2， 则满足0＜t 1＜t 2＜1e，t 1t 2=1e 4，即有t 1=x 1e x 1=x 4e x 4，t 2=x 2e x 2=x 3e x 3， 则由图象可知0＜x 1＜x 2＜1，所以x 1+x 2＜2，故A 错误； 由于方程e 4t 2﹣e 4at +1＝0的两根t 1，t 2满足0＜t 1＜t 2＜1e，所以{ Δ=(−e 4a)2−4×e 4×1＞00＜a 2＜1e e 4×(1e )2−e 4a ×1e+1＞0，解得2e 2＜a ＜1e +1e 3，故B 正确；由t 1=x 1e x 1=x 4e x 4，t 2=x 2e x 2=x 3e x 3，得x 1e x 1⋅x 2e x 2⋅x 3e x 3⋅x 4e x 4=(t 1t 2)2=1e 8， 两边取自然对数得ln(x 1x 2x 3x 4)−(x 1+x 2+x 3+x 4)=−lne 8=−8，故C 正确； 由t 1t 2=x 2e x 2⋅x 4e x 4=x 2x 4e x 2+x 4=1e 4，两边取自然底数得lnx 2+lnx 4＝x 2+x 4﹣4， 若x 2=2−√3，则ln(2−√3)+lnx 4=(2−√3)+x 4−4， 所以lnx 4−x 4=−ln(2−√3)−2−√3=ln(2+√3)−(2+√3)，令m （x ）＝lnx ﹣x ，x ＞1，则m(x 4)=m(2+√3)，m ′(x)=1x −1=1−xx ＜0恒成立， 所以m （x ）在（1，+∞）上单调递减，又2+√3＞1，x 4＞1，所以x 4=2+√3，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．拟从5名班干部中选若干人在周一至周五期间值班（每天只需1人值班），要求同一名班干部不连续值班2天，则可能的安排方法有 1280 种．（用数字作答）解：安排周一有5种方法，由于同一名班干部不连续值班2天，则前一天值班的不值相邻后一天， 因此安排后面每一天值班的都有4种方法， 所以可能的安排方法种数是5×4×4×4×4＝1280． 故答案为：1280．14．已知变量x 和y 的统计数据如下表：若由表中数据得到经验回归直线方程为y =−3.2x +a ，则x ＝9时的残差为 ﹣0.2 ． 解：依题意，x =9+9.5+10+10.5+115=10，y =11+10+8+6+55=8， 经验回归直线方程为y =−3.2x +a ， 则a =y +3.2x =8+3.2×10=40， 故y =−3.2x +40当x ＝9时，x ＝9时的残差为11﹣（﹣3.2×9+40）＝﹣0.2． 故答案为：﹣0.2．15．数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理．由等式（1+x ）m （1+x ）n＝（1+x ）m +n利用算两次原理可得C m 0C n k +C m 1C n k−1+C m 2C n k−2+⋯⋯+C m k C n 0= C m+n k． 解：C m 0C n k +C m 1C n k−1+C m 2C n k−2+⋯⋯+C m k C n 0，表示（1+x ）m （1+x ）n 的展开式中的x k 的系数，即（1+x ）m +n展开式中的x k 的系数，可得C m 0C n k +C m 1C n k−1+C m 2C n k−2+⋯⋯+C m k C n 0=C m+n k ． 故答案为：C m+n k ．16．已知定义在R 上的函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足f ′（x ）﹣f （x ）＜0，f （2）＝e ，则不等式f （x ）＞e x﹣1的解集是 （﹣∞，2） ．解：依题意，令g(x)=f(x)x ，求导得g ′(x)=f′(x)−f(x)x＜0，因此函数g （x ）在R 上单调递减，不等式f(x)＞e x−1⇔f(x)e x＞1e，由f（2）＝e，得1e=ee2=f(2)e2=g(2)，则有g（x）＞g（2），解得x＜2，所以不等式f（x）＞e x﹣1的解集是（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）现有来自三个班级的考生报名表（一人一表），分装3袋．第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有7名男生和3名女生的报名表，第三袋有5名男生和5名女生的报名表．随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，求恰好抽到男生和女生的报名表各1份的概率．解：记A i＝“抽到第i袋”，i∈{1，2，3}，B＝“随机抽取2份，恰好抽到男生和女生的报名表各1份”，则P(A1)=P(A2)=P(A3)=13，P(B|A1)=C61C41C102=2445，P(B|A2)=C71C31C102=2145，P(B|A3)=C51C51C102=2545，所以P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=13(2445+2145+2545)=1427．18．（12分）某中学为调查本校学生“保护动物意识的强弱与性别是否有关”，采用简单随机抽样的方法，从该校分别抽取了男生和女生各50名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图：（1）根据已知条件，将如表2×2列联表补充完整：（2）根据（1）表中数据，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析该校学生保护动物意识的强弱与性别是否有关．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．解：（1）由等高堆积条形图知，男生保护动物意识强的有50×0.7＝35人，女生保护动物意识强的有50×0.4＝20人，于是2×2列联表如下：（2）零假设为H0：该校学生保护动物意识的强弱与性别无关，此时χ2=100(35×30−15×20)255×45×50×50=10011≈9.091＞7.879=x0.005，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005．19．（12分）已知f(x)=(2x−1x)n(n∈N∗)的展开式中第5项与第3项的二项式系数相等．（1）求n及展开式中各项系数的和；（2）求(1+1x4)f(x)的常数项．解：（1）由题意可知：C n4=C n2，解得n＝6，即f(x)=(2x−1x)6，令x＝1，可得展开式中各项系数的和为f（1）＝（2﹣1）6＝1．（2）因为(1+1x4)f(x)=f(x)+1x4f(x)，对于f(x)=(2x−1x)6，可知其展开式的通项为T r+1=C6r(2x)6−r(−1x)r=(−1)r⋅26−r⋅C6r x6−2r，r=0，1，⋯，6，令6﹣2r＝0，解得r＝3，此时T4=(−1)3⋅23⋅C63=−160；令6﹣2r＝4，解得r＝1，此时T2=(−1)2⋅24⋅C61⋅x4=96x4；所以(1+1x4)f(x)的常数项为T4+1x4T2=−160+96=−64．20．（12分）已知函数f(x)=13x3−4x+4．（1）求曲线y＝f（x）在点（3，1）处的切线方程；（2）若f（x）在区间（a，a+5）上既有最大值又有最小值，求a的取值范围．解：（1）函数f(x)=13x3−4x+4，求导得f′（x）＝x2﹣4，则f′（3）＝5，所以所求切线方程为y﹣1＝5（x﹣3），即5x﹣y﹣14＝0．（2）由（1）知，f′（x）＝（x﹣2）（x+2），当x＜﹣2或x＞2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递增，在（﹣2，2）上单调递减，当x＝﹣2时，函数f（x）取得极大值f(−2)=283，当x＝2时，函数f（x）取得极小值f(2)=−43，由f(x)=283，即13x3−4x+4=283，得x3﹣12x﹣16＝0，即（x+2）2（x﹣4）＝0，解得x＝﹣2或x＝4，由f(x)=−43，即13x3−4x+4=−43，得x3﹣12x+16＝0，即（x﹣2）2（x+4）＝0，解得x＝2或x＝﹣4，作出函数f（x）的部分图象，如图，因为f（x）在区间（a，a+5）上既有最大值又有最小值，则有{−4≤a＜−22＜a+5≤4，解得﹣3＜a＜﹣2，所以a的取值范围是{a|﹣3＜a＜﹣2}．21．（12分）某学习平台中“挑战答题”积分规则如下：选手每天可参加一局“挑战答题”活动．每局中选手需依次回答若干问题，当累计回答正确3道题时，答题活动停止，选手获得10个积分；或者当累计回答错误2道题时，答题活动停止，选手获得8个积分．假定选手甲正确回答每一道题的概率均为p （0＜p ＜1）．（1）甲完成一局“挑战答题”活动时回答的题数记为X ，求X 的分布列；（2）若p =23，记Y 为“甲连续9天参加‘挑战答题’活动获得的积分”，求E （Y ）． 解：（1）记事件A i （i ＝1，2，3，4）为“第i 个题目回答正确”， 记事件B i （i ＝1，2，3）为“第i 个题目回答不正确”， 易知X 的所有取值为2，3，4， 此时P(X =2)=P(B 1B 2)=(1−p)2，P （X ＝3）＝P （A 1A 2A 3）+P （A 1B 2B 3）+P （B 1A 2B 3）＝p 3+2p （1﹣p ）2＝3p 3﹣4p 2+2p ， P （X ＝4）＝P （A 1A 2B 3）+P （A 1B 2A 3）+P （B 1A 2A 3）＝3p 2（1﹣p ）＝﹣3p 3+3p 2， 则X 的分布列为：（2）记事件Z 为“1天中参加‘挑战答题’活动获得的积分”， 易知Z 所有取值8，10， 若p =23，此时P （Z ＝10）＝P （A 1A 2A 3）+P （A 1A 2B 3A 4）+P （A 1B 2A 3A 4）+P （B 1A 2A 3A 4） ＝p 3﹣3p 2（1﹣p ）＝（23）3+3（23）2（1−23）=1627， P （Z ＝8）＝1﹣P （Z ＝10）=1127， 所以E （Z ）＝8×1127+10×1627=24827， 则E （Y ）＝9（E ）＝9×24827=2483．22．（12分）已知函数f(x)=lnx +ax −1x，g(x)=xlnx +(a −1)x +1x． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）记f （x ）的零点为x 0，g （x ）的极小值点为x 1，当a ∈（1，4）时，判断x 0与x 1的大小关系，并说明理由．解：（1）由f ′(x)=1x +a +1x 2=ax 2+x+1x 2，①若a ≥0，则f ′（x ）＞0， ∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增；②若a＜0，令f'（x）＞0，则0＜x＜−1−√1−4a2a，令f'（x）＜0，则x＞−1−√1−4a2a，∴f（x）在(0，−1−√1−4a2a)上单调递增，在(−1−√1−4a2a，+∞)上单调递减．（2）x0＞x1，理由如下：证明：由g′(x)=lnx−1x2+a(x＞0)，设ℎ(x)=lnx−1x2+a，则ℎ′(x)=1x+2x3＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，即g'（x）在（0，+∞）上单调递增．又g′(1)=a−1＞0，g′(12)=−ln2−4+a＜0，∴存在x2∈(12，1)，使g'（x2）＝0，∴g（x）在（0，x2）单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，∴x2为g（x）的极小值点，故x2＝x1．由g'（x2）＝0，x1＝x2，∴lnx1−1x12+a=0，∴a=1x12−lnx1，∴f(x1)=lnx1+ax1−1x1=lnx1+x1(1x12−lnx1)−1x1=(1−x1)lnx1，又x1=x2∈(12，1)，∴f（x1）＝（1﹣x1）lnx1＜0＝f（x0），由（1）知a＞0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴x0＞x1．。
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高二数学下期末测试题及答案TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-2014高二数学下期末测试题2班别： 姓名：__________成绩： _____一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1、函数()22)(x x f π=的导数是A. x x f π4)(='B. x x f 24)(π='C.x x f 28)(π='D. x x f π16)(=' 2.已知0＜a ＜2，复数z a i =+(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是3．2(sin cos )x a x dx π+⎰＝2,则实数a 等于A 、－1B 、 1C 、－4、复数13z i =+，21z i =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5、5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种 6.已知命题12222112-=++++-n n 及其证明：（1）当1=n 时，左边＝1，右边＝1121=-所以等式成立； （2）假设k n =时等式成立，即12222112-=++++-k k 成立， 则当1+=k n 时，122121222211112-=--=+++++++-k k kn ，所以1+=k n 时等式也成立。
由（1）（2）知，对任意的正整数n 等式都成立。
经判断以上评述A ．命题、推理都正确B 命题不正确、推理正确C ．命题正确、推理不正确D 命题、推理都不正确7.小王通过英语听力测试的概率是31，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是A.94 B.92C.274D.272 8.给出下列四个命题，其中正确的一个是A ．在线性回归模型中，相关指数R 2=，说明预报变量对解释变量的贡献率是80%B ．在独立性检验时，两个变量的2×2列表中对角线上数据的乘积相差越大，说明这两个变量没有关系成立的可能性就越大C ．相关指数R 2用来刻画回归效果，R 2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好D ．随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足E （e ）=0 9.（1-x ）2n-1展开式中，二项式系数最大的项是A ．第n -1项B ．第n 项C ．第n -1项与第n +1项D ．第n 项与第n +1项10.随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD E 则p 等于A. 32B. 31C. 1D. 011.若函数f (x ) = -x 2px p +在(1，+∞)上是增函数，则实数p 的取值范围是A ．),1[∞+-B ．),1[∞+C ．]1,(--∞D ．]1,(-∞12.如图，用5种不同颜色给图中标有1、2、3、4各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻两部分涂不同颜色．则不同的涂色方法共有 A ．160种 B ．240种 C ．260种 D ．360种二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
将正确答案填在题中横线上 13.甲乙两地都位于长江下游，根据天气预报记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%，则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为__________. 14..曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是______.15．观察下列各式9－1=8，16－4=12，25－9=16，36－16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为 .16.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有 种． 附加：16．一同学在电脑中打出如下若干个圆（图中●表示实圆，○表示空心圆）： ●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前2003个圆中，有 个空心圆．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．17．（本题满分12分）有6名同学站成一排，求： （１）甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法： （２）甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法： （３）甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法.18．（本题满分12分） 如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E 、F 分别是棱AB ，BC 的中点，EF 与BD 相交于G ． （１）求证：B 1EF ⊥平面BDD 1B 1；（２）求点D 1到平面B 1EF 的距离d ； （３）求三棱锥B 1—EFD 1的体积V.19．（本题满分12分）如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2，当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作，已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为，，，分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2. 20．（本小题满分12分）已知函数.),2,1()(3)(3l P P x f y x x x f 作直线过点上一点及-=-=（1）求使直线)(x f y l =和相切且以P 为切点的直线方程；（2）求使直线)(x f y l =和相切且切点异于P 的直线方程)(x g y =。
21．小题满分12分）设函数xe x xf 221)(=．（1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若当]2,2[-∈x 时，不等式恒m x f <)(成立，求实数m 的取值范围．22．（本小题满分14分）如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面ABB 1A 1是∠A 1AB=60°的菱形，且平面ABB 1A 1⊥ABC ，M 是A 1B 1上的动点. （1）当M 为A 1B 1的中点时，求证：BM ⊥AC ；（2）试求二面角A 1－BM －C 的平面角最小时三棱锥M －A 1CB 的体积.高二（下）期末数学试卷答案（2）一 择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分). 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
(N 1)(N 2)13. 0.6 14. 1315. ))(1(4)2(22+∈+=-+N n n n n三．解答题：本大题共6小题，满分74分．17. 解：（1）480A A 5514=种；…………………………………………………4分（2）504A A 2A 445566=+-种；或55A （甲在尾）+ 441414A A A （甲不在尾）=120+384=504；或504A A A 2A 44441466=--； …………………………………………8分 （3）144A A 3433=种． …………………………………………12分18. 证：（1）EF ⊂111B BDD EFB 面面⊥∴1G H D d 1=∴,sin ,1111111H B D B D H D HB D Rt ∠⋅=∆中解：分别记元件A 、B 、C 正常工作的事件A 、B 、C ， …………2分 由题设得：P 1 =P （A ·B ·C ）= P （A ）·P （B ）·P （C ） …………………………4分 = ××=∴系统N 1正常工作的概率为 ……………………………6分 P 2 = P （A ）·[1－P （)]C (P )B (P 1[)A (P )]C B ⋅-⋅=⋅ ………………………9分 = ×(1－× = × = ………………………11分∴系统N 2正常工作的概率为. ……………………………………12分20【解】（1）由)2,1(,33)(,3)(23--='-=P P x x f x x x f 且以过点得为切点的直线斜率0)1(='f 。
.2-=∴y 所求直线方程为 （6分）（2）设过33)(),,()()2,1(2000-='=-x x f y x x f y l P 由切于另一点与的直线知 即.4149)(+-==x x g y（12分）21、 【解】（1）)2(2121)(2+=+='x x e e x xe x f xx x ， 令0)2(>+x x e x ，得20-<>x x 或，∴)(x f 的增区间为)2,(-∞-和),0(∞+，………3分令0)2(<+x x e x ，得02<<-x ，∴)(x f 的减区间为)0,2(-．………………………………………………6分 （2）因为]2,2[-∈x ，令0)(='x f ，得2-=x ，或0=x ，又由（1）知，2-=x ，0=x 分别为)(x f 的极小值点和极大值点， ………8分 ∵22)2(ef =-，22)2(e f =，0)0(=f ， ∴]2,0[)(2e x f ∈， ……………………………………………………………11分 ∴22e m >． ………………………………………………………………………12分22．解：（1）∵ABB 1A 1是菱形，∠A 1AB=60°，且M 为A 1B 1的中点，∴BM ⊥A 1B 1， …………２分 又A 1B 1∥AB ，∴MB ⊥AB.平面ABB 1A 1⊥平面ABC ， ∴MB ⊥平面ABC.又AC ⊂平面ABC ，∴BM ⊥AC ． …………6分（2）作CN ⊥AB 于N ，由于△ABC 为正三角形，知N 为AB 为中点，又平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，∵CN ⊥平面A 1ABB 1，作NE ⊥MB 于E 点，连CE ，由三垂线定理可知CE ⊥BM ， ∴∠NEC 为二面角A 1—BM —C 的平面角．………9分 由题意可知CN=3，在Rt △CNE 中，,3NENEC tg =∠要∠NEC 最小，只要NE 取最大值．又∵△A 1B 1B 为正三角形，∴当M 为A 1B 1中点时，MB ⊥平面ABC ，即E 与B 重合． 此时NE 取最大值且最大值为1，∴3≥∠NEC tg ． ∴∠NEC 的最小值为60°， ……10分此时21331213111=⨯⨯⨯⨯==--B MA C CB A M V V ． ……14分。