2014年全国高考湖北省数学(文)试卷及答案【精校版】

2014年湖南高考数学试题（文史类）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（ ）200.,10A x R x ∃∈+> 200.,10B x R x ∃∈+≤ 200.,10C x R x ∃∈+< 200.,10D x R x ∀∈+≤2.已知集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，则A B =I （ ）.{|2}A x x > .{|1}B x x > .{|23}C x x << .{|13}D x x <<3.对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时， 总体中每个个体被抽中的概率分别为 123,,p p p ，则（ ）123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p =< 123.D p p p ==4.下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）21.()A f x x=2.()1B f x x =+3.()C f x x = .()2xD f x -= 5.在区间[2,3]-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ）4.5A 3.5B 2.5C 1.5D 6.若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7.执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）A.[]6,2--B.[]5,1--C.[]4,5-D.[]3,6-8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将学科 网石材切削、打磨、加工成球，则能得 到的最大球的半径等于（ ）A.1B.2C.3D.4 9.若1201x x <<<，则（ ）A.2121ln ln xxe e x x ->-B.2121ln ln xxe e x x -<-C.1221xxx e x e >D.1221xxx e x e <10.在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(03B ，,()30C ，，动点D 满足 1CD =u u u r ,则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r的取值范围是（ ）A.[]46，B.19-119+1⎡⎤⎣⎦，C.2327⎡⎣， D.7-17+1⎤⎦，二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数23ii+（i 为虚数单位）的实部等于_________.12.在平面直角坐标系中， 曲线222:212x C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为___________.13.若变量y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14y y x x y ，则y x z +=2的最大值为_________.14.平面上以机器人在行进中始终保持与点()01，F 的距离和到直线1-=x 的距离相等.若 机器人接触不到过点()01，-P 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是___________. 15.若()()ax ex f x++=1ln 3是偶函数，则=a ____________.三、解答题：本大题共6小题，学科 网共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.16.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年 研发新产品的结果如下：()()()()()()()()()()()()()()()b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，ρρρρρρρρρρ 其中a a ρ，分别表示甲组研发成功和失败；b b ρ，分别表示乙组研发成功和失败.（I ）若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研 发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平； （II ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率.18.（本小题满分12分） 如图3，已知二面角MN αβ--的大小为60o ，菱形ABCD 在面β内，,A B 两点在棱MN 上，60BAD ∠=o ，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .（1）证明：AB ⊥平面ODE ；（2）求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.19.（本小题满分13分）如图4，在平面四边形ABCD 中，32,2,7,1,π=∠===⊥ADC EA EC DE AB DA , 3π=∠BEC（1）求CED ∠sin 的值； （2）求BE 的长20.（本小题满分13分）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b -=>>均过点23(3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. （1）求12,C C 的方程；（2）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r？证明你的结论.21.（本小题满分13分） 已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>.（1）求()f x 的单调区间；（2）记i x 为()f x 的从小到大的第(*)i i N ∈个零点，证明：对一切*n N ∈，有2221211123n x x x +++<L数学（文）（湖南卷）参考答案一、选择题（1）B （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C （7）D （8）B （9）C （10）D二、填空题（11）-3 （12）10x y --= （13）7 （14）()(),11,-∞-+∞U （15）32- 三、 解答题 （16）解：(I)当1n =时,111a S ==;当2n ≥时,()()22111,22n n n n n n n a S S n --+-+=-=-= 故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（II ）)由(1)可得()21nn n b n =+-g ,记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ,则()()122212222212342.222,12342,n n nT n A B n =++++-+-+-+=++⋅⋅⋅+=-+-+-⋅⋅⋅+L L 记则[]2n 212(12)2212(12)(34)(21)2.n A B n n n +-==-==-++-++⋅⋅⋅+--+= 故数列{}n b 的前2n 项和2n 1222n T A B n +=+=+-. 17解：(I)甲组研发新产品的成绩为:1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均数102153x ==甲;方差22212221*********s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦甲,乙组研发新产品的成绩为:1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均数93155x ==乙,方差为22213361906155525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦乙,因为22,<x x s s >乙乙甲甲,所以甲组的研发水平优于乙组. (II)记{}E =恰有一组研发成功,在所有抽的的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是:()()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b u r r r r r r r ，，，，，，，，，，，，，共7个,故事件E 发生的频率为715将频率视为概率，即得所求概率为()715P E =. （18）解：(I)如图,因为DO α⊥,AB α⊆,所以DO AB ⊥,连接BD ,由题可知ABD ∆是正三角形,又E 是AB 的中点,所以DE AB ⊥,而DO DE D =I ,故AB ⊥平面ODE .(II)因为//BC AD ,所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角,即ADO ∠是BC 与OD 所成的角,由(I)可知,AB ⊥平面ODE ,所以AB OE ⊥,又DE AB ⊥,于是DEO ∠是二面角MN αβ--的平面角,从而060DEO ∠=,不妨设2AB =,则2AD =,易知3DE =,在Rt DOE∆中,03sin 602DO DE ==g ,连接AO,在Rt AOD∆中,332cos 24DO ADO AD ∠===,所以异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.（19）解：:如图设CED α∠=(I)在CDE ∆中,由余弦定理可得2222cos EC CD DE CD DE EDC =+-∠gg g ,于是又题设可知 271CD CD =++,即260CD CD +-=,解得2CD =(30CD =-<舍去),在CDE ∆中,由正弦定理可得sin sin DE CDEDC α=∠23sin22132sin 77CD EC πα⇒===g g ,即sin 7CED ∠=. (I)由题设可得203πα<<,于是由（I ）知cos 7α===,而23AED πα∠=-,所以222cos cos cos cos sin sin 333AEB πππααα⎛⎫∠=-=+ ⎪⎝⎭1cos 2αα=-1272714=-⨯+=,在Rt EAB ∆中,2cos EA AEB BE BE∠==,所以2cos BE AEB ===∆⎝⎭（20）解：设2C 的焦距为22c ,由题可得2122,22c a ==,从而121,1a c ==,因为点P ⎫⎪⎪⎝⎭在双曲线22211y x b -=上,所以221212133b b ⎛⎫-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭,由椭圆的定义可得22a ==2a ⇒ 2222222b a c =-=,所以12,C C 的方程为22221,1332y y x x -=+=. (II)不存在符合题设条件的直线.(i)若直线l 垂直于x 轴 ,因为l 与2C 只有一个公共点,所以直线的方程为x=或x =当x =时,易知,,AB所以OA OB AB +==u u u r u u u r u u u r,此时OA OB AB +≠u u u r u u u r u u u r.当x =,同理可得OA OB AB +≠u u u r u u u r u u u r.（i ）当直线l 不垂直于x 轴,设l 的方程为y kx m =+,由 2213y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()2223230k xkmx m ----=,当l 与1C 相交于,A B 两点时,设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 满足上述方程的两个实根,从而212122223,33km m x x x x k k ++==--,于是()22221212122333k m y y k x x km x x m k -=+++=-,由22132y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得 ()222234260kx kmx m +++-=,因为直线l 与2C 只有一个公共点，所以上述方程的判别式()()222201682330k m k m ∆=⇒-+-=,化简可得2223k m =-,因此2222121222233330333m k m k OA OB x x y y k k k +---=+=+=≠---u u u r u u u r g , 于是222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++≠+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g ,即22OA OB OA OB +≠-u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以OA OB AB +≠u u u r u u u r u u u r,综合（i ）（ii ）可知，不存在符合题目条件的直线（21）解：（I ）数()f x 求导可得()()'cos sin cos sin 0f x x x x x x x x =--=->,令()'0f x =可得()*x k k N π=∈,当()()()2,21*x k k k N ππ∈+∈时,sin 0x >.此时()'0f x <;当()()()()21,22*x k k k N ππ∈++∈时,sin 0x <,此时()'0f x >, 故函数()f x 的单调递减区间为()()()2,21*k k k N ππ+∈,单调递增区间为()()()()21,22*k k k N ππ++∈.(II)由(1)可知函数()f x 在区间()0,π上单调递减,又02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以12x π=, 当*n N ∈时,因为()()()()()()11111110nn f n fn n n ππππ+⎡⎤⎡⎤+=-+-++<⎣⎦⎣⎦,且函数()f x 的图像是连续不断的,所以()f x 在区间()(),1n n ππ+内至少存在一个零点,又()f x在区间()(),1n n ππ+上是单调的,故()11n n x n ππ+<<+,因此, 当1n =时,2211423x π=<; 当2n =时,()222121112413x x π+<+<; 当3n ≥时,()22222221231111111+4121n x x x x n π⎡⎤+++<++++⎢⎥-⎢⎥⎣⎦L L ()()222221*********+51221n x x x x n n π⎡⎤⇒+++<+++⎢⎥⨯--⎣⎦L L 2222212311111111+51221n x x x x n n π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⇒+++<+-++- ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 221162613n ππ⎛⎫=-<< ⎪-⎝⎭, 综上所述,对一切的*n N ∈,2221211123n x x x +++<L .。