一类三稳态系统确定性及随机分岔现象分析

第51卷 第9期 2018年9月天津大学学报(自然科学与工程技术版)Journal of Tianjin University (Science and Technology )V ol. 51 No. 9Sep. 2018收稿日期：2018-01-01；修回日期：2018-03-04.作者简介：吴志强（1968— ），男，博士，教授. 通讯作者：吴志强，zhiqwu@.基金项目：国家重点基础研究发展计划(973计划)资助项目(2014CB046805)；国家自然科学基金资助项目(11672349，11372211).Supported by the National Basic Research Program of China (No.2014CB46805) and the National Natural Science Foundation of China(No.11672349 and No.11372211)．DOI:10.11784/tdxbz201801003一类三稳态系统确定性及随机分岔现象分析吴志强1，王耀光1，张祥云1，王 喆2(1. 天津大学机械工程学院，天津 300072；2. 天津理工大学理学院，天津 300384)摘 要：非线性系统的随机行为与其确定性行为有密切联系，双稳态系统与三稳态系统的确定性行为有本质区别，其随机P 分岔有明显区别．针对确定性分岔定性相同的系统，开展了广义van der Pol 方程确定性分岔及随机P 分岔现象的理论与实验研究．结果表明：确定性分岔相同的系统，其随机P 分岔行为不一定相同；确定性情况下，系统中存在三稳态现象；在随机激励情况下，稳定系数、噪声强度都会导致随机P 分岔产生；稳定系数不变情况下，噪声强度变化能最多导致4次随机P 分岔现象．关键词：广义van der Pol 方程；确定性分岔；随机P 分岔；稳定系数；噪声强度中图分类号：O322；O324 文献标志码：A 文章编号：0493-2137(2018)09-0895-08Deterministic and Stochastic Bifurcations of a Tri -Stable SystemWu Zhiqiang 1，Wang Yaoguang 1，Zhang Xiangyun 1，Wang Zhe 2(1. School of Mechanical Engineering ，Tianjin University ，Tianjin 300072，China ； 2．School of Science ，Tianjin University of Technology ，Tianjin 300384，China )Abstract ：The stochastic behavior of a nonlinear system is closely related to its deterministic behavior ．The determi-nistic behavior of bistable system and tri-stable system is essentially different from each other ，and the stochastic P bifurcation is obviously different ．The theoretical and experimental researches on the deterministic bifurcation and stochastic P bifurcation of the generalized van der Pol equation are carried out for the system with the qualitatively same deterministic bifurcation ．The results show that the stochastic P bifurcation behavior of the system with the same deterministic bifurcation is not necessarily the same ．Under the deterministic condition ，tri-stable phenomena exist in the system ．In the case of stochastic excitation ，stability coefficient and noise intensity can lead to stochastic P bifur-cation ．When stability coefficient is constant ，the variation of noise intensity can lead to four stochastic P bifurcation phenomena at most.Keywords ：generaliz ed van der Pol equation ；deterministic bifurcation ；stochastic P-bifurcation ；stability coeffi-cient ；noise intensity随机P 分岔是一类典型随机非线性动力学现象，通常是指系统参数变化时引起系统响应稳态概率密度图峰数的变化[1-2]．除几类典型系统外，绝大部分研究通过数值计算稳态响应(联合)概率密度图，来判断系统中是否存在随机分岔现象[3-4]，极少涉及物理系统实验验证．存在随机P 分岔行为的系统，其确定性行为通常有多稳态现象．含平衡点与极限环共存的随机P 分岔现象，在理论上与广义Hopf 分岔有关，在应用上与机翼颤振[5-9]、列车失稳[10-11]等重要工程问题有关，因而在近年来引起人们的关注． 因物理意义清晰、代表性广、形式相对简单，广义van d er Pol 方程常被作为范例来研究含平衡点与极限环多稳态系统的随机分岔行为．为探索强非线·896· 天津大学学报(自然科学与工程技术版) 第51卷 第9期性阻尼的影响，人们引入不同阶次的阻尼项形成不同类型的多稳态系统，如含5次非线性阻尼的双稳态系统[12-13](平衡点与极限环)、含7次非线性阻尼的双节律系统[14](极限环与极限环)以及含9次非线性阻尼的三稳态系统[15-17](平衡点、极限环与极限环)． 确定性分岔不同的系统，其随机P 分岔行为通常也不同，如双稳态van d er Pol 方程，稳定性系数(与线性阻尼系数反号)变化时，亚临界Hopf 分岔产生的极限环发生1次鞍结分岔，而三稳态时会发生2次鞍结分岔，二者确定性分岔有本质的不同．在加性高斯白噪声激励情况下，两类系统的随机P 分岔图均表示在稳定系数、随机激励强度组成的参数平面内，双稳态系统的分岔图只含有1个形如三角形的双模响应区[12-13]，而三稳态系统的分岔图包含2个形如三角形的多模响应区[15-16]，同样有明显的区别． 确定性分岔等价的系统，其随机P 分岔行为的等价性问题，目前还未见到明确的结论．本文拟以一类三稳态的van d er Pol 方程为对象来探索这一问题．首先理论分析其确定性及随机P 分岔行为，然后再通过电路实验加以验证．1 广义van der Pol 方程及其近似解为讨论含有平衡点与极限环的多稳态系统的随机动力学行为，引入广义van der Pol 方程24612(x x x x εααα−+−+−84)()x x x ατ+= (1)式中：ε为稳定系数；αi (i ＝1，…，4)为非线性阻尼项系数；()ξτ代表单位高斯白噪声激励，其特征描述为<ξ(τ)>＝0，<ξ(τ)ξ(τ＋t 1)>＝δ(t 1)．假设系统存在如下形式的解： ()cos ()sin x y t x y t ϕϕ=⎧⎨=−⎩ (2)式中：y (t )为响应的幅值；ϕ＝τ＋θ(τ)表示相位．对于确定性情形(D ＝0)，应用确定性平均法，可求得平均方程为35127934d 111d 281657128256d 0d εααααθ⎧=+−+⎪⎪⎪−⎨⎪⎪=⎪⎩y y y y t y y t (3)由此可讨论系统确定性分岔行为．对于随机激励情形(D ≠0)，利用随机平均法得到系统Ito 方程，再求解相应的FPK 方程，可求得系统稳态响应幅值的概率密度函数(PDF )表达式为()22111exp (216s y y P y y D D κεα⎡=+−⎢⎣468234157)485121280y y y α⎤+−⎥⎦ (4)其中κ为归一化常数．由此通过PDF 的定性变化讨论系统的随机P 分岔现象．需要特别强调，本文中参数取值为α1＝2.45， α2＝4.6，α3＝2.5，α4＝0.4，均与现有文献不同．ε、D 作为可调参数用来分析稳定系数和噪声强度对系统行为的影响．2 确定性分岔令d =0d yt，由式(3)中的第1式可知系统稳态解含零解(平衡点)和非零解(极限环)两部分：24681234011574864128εαααα=⎧⎪⎨=−+−+⎪⎩y y y y y (5)响应的分岔图见图1中细实线．为验证近似解的精度，图中还给出了Poincare 分岔图计算结果，并用绿色*标记．二者吻合很好，说明确定性平均的结果具有足够的精度，利用随机平均法得到的概率密度函数也有望获得对系统随机行为的高精度描述．图1 确定性分岔图Fig.1 Deterministic bifurcation diagram从图1分岔曲线看，近似解与数值解重合的部分是稳定的，没有数值解对应的部分是不稳定的[15,18]. ε＜-0.215V 系统仅有唯一稳定的解是零解； -0.215V ＜ε＜-0.192V 系统零解和小极限环共存； -0.192V ＜ε＜-0.131V 系统同时存在零解和大、小极限环；-0.131V ＜ε＜0V 系统存在零解和大极限环；ε＞0V 系统仅有唯一稳定的解是大极限环．尽管系数αi (i ＝1，…，4)取值不同，但该分岔图与文献[15]所给分岔图定性相同(注意这是ε等同于原文-µ)．通常认为确定性分岔定性相同的系统，其2018年9月 吴志强等：一类三稳态系统确定性及随机分岔现象分析 ·897·随机分岔也应相似，但这里所讨论的情况正相反(见第3节)．为说明系统有3个稳态行为的特点，图2以情况ε＝-0.172V 为例给出了对应的相图和时间历程图．显然，除稳定平衡点外，系统还同时存在2个稳定的极限环．（a ）相图（b ）时间历程图图2 ε＝-0.172 V 相图及时间历程图Fig.2 Phase diagram and time history diagram for ε＝-0.172 V3 随机P 分岔现象奇异性理论概率密度曲线峰数变化临界条件为 22()()0∂∂==∂∂s s P y P y y y (6)计算结果见图3(a )，文献中通常称其为随机P 分岔图，能反映稳定系数、噪声强度相互作用导致系统幅值概率密度图变化的规律，是一类双参数分岔图．为比较方便，图3(b )给出了文献[15]得到的随机P 分岔图．尽管确定性分岔图定性相同，但随机P 分岔图有本质不同．图3(a )中尖点C 2位于尖点C 1左侧，图3(b )则正相反．其直接后果是出现新的概率密度曲线演化序列(见图4)．图4给出了ε＝－0.235V 时噪声强度变化对PDF 曲线的影响．随着D 的增加，PDF 演化过程为单峰—双峰—单峰—双峰—单峰．发生了4次随机P 分岔，这种现象在文献[15]中是不可能出现的．这一结果表明，确定性分岔定性相同的系统其随机P分岔行为可能不同．这一较为反常的现象还鲜见文献报道．（a ）本文结果（b ）文献[15]结果图3 随机P 分岔图Fig.3 Stochastic P bifurcation diagram图5给出了D ＝0.005时稳定系数ε变化对PDF 曲线的影响．给定D 或ε，还可得到一系列单参数变化导致的PDF 演化序列，其种类远多于双稳态情形．限于篇幅本文不再赘述．图4 不同噪声强度D 下的PDF 曲线(ε＝-0.235 V )Fig.4PDF curves for different noise intensities D (ε＝-0.235 V )图5 不同稳定系数ε 下的PDF 曲线(D ＝0.005)Fig.5PDF curves for different stable parameters ε(D ＝0.005)·898· 天津大学学报(自然科学与工程技术版)第51卷 第9期4 实验研究本文实验所用非线性van d er Pol 电路如图6所示．V n 为噪声激励端口．实验装置见图7，主要包括信号发生器、直流稳压电源、示波器、示波记录仪、电路板等．图6 噪声激励下三稳态van der Pol 电路原理Fig.6 Circuit diagram of tri -stable van der Pol oscillator with noise图7 实验装置Fig.7 Experimental devices根据基尔霍夫电压电流定理，该电路的动力学方程为22243651111123224287910d d 101010（−+−+R R V V V R V t R R C R R R R 362481211112111153724141310151310d 1010d ）−+R R V R R V V R R R R R R t3n11251216112R V V R R R C C R R C C = (7)式中：V 1为反向积分器A 1输出的电压信号，V ；R i (i ＝1，…，16)分别对应电路中电阻，Ω；C 1、C 2分别对应电路中电容值，F ．各元器件参数取值见表1．表1 电路元器件参数Tab.1 Parameters of devices in the circuit电容/nF 电阻/k Ω可变电阻/k ΩC 1，C 2R 1，R 5，R 11，R 12，R 16R 2，R 3，R 4，R 10，R 13 R 6，R 8 R 7R 9R 14R 1510101100 4.0812.173425令ω=，作时间尺度变换τ＝ωt ，可将式(7)转化为式(1)的形式，且有 136124272361123224291033612113532421314102436121147242421310n 216112=1010101010101010()V xR R R R C R R R R R R C R R R R R R R R C R R R R R R R R R C R R R V R R C C αωαωαωαωτω⎧⎪=⎪⋅⋅⎪⎪⋅=⎪⋅⎪⎨⋅=⎪⋅⎪⎪⋅=⋅⎪⎪=⎪⎩ (8)2018年9月 吴志强等：一类三稳态系统确定性及随机分岔现象分析 ·899·4.1 确定性分岔实验关闭随机输入端口V n ，即可进行确定性动力学行为实验．实验中，通过示波记录仪显示并采集运算放大器A 1、A 2输出电压V 1、V 2，以此获得系统响应的状态．图8给出了系统稳态响应的时间历程截屏图，上面波形为V 1的信号，下面波形为V 2的信号．图9给出了实验得到的三稳态行为相图．其中1211,V x V R C x ==− ．（a ）平衡点（b ）小极限环（c ）大极限环图8 确定性系统实验结果Fig.8Experimental results of deterministic system图9 三稳态行为相图Fig.9 Tri -stable behavior phase diagram图10给出了分岔图的对比，从对比情况来看，确定性系统的实验有足够的准确度，电路设计及参数选择是合理的，在此基础上进行随机实验是可行的．图10 实验与理论结果对比Fig.10 Comparison of experimental and theoretical results4.2 随机P 分岔实验通过V n 端口接入随机信号即可研究式(1)的随机动力学行为．分别选择不同噪声强度(V pp )、不同稳定系数，记录电路系统进入稳态后的数据，统计响应幅值的分布．保持稳定系数不变，取ε＝-0.235V ，噪声强度对系统行为的影响见图11和图12．图11 同噪声强度下的实验结果Fig.11 Experimental results for different intensities噪声强度V pp ＝0.5V 时，系统响应主要集中在平衡点附近，呈单模响应特点，PDF 仅有单峰，对应平衡点，与图4中D ＝0.0095理论结果相近．噪声强度V pp ＝0.8V 时，系统响应主要在平衡点和小极限环附近切换，形成双模响应，PDF 出现双峰，分别对应平衡点和小极限环，与图4中D ＝0.025理论结果相似．噪声强度V pp ＝1.5V 时，系统响应主要集中在小极限环附近，呈单模响应特点，PDF 仅有单峰，对应小极限环，与图4中D ＝0.075理论结果相近．噪声强度V pp ＝2.5V 时，响应主要在大小极限环之间切换，呈现双模响应特点，大小极限环附近维持时间相近．PDF 出现两个峰，分别对应大、小极限环，·900· 天津大学学报(自然科学与工程技术版)第51卷 第9期与图4中D ＝0.195理论结果相似．噪声强度V pp＝3.2V 时，系统响应主要集中在大极限环附近，呈单模响应特点，PDF 仅有单峰，对应大极限环，与图4中D ＝0.35理论结果相近．（a ）V pp ＝0.5V（b ）V pp ＝0.8V（c ）V pp ＝1.5V（d ）V pp ＝2.5V（e ）V pp ＝3.2V图12 波形截屏图(ε＝-0.25 V )Fig.12 Recorded waveform (ε＝-0.25 V )保持噪声强度不变，取D ＝0.005，稳定系数对系统行为影响见图13和图14．图13 不同稳定系数下的实验结果Fig.13Experimental results under different stability pa -rameters（a ）ε＝-0.23 V（b ）ε＝-0.21 V（c ）ε＝-0.18 V（d ）ε＝-0.13 V图14 波形截屏图(D ＝0.005)Fig.14 Recorded waveform (D ＝0.005)2018年9月吴志强等：一类三稳态系统确定性及随机分岔现象分析 ·901·稳定系数ε＝-0.23V时，响应主要集中在平衡点附近，呈现单模响应特点．PDF仅有单峰，与图5中 ε＝-0.23V理论结果定性相同．稳定系数ε＝-0.21V时，响应主要在平衡点与小极限环之间切换，呈现双模响应特点．PDF出现双峰，分别对应平衡点和小极限环，与图5中ε＝-0.20V 理论结果定性相同．稳定系数ε＝-0.18V时，系统出现平衡点与大、小极限环之间切换，形成三模响应．PDF出现3个峰，分别对应平衡点和大、小极限环，与图5中ε＝ -0.17V理论结果定性相同．稳定系数ε＝-0.13V时，响应主要在大极限环和小极限环之间切换，呈现双模响应特点．PDF出现双峰，分别对应大、小极限环，与图5中ε＝-0.15V理论结果定性相同．综合上面分析可知，噪声强度和稳定系数的变化导致了系统发生随机P分岔，同时相图与时间历程图都可以定性地看出系统响应的变化情况．5 结 语针对含9次非线性阻尼项的广义van d er Pol系统，设计并搭建了电路实验系统，实验验证了系统在确定性及随机激励情况下的分岔行为．确定性情况下，随着稳定系数增加，系统稳定行为演化过程为：平衡点—平衡点/小极限环—平衡点/小极限环/大极限环—平衡点/大极限环—大极限环．随机激励情况下，实验结果定性表明，噪声强度、稳定系数变化都能引起随机P分岔．但较双稳态情形更复杂，当噪声强度发生变化时，PDF曲线演化过程为：单峰—双峰—单峰—双峰—单峰，发生4次随机P分岔；当稳定系数发生变化时，PDF曲线演化过程为：单峰—双峰—三峰—双峰，发生了3次随机P分岔．与已有文献结果比较还发现：确定性分岔行为相似的系统，其随机P分岔行为可能不同．其动力学机制还有待进一步研究．参考文献：［1］朱位秋. 随机动力学引论[M]. 北京：科学出版社，2017.Zhu Weiqiu. 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