2017-2018学年人教A版必修5 等比数列 第2课时 等比数列的性质 作业
18-19 第1章第2课时等比数列的性质
第2课时 等比数列的性质学习目标：1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来.2.理解等比数列的性质及应用．(重点)3.掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．等比数列的单调性阅读教材P 23思考交流以下P 24例3以上部分，完成下列问题．对于等比数列{a n }，通项公式a n ＝a 1·q n －1＝a 1q ·q n.根据指数函数的单调性，可分析当q ＞0时的单调性如下表：思考：(1)若等比数列{a n }中，a 1＝2，q ＝12，则数列{a n }的单调性如何？ [提示] 递减数列．(2)等比数列{a n }中，若公比q ＜0，则数列{a n }的单调性如何？ [提示] 数列{a n }不具有单调性，是摆动数列． 2．等比中项阅读教材P 25练习2以上最后两段部分，完成下列问题．(1)前提：在a 与b 中间插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列． (2)结论：G 叫作a ，b 的等比中项． (3)满足关系式：G 2＝ab .思考：(1)任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中项吗？ [提示] 不是，两个同号的实数必有等比中项，它们互为相反数，两个异号的实数无等比中项．(2)两个数的等差中项是唯一的，若两个数a ，b 存在等比中项，唯一吗？ [提示] 不唯一，如2和8的等比中项是4或－4.[基础自测]1．判断正误(1)数列－1，－2，－4，－8，－16是递减数列．( )(2)等比数列{a n }中，a 1＞1，q ＜0，则数列|a 1|，|a 2|，|a 3|，…，|a n |，…是递增数列．( )(3)若G 是a ，b 的等比中项，则G 2＝ab ，反之也成立．( )[解析] (1)正确；(2)不正确，如a 1＝2，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则|a n |＝2×12n －1＝12n －2是递减数列；(3)不正确，当G 是a ，b 的等比中项时，G 2＝ab 成立，但当G 2＝ab 时，G 不一定是a ，b 的等比中项，如G ＝a ＝b ＝0.[答案] (1)√ (2)× (3)×2．等比数列{a n }中，若a 1＝2，且{a n }是递增数列，则数列{a n }的公比q 的取值范围是________．[解析] 因为a 1＝2＞0，要使{a n }是递增数列，则需公比q ＞1. [答案] (1，＋∞)3．4－23与4＋23的等比中项是________． [解析] 由题意知4－23与4＋23的等比中项为 ±(4－23)(4＋23)＝±16－12＝±2. [答案] 2或－2[合 作 探 究·攻 重 难]且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．－3D ．－4(2)已知b 是a ，c 的等比中项，求证：a 2＋b 2，ab ＋bc ，b 2＋c 2成等比数列.【导学号：91022075】(1)解析：由已知得a ，b ，c 满足 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，a 2＝bc ，a ＋3b ＋c ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝2，c ＝8，故选D.[答案] D(2)证明：因为b 是a ，c 的等比中项，所以b 2＝ac ， (a 2＋b 2)(b 2＋c 2)＝a 2b 2＋a 2c 2＋b 4＋b 2c 2 ＝a 2b 2＋acb 2＋acb 2＋b 2c 2 ＝a 2b 2＋2acb 2＋b 2c 2 ＝(ab ＋bc )2.所以a 2＋b 2，ab ＋bc ，b 2＋c 2成等比数列． [规律方法] 应用等比中项解题的两个注意点：(1)要证三数a ，G ，b 成等比数列，只需证明G 2＝ab ，其中a ，b ，G 均不为零.(2)已知等比数列中的相邻三项a n －1，a n ，a n ＋1，则a n 是a n －1与a n ＋1的等比中项，即a 2n ＝a n －1·a n ＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程. [跟踪训练]1．(1)设x,2x ＋2,3x ＋3成等比数列，则x ＝________.(2)设a ，b ，c 是实数，若a ，b ，c 成等比数列，且1a ，1b ，1c 成等差数列，则c a＋ac 的值为________．[解析] (1)由题意得(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)， x 2＋5x ＋4＝0，解得x ＝－1或x ＝－4， 当x ＝－1时，2x ＋2＝0，不符合题意，舍去， 所以x ＝－4.(2)由a ，b ，c 成等比数列，1a ，1b ，1c 成等差数列，得⎩⎨⎧b 2＝ac ，2b ＝1a ＋1c ，即4ac ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c 2，故(a －c )2＝0，则a ＝c ，所以c a ＋ac ＝1＋1＝2.[答案] (1)－4 (2)2n n 1n ＋1n 【导学号：91022076】(1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .[思路探究] (1)可借助a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求出a n ；(2)由题目条件列方程，得到等差数列{b n }的首项和公差，可求T n . [解] (1)因为a n ＋1＝2S n ＋1， ① 所以a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，②所以①②两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ， 即a n ＋1＝3a n (n ≥1)， 又因为a 2＝2S 1＋1＝3，所以a 2＝3a 1，故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3n －1.(2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15，可得b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5，故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又因为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，并且a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列， 所以可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2， 解得d 1＝2，d 2＝－10.因为等差数列{b n }的各项为正， 所以d ＞0，所以d ＝2，所以T n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .[规律方法] 求等差、等比数列的综合方法(1)理清各数列的基本特征量，明确两个数列间各量的关系.(2)发挥两个数的基本量a 1，d 或a 1，q 的作用，并用好方程这一工具. (3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验. [跟踪训练]2．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列.【导学号：91022077】(1) 求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. [解] (1)设{a n }的公差为d ， 由题意得a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )． 于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 故S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .[1．在等差数列{a n }中，a n ＝a m ＋(n －m )d ，类比等差数列中通项公式的推广，你能得出等比数列通项公式推广的结论吗？[提示] a n ＝a m ·q n －m .2．在等差数列{a n }中，由2a 2＝a 1＋a 3,2a 3＝a 2＋a 4，…我们推广得到若2p ＝m ＋n ，则2a p ＝a m ＋a n ，若{a n }是等比数列，我们能得到什么类似的结论．[提示] 若2p ＝m ＋n ，则a 2p ＝a m ·a n .3．在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，类比这个性质，若{a n }是等比数列，有哪个结论成立？[提示] 若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q .(1)在等比数列{a n }中，a n ＞0，若a 3·a 5＝4，则a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝________.(2)设{a n }为公比q ＞1的等比数列，若a 2 018和a 2 019是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 030＋a 2 031＝________.(3)在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比q 为整数，则a n ＝________.[思路探究] 利用等比数列的性质求解． [解析] (1)a 3a 5＝a 24＝4，又a n ＞0，所以a 4＝2， a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 1·a 7)·(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 24·a 24·a 24·a 4＝a 74＝27＝128. (2)解方程4x 2－8x ＋3＝0得x 1＝12，x 2＝32，因为q ＞1，故a 2 019＝32，a 2 018＝12，故q ＝3，∴a 2 030＋a 2 031＝a 2 018q 12＋a 2 019·q 12＝(a 2 018＋a 2 019)q 12 ＝2·312.(3)在等比数列{a n }中，由a 4a 7＝－512得a 3a 8＝－512， 又a 3＋a 8＝124，解得a 3＝－4，a 8＝128或a 3＝－128，a 8＝4， 因为公比q 为整数，所以q ＝5a 8a 3＝－51284＝－2， 故a n ＝－4×(－2)n －3＝－(－2)n －1. [答案] (1)128 (2)2·312 (3)－(－2)n －1母题探究：1.(变条件)将例3(3)中等比数列满足的条件改为“a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8”，求a 1＋a 10.[解] 因为{a n }是等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8， 又a 4＋a 7＝2，解得a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4， 当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7q 3＝－7， 当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7q 3＝－7. 故a 1＋a 10＝－7.母题探究：2.(变结论)例3(3)题的条件不变，求log 4|a 2|＋log 4|a 3|＋log 4|a 8|＋log 4|a 9|.[解] 因为a 4a 7＝－512，所以a 2a 9＝a 3a 8＝－512， 故log 4|a 2|＋log 4|a 3|＋log 4|a 8|＋log 4|a 9| ＝log 4(|a 2a 9|·|a 3a 8|)＝log 45122＝log 229 ＝9.[规律方法] 等比数列的常用性质：性质1：通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N ＋).性质2：若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .特别的，若k ＋φ＝2m (m ，k ，φ∈N ＋)，则a k ·a φ＝a 2m .性质3：若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λb n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列. 性质4：在等比数列{a n }中，序号成等差数列的项仍成等比数列. 性质5：⎩⎨⎧ a 1＞0，q ＞1或⎩⎨⎧a 1＜0，0＜q ＜1⇔{a n }递增；⎩⎨⎧ a 1＞0，0＜q ＜1或⎩⎨⎧a 1＜0，q ＞1⇔{a n }递减；q ＝1⇔{a n }为常数列；q ＜0⇔{a n }为摆动数列.[当 堂 达 标·固 双 基]1．若数列{a n }是等比数列，则下列式子一定成立的是( ) A ．a 2＋a 5＝a 1＋a 6 B ．a 1a 9＝a 10 C ．a 1a 9＝a 3a 7D ．a 1a 2a 7＝a 4a 6C [根据等比数列的性质，知a 1a 9＝a 3a 7.]2．在等比数列{a n }中，若a 6＝6，a 9＝9，则a 3等于( )【导学号：91022078】A ．4B ．32C ．169D ．3A [法一：因为a 6＝a 3·q 3， 所以a 3·q 3＝6. a 9＝a 6·q 3， 所以q 3＝96＝32. 所以a 3＝6q 3＝6×23＝4.法二：由a 3，a 6，a 9成等比数列，得a 26＝a 3·a 9， 所以36＝9a 3，所以a 3＝4.]3．数列{a n }为等比数列，它的前三项为m －1，m ＋1,2m ＋2，则m ＝________. [解析] 由题意知(m ＋1)2＝(m －1)(2m ＋2)，解得m ＝3. [答案] 34．在等比数列{a n }中，a 3＝2，公比q ＝2，b n ＝a 2n ，则b 10＝________. [解析] 由题意知a n ＝a 3q n －3＝2·2n －3＝2n －2， 则b n ＝22n －4，故b 10＝216. [答案] 2165．设{a n }是各项均为正数的等比数列，b n ＝log 2a n ，若b 1＋b 2＋b 3＝3，b 1·b 2·b 3＝－3，求此等比数列的通项公式a n .【导学号：91022079】[解] 由b 1＋b 2＋b 3＝3，得log 2(a 1·a 2·a 3)＝3， 所以a 1·a 2·a 3＝23＝8，因为a 22＝a 1·a 3，所以a 2＝2，又b 1·b 2·b 3＝－3， 设等比数列{a n }的公比为q ，得 log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2q ·log 2(2q )＝－3.解得q ＝4或14，所以所求等比数列{a n }的通项公式为a n＝a2·q n－2＝22n－3或a n＝25－2n.。
【人教A版】高中数学必修5教学同步讲练第二章《等比数列前n项和的示解》练习题(含答案)
第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解A 级 基础巩固一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．1282．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）43．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．1934．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 7．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．8．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .B级能力提升1．在等比数列{a n}中，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1(n∈N*)，则a21＋a22＋…＋a2n等于()A．(2n－1)2 B.13(2n－1)2C．4n－1 D.13(4n－1)2．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n＋1，S n，S n＋2成等差数列，则q的值为________．3．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点(n，S n)均在函数y＝b x＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记b n＝n＋14a n(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和T n.第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解（参考答案）一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则有a 5＝a 1q 4＝16， 所以q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1－271－2＝127. 答案：C2．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）4解析：因为a n ＝2×3n －1，则数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n 项和为S n ＝6（1－9n ）1－9＝3（9n －1）4.答案：D3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.答案：C4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)解析：因为3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43≠0，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列．因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．答案：C5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15解析：由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n >0，即log 3a n ＋1a n ＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.答案：B 二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 解析：因为a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60，所以q 2＝2，所以a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240.答案：2407．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．解析：法一：a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15. 法二：因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2＝15.答案：158．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1⇒a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)⇒a n ＋1－a n ＝2a n ⇒a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.答案：1 121 三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得 ⎩⎨⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，故S 1＝1，S n2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n . 所以，当n ＞1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n ，所以S n ＝n2n －1，综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1， 即a n ＋1n ＋1－a nn＝1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)解：由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ， 所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n 。
人教A版数学必修5作业 2-4-1等比数列的概念及通项公式
课时作业(十五)1．(2013·江西)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24答案 A解析 由题意得：(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或－1.当x ＝－1时，3x ＋3＝0，不满足题意．当x ＝－3时，原数列是等比数列，前三项为－3，－6，－12，故第四项为－24.2．在等比数列{a n }中，a 2 010＝8a 2 007，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8答案 A解析 依题意得a 2 010a 2 007＝q 3＝8，q ＝2，选A.3．在等比数列{a n }中，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3等于( ) A ．4 B ．8 C ．－4或4 D ．－8或8答案 C4．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13 B ．3 C ．±13 D ．±3答案 B5．如果a ，x 1，x 2，b 成等差数列，a ，y 1，y 2，b 成等比数列，那么x 1＋x 2y 1y2等于( )A.a ＋b a －bB.b －a abC.ab a ＋bD.a ＋b ab答案 D解析 x 1＋x 2＝a ＋b ，y 1y 2＝ab .6．两个正数插入3和9之间，使前三个数成等比数列而后三个数成等差数列，那么这两个正数之和是( )A ．1312B ．1114C ．1012D ．0答案 B解析 设 4个正数为3，a ，b,9，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3b ，2b ＝9＋a ，∴2a 2＝3(9＋a )，∴2a 2－3a －27＝0，(2a －9)(a ＋3)＝0. ∵a >0，∴2a －9＝0，a ＝92，∴b ＝274，∴a ＋b ＝454. 7．等比数列{an }的公比为2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A ．1 B.12 C.14 D.18答案 C 解析8．已知数列{a n}的前n项和Sn＝a n－1(a为不为零的常数)，那么{a n}()A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或是等差，或是等比数列D．既不是等差，也不是等比数列答案 C解析若a＝1，则{a n}为等差数列；若a≠1，则{a n}为等比数列．9．在两个非零实数a和b之间插入2个数，使它们成等比数列，则这个等比数列的公比为________(用a，b表示)．答案3ba10．在等比数列{an}中，若a4＝2，a7＝16，则an＝________. 答案2n－3解析答案 5 832解析答案等比；等差解析13．若实数a 、b 、c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交点的个数是________．答案 0解析 ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac (b ≠0)． 又Δ＝b 2－4ac ＝－3b 2<0，∴抛物线与x 轴无交点．解析15．一个等比数列的前三项依次是a,2a ＋2,3a ＋3.试问－1312是否为这个数列中的一项？如果是，是它的第几项？如果不是，请说明理由．思路分析 一个等比数列的前三项仍然构成等比数列，则可以求出a 的值，要判断－1312是否为数列中的一项，就要求出通项公式再作出判断．【解析】 ∵a,2a ＋2,3a ＋3是等比数列前三项，仍然构成等比数列． ∴a (3a ＋3)＝(2a ＋2)2，解得a ＝－1，或a ＝－4. 当a ＝－1时，数列的前三项依次为－1,0,0. 与等比数列的定义矛盾，故将a ＝－1舍去．当a ＝－4时，数列的前三项依次为－4，－6，－9.则公比为q ＝32. ∴an ＝－4·(32)n －1.令－4·(32)n －1＝－1312，即(32)n －1＝278＝(32)3， ∴n －1＝3，即n ＝4.∴－1312是这个数列第4项．16．三个数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．思路分析 本题主要考查等比数列、等差数列、等比中项和等差中项，以及它们的应用．因为所求三个数成等差数列，其和已知，故可设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，再根据已知条件寻找关于a ，d 的方程，通过解方程组即可获解．解析 设所求三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，(a ＋3)2＝(a －d ＋1)(a ＋d ＋9)， 解得a ＝5，d ＝2或a ＝5，d ＝－10. 故所求三个数为3,5,7或15,5，－5. 17．等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式．答案 (1)a n ＝2n (2)b n ＝12n －28解析答案①、②、③、⑦、⑧、⑩为等比数列1．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N *)，那么数列{a n }( )A ．是等比数列B ．当p ≠0时是等比数列C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列D ．不是等比数列 答案 D解析 利用等比数列的概念判断．由S n ＝p n (n ∈N *)，有a 1＝S 1＝p ，并且当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －p n －1＝(p －1)p n －1.故a 2＝(p －1)p .因此数列{a n}成等比数列⇔⎩⎪⎨⎪⎧p ≠0，p －1≠0，an a n －1＝p (n ≥2).而a 2a 1＝(p －1)pp ＝p －1.故满足此条件的实数p 是不存在的，故本题应选D.讲评 (1)此题易得出错误的判断，排除错误的办法是熟悉数列{a n }成等比数列的条件：a n ≠0(n ∈N *)，还要注意对任意n ∈N *，n ≥2，a na n －1都为同一常数．(2)判断{a n }是否为等比数列，由S n ＝p n 知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n－p n －1＝(p －1)·p n －1，乍看只要p ≠0，p －1≠0就是等比数列，其实不然，因为a 1＝S 1＝p ，并不满足a n ；故无论p 取何实数{a n }都不可能是等比数列．2．(2010·江西)等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝( )A ．(－2)n －1B ．－(－2)n －1C ．(－2)nD ．－(－2)n答案 A解析 记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.∵a 5>a 2，∴a 5>0，a 2<0，∴a 1>0，又由|a 1|＝1，得a 1＝1，故a n ＝a 1q n －1＝(－2)n －1.3．(2013·广东)设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数，则a 1＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＝________.答案 15解析 由数列{a n }首项为1，公比q ＝－2，则a n ＝(－2)n －1，a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝4，a 4＝－8，则a 1＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＝1＋2＋4＋8＝15.4．已知数列{a n }满足：lg a n ＝3n ＋5，试用定义证明{a n }是等比数列． 解析 ∵lg a n ＝3n ＋5，∴a n ＝103n ＋5，a n ＋1＝103(n ＋1)＋5.∴a n ＋1a n＝103，∴{a n }是以108为首项以103为等比的等比数列．。
人教A版高中数学高二必修5课件2.4等比数列(二)
2.4 等比数列(二)
6
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项
“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝
2.4 等比数列(二)
29
规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中， 特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的 应用往往是破题的关键.
2.4 等比数列(二)
30
跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列， Sn为{an}的前n项和. (1)求通项公式an及Sn； 解 因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an ＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
的m的个数；若不存在，请说明理由.
解 若存在m，使b1，b4，bt成等差数列， 则2b4＝b1＋bt，
∴ 7 ×2＝ 1 ＋ 2t－1 ，
7＋m
1＋m 2t－1＋m
2.4 等比数列(二)
28
7m＋1 7m－5＋36
∴t＝
＝
＝7＋
36
，
m－5
m－5
m－5
由于m、t∈N*且t≥5. 令m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1， 即m＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数. ∴存在符合题意的m值，且共有8个.
2.4 等比数列(二)
26
(1)由 bn＝an＋an m(m∈N*)知 b1＝1＋1 m，b2＝3＋3 m，b8＝151＋5 m，
∵b1，b2，b8成等比数列，
高中数学4-3-1等比数列的概念第2课时等比数列的性质及应用新人教A版选择性必修第二册
琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均律”是指一个八
度有 13 个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最 初那个音频率的 2 倍，设第二个音的频率为 f2，第八个音的频率为 f8，则 ff82等于( A )
A． 2
B．3 2
C．4 2
D．6 2
[分析] 建立等比数列模型⇒运用等比数列的性质求解．
一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
( C) (参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年
B．2019年
C．2020年
D．2021年
[解析] (1)一年后的价格为：8 100×1－13＝5 400； 两年后的价格为：5 400×1－13＝3 600； 三年后的价格为：3 600×1－13＝2 400.
对点训练❸ 设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是长、宽分 别为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为 (D)
A．{an}是等比数列 B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且 公比相同
2．等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项
的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·____a_n_－_1____＝ ak·_____a_n－__k＋_1______＝a2n＋1(n 为正奇数)．
2
3．等比数列的运算的性质
高中数学教案-人教A版必修5--2.4等比数列(2)
2.4等比数列(2)教学目标：1、 能够应用等比数列的定义及通项公式，理解等比中项概念；2、 类比等差数列的性质推到等比数列的性质；3、 提升学生对数学知识的正迁移能力，增强学生的数学素养.教学重点：1.等比中项的理解与应用2.等比数列性质探究与应用.教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式及性质解决相关问题.教学过程：一、复习回顾等比数列定义，等比数列通项公式.（板书）二、讲授新课第一环节：类比等差中项，探究等比中项 .问题1：(1)若在2，8中插入一个数A ，使2，A ，8成等差数列，则A = .变式1.若在2，8中插入一个数G ，使2，G ，8成等比数列，则G = .变式2.若在-2， 4中插入一个数M ，能否使-2，M ，4成等比数列呢？归纳小结：1.等差中项：若a ，A ，b 成等差数列⇔A ＝a ＋b 2，A 为等差中项. 2.等比中项：（板书）如果在a 、b 中插入一个数G ，使a 、G 、b 成等比数列，则G 是a 、b 的等比中项。
ab G ab G Gb a G ±=⇒=⇒=2（注意两解且同号两项才有等比中项） 练习：完成教材课后练习P预设：学生在推导过程中，部分同学会忽略对等比中项的存在性的讨论，在等比中项存在时漏掉符号为负的那一项.（有利于培养学生的严谨性和批判性）问题2()()()(){}()213n 51937519283746n b b b b n n {a }.1 a a a2 a =3a =a =3 a a =a a =a a =a a 4{b }a a a a 5{a }{lg }. A.1ka ⋅⋅⋅⋅已知无穷数列 是等比数列，那么下列说法中正确个数的有（ ）是 和 的等比中项；若 ，6，则 12；；若是等差数列，则 是 和 的等比中项,并且 也是等比数列；若数列 的每项都是正数，则数列 为等差数列 B.2 C.3 D.4师问：同学们观察第（3）你发现什么规律了吗？类比等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则,m n p q a a a a ，，之间又有怎样的关系呢？并说理.分析：由通项公式可得：a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，a p ＝a 1q p －1，a q ＝a 1·q q －1不难发现：a m ·a n ＝a 12q m +n －2，a p ·a q ＝a 12q p +q －2归纳小结：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q （板书）师问：同学们观察第（4）你发现什么规律了吗？学生发现：在等比数列中，若项数成等差数列，则对应的项仍然成等比数列. 归纳小结：234,,,m m m m km a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ，，成等比数列问题3n 115{}(1) 2 , 3 ,(2) 6 , 2 ,n n a a q a q a a q a ====已知数列 是首相 ,公比 为的等比数列，若 求 ；若 求 ；同学们思考：在等比数列中，已知1a q 首相,公比我们可以得到通项公式n a ，如果给出m a q ,公比，又如何表示通项公式n a ？归纳小结：通项公式的变形：11=n n m n m a a q a q --=⋅⋅（板书）师问：类比等差数列()11n a a n d =+-，可以看成是以n 为自变量n a 为因变量的一次函数，它的几何意义是该一次函数图像上的点，那么对于等比数列，已知1a q 首相,公比，变量n a 与变量n 是否存在函数关系？若存在属于哪个类型函数？归纳小结：（板书）当数列}a {n 为指数型函数当{}01n q q a >≠数列为指数且时，型函数;当q=1时，数列}a {n 为常数列；当q<0时，数列}a {n 为摆动数列.思考题1 {}{}44n n a b a b 等差数列与等比数列的首项和第8项为正且相等，试比较与的大小.归纳小结：构建两个函数，为借助函数图像解题奠定了基础，体现了函数思想在数列中的运用。
2-4-2等比数列的性质
第二章
2.4
第2课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
(7)等比数列{an}中，等间隔(即序号成等差数列)的项仍成 等比数列；等间隔的 k 项之和(或积)仍成等比数列． 如：a1，a3，a5，„„a2n－1„„成等比数列． a1，a4，a7„„a3n－2„„成等比数列． a3，a7，a11„„a4n－1„„成等比数列． a1＋a2， 3＋a4， 5＋a6„„a2n－1＋a2n„„成等比数列等等． a a
(1)在等比数列{an}中，已知 a7a12 ＝5，则 a8a9a10a11 ＝ __________. (2){an}为等比数列，且 a1a9＝64，a3＋a7＝20，则 a11＝ ________.
[答案]
(1)25
(2)1 或 64
第二章
2.4
第2课时
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第二章
2.4
第2课时
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[解析]
(1)由已知 a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3，得
q＝6， 解得 d＝5， q＝1， 或 d＝0.
1＋d＝q， 1＋7d＝q2，
(舍去)
(2)假设存在 a，b 使得 an＝logabn＋b 成立， 即有 1＋5(n－1)＝loga6n 1＋b. 整理，得(5－loga6)n－(4＋b－loga6)＝0. ∵an＝logabn＋b 对一切正整数 n 恒成立．
a2 . (3)对任意正整数 n(n>1)，都有 an－1·n＋1＝ n a
第二章
2.4
第2课时
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a (4)对任意正整数 p、q、r、s，若 p＋q＝r＋s，则apaq＝ar·s
第四章 4.3.1 第2课时 等比数列的应用及性质 【新人教版】高中数学选修性必修第2册
反思 感悟
判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足aan＋n1＝q(n∈N*，q 为常数且不为零) 或aan－n1＝q(n≥2，且 n∈N*，q 为常数且不为零)，则数列{an}是 等比数列. (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0， q≠0)，则数列{an}是等比数列.
021等于
019
A.－3
B.－1
√C.1
√D.9
解析 由 3a1，12a3,2a2 成等差数列可得 a3＝3a1＋2a2，
即a1q2＝3a1＋2a1q，
∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0.
解得q＝3或q＝－1.
∴a2 a2
020－a2 018－a2
021＝a2 019 a2
00128011－－qq＝aa22
又a1，a3，a5均不为0， ∴a1，a3，a5成等比数列.
(2)已知数列{an}是首项为
2，公差ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ－1
的等差数列，令
bn＝
1 2
an
，
求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.
解 依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是 bn＝123－n. 12－n
而bbn＋n 1＝213－n＝12－1＝2. 2
等比数列.
(数4)列若，{a且n}是公等比比分数别列是，q公，比1q，为q2q，. 则数列{λan}(λ≠0)，a1n，{a2n}都是等比
(5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是 p 和 q，那么{anbn}与 p
abnn也都是等比数列，公比分别为 pq 和 q .
预习小测 自我检验
第四章 4.3.1 等比数列的概念
高中数学必修5课件：第2章2-4-2等比数列的性质
数学 必修5
第二章 数列
温故知新
1.等比数列{an}，对于任意正整数 n，都有aan＋n 1＝________.
[答案] q 2．等比数列{an}，对于任意正整数 n、m 都有aamn＝________. [答案] qn－m
数学 必修5
第二章 数列
(4){|an|}是公比为|q|的等比数列；
(5){amn }(m是整数常数)是公比为qm的等比数列．
特别地，若数列{an}是正项等比数列时，数列{a
m n
}(m是实
数常数)是公比为qm的等比数列；
(6)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列 {an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．
数学 必修5
第二章 数列
3．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41， a4a8＝4，则a4＋a8＝________.
解析： ∵a6a10＝a28，a3a5＝a24， ∴a24＋a28＝41， 又a4a8＝4， ∴(a4＋a8)2＝a24＋a28＋2a4a8＝41＋8＝49， ∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7.
【错解】 因为a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，
所以a5＋a9＝178， 又因为a7是a5，a9的等比中项， a5·a9＝1.
所以a27＝a5·a9＝1，即a7＝±1.
数学 必修5
第二章 数列
【错因】 上述解法忽视了对a7符号的讨论，由于a5，a9
均为正数且公比为q＝±
a7 a5
＝±
第二章 数列
(1)本类题目与等差数列中的形式基本类似， 但相对等差数列来说，它的运算量远远高出等差数列，特别提 出一点，对于公比q一定要根据题意进行取舍，并给出必要的 讨论和说明．
人教版A版高中数学必修5：等比数列_课件3
学 案
件．如果每一年比上一年增长的百分率相同，这
个百分率是多少？2011年生产这种零件多少万件？
课 堂 互
动
解：设每一年比上一年增长的百分率为x，则从
讲 练
2010年起，连续3年的产量依次为a1＝100，a2＝ a1(1＋x)，a3＝a2(1＋x)，即a1＝100，a2＝100(1＋ x)，a3＝100(1＋x)2成等比数列．
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变式训练1 已知三个数成等比数列，它们的积为
课 前
自
主
27，它们的平方和为91，求这三个数．
学 案
解：设三个数依次为 a，aq，aq2，
a·aq·aq2＝27
课
由题意知a2＋a2q2＋a2q4＝91 ，
堂 互 动
讲
aq3＝27
练
∴a21＋q2＋q4＝91 ，
aq＝3 即a21＋q2＋q4＝91 ，
返回
课
【思路点拨】 ①利用等比数列性质，若m＋n＝p
前 自
＋q，则aman＝apaq.
主 学 案
②若{an}成等比数列，则am，am＋n，am＋2n，…仍
成等比数列．
【解析】 (1)由等比数列性质 a2a4＝a23，
课 堂 互
a4a6＝a25，
动 讲
把 a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25
练
化为 a23＋2a3a5＋a25＝25
动 讲
原计划中每年的产值．
练
【思路点拨】 审清题意，抽象出数学模
型．“从第二年起每一年比上一年增长的产值都
相同”说明原计划三年产值成等差数列；“每一年
比上一年的产值增长的百分数都相同”说明新产
值构成等比数列．
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1
学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．等比数列{an}的公比q＝－14，a1＝2，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数数列 D．摆动数列
【解析】 因为等比数列{an}的公比为q＝－14，a1＝2，故a2<0，a3>0，…
所以数列{an}是摆动数列．
【答案】 D
2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
【解析】 设等比数列的公比为q，因为a6a3＝a9a6＝q3，即a26＝a3a9，所以a3，
a6，a9成等比数列．故选D.
【答案】 D
3．在等比数列{an}中，a3a4a5＝3，a6a7a8＝24，则a9a10a11的值为( )
A．48 B．72 C．144 D．192
【解析】 ∵a6a7a8a3a4a5＝q9＝8(q为公比)，
∴a9a10a11＝a6a7a8q9＝24×8＝192.
【答案】 D
4．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，
则成等比数列，则此未知数是( )
2
A．3 B．27
C．3或27 D．15或27
【解析】 设此三数为3，a，b，则 2a＝3＋b，a－62＝3b，
解得 a＝3，b＝3或 a＝15，b＝27，所以这个未知数为3或27.
【答案】 C
5．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n
个数的积为( )
A．10n B．n10
C．100n D．n100
【解析】 设这n＋2个数为a1，a2，...，an＋1，an＋2，
则(a2·a3·…·an＋1)2＝(a1·an＋2)n＝100n
，∴a2·a3·…·an＋1＝10n
【答案】 A
二、填空题
6．在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于________．
【解析】 因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，
所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29＝512.
因为a8＝a3·q5，所以q＝2，所以a7＝a8q＝256.
【答案】 256
7.在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成
等比数列，则x＋y＋z的值为________.
3
【解析】 ∵x2＝24，∴x＝1.
∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为
5,6.
同理，第二行后两格中数字分别为2.5,3.
∴y＝5·123，z＝6·124，
∴x＋y＋z＝1＋5·123＋6·124＝3216＝2.
【答案】 2
8．某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年
的月平均增长率是________．
【解析】 由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均
增长率只需利用a12a1＝m，所以月平均增长率为11m－1.
【答案】 11m－1
三、解答题
9．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列
{an}的首项、公比.
【解】 设该数列的公比为q.
由已知，得 a1q－a1＝2，4a1q＝3a1＋a1q2，
所以 a1q－1＝2，q2－4q＋3＝0，解得 a1＝1，q＝3，(q＝1舍去)，
4
故首项a1＝1，公比q＝3.
10．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，
－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，求p＋q
的值．
【解】 不妨设a>b，由题意得 a＋b＝p>0，ab＝q>0，∴a>0，b>0，则a，－2，b
成等比数列，a，b，－2成等差数列，
∴ ab＝－22，a－2＝2b，∴ a＝4，b＝1，∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9.
[能力提升]
1．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝( )
A．±2 B．±4
C．2 D．4
【解析】 ∵T13＝4T9，
∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9，
∴a10a11a12a13＝4.
又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴(a8·a15)2＝4，∴a8a15＝±2.
又∵{an}为递减数列，∴q>0，∴a8a15＝2.
【答案】 C
2．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，
且b7＝a7，则b6b8＝( )
A．16 B．14
C．4 D．49
5
【解析】 ∵2a3－a27＋2a11＝2(a3＋a11)－a27＝4a7－a27＝0，
∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4，∴b6b8＝b27＝16.
【答案】 A
3．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列
{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
【解析】 由题意知，数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，
说明{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，由于{an}中连续四项至少
有一项为负，∴q<0.
又∵|q|>1，∴{an}的连续四项为－24,36，－54,81.
∴q＝36－24＝－32，
∴6q＝－9.
【答案】 －9
4．在等差数列{an}中，公差 d≠0，a2是a1与a4的等比中项．已知数列a1，
a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，求数列{kn}的通项kn.
【解】 依题设得an＝a1＋(n－1)d，a22＝a1a4，
∴(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d，
∵d≠0，∴d＝a1，得an＝nd.
∴由已知得d,3d，k1d，k2d，…，knd，…是等比数列．
又d≠0，∴数列1,3，k1，k2，…，kn，…也是等比数列，首项为1，公比为
q＝31＝3，由此得k1＝9.
等比数列{kn}的首项k1＝9，公比q＝3，
∴kn＝9×qn－1＝3n＋1(n＝1,2,3，…)，即得到数列{kn}的通项为kn＝3n＋1.