高二数学必修五《等比数列》专项练习题
等比数列练习题加答案.docx
等比数列 ( 人教 A 版必修 5)一、选择题 （每小题 3 分，共 27 分）1. 如果数列an是等比数列，那么 ( ) A. 数列 { a n 2 } 是等比数列2a nB. 数列是等比数列 C. 数列 lg a n是等比数列2. 在等比数列 a n中， a 4＋ a 5 ＝10， a 6＋a 7 ＝ 20，则 a 8＋a 9 =( )3. 已知等比数列 a n 的各项为正数，且 3 是a 5 和 a 6 的等比中项，则 a 1a 2 L a 10 ＝()4. 在等比数列 a n中，若 a 3 a 5 a 7 a 9 a 11 ＝243，则a 92 的值为() a 115. 已知在等比数列 a n中，有 a 3a 11＝4a 7 ，数列 b n是等差数列，且 b 7＝ a 7 ，则 b 5＋b 9 =( )6. 在等比数列 an 中， a nan ＋1，且 7 11＝a a6， a 4＋a 14 ＝ 5，则 a 6=()a167. 已知在等比数列 a n 中，各项都是正数， 且 1 ，1 a 3 2成等差数列，则 a 9 a 10＝ a 2， 2a a 7 a 8( )＋ 2－ 2＋ 2 2 －2 28. 已知公差不为零的等差数列的第 k,n,p 项构成等比数列的连续三项，则等比数列的公比为( )n pA.knB.n pp k n kkpC. np D.n p9. 已知在等比数列 a n 中， a 5 ,a 95 为方程x 2＋10x ＋ 16＝0 的两根，则 a 20 a 50 a 80 的值为()B.±256D. ±64二、填空题 （每小题 4 分，共 16 分）10. 等比数列 an 中， a n 0 ，且 21 ，a ＝1－aa 4＝9－a 3 ，则 a 4＋ a 5 =．111. 已知等比数列 a n 的公比 q ＝－ 3，则a 1 a 3 a 5 a 7 = ．a 2 a 4 a 6 a 812. 在 3 和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去 6，则成等比数列，此未知数是 ．13. 一种专门占据内存的计算机病毒的大小为 2 KB ，它每 3 s 自身复制一次，复制后所占内存是原来的两倍，则内存为 64 MB(1 MB ＝210 KB)的计算机开机后经过 s ，内 存被占完． 三、解答题 （共 57 分）14.(8 分) 已知 an 是各项均为正数的等比数 列，且a 1＋a 2 ＝ 2 1 1 ，a 1 a 23＋41 1 ．求 an 的通项公式 .aa ＝ 32a 3 a 415. （8 分）在等比数列 a n 中，已知求 lg a n＋1＋lg a n ＋ 2＋L ＋lg a 2n .a 4 a 7 ＝－ 512， a 3＋a 8 ＝124，且公比 整数， 18. （12 分）已知 a1 ＝ 2，点 ( a n ,a n ＋1 ) 在函数求 a 10 .2f ( x)＝x ＋2x 的 象上，其中 n ＝1,2,3 ，⋯.(1) 明数列{lg(1 ＋a n)}是等比数列；(2) 求 an 的通 公式．16. （8 分）在等差数列 a n中， a 4 ＝ 10，且a 3 ,a 6 , a 10成等比数列，求数列 a n前 20 的 和S 20.19. （12 分）容 a L( a1) 的容器盛 酒 精后倒出 1 L ，然后加 水，混合溶液后再 倒出 1 L ，又用水加 ，如此 下去，第 n次操作后溶液的 度是多少若 a ＝ 2，至 少 倒出几次后才可以使酒精 度低于 10%17. （9 分） 正整数数列 a n 一个等比数列，且a 2 ＝4， a 4 ＝16，等比数列 ( 人教 A 版必修 5) 答案一、b na n 2bn 1a n 21a n 12q 22an 1解析： 设 ＝ ＝ ＝ ＝ ，∴b n 2a n 1a n≠常数；，则b na n 2a n为等比数列；2a n当 a n0 时， lg a n 无意义；设 c n ＝ na n ，则c n 1＝( n1)a n 1 ＝ n1 q ≠常数．c nna nn解析： ∵ q 2＝a 6a 7 ＝2，∴ a 8＋a 9＝(a 6＋a 7 )q 2＝20q 2＝40.a 4a 5解析： 由题意得 a 5a 6＝9 ，∴ a 1a 10＝a 2a 9＝a 3 a 8＝a 4 a 7＝a 5a 6＝9 ，∴ a 1a 2 L a 10＝95＝310 .＝ 5 30＝ 243，∴ a 92 ＝ a 12q 16 1 6 ＝ 5 243＝3.解析： ∵ a 3a 5 a 7 a 9 a 11 a 1 q a 11 a 1q 10 ＝ aq解析： ∵ a 3a 11＝a 72＝4a 7 ，又 a 7 ≠ 0，∴ a 7 ＝4，∴ b 7 ＝ 4. ∵ 数列 b n 为等差数列，∴b 5＋b 9＝2b 7＝8 .a 7a 11a 4a146,a 4 3,a 42, 解析： 由题意得a4a145,解得a142或a143.又∵ a na n ＋1 ，∴ a 4＝3 ， a 14＝2 . ∴a 6a 4 3 .a 16a 14 2解析： 设等比数列 a n 的公比为 q ，∵ a 1 ， 1a 3 ， 2a 2 成等差数列，∴ a 3＝a 1＋2a 2 ，∴2a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，＝ ±∵ 各项都是正数，∴ q 0，∴q＝ ＋ ，∴ q 2－ q － ＝ ，∴ q2.2 1 0 112∴ a 9 a 10＝ q 2 ＝(1 ＋ 2) 2＝ 3＋ 2 2.a 7 a 8解析： 设等差数列的首项为 a 1 ，公差为 d ，a na pa p a na 1( p 1)d 1p n n p则 qa (n 1)d= .a ka n a n a ka 1 (n 1)da 1 (k 1)dn k k n解析： 由根与系数的关系，得 a 5a 95 ＝16，由等比中项可得 a 5 a 95 ＝ (a 50 )2 ＝ 16，故 a 50 ＝± 4，则 a 20 a 50 a 80 ＝ (a 50 )3 ＝ ( ± 4) 3＝± 64.二、填空题解析： 由题意，得a 1＋a2＝ 1，a 3＋a4＝(a 1＋ a 2)q2＝ 9，∴ q 2 ＝9.又 a n 0 ，∴ q ＝3. 故 a 4＋a 5＝( a 3＋a 4 )q ＝9 3＝27 .11. －3 解析： a 1a 3 a 5 a 7 ＝ a 1 a 3 a 5 a 7＝ 1＝－3.a 2 a 4 a 6 a 8 a 1 q a 3q a 5 q a 7qq或 27解析：设三数分别为3,a, b，则2a3 2 b,解得a3,或 a 15,(a6)3b.b3b 27.∴ 这个未知数为 3 或 27.解析：设计算机病毒每次复制后的大小组成等比数列a n ，且 a 1 ＝ 2× 2＝4，q ＝ 2，则 a n ＝4· 2n －1 . 令 4· 2n 110＝64×2 ，得 n ＝15，即复制 15 次，共用 45 s.三、解答题14. 解：设等比数列 an的公比为 q ，则 a n ＝a 1q n －1 .由已知得a 1＋a 1q＝21 1 ， a 1q 2＋a 1q 3 ＝321 2 1 3 ．a 1 a 1qa 1qa 1qa 12 q(q 1) 2( q 1), a 12 q 2,化简，得 a 12 q 5 (q1)32( q 1), 即 a 12 q 532.又∵ a 1 0 ， q 0 ，∴a 11,∴ a n ＝2n － 1 .q 2.15. 解： ∵ a 3a 8＝a 4a 7＝－512 ，联立a 3 a 8 124,解得a34,或a3128,a 3a 8 512.a 8128a 8 4.又公比为整数，∴ a 3＝－4，a 8＝128，q ＝－2 .∴ a 10＝ a 3q 7＝(－ 4) (－2)7＝512 .16. 解：设数列 a n的公差为 d ，则 a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ，a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d . 由 a 3,a 6 , a 10 成等比数列，得 a 3a 10＝ a 62 ，即 (10－ d)(10＋6d )＝(10＋2d )2 .整理，得 10d 2－10d ＝0 . 解得 d ＝ 0 或 d ＝ 1.当 d ＝0 时， S 20＝20a 4＝200 ；当 d＝1 时， a 1＝a 4－3d ＝10－3 1＝7 ，于是 S 2020×1920× 7＋190＝ 330.＝ 20a 1 ＋2 d ＝17. 解：由a2＝4， a 4 ＝ 16，得 a1 ＝2， q ＝2，∴ a n ＝2n.3 n 2n3n2＋ ＋ ＋＝＝ ( n ＋1)＋ (n ＋ 2)＋ L ＋ 2n＝lg 2 2 ＝ nlg 2.∴ lg a n ＋1 lg a n ＋ 2 Llg a 2n lg( a n ＋ 1a n ＋ 2 L a 2n ) lg 2218.(1) 证明： 由已知得 an ＋1＝a n 2＋2a n ，∴ a n ＋1＋1＝ a n 2＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2.∵a 1＝2，∴ a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2 0 .∴lg(1＋a n ＋ 1)＝2lg(1＋a n ) ，即lg(1＋a n ＋1)＝2 ，且 lg(1＋a 1 )＝lg 3 . lg(1＋a n )∴{lg(1 ＋a n)}是首项为 lg 3 ，公比为 2 的等比数列．(2) 解：由 (1) 知， lg(1＋＝n － 1＝ 2 n -12n-12n -1a n ) 2 lg 3 lg 3 ，∴1＋a n ＝3 ，∴ a n ＝3 －1 .20. 解：开始的浓度为 1，操作一次后溶液的浓度是 a 1 ＝ －1.1a设操作 n 次后溶液的浓度是 a n ，则操作 (n ＋1) 次后溶液的浓度是 a n ＋ 1 ＝ a n 1－1．an11q＝1－ 1所以数列 a是以 a ＝1－ a 为首项， a 为公比的等比数列．nna n ＝a 1q n －1＝ 1 11 1所以a ，即第 n 次操作后溶液的浓度是 a .当 a ＝2 时，由 a n ＝ 1 n1 ，得 n ≥4.2 10因此，至少应倒 4 次后才可以使酒精浓度低于 10%.。
高中数学必修5等比数列精选题目(附答案)
高中数学必修5等比数列精选题目（附答案）1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.①已知a 1，q ，n ，a n ，S n 中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想.②在等比数列求和时，要注意q ＝1和q ≠1的讨论.3．等比数列与指数型函数的关系当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n可以看成函数y ＝cq x ，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上；对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 11－q，则S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x ＋a 图象上一系列孤立的点．对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点．设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *.(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 也是等比数列．(5)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . 一、等比数列的基本运算1.(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 注：等比数列基本运算中的2种常用数学思想2．已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 23．(2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．324．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.二、等比数列的判定与证明5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列． 注：1．掌握等比数列的4种常用判定方法通项公式法若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列前n 项和公式法若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列2．等比数列判定与证明的2点注意(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．(2)证明一个数列{a n }不是等比数列，只需要说明前三项满足a 22≠a 1·a 3，或者是存在一个正整数m ，使得a 2m ＋1≠a m ·a m ＋2即可． 6．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n －2n ，证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列．7．(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．三、等比数列的性质(一) 等比数列项的性质8.(2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－ 2 或 29.(2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16(二) 等比数列前n 项和的性质11.各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16注：应用等比数列性质解题时的2个关注点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．12．(2019·郑州第二次质量预测)已知等比数列{a n }中，a 2a 5a 8＝－8，S 3＝a 2＋3a 1，则a 1＝( )A.12 B ．－12C ．－29D ．－1913．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.巩固练习:1．(2019·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 5＝16，a 2＝2，则公比q ＝( )A ．4 B.52C ．2D.122．(2019·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±24．(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 019＝( )A ．22 018－12B ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 018C ．22 019－12D ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 0195．在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝21，a 2＋a 4＋a 6＝42，则S 9＝( ) A ．255 B ．256 C ．511D ．5126．已知递增的等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和S n <0，则( ) A ．a 1<0,0<q <1B ．a 1<0，q >1C ．a 1>0,0<q <1D ．a 1>0，q >17．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________．8．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 9．(2018·江西师范大学附属中学期中)若等比数列{a n }满足a 2a 4＝a 5，a 4＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.10．已知等比数列{a n }为递减数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.11．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．12．(2019·甘肃诊断)设数列{a n ＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a 3＝7，a 7＝127.(1)求a 5的值；(2)求数列{a n }的前n 项和．参考答案：1.[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n－1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63，得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.由S m ＝63，得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.2.解析：选B 由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，则q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q＝4. 3.解析：选C 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.4.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14， 则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.5.[证明] 因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ， 所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n ＝2.因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列． 6.证明：因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2， 所以a 1＝2，由a 1＋a 2＝2a 2－4得a 2＝6.由于S n ＝2a n －2n ，故S n ＋1＝2a n ＋1－2n ＋1，后式减去前式得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －2n ，即a n＋1＝2a n ＋2n ，所以a n ＋2－2a n ＋1＝2a n ＋1＋2n ＋1－2(2a n ＋2n )＝2(a n ＋1－2a n )， 又a 2－2a 1＝6－2×2＝2，所以数列{a n ＋1－2a n }是首项为2、公比为2的等比数列． 7.解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1. ∴数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得 b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．8.[解析]设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.9.解：由分数的性质得到1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5.因为a 8a 1＝a 7a 2＝a 3a 6＝a 4a 5，所以原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5，又a 1a 2…a 8＝16＝(a 4a 5)4，a n >0，∴a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2.故选A. 11.[解析] 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列． 由(x －2)2＝2×(14－x )， 解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30.12.解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋3a 1，所以a 3a 1＝q 2＝2.因为a 2a 5a 8＝a 35＝－8，所以a 5＝－2，即a 1q 4＝－2，所以4a 1＝－2，所以a 1＝－12，故选B. 13.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.练习：1.解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·a 1q 4＝16，a 1q ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－2(舍去)，故选C.2.解析：选C 由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，∴log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.3.解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，则a 1＝a 3q2＝1，故选A.4.解析：选A 由等比数列的性质及a 2a 6＝8(a 4－2)，得a 24＝8a 4－16，解得a 4＝4. 又a 4＝12q 3，故q ＝2，所以S 2 019＝12(1－22 019)1－2＝22 018－12，故选A.5.解析：选C 设等比数列的公比为q ，由等比数列的定义可得a 2＋a 4＋a 6＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＝q (a 1＋a 3＋a 5)＝q ×21＝42，解得q ＝2.又a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋q 2＋q 4)＝a 1×21＝21，解得a 1＝1.所以S 9＝a 1(1－q 9)1－q ＝1×(1－29)1－2＝511.故选C.6.解析：选A ∵S n <0，∴a 1<0，又数列{a n }为递增等比数列，∴a n ＋1>a n ，且|a n |>|a n ＋1|， 则－a n >－a n ＋1>0，则q ＝－a n ＋1－a n ∈(0,1)，∴a 1<0,0<q <1.故选A.7.解析：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)， 由a 5＝a 1q 4＝16，a 1＝1，得16＝q 4，解得q ＝2， 所以S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1×(1－27)1－2＝127.8.解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48. 答案：12,489.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2a 4＝a 5，a 4＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ·a 1q 3＝a 1q 4，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.10.解析：设公比为q ，由a 25＝a 10， 得(a 1q 4)2＝a 1·q 9，即a 1＝q . 又由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1， 得2q 2－5q ＋2＝0， 解得q ＝12()q ＝2舍去，所以a n ＝a 1·q n －1＝12n .11.解：(1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1， 而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.12.解：(1)由题可知a 3＋1＝8，a 7＋1＝128， 则有(a 5＋1)2＝(a 3＋1)(a 7＋1)＝8×128＝1 024， 可得a 5＋1＝32，即a 5＝31. (2)设数列{a n ＋1}的公比为q ，由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋1＝(a 1＋1)q 2，a 5＋1＝(a 1＋1)q 4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋1＝2，q ＝2，所以数列{a n ＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1，利用分组求和可得，数列{a n }的前n 项和S n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .。
2023高考数学复习专项训练《等比数列》(含答案)
2023高考数学复习专项训练《等比数列》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）等比数列{a n}满足a1+a2+a3=13,a2+a3+a4=133，则a5=()A. 1B. 13C. 427D. 192.（5分）给出以下命题：①存在两个不等实数α，β，使得等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立；②若数列{a n}是等差数列，且a m+a n=a s+a t(m、n、s、t∈N∗)，则m+n=s+t；③若S n是等比数列{a n}的前n项和，则S6，S12−S6，S18−S12成等比数列；④若S n是等比数列{a n}的前n项和，且S n=Aq n+B；(其中A、B是非零常数，n∈N∗)，则A+B为零；⑤已知ΔABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2>c2，则ΔABC一定是锐角三角形．其中正确的命题的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.（5分）设T n为等比数列{a n}的前n项之积，且a1=−6，a4=−34，则当T n最大时，n的值为()A. 4B. 6C. 8D. 104.（5分）等比数列{a n}，满足a1+a2+a3+a4+a5=3，a12+a22+a32+a42+a52= 15，则a1−a2+a3−a4+a5的值是()A. 3B. √5C. −√5D. 55.（5分）已知在等比数列{a n}中，公比q是整数，a1+a4=18，a2+a3=12，则此数列的前8项和为()A. 514B. 513C. 512D. 5106.（5分）已知正项数列{a n}，{b n}分别为等差、等比数列，公差、公比分别为d，q(d,q∈N∗)，且d=q，a1+b1=1，a3+b3=3.若a n+b n=2013(n>3)，则n= ()A. 2013B. 2012C. 100D. 997.（5分）若a，b，c成等比数列，则关于x的方程a x2+bx+c=0( )A. 必有两个不等实根B. 必有两个相等实根C. 必无实根D. 以上三种情况均有可能8.（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a10=()9.（5分）记Sn为等比数列{a n}的前n项和，已知S2=2，S3=−6.则{a n}的通项公式为()A. a n=(−2)nB. a n=−2nC. a n=(−3)nD. a n=−3n10.（5分）正项等比数列{a n}中，a3=2，a4.a6=64，则a5+a6a1+a2的值是()A. 4B. 8C. 16D. 6411.（5分）在等比数列{a n}中，a7，a11是方程x2+5x+2=0的二根，则a3.a9.a15a5.a13的值为()A. −2+√22B. −√2C. √2D. −√2或√212.（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，9S3=S6=63，则S10=A. 255B. 511C.1023 D. 2047二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3+a9=a10−a8.若a n=0，则n=__________14.（5分）若等比数列{an}的前n项和Sn满足：an+1=a1Sn+1（n∈N*），则a1=____．15.（5分）在等比数列{an}中，已知前n项和Sn=5n+1+a，则a的值为____________．16.（5分）若等比数列{a n}的首项为23，且a4=∫41(1+2x)dx，则公比q等于______．17.（5分）如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第1群，第2群，……，第n群，……，第n群恰好有n个数，则第n群中n个数的和是____________.123465812107162420149324840281811…三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3−x2=2.(1)求数列{x n}的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，P n+1(x n+1,n+1)得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成的区域的面积T n.19.（12分）如果等比数列{a n}中公比q>1，那么{a n}一定是递增数列吗?为什么?20.（12分）数列{a n}满足a1=1，a n=2a n−1-3n+6（n≥2，n∈N+）．（1）设b n=a n-3n，求证：数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．21.（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12−4n−1，n∈N∗，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2=√4a1+5；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a2+1a2a3+…+1a n a n+1<12.22.（12分）已知数列{a n}是等差数列，其首项为2，且公差为2，若b n=2a n(n∈N∗).(Ⅰ)求证：数列{b n}是等比数列；(Ⅱ)设c n=a n+b n，求数列{c n right}的前n项和A n．23.（12分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求和：b1+b3+b5+⋯+b2n−1．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则下列说法正确的是()A. a1+a5+a9a2+a3的值为3 B. a1+a5+a9a2+a3的值为2C. 数列{a n}的公差和首项相等D. 数列{a n}的公差和首项不相等25.（5分）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，则下列命题正确的是()A. 若a n+1-a n=2(n∈N∗)，则数列{a n}为等差数列B. 若b n+1=2b n(n∈N∗)，则数列{b n}为等比数列C. 若数列{a n}是等差数列，则S n，S2n-S n，S3n-S2n⋯⋯(n∈N∗)成等差数列D. 若数列{b n}是等比数列，则T n，T2n-T n，T3n-T2n⋯⋯(n∈N∗)成等比数列26.（5分）在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项，若a1+a4= 18，a2+a3=12，则下列说法正确的是()A. q=2B. 数列{S n+2}是等比数列C. S8=510D. 数列\left{ lg a n}是公差为2的等差数列27.（5分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差d=4，前n项和为S n，则下列结论成立的有()A. 数列{S nn}的前10项和为100B. 若a1，a3，a m成等比数列，则m=21C. 若∑n i=11a i a i+1>625，则n的最小值为6D. 若a m+a n=a2+a10，则1m +16n的最小值为251228.（5分）已知数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，{a n}的前n项和为S n，若a1+ a6+a11=3π，b1b5b9=8，则()A. S11=11πB. sin a2+a10b4b6=12C. a3+a7+a8=3πD. b3+b7⩾4答案和解析1.【答案】D;【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2+a 3+a 4=(a 1+a 2+a 3)q ，得133=13q ，解得q =13， 又a 1+a 2+a 3=a 1+13a 1+19a 1=139a 1=13，解得a 1=9，所以a 5=a 1q 4=9×(13)4=19， 故选：D.设等比数列{a n }的公比为q ，通过a 2+a 3+a 4=(a 1+a 2+a 3)q 可求出q 值，进一步根据a 1+a 2+a 3=a 1+a 1q +a 1q 2=13可求出a 1，最后利用a 5=a 1q 4进行求解即可． 此题主要考查等比数列的通项公式，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．2.【答案】B; 【解析】该题考查命题真假的判断，考查学生灵活运用等差、等比数列的性质，三角函数以及三角形的判断，是一道综合题，属于中档题．利用特殊值判断①的正误；利用特殊数列即可推出命题②的正误；根据等比数列的性质，判断③的正误；根据等比数列的前n 项的和推出A ，B 判断④的正误．利用特殊三角形判断⑤的正误；解：对于①，实数α=0，β≠0，则sin (α+β)=sinβ，sinα+sinβ=sinβ，所以等式成立；故①正确；对于②，当公差d =0时，命题显然不正确，例如a 1+a 2=a 3+a 4，1+2≠3+4，故②不正确；对于③，设a n =(−1)n ，则S 6=0，S 12−S 6=0，S 18−S 12=0，∴此数列不是等比数列，故③不正确；对于④，S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且S n =Aq n +B ；(其中A 、B 是非零常数，n ∈N ∗)，所以此数列为首项是a 1，公比为q ≠1的等比数列， 则S n =a 1(1−q n )1−q ，所以A =−a11−q ，B =a11−q ，∴A +B =0，故④正确；对于⑤，如果三角形是直角三角形，a =5，b =3，c =4，满足a 2+b 2>c 2，故⑤不正确；故选：B ．3.【答案】A;【解析】解：因为等比数列{a n }中，a 1=−6，a 4=−34，则由a 4=a 1q 3可得q =12． ∵T n 为等比数列{a n }的前n 项之积，∴T n =(−6)n .(12)n(n−1)2，因为求最大值，故只需考虑n 为偶数的情况， ∵T 2n +2T 2n =36×(12)4n +1，由T 2n +2T 2n⩾1可得n =1，∴T 2<T 4>T 6>T 8>⋯．则公比q =12，当T n 最大时，n 的值为4．故选：A ．由已知可得q =12.只需考虑n 为偶数的情况，由T 2n +2T 2n⩾1可得n =1，即可求解．该题考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】D;【解析】解：设数列{a n }的公比为q ，且q ≠1，则 a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=a 1(1−q 5)1−q =3①， a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=a 12(1−q 10)1−q 2=15②∴②÷①得a 12(1−q 10)1−q 2÷a 1(1−q 5)1−q=a 1(1+q 5)1+q=5，∴a 1−a 2+a 3−a 4+a 5=a 1(1+q 5)1+q=5.故选：D.先设等比数列{a n }公比为q ，分别用a 1和q 表示出a 12+a 22+a 32+a 42+a 52，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5和a 1−a 2+a 3−a 4+a 5，发现a 12+a 22+a 32+a 42+a 52除以a 1+a 2+a 3+a 4+a 5正好与a 1−a 2+a 3−a 4+a 5相等，进而得到答案．此题主要考查了等比数列的性质．属基础题．解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．5.【答案】D;【解析】由已知得{a 1+a 1q 3=18a 1q +a 1q 2=12，解得：q =2或q =12.∵q 为整数，∴q =2.∴a 1=2.∴S 8=2(1−28)1−2=29−2=510.6.【答案】A;【解析】此题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和性质的应用.计算时要认真仔细.解：∵{_1+b1=1a3+b3=3，∴{_1+b1=1a1+2d+b1q2=3，∵d=q，所以{_1+b1=1a1+2q+b1q2=3，解得d=q=1，∴a n+b n=a1+(n−1)d+b1q n−1=a1+n−1+b1=2013，∴n=2013.故选A.7.【答案】C;【解析】若a，b，c成等比数列，则b²=ac由题意得△=b²-4ac=b²-4b²=-3b²等比数列中没有为0的项，∴-3b²<0∴△小于0，即方程a x2+bx+c=0必无实根故选C。
人教版高二数学必修5第二章：2.4 等比数列自主练习
必修5 等比数列自主练习一、选择题1.数列{}n a 的前n 项和n S 满足()lg 1n S n +=，则这个数列是( ).(A)等差数列 （B ）等比数列（C ）既是等差数列又是等比数列 （D ）既不是等差数列又不是等比数列 2.设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ）.（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）83. 等比数列{}n a 中n a >0，若569a a =，则313233310log log log log a a a a ++++=（ ）.（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）32log 5+ 4.已知{}n a 是等比数列，2512,,4a a ==则12231n n a a a a a a ++++=（ ）.（A ）11614n⎛⎫-⎪⎝⎭ （B ）11612n⎛⎫- ⎪⎝⎭（C ）321134n ⎛⎫- ⎪⎝⎭ （D ）321132n ⎛⎫- ⎪⎝⎭5.等比数列{}n a 中，公比为,q q >0且1q ≠，n S 为{}n a 的前项和，记nn na T S =，则（ ）. （A ）36T T ≤ （B ）3T <6T （C ）36T T ≥ （D ）3T >6T 6.一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ ）.（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）6 二、填空题7.设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比q =2且30123302a a a a =，那么25829a a a a = .8.设等比数列{}n a 的前项和为n S ，已知123,2,3S S S 成等差数列，则数列的公比q = .9.在等比数列{}n a 中，91019202,4a a a a +=+=，则99100a a += . 10.数列{}n a 的前项和为n S ，213n n S a =-，则n a = . 三、解答题（写出必要的文字说明或解答步骤）11.已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，且124lg ,lg ,lg a a a 成等差数列，又n b=21,1,2,3,.nn a =求证：数列{}n b 为等比数列.12.已知等比数列{}n a ，若1231237,8a a a a a a ++==，求n a .13.若数列{}n a 满足关系112,32n n a a a +==+，求数列的通项公式.14.已知数列{}n a 的首项1122,,1,2,.31n n n a a a n a +===+（1）证明：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.n S必修5 等比数列自主练习一、选择题1.数列{}n a 的前n 项和n S 满足()lg 1n S n +=，则这个数列是( B ).(A)等差数列 （B ）等比数列（C ）既是等差数列又是等比数列 （D ）既不是等差数列又不是等比数列 2.设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ B ）.（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）83. 等比数列{}n a 中n a >0，若569a a =，则313233310log log log log a a a a ++++=（ B ）.（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）32log 5+ 4.已知{}n a 是等比数列，2512,,4a a ==则12231n n a a a a a a ++++=（ C ）.（A ）11614n⎛⎫-⎪⎝⎭ （B ）11612n⎛⎫- ⎪⎝⎭（C ）321134n ⎛⎫- ⎪⎝⎭ （D ）321132n ⎛⎫- ⎪⎝⎭5.等比数列{}n a 中，公比为,q q >0且1q ≠，n S 为{}n a 的前项和，记nn na T S =，则（ D ）。
高二数学必修五《等比数列》专项练习题
高二数学必修五《等比数列》专项练习题一、选择题：1．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为（ ）①{a n 2}也是等比数列②{ca n }(c ≠0)也是等比数列 ③{n a 1}也是等比数列④{ln a n }也是等比数列 A ．4B ．3C ．2D ．12．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为（ ）A ．216B ．－216C ．217D ．－2173．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为（ ） A ．1B ．－21 C ．1或－1 D ．－1或21 4．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 （ ）A ．4B ．23C ．916D ．25．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为（ ） A ．x 2－6x ＋25=0 B ．x 2＋12x ＋25=0 C ．x 2＋6x －25=0D ．x 2－12x ＋25=06．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是（ ）A ．1.1 4 aB ．1.1 5 aC ．1.1 6 aD ． (1＋1.1 5)a 7．等比数列{a n }中，a 9＋a 10=a (a ≠0)，a 19＋a 20=b ，则a 99＋a 100等于 （ ）A ．89a bB ．(ab)9C ．910abD ．(ab )108．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为（ ）A ．32B ．313C ．12D ．159．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为（ ）A ．11nB ．11nC ．112-nD ．111-n10．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ⋅⋅⋅⋅=，那么36930a a a a ⋅⋅⋅⋅ 等于（ ）A ．102B ．202C ．162D ．152 11．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为（ ）A ．全体实数B ．－1C ．1D ．312．某地每年消耗木材约20万3m ，每3m 价240元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样每年的木材消耗量减少t 25万3m ，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元，则t 的范围是 （ ）A ．[1，3]B ．[2，4]C ．[3，5]D ．[4，6] 二、填空题：13．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ ____．14．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =___ ___15．在等比数列｛a n ｝中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10＝ ．16．数列｛n a ｝中，31=a 且n a a n n (21=+是正整数)，则数列的通项公式=n a ．三、解答题：17．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1(n ∈N *)(1) 求证数列{a n ＋1}是等比数列；(2) 求{a n }的通项公式．18．在等比数列｛a n｝中，已知对n∈N*，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1，求a12＋a22＋…＋a n2．19．在等比数列｛a n｝中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n．20．求和：S n＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1(x≠0)．21．在等比数列｛a n｝中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，且前n项和S n=126，求n及公比q．22．某城市1990年底人口为50万，人均住房面积为16 m2，如果该市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万 m2，求2000年底该市人均住房的面积数．(已知1.015≈1.05，精确到0.01 m2)参考答案一、选择题： BDCAD BACDB BC 二、填空题：13.2， 3·2n －2． 14.251+．15.512 ．16.123-n ．三、解答题：17.(1)证明由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1)又a n ＋1≠0 ∴111+++n n a a =2即{a n ＋1}为等比数列．(2)解析： 由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)qn －1即a n =(a 1＋1)qn －1－1=2·2n －1－1=2n－118.解析： 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1 ①n ∈N*知a 1＝1且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1由①－②得a n ＝2n －1，n ≥2又a 1＝1，∴a n ＝2n －1，n ∈N*212221)2()2(-+=n n nn a a ＝4即｛a n 2｝为公比为4的等比数列∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝)14(3141)41(21-=--n n a②÷①得：1＋q n ＝45即q n ＝41③③代入①得qa-11＝64④∴S 3n ＝q a -11 (1－q 3n )＝64(1－341)＝63解析二： ∵｛a n ｝为等比数列 ∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )∴S 3n ＝48)4860()(22222-=+-n n n n S S S S ＋60＝63 20.解析：当x =1时，S n =1＋3＋5＋…＋(2n －1)=n 2当x ≠1时，∵S n =1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n －1， ① 等式两边同乘以x 得：xS n =x ＋3x 2＋5x 3＋7x 4＋…＋(2n －1)x n ． ②①－②得：(1－x )S n =1＋2x (1＋x ＋x 2＋…＋x n －2)－(2n －1)x n =1－(2n －1)x n ＋①②1)1(21---x x x n ，∴S n =21)1()1()12()12(-+++--+x x x n x n n n ．21.解析：∵a 1a n =a 2a n －1=128，又a 1＋a n =66，∴a 1、a n 是方程x 2－66x ＋128=0的两根，解方程得x 1=2，x 2=64， ∴a 1=2，a n =64或a 1=64，a n =2，显然q ≠1．若a 1=2，a n =64，由qqa a n --11=126得2－64q =126－126q ，∴q =2，由a n =a 1q n －1得2n －1=32， ∴n =6．若a 1=64，a n =2，同理可求得q =21，n =6．综上所述，n 的值为6，公比q =2或21．22.解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n }：a 1=50，q =1＋1%=1．01，n =11则a 11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)， 又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n }：b 1=16×50=800，d =30，n =11∴b 11=800＋10×30=1100(万米2)因此2000年底人均住房面积为：1100÷55.125≈19．95(m 2)。
高二数学必修五《等比数列》专项练习题参考答案
高二数学必修五《等比数列》专项练习题参考答案一、选择题： BDCAD BACDB BC 二、填空题：13.2， 3·2n－2． 14.251+．．16.123-n ．三、解答题： 17.(1)证明由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1)又a n ＋1≠0 ∴111+++n n a a =2即{a n ＋1}为等比数列． (2)解析： 由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)q n －1即a n =(a 1＋1)q n －1－1=2·2n －1－1=2n －1 18.解析： 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1①n ∈N*知a 1＝1且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－由①－②得a n ＝2n －1，n ≥2 又a 1＝1，∴a n ＝2n －1，n ∈N*212221)2()2(-+=n n nn a a ＝即｛a n 2｝为公比为4的等比数列∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝)14(3141)41(21-=--nn a 19.解析一： ∵S 2n ≠2S n ，∴q ≠1②÷①得：1＋q n ＝45即q n ＝41③ ③代入①得qa -11＝64④ ∴S 3n ＝q a -11 (1－q 3n )＝64(1－341)＝63 解析二： ∵｛a n ｝为等比数列 ∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )∴S 3n ＝48)4860()(22222-=+-n n n n S S S S ＋60＝63① ②20.解析：当x =1时，S n =1＋3＋5＋…＋(2n －1)=n 2当x ≠1时，∵S n =1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n －1， ① 等式两边同乘以x 得：xS n =x ＋3x 2＋5x 3＋7x 4＋…＋(2n －1)x n ． ②①－②得：(1－x )S n =1＋2x (1＋x ＋x 2＋…＋x n －2)－(2n －1)x n =1－(2n －1)x n ＋1)1(21---x x x n ，∴S n =21)1()1()12()12(-+++--+x x x n x n n n ．21.解析：∵a 1a n =a 2a n －1=128，又a 1＋a n =66，∴a 1、a n 是方程x 2－66x ＋128=0的两根，解方程得x 1=2，x 2=64， ∴a 1=2，a n =64或a 1=64，a n =2，显然q ≠1． 若a 1=2，a n =64，由qqa a n --11=126得2－64q =126－126q ， ∴q =2，由a n =a 1q n －1得2n －1=32， ∴n =6．若a 1=64，a n =2，同理可求得q =21，n =6． 综上所述，n 的值为6，公比q =2或21．22.解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n }：a 1=50，q =1＋1%=1．01，n =11则a 11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)，又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n }：b 1=16×50=800，d =30，n =11 ∴b 11=800＋10×30=1100(万米2) ②÷①得：1＋q n ＝45即q n ＝41③ ③代入①得qa -11＝64④∴S 3n ＝q a -11 (1－q 3n )＝64(1－341)＝63 解析二： ∵｛a n ｝为等比数列 ∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )∴S 3n ＝48)4860()(22222-=+-n n n n S S S S ＋60＝63 20.解析：当x =1时，S n =1＋3＋5＋…＋(2n －1)=n 2当x ≠1时，∵S n =1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n －1， ① 等式两边同乘以x 得：xS n =x ＋3x 2＋5x 3＋7x 4＋…＋(2n －1)x n ． ②①－②得：(1－x )S n =1＋2x (1＋x ＋x 2＋…＋x n －2)－(2n －1)x n =1－(2n －1)x n ＋1)1(21---x x x n ，∴S n =21)1()1()12()12(-+++--+x x x n x n n n ． 21.解析：∵a 1a n =a 2a n －1=128，又a 1＋a n =66，∴a 1、a n 是方程x 2－66x ＋128=0的两根，解方程得x 1=2，x 2=64， ∴a 1=2，a n =64或a 1=64，a n =2，显然q ≠1． 若a 1=2，a n =64，由qqa a n --11=126得2－64q =126－126q ， ∴q =2，由a n =a 1q n －1得2n －1=32， ∴n =6．若a 1=64，a n =2，同理可求得q =21，n =6． 综上所述，n 的值为6，公比q =2或21．22.解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n }：a 1=50，q =1＋1%=1．01，n =11则a 11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)，又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n }：b 1=16×50=800，d =30，n =11 ∴b 11=800＋10×30=1100(万米2)。
人教版高二数学必修5等比数列同步训练(带答案)
人教版高二数学必修 5 等比数列同步训练（带答案）为了帮助大家进行课后复习，查词典数学网整理了数学必修 5 等比数列同步训练，希望大家好好练习。
一、选择题1.数列 {an} 为等比数列的充要条件是()A.an+1=anq(q 为常数 )B.a2n+1=anan+20C.an=a1qn-1(q 为常数 )D.an+1=anan+2分析：各项都为0 的常数数列不是等比数列， A 、C、D 选项都有可能是0 的常数列，应选 B.答案： B2.已知等比数列 {an} 的公比 q=-13 ，则a1+a3+a5+a7a2+a4+a6+a8 等于 ()A.-13B.-3C.13D.3分析：a1+a3+a5+a7a2+a4+a6+a8=a1+a3+a5+a7a1+a3+a5+a71q=1q=-3，应选 B.答案： B3.若 a，b， c 成等比数列，此中0A. 等比数列B.等差数列C.每项的倒数成等差数列D.第二项与第三项分别是第一项与第二项的n 次幂分析：∵ a， b，c 成等比数列，且0答案： C4.(2019 江西文 )等比数列 {an} 中， |a1|=1，a5=-8a2，a5a2，则an=()A.(-2)n-1B.-(-2)n-1C.(-2)nD.-(-2)n剖析：此题主要考察等比数列的基本知识.分析： a5=-8a2a2q3=-8a2，q3=-8 ，q=-2.又 a5a2，即 a2a2， q3=-8.可得 a20， a10.a1=1， q=-2， an=(-2)n-1. 应选 A.答案： A5.在等比数列 {an} 中，已知 a6a7=6，a3+a10=5，则 a28a21=()A.23B.32C.23 或 32D.732分析：由已知及等比数列性质知a3+a10=5， a3a10=a6a7=6.解得 a3=2， a10=3 或 a3=3，a10=2.q7=a10a3=23 或 32， a28a21=q7=23 或 32.应选 C.答案： C6.在等比数列 {an} 中， a5a11=3， a3+a13=4，则 a15a5=()A.3B.13C.3 或 13D.-3 或 -13分析：在等比数列 {an} 中，∵ a5a11=a3a13=3，a3+a13=4，a3=1，a13=3 或 a3=3， a13=1， a15a5=a13a3=3 或 13.应选 C.答案： C7.(2019 重庆卷 )在等比数列 {an} 中，a2019=8a2019，则公比 q 的值为 ()A.2B.3C.4D.8剖析：此题主要考察等比数列的通项公式.分析：由 a2019=8a2019，可得 a2019q3=8a2019，q3=8，q=2，应选 A.答案： A8.数列 {an} 中，a1，a2，a3 成等差数列， a2，a3，a4 成等比数列， a3， a4，a5 的倒数成等差数列，那么a1，a3， a5() A. 成等比数列 B.成等差数列C.每项的倒数成等差数列D. 每项的倒数成等比数列分析：由题意可得2a2=a1+a3，a23=a2a4，2a4=1a3+1a5a2=a1+a32，① a4=a23a2，②2a4=1a3+1a5.③将①代入②得a4=2a23a1+a3，再代入③得a1+a3a23=a5+a3a3a5，则 a5a1+a3a5=a3a5+a23，即 a23=a1a5，a1， a3， a5 成等比数列，应选 A.答案： A9.x 是 a、 b 的等差中项， x2 是 a2， -b2 的等差中项，则 a 与b 的关系是 ()A.a=b=0B.a=-bC.a=3bD.a=-b 或 a=3b分析：由已知得2x=a+b2x2=a2-b2 ①②故① 2-② 2 得a2-2ab-3b2=0， a=-b 或 a=3b.答案： D10.(2009 广东卷 )已知等比数列 {an} 知足 an0， n=1,2，，且a5a2n-5=22n(n3)，则当 n1 时， log2a1+log2a3++log2a2n-1=() A.n(2n-1) B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2分析：设等比数列{an} 的首项为 a1，公比为 q，∵a5a2n-5=22n(n3)，a1q4a1q2n-6=22n，即a21q2n-2=22n(a1qn-1)2=22n(an)2=(2n)2 ，∵an0，an=2n，a2n-1=22n-1 ，log2a1+log2a3++log2a2n-1=log22+log223++log222n-1=1+3++ (2n-1)=1+2n-12n=n2 ，应选 C.答案： C二、填空题11.已知等比数列 {an} 中， a3=6， a10=768，则该数列的通项an=________.分析：由已知得q7=a10a3=128=27，故 q=2.an=a3qn-3=32n-2.答案： 32n-212.在 1 和 100 之间插入 n 个正数，使这 (n+2) 个数成等比数列，则插入的这 n 的数的积为 ________.分析：利用性质aman=apaq(此中 m+n=p+q).设插入的 n 个数为 a1， a2，，an， G=a1a2an，则 G2=(a1an)(a2an-1)(a3an-2)(ana1)=(1100)n ，G=10n，故填 10n.答案： 10n13.已知 -9， a1， a2， -1 四个实数成等差数列，-9， b1， b2，b3， -1 五个实数成等比数列，则b2(a2-a1)=________.分析：∵ -9，a1， a2，-1 成等差数列，a2-a1=-1--94-1=83=d.又∵ -9， b1， b2，b3， -1 成等比数列，则 b22=-9(-1)=9 ， b2=3.当 b2=3 时，因为 -9 与 3 异号，此时b1 不存在，b2=-3， b2(a2-a1)=-8.答案： -814.若 a， b， a+b 成等差数列， a， b， ab 成等比数列，且0分析： a， b，a+b 成等差数列有b=2a，a，b，ab 成等比数列有 b=a2，则有 a=2，所以 ab=8,0答案： {n|n8}三、解答题15.(2019 全国卷Ⅰ文 )记等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn.设S3=12，且 2a1， a2，a3+1 成等比数列，求 Sn.分析：设数列 {an} 的公差为 d.依题设有2a1a3+1=a22， a1+a2+a3=12， a21+2a1d-d2+2a1=0，a1+d=4.解得 a1=1， d=3，或 a1=8，d=-4.所以 Sn=12n(3n-1) ，或 Sn=2n(5-n).16.已知等差数列 {an} 的公差和等比数列{bn} 的公比都是d，又知 d1，且 a1=b1， a4=b4， a10=b10.(1)求 a1 及 d 的值 ;(2)b16 能否是 {an} 中的项 ?分析：(1)由 a1=b1，a4=b4，a10=b10a1+3d=a1d3，a1+9d=a1d9. a11-d3=-3d， a11-d9=-9dd6+d3-2=0d1=1(舍去 )，d2=3-2=-32.所以 d=-32 ， a1=-d=32 ， b1=32.(2)因为 b16=b1d15=-32a1 ，假如 b16 是 {an} 中的项，则有-32a1=a1+(k-1)d.所以 (k-1)d=-33a1=33d. 所以 k=34 ，即 b16 是{an} 中的第 34项.17.已知四个数成等比数列，其积为1，第二项与第三项之和为-32，求这四个数 .分析：设这四个数分别为a，aq， aq2，aq3.则 a4q6=1，① aq1+q=-32 ②由①得 a2q3=1，即 a2q2=由②得 a2q2(1+q)2=94 ，③把 a2q2=1q 代入③得 q2-14q+1=0 ，此方程无解 .把 a2q2=-1q 代入③得 q2+174q+1=0 ，解得 q=-4 或 q=-14.当 q=-4 时， a=-18 或 a=18(舍 );当 q=-14 时， a=8 或 a=-8(舍).这四个数分别是8， -2， 12，-18 或 -18， 12，-2,8.18.在各项均为负数的数列{an} 中，已知2an=3an+1，且a2a5=827.(1)求证： {an} 是等比数列，并求出通项公式.(2)试问 -1681 能否为该数列的项?假如，是第几项;若不是，请说明原因 .分析： (1) ∵ 2an=3an+1， an+1an=23，故数列 {an} 是公比 q=23 的等比数列 .又 a2a5=827，则 a1qa1q4=827，即 a21(23)5=(23)3 ，因为数列各项均为负数，则 a1=-32，an=-32(23)n-1=-(23)n-2.(2)设 an=-1681，由等比数列的通项公式得-1681=-(23)n-2 ，即 (23)4=(23)n-2.依据指数的性质有4=n-2 ， n=6.察看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与少儿生活靠近的，能理解的察看内容。
高二数学人教A必修5练习：2.4.2 等比数列的性质 Word版含解析
课时训练12 等比数列的性质一、等比数列性质的应用1.若{a n }是等比数列,那么( )A.数列{1a n}是等比数列B.数列{√a n }是等比数列C.数列{2a n }是等比数列D.数列{na n }是等比数列答案:A解析:由等比数列的定义判断即可.2.在等比数列{a n }中,a 2 013=8a 2 010,则公比q 的值为( ) A.2 B.3C.4D.8答案:A解析:∵a 2 013=8a 2 010,∴a 2 010q 3=8a 2 010.∴q 3=8.∴q=2.3.已知项数相同的等比数列{a n }和{b n },公比分别为q 1,q 2(q 1,q 2≠1),则数列①{3a n };②{2a n};③{3a n };④{2a n -3b n };⑤{2a n ·3b n }中等比数列的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案:C解析:在①中,3a n+13a n=q 1,是等比数列;在②中,2a n+12a n =1q 1,是等比数列;在③中,令a n =2n-1,则数列{3a n }为3,32,34,…,因为323≠3432,故不是等比数列;在④中,数列的项可能为零,故不一定是等比数列;在⑤中,2a n+1·3b n+12a n ·3b n=q 1·q 2,是等比数列.4.(2015山东威海高二期中,5)已知各项均为正数的等比数列{a n },a 1a 2a 3=5,a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6=( ) A.5√2 B.7 C.6 D.4√2答案:A解析:a 1a 2a 3=5⇒a 23=5;a 7a 8a 9=10⇒a 83=10. a 52=a 2a 8,∴a 56=a 23a 83=50, ∴a 4a 5a 6=a 53=5√2.故选A .5.(2015河南郑州高二期末,10)已知各项为正的等比数列{a n }中,a 4与a 14的等比中项为2√2,则2a 7+a 11的最小值为( ) A.16 B.8C.2√2D.4答案:B解析:∵各项为正的等比数列{a n }中,a 4与a 14的等比中项为2√2,∴a 4·a 14=(2√2)2=8, ∴a 7·a 11=8, ∵a 7>0,a 11>0,∴2a 7+a 11≥2√7·a 112√2×8=8.故选B . 二、等差、等比数列的综合问题6.等差数列{a n }的公差为2,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则{a n }的前n 项和S n =( ) A.n (n+1) B.n (n-1) C.n (n+1)2D.n (n -1)2答案:A解析:因为a 2,a 4,a 8成等比数列,所以a 42=a 2·a 8,所以(a 1+6)2=(a 1+2)·(a 1+14),解得a 1=2.所以S n =na 1+n (n -1)2d=n (n+1). 7.数列{a n }是等差数列,若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q= . 答案:1解析:设等差数列的公差为d ,则a 3=a 1+2d ,a 5=a 1+4d ,所以(a 1+2d+3)2=(a 1+1)(a 1+4d+5),解得d=-1,故q=a 3+3a 1+1=a 1-2+3a 1+1=1. 8.已知1,a 1,a 2,4成等差数列,1,b 1,b 2,b 3,4成等比数列,则a 1+a2b 2的值为 .答案:2.5解析:∵a 1+a 2=1+4=5,b 22=1×4=4,且b 2与1,4同号,∴b 2=2,∴a 1+a 2b 2=52=2.5.9.在四个正数中,前三个成等差数列,和为48,后三个成等比数列,积为8 000.求此四个数. 解:设前三个数分别为a-d ,a ,a+d ,(a-d )+a+(a+d )=48,即a=16. 再设后三个数分别为b q,b ,bq , 则有bq·b ·bq=b 3=8 000,即b=20.∴四个数分别为m ,16,20,n.∴m=2×16-20=12,n=20216=25,即这四个数分别为12,16,20,25.10.已知等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d (d ≠1),且a 1=b 1,a 4=b 4,a 10=b 10. (1)求a 1和d 的值;(2)b 16是不是数列{a n }中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由. 解:(1)由题意得{a 1+3d =a 1d 3,a 1+9d =a 1d 9,所以{3d =a 1·(d 3-1),9d =a 1·(d 9-1).两式相除,得3=d 9-1d 3-1=d 6+d 3+1,解得d 3=-2或d 3=1(舍去). 所以d=-√23,代入得a 1=-d=√23. (2)b 16=a 1d 15=√23×(-√23)15=-32√23, a n =a 1+(n-1)d=√23+(n-1)×(-√23) =-√23n+2√23.令a n =-32√23,得-√23n+2√23=-32√23,解得n=34∈N *,故b 16是数列{a n }中的第34项.(建议用时:30分钟)1.在等比数列{a n }中,a 3a 4a 5=3,a 6a 7a 8=24,则a 9a 10a 11的值为( )A.48B.72C.144D.192答案:D解析:∵a 6a 7a8a 3a 4a 5=q 9=8(q 为公比),∴a 9a 10a 11=a 6a 7a 8q 9=24×8=192.2.公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则a 5=( ) A.1 B.2 C.4 D.8答案:A解析:∵a 3a 11=a 72=16,且a n >0,∴a 7=4.又a 7=a 5·q 2=4a 5,∴a 5=1.3.已知等比数列{a n }满足a 1=3,且4a 1,2a 2,a 3成等差数列,则a 3+a 4+a 5等于( ) A.33 B.84C.72D.189答案:B解析:由条件得,4a 1+(a 1q 2)=2×(2a 1q ),即(q-2)2=0,∴q=2.∴a 3+a 4+a 5=3×(22+23+24)=84.4.等比数列{a n }中,已知a 9=-2,则此数列的前17项之积为( ) A .216 B .-216C .217D .-217答案:D解析:∵数列{a n }为等比数列,∴a 1a 2a 3…a 17=a 917.又∵a9=-2,∴a1a2a3…a17=(-2)17=-217.5.已知1<a<b<c,且a,b,c成等比数列,且n≥2,n∈N*,则log a n,log b n,log c n的关系为()A.成等差数列B.成等比数列C.各项倒数成等差数列D.以上都不对答案:C解析:由已知b2=ac.∴log n b2=log n ac.∴2log n b=log n a+log n c.∴2log b n =1log a n+1log c n,即1log a n ,1log b n,1log c n成等差数列.6.已知数列{a n}是等比数列,公比q>1,且a1+a6=8,a3a4=12,则a116=.答案:3解析:由已知a3a4=12得a1a6=12,又∵a1+a6=8.当q>1时,解得a1=2,a6=6.又∵a1a11=a62,∴a116=a61=3.7.在等比数列{a n}中,若a n>0,a1·a100=100,则lg a1+lg a2+lg a3+…+lg a100=.答案:100解析:由等比数列性质知:a1·a100=a2·a99=…=a50·a51=100.∴lg a1+lg a2+lg a3+…+lga100=lg(a1·a2·a3·…·a100)=lg(a1·a100)50=lg 10050=lg 10100=100.8.公差不为零的等差数列{a n}中,2a3-a72+2a11=0,数列{b n}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=.答案:16解析:∵2a3-a72+2a11=2(a3+a11)-a72=4a7-a72=0,∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4.∴b6b8=b72=16.9.三个互不相等的实数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可以成等比数列,这三个数的和为12,求这三个数.解:设这三个数为a-d,a,a+d,则(a-d)+a+(a+d)=12,所以a=4.所以这三个数可以表示为4-d,4,4+d.①若4-d为等比中项,则有(4-d)2=4×(4+d),解得d=12,或d=0(舍去).此时,这三个数是-8,4,16.②若4+d为等比中项,则有(4+d)2=4×(4-d),解得d=-12,或d=0(舍去).此时,这三个数是16,4,-8.③若4为等比中项,则有42=(4-d)×(4+d),解得d=0(舍去),综上所述,这三个数是-8,4,16或16,4,-8.10.已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(1)若a=1,求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}唯一,求a的值.解:(1)设{a n}的公比为q,则b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2.由b1,b2,b3成等比数列,得(2+q)2=2(3+q2),即q2-4q+2=0,解得q1=2+√2,q2=2-√2.∴{a n}的通项公式为a n=(2+√2)n-1或a n=(2-√2)n-1.(2)设{a n}的公比为q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0(*).由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根.由{a n}唯一,知方程(*)必有一根为0,.代入(*)得a=13。
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高二数学必修五《等比数列》专项练习题
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高二数学必修五《等比数列》专项练习题
一、选择题：
1．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为
（ ）
①{a n 2}也是等比数列 ②{ca n }(c ≠0)也是等比数列 ③{
n
a 1
}也是等比数列 ④{ln a n }也是等比数列 A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
2．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为
（ ）
A ．216
B ．－216
C ．217
D ．－217
3．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为 （ ）
A ．1
B ．－21
C ．1或－1
D ．－1或2
1
4．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 （ ）
A ．4
B ．23
C ．916
D ．2
5．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 （ ）
A ．x 2－6x ＋25=0
B ．x 2＋12x ＋25=0
C ．x 2＋6x －25=0
D ．x 2－12x ＋25=0
6．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最
后一年该厂的总产值是
（ ）
A ．1.1 4 a
B ．1.1 5 a
C ．1.1 6 a
D ． (1＋1.1 5)a
7．等比数列{a n }中，a 9＋a 10=a (a ≠0)，a 19＋a 20=b ，则a 99＋a 100等于 （ ）
A ．89
a
b
B ．(a
b )9
C ．910a
b
D ．(
a
b )10
8．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为 （ ）
A ．32
B ．313
C ．12
D ．15
9．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为
（ ）
A ．11
n
B ．11n
C ．112-n
D ．111-n
10．已知等比数列{}n a 中，公比2q =，且30123302a a a a ⋅⋅⋅
⋅=，那么
36930a a a a ⋅⋅⋅
⋅ 等于
（ ）
A ．102
B ．202
C ．162
D ．152 11．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为
（ ）
A ．全体实数
B ．－1
C ．1
D ．3
12．某地每年消耗木材约20万3m ，每3m 价240元，为了减少木材消耗，决定
按%t 征收木材税，这样每年的木材消耗量减少t 25
万3m ，为了既减少木材
消耗又保证税金收入每年不少于90万元，则t 的范围是
（ ） A ．[1，3] B ．[2，4]
C ．[3，5]
D ．[4，6]
二、填空题：
13．在等比数列{a n }中，已知a 1=2
3
，a 4=12，则q =_____ ____，a n =____ ____．
14．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =___ ___．
15．在等比数列｛a n ｝中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10＝ ．
16．数列｛n a ｝中，31=a 且n a a n n (2
1=+是正整数)，则数列的通项公式
=n a ．
三、解答题：
17．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1(n ∈N *)(1) 求证数列{a n ＋1}是等比数列；
(2) 求{a n }的通项公式．
18．在等比数列｛a n｝中，已知对n∈N*，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1，求a12＋a22＋…＋a n2．
19．在等比数列｛a n｝中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n．
20．求和：S n＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)x n－1(x≠0)．
21．在等比数列｛a n｝中，a1＋a n=66，a2·a n－1=128，且前n项和S n=126，求n及公比q．
22．某城市1990年底人口为50万，人均住房面积为16 m2，如果该市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该市人均住房的面积数．(已知1.015≈1.05，精确到0.01 m2)
参考答案
一、选择题： BDCAD BACDB BC 二、填空题：13.2， 3·2n －2
． 14.2
5
1+．
15.512 ．16.1
23
-n ．
三、解答题：
17.(1)证明由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1)又a n ＋1≠0 ∴1
1
1+++n n a a =2即{a n ＋1}为等比数列．
(2)解析： 由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)q n －
1即a n =(a 1＋1)q
n －1
－1=2·2
n －1
－1=2n
－1
18.解析： 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1
①n ∈N*知a 1＝1
且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1 ②
由①－②得a n ＝2n －1，n ≥2
又a 1＝1，∴a n ＝2
n －1
，n ∈N*
212
2
2
1)
2()2(-+=n n n
n a a ＝4 即｛a n 2｝为公比为4的等比数列 ∴a 12
＋a 22＋…＋a n 2＝
)14(3
141)41(2
1-=--n
n a
19.解析一： ∵S ≠2S ，∴q ≠1
②÷①得：1＋q n ＝45
即q n ＝4
1
③ ③代入①得q
a -11
＝64
④
∴S 3n ＝
q a -11 (1－q 3n )＝64(1－34
1
)＝63 解析二： ∵｛a n ｝为等比数列
∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )
根据已知条件⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧-=-=--q q a q
q a n
n 160)1(481)
1(211 ①
∴S 3n ＝48
)4860()(2
2222-=
+-n n n n S S S S ＋60＝63 20.解析：当x =1时，S n =1＋3＋5＋…＋(2n －1)=n 2
当x ≠1时，∵S n =1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n －1， ① 等式两边同乘以x 得：
xS n =x ＋3x 2＋5x 3＋7x 4＋…＋(2n －1)x n ． ②
①－②得：
(1－x )S n =1＋2x (1＋x ＋x 2＋…＋x n －2)－(2n －1)x n =1－(2n －1)x n ＋
1
)
1(21---x x x n ，
∴S n =2
1)1()1()12()12(-+++--+x x x n x n n n ．
21.解析：∵a 1a n =a 2a n －1=128，又a 1＋a n =66，
∴a 1、a n 是方程x 2－66x ＋128=0的两根，解方程得x 1=2，x 2=64， ∴a 1=2，a n =64或a 1=64，a n =2，显然q ≠1．
若a 1=2，a n =64，由
q
q
a a n --11=126得2－64q =126－126q ， ∴q =2，由a n =a 1q n －1得2n －1=32， ∴n =6．
若a 1=64，a n =2，同理可求得q =2
1
，n =6．
综上所述，n 的值为6，公比q =2或2
1
．
22.解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n }：a 1=50，q =1＋
1%=1．01，n =11 则a 11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)，
又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n }：b 1=16×50=800，d =30，n =11
∴b 11=800＋10×30=1100(万米2)
因此2000年底人均住房面积为：1100÷55.125≈19．95(m 2)。