人教版高数必修五第6讲：等比数列的概念、性质(学生版)

等比数列的概念、性质

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教学重点： 掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系 教学难点： 理解等比数例性质及与指数函数的关系

1. 等比数列的概念

一般地，如果一个数列从第_______项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_________，公比通常用__________表示。

2. 等比数列的通项公式

____________________

3. 等比中项

如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，其中___________

4. 等比数列的性质

（1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍是等比数列，公比仍为q

（2）若,,,,m n p q m n p q N ++=+∈，则__________________

（3）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以

_________

为公比的等比数列 （4）等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成等比数列

（5）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列

5. 等比数列与指数函数的关系

等比数列{}n a 的通项公式111n n n a a a q q q

-== 当0q >且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，设1a c q

=则n n a cq =，等比数列{}n a 可以看成是函数x y cq =，因此，等比数列{}n a 各项所对应的点是函数x y cq =的图像上的一群孤立的点。

根据指数函数的性质，我们可以得到等比数列的增减性的下列结论：

（1） 等比数列{}n a 递增⇔{10

1a q >> 或{10

01a q <<<

（2） 等比数列{}n a 递减⇔ {10

01a q ><< 或{10

1

a q <> （3） 等比数列{}n a 为常数列⇔1q =

（4） 等比数列{}n a 为摆动数列⇔0q <

类型一： 等比数列的判定及通项公式的求解

例1.（2014重庆）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（）

A.数列{}1n a +不可能是等比数列

B.数列{}n ka （k 为常数） 一定是等比数列

C.若0n a >，则{}ln n a 一定是等差数列

D.数列{}

2n a 是等比数列，其公比与数列{}n a 的公比相等

练习1.对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（）

A.139,,a a a 成等比数列

B.236,,a a a 成等比数列

C.248,,a a a 成等比数列

D.369,,a a a 成等比数列

练习2.已知数列{}n a 中，()111,212n n a a a n -==+≥

（1） 证明：数列{}1n a + 是等比数列

（2） 求n a

例2.已知等比数列{}n a 中，0,n a >且1322,4a a a ==+，求 n a

练习3.已知等比数列{}n a 中，3103,384a a ==，求7a

练习4.若等比数列{}n a 满足116,n n n a a += 则公比为 （）

A.2

B.4

C.8

D.16

类型二： 等比数列的性质

例3.（2015广东梅州摸底）在等比数列{}n a 中，0,n a >且21431,9,a a a a =-=-则45a a += （）

A.27

B.16

C.81

D.36

练习5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，1237895,10,a a a a a a == 则456a a a = （）

A. B.7 C.6

D.

练习6.已知数列{}n a 为等比数列，若4610,a a += 则1737392a a a a a a ++ 的值为（）

A.10

B.20

C.60

D.100

例4.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122,a a a a e += 则12320ln ln ln ...ln a a a a ++++=

解析：因为等比数列{}n a 中，1011912a a a a = 所以由510119122a a a a e += 可解得51011a a e = 所以

()()()1051220122010111011ln ln ...ln ln ...ln 10ln 10ln 50a a a a a a a a a a e +++=⋅⋅⋅=⋅=⋅== 练习7.若等比数列{}n a 满足241,2

a a = 则2135a a a = ________________ 练习8.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若28641,2,a a a a ==+ 则6a 的值是_________ 类型三：等比数列与指数函数的关系；等差数列与等比数列的结合

例5.已知等比数列{}n a 中，246,54,a a ==求5a

练习9.已知{}n a 是等差数列，公差0d ≠ 且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++=++ （） A.716 B.916 C.1116 D.1316

练习10.设{}n a 为公比的等比数列，若2012a 和2013a 是方程24830x x -+=的两根，则20142015a a += ______________