等比数列的概念及性质
等比数列概念知识点归纳总结
等比数列概念知识点归纳总结等比数列是数学中常见的一个概念，也是数列中的一种特殊类型。
在等比数列中，每一项与前一项的比值都是相等的。
本文将对等比数列的概念、性质和应用进行归纳总结。
一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项相除的商都相等。
通常用字母a表示首项，q表示等比数列的公比。
根据这个概念，我们可以得到等比数列的通项公式：an = a * q^(n-1)其中，an为等比数列的第n项。
二、等比数列的性质1. 公比的取值：公比q可以是任意实数，也可以是0，但不能是1。
当q为正数时，等比数列的项随着n的增大而增大；当q为负数时，等比数列的项随着n的增大而交替增大和减小。
2. 比值关系：等比数列中任意两项的比值都是相等的，即相邻项的比值等于公比q。
3. 对数关系：等比数列的对数数列也是等差数列。
如果取对数后的数列为Ar，则有Ar = loga + (n-1)logq，其中，loga为log以a为底的对数。
三、等比数列的应用等比数列在实际中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 财务领域：等比数列常用于计算复利的问题，例如存款利息计算、债券利息计算等。
2. 自然科学：许多物理、化学等自然科学问题中都可以用等比数列来描述，如放射性元素衰变问题、细胞分裂问题等。
3. 经济学：等比数列常用于描述经济增长、人口增长等问题。
4. 数学应用：等比数列常用于解决等比方程、等比不等式等数学问题。
总结：通过对等比数列的概念、性质和应用的归纳总结，我们了解到等比数列在数学以及实际生活中的重要性。
等比数列是数学中的一种基本概念，在解决实际问题时具有广泛的应用。
熟练掌握等比数列的概念和性质，能够更好地解决与等比数列相关的各种数学问题。
等比数列的概念与性质
等比数列的概念与性质一、知识归纳1. ________________________________________________________________ 等比数列的概念：一般的，____________________________________________________________ ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做，公比通常用字母q表示。
即a n J2. 若a,G,b成等比数列，则G叫做a与b的___________ 。
此时G=_____________ .3. 等比数列的通项公式为： __________________________ 。
4. 首项为正数的等比数列的公比q =1时，数列为 ___________ 数列；当q ：：： 0时，数列为数列；当0 ：：：q ::: 1时，数列为___ 数列；当q时，数列为_______________ 数列。
5. 等比数列性质：在等比数列｛a.｝中，若m • n二P q ,则a m a^a p a q6. 等比数列的前n项和当q =1 时，S n 二_____________ ；当q =1 时，S n 二_______________ .7用函数的观点看等比数列：（1）等比数列的通项公式是 ____________二、经典题目1、判断正误：① 1，2，4，8，16是等比数列；1 1 1②数列1, — ,,，…是公比为2的等比数列;2 4 8a b .③若，则a,b,c成等比数列；④若= n n • N ，则数列On 成等比数列; a n⑤0,2,4,8,16 是等比数列；2.判断下列数列玄［是否为等比数列：（1）a n =（-1 厂（W N* ；（3）a n= n 2n,n N*（）（）（）（）（）.⑵ a n+2 n：N* ；（4）a n 二-1,n N*思考：如何证明（判断）一个数列是等比数列？3•已知等比数列3°,32,3,||(.(1)试问：3n 1和9n分别是该数列的第几项？(2)乘积3n 1 9n是该数列的项吗？如果是，它是该数列的第几项?4•各项均为正数的等比数列｛a n｝中，a1 = 3,3)+a2+a3 = 21,则a3 + a4+a s= _________.5.已知\a n为等比数列，且a3 =2,a2• a4 =—，求的通项公式。
等比数列的概念及性质
等比数列的概念及性质 知识点梳理：1.定义：从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为0）的数列叫做等比数列．2.递推公式：q a a nn =+1．3.通项公式：111(1)n n n a a n d a a q n -*=+-=∈N ，，．4.性质 ①单调性：当1001a q <⎧⎨<<⎩，或101a q >⎧⎨>⎩时，为递增数列；当101a q <⎧⎨>⎩，，，或1001a q >⎧⎨<<⎩时为递减数列；当0q <时为摆动数列；当1q =时为常数列．②若m n p q +=+，则()mn p q a a a a m n p q *=∈N ··，，，特别地若2m n p +=则2m n p a a a =·③(0)n m nma q m n q a -*=∈≠N ，，．④232k k k k k S S S S S --，，，…，当1q ≠-时为等比数列；当1q =-时，若k 为偶数，不是等比数列．若k 为奇数是公比为1-的等比数列．5.五个元素a 1，a n ，n ，q ，S n 中知三，可求另两个.次数较高时可除或换元;6.证明数列{a n }是等比数列的两种基本方法是： （1）利用定义，证明1-n n a a （n ≥2）为常数；（2）利用等比中项，即证明a n 2=a n －1·a n +1（n ≥2）. 运用等比数列求和公式时，需对q =1和q ≠1进行讨论. 练习：1在等比数列{}n a ，已知19105,100,a a a == 那么18?a =2.根据下列条件,求相应的等比数列{a n }的前n 项和S n . ①a 1=3,q=2,n=6; ②a 1=-27,901,31=-=n a q3.等比数列{}n a 中，a 5=-8,21-=q 则a n = S n =4.等比数列{}n a 中，a 4=4,则a 2·a 6等于（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．325.已知等比数列{}{}13n n n a S a n a a 是递增数列,是的前项和.若，是方程26540x x S -+==的两个根，则 .6.在等比数列{}n a 中，1101,3a a ==，则23456789a a a a a a a a =（ ）（A ）81 （B ）（C ）（D ） 2437.在各项为均为正数的等比数列{}n a 中，公比q=2且a 1a 2a 3……a 30=230 则963a a a ⋅⋅……a 30＝（ ）A.210B.220C.216D.2159.设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =-（B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-10.设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= .11．已知数列{}n a 满足11a =，()13232n n a a n n -=+-≥， （Ⅰ）求证：数列{}n a n +是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。
高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质
高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质等比数列是数学中常见的一种数列，又被称为等比数列或几何数列。
在高中数学中，等比数列的概念及其性质是学习数列的重要一环。
本文将对等比数列以及等比数列的性质进行总结和讨论。
1. 等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
假设数列的首项为a，公比为r，那么等比数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n-1)其中，an为数列的第n项。
2. 等比数列的性质等比数列有许多特殊的性质，下面将逐一介绍。
2.1 等比数列的公比公比r是等比数列中非常重要的一个概念，它决定了数列的增长或衰减趋势。
当|r|>1时，等比数列呈现增长趋势，此时数列的绝对值逐项增大；当|r|<1时，等比数列呈现衰减趋势，此时数列的绝对值逐项减小；当|r|=1时，等比数列的绝对值保持不变。
2.2 等比数列的通项公式的推导等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)可以通过递推关系式得出。
首先可以得到数列的第二项：a2 = a * r。
推导出来的通项公示能够方便我们计算等比数列中各项的大小。
同时，通过改变公比，我们可以观察等比数列的特点。
2.3 等比数列前n项和的计算等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式进行计算：Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)这个公式也可以通过递推关系式的推导得出。
等比数列前n项和的计算在实际问题中具有重要的应用，可以帮助我们求解等比数列求和问题。
3. 等比数列的应用举例3.1 高度问题假设一个球从一定的高度往下落，每次反弹高度都是之前一次的一半。
如果求第n次反弹的高度，我们可以建立等比数列来描述这个过程。
首项为球的初始高度，公比为1/2，利用等比数列的通项公式即可求解。
3.2 利息问题在金融领域中，利息的计算经常涉及到等比数列。
例如，一笔钱每年按照固定的利率计算利息，那么每年的本金和利息的总额就构成了一个等比数列。
等比数列的概念
等比数列的概念等比数列是数学中常见的一种数列形式，也是数列研究中的基础概念之一。
它具有一定的规律性和特殊的增长方式，其中的每一项都是前一项与公比的乘积。
本文将围绕等比数列的概念展开，探讨其定义、性质以及应用。
一、定义等比数列是指数列中每一项等于其前一项与公比的乘积。
通常用a，ar，ar^2，ar^3，……表示其中的项。
其中，a为首项，r为公比，n为项数。
二、性质1. 比值性质：等比数列中任意两项的比值都相等，即对于任意的正整数i，j，有an/aj = a(i-j)2. 通项公式：对于等比数列中的第n项an，可以利用首项和公比的值来求解通项公式。
通项公式为an = ar^(n-1)3. 等比数列的和：等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式求解：Sn = a(1 - r^n)/(1 - r)4. 当公比r在区间(-1,1)之间时，等比数列的项数趋于无穷大时，其和会收敛到一个有限值。
而当公比r大于1或小于-1时，等比数列的和则会趋向于正无穷或负无穷。
这一性质在数学和实际问题中都有重要的应用。
三、应用1. 财务问题：在一些财务问题中，等比数列可以用来描述投资的复利增长情况。
例如，银行中的定期存款，每年的利息都是本金的一定比例。
2. 自然科学：在自然科学中，一些循环性或增长性的现象也可以通过等比数列来描述。
例如，生物中的菌落扩张、细胞分裂等。
3. 几何问题：等比数列在几何问题中也有重要的应用。
例如，在一些几何图形的构造中，通过等比数列可以得到一些特殊的比例关系。
另外，用等比数列可以计算球体的体积、三角形的面积等。
4. 理财规划：在个人理财规划中，等比数列也有一定的应用。
例如，通过等比数列可以计算每年的收入增长情况，以制定更为合理的财务计划。
总结：等比数列是数学中一种常见的数列形式，它具有一定的规律性和特殊的增长方式。
通过等比数列的定义、性质以及应用的讨论，我们可以更加全面地理解和应用等比数列。
无论是在数学学习中还是实践中，掌握好等比数列的概念对于解决问题具有重要的意义。
等比数列概念及性质
an am q
变通公式
nm
( n, m N )
*
性质1：设an , am为等比数列an 中任意两项， 且公比为q，则an am q
证明
nm
.
设等比数列an 的首项为a1 , 公比为q， 则有an a1q , am a1q
n 1 m 1
an nm nm 从而 q , 即an am q . am
例题3：一个等比数列的第3项和第4 项分别是12和18，求它的第1项和第2 项。
1.在等比数列{an}中，已知
a 3 20, a 6 160
求an.
四. 应用示例
例2.根据右图的框图,写出所打印 数列的前5项,并建立数列的递 推公式.这个数列是等比数列吗?
开始
A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否
例3.已知等比数列an 的首项为a1 , 公比为q，依次取出数列an 中所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？
变式1：如果依次取出a1 , a4 , a7 , a10 ,构成一个新数列， 该数列是否还是等比数列？
思考：你能得到更一般的结论吗？
① 1，-1，1，…，(-1)n+1 ；√
②1，2，4，6…；× ③a，a，a，…，a； ×
④已知a1=2，an=3an+1 ； √
⑤
m, 2m, 4m ,8m ,... ×
2
3
⑥2a，2a，2a，…，2a. √
2、求出下列等比数列中的未知项： 1 (1)2，a，8；(2)－4，b，c， . 2
思考2：公比q<0时，等比数列呈现怎样的特 点？ 正负交替
第二课时
二、新课
等比数列的概念和计算
等比数列的概念和计算等比数列是数学中重要的概念之一，它在各种实际问题中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍等比数列的概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和运用等比数列。
一、等比数列的概念等比数列是指一系列的数按比例递增或递减的数列。
它的特点是每个数都是前一个数与同一个非零常数的乘积。
设首项为a，公比为r，则等比数列的通项公式为：an = ar^(n-1)其中，an表示第n个数，r表示公比。
二、等比数列的性质等比数列有许多有趣的性质，下面我们来介绍几个常见的性质：1. 公比的性质：对于等比数列，如果公比r>1，那么数列是递增的；如果0<r<1，数列是递减的。
当r=-1时，数列交替增减；当r=1时，数列是等差数列。
2. 等比数列的比与比与项的关系：等比数列中，任意两项的比等于它们的比的m次方，即an/am=a^(n-m)。
3. 等比数列的前n项和：等比数列的前n项和公式为Sn=a(1-r^n)/(1-r)，其中S表示前n项和。
这个公式可以通过数列的递推关系和等差数列的求和公式推导得出。
三、等比数列的计算方法计算等比数列的各项值是数列问题中的重要环节，下面我们将介绍两种常见的计算方法。
1. 递推法：通过已知项计算下一项。
首先确定首项a和公比r，然后根据递推关系an = an-1 * r计算每一项的值。
这种方法适用于已知首项和公比的情况。
2. 公式法：利用等比数列的通项公式，直接计算任意项的值。
首先确定首项a和公比r，然后根据通项公式计算特定项的值。
这种方法适用于已知首项和公比，但需要计算某一特定项的情况。
四、应用举例等比数列在实际问题中有广泛的应用。
例如，金融领域中的复利计算就涉及到等比数列。
假设你存入一笔本金，每年的利率固定为r，那么n年后的本金总额可以表示为Sn=a(1-r^n)/(1-r)。
通过等比数列的计算，可以帮助我们了解到本金随时间的变化情况。
另外，等比数列还可以应用于计算机科学中的数据结构和算法设计中。
等比数列的概念与性质
等比数列的概念与性质等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项与同一常数的乘积。
等比数列的概念与性质在数学中占有重要地位，对于理解数列的变化规律以及解决实际问题都有着重要的意义。
一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项与同一常数的乘积。
设等比数列的首项为a，公比为r（r≠0），则等比数列的前n项可以用以下公式表示：an = a * r^(n-1)，其中n为项数。
二、等比数列的性质1. 公比的意义：公比决定了等比数列中相邻两项之间的比值关系。
当公比r大于1时，等比数列呈现递增趋势；当公比r小于1但大于0时，等比数列呈现递减趋势；当公比r等于1时，等比数列的各项相等。
2. 通项公式：等比数列的第n项可以使用通项公式an = a * r^(n-1)来表示，其中a 为首项，r为公比。
3. 前n项和的计算：等比数列的前n项和Sn可以使用等比数列求和公式来计算，公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中n为项数，a为首项，r为公比。
4. 无穷项和的计算：当公比的绝对值小于1时，等比数列的无穷项和可以通过求和公式求得：S∞ = a / (1 - r)，其中a为首项，r为公比。
5. 等比数列的性质：等比数列中的任意三项可以构成一个等比比例。
根据这个性质，可以使用等比数列来解决各种实际问题，如利润增长、贷款还款等。
三、等比数列的应用举例1. 财务管理：等比数列的概念和性质在财务管理中有广泛的应用。
例如，某公司的年度利润按等比数列增长，首年利润为10万元，公比为1.2。
我们可以利用等比数列的性质计算出第5年的利润为10万 * 1.2^(5-1) = 18.14万元。
2. 投资与滚动利息：等比数列的应用还可用于计算投资的滚动利息。
假设某人将1000元以5%的年利率存入银行，每年滚动利息再投入银行，求10年后的本息和。
我们可以利用等比数列的性质计算出10年后的本息和为1000 * (1.05^10) = 1628.89元。
等比数列知识点归纳总结
等比数列知识点归纳总结等比数列是指一个数列中每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
在等比数列中，我们可以通过一些重要的知识点来解决与数列相关的问题。
本文将对等比数列的概念、性质以及求和公式进行归纳总结。
一、等比数列的概念与性质1. 等比数列的概念：等比数列是指一个数列中，从第2项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数的结果。
2. 公比的概念：在等比数列中，这个常数被称为公比，通常用字母q表示。
3. 公比的计算：公比q可以通过相邻两项的比值来计算，即等于后一项除以前一项。
公比q = 第(n+1) 项 / 第n 项4. 等比数列的性质：（1）任意项与它前一项的比值都等于公比q；（2）等比数列中，任意两项的比值都相等。
二、等比数列的求和公式在解决与等比数列相关的问题时，求和是一个重要的方面。
通过求和公式，我们能够快速计算等比数列的前n项的总和。
以下是等比数列的求和公式：Sn = a1*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示前n项的和，a1表示第一项，q表示公比。
三、等比数列的常见问题解答1. 已知等比数列的首项a1和公比q，求出该数列的通项公式：通项公式可以通过逐项相除来得到。
假设通项公式为an，那么有：a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ... = q根据这个比值相等的关系，可以得到通项公式：an = a1*(q^(n-1))2. 已知等比数列的部分项求和：有时候我们需要计算等比数列中从第m项到第n项的和，可以利用通项公式将问题转化为前n项和减去前m-1项和的差值。
S(m,n) = Sn - S(m-1)其中，S(m,n)表示从第m项到第n项的和。
3. 已知等比数列的前n项和Sn，求出该数列的通项公式：在这种情况下，可以通过求和公式逆推得到通项公式。
首先将求和公式改写为关于q的方程，然后解方程求得q的值，最后代入通项公式中即可得到结果。
以上是关于等比数列的概念、性质、求和公式以及常见问题的解答。
等比数列的概念解析
等比数列的概念解析数列是数学中重要的概念之一，而等比数列是其中一种常见的数列形式。
在本文中，我将对等比数列进行详细的解析和说明。
一、概念解释等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比值保持不变。
这个比值称为公比，通常用字母q表示。
对于等比数列，任意两项之间的比值都相等。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以用来计算数列中任意一项的值。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1)三、等比数列的性质1. 前n项和公式等比数列的前n项和可以通过以下公式计算：Sn = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)其中，Sn表示前n项和。
2. 通项和项数的关系通过等比数列的通项公式，我们可以将通项和项数的关系表示为：an = a₁ * q^(n-1)可以看到，项数越大，每一项与首项的比值的次方指数也会随之增大。
3. 公比的正负性如果公比q大于1，则等比数列是递增的；若q小于1但大于0，则等比数列是递减的；若q小于0，则等比数列的奇数项和偶数项符号交替。
4. 等比数列的性质推导由等比数列的通项公式可知，等比数列的相邻两项的比值为：an / a(n-1) = (a₁ * q^n-1) / (a₁ * q^n-2) = q由此可得到等比数列的性质推导。
四、等比数列的应用举例等比数列广泛应用于各个数学领域和实际问题中。
以下是一些等比数列在实际应用中的举例：1. 财务领域利息、投资回报等财务问题中，往往会涉及到等比数列的计算。
例如，计算利息在多个周期中的增长情况。
2. 计算机科学计算机领域中，等比数列常用于算法设计和数据结构中。
例如，二分查找算法中的数列就是等比数列。
3. 自然科学在自然科学中，等比数列常常用于表达某些自然现象的增长或衰减规律。
例如，放射性元素的衰变过程可以用等比数列来描述。
综上所述，等比数列是数学中常见的数列形式，具有明确的概念和性质。
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精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号
11sh11sx00 学员编号: 年 级： 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课 题
等比数列的概念及性质
授课日期及时段
教学目标
1、理解并掌握等比数列的概念，等比中项的概念；
2、掌握等比数列通项公式的求法；
3、掌握等比数列前n 项和公式；
4、掌握等比数列的几种等价形式；
5、理解并掌握等比数列的重要性质。
教学内容
☆、知识点梳理
一、等比数列 （1）等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这样的数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用小写字母q 表示. 【注意】
公比0q ，也即等比数列中任意一项都不为0。
（2）等比中项
与等差中项的概念类似，如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项. 等比中项的性质：
① 如果三个数成等比数列，那么等比中项的平方等于另两项的乘积.
② 在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等比中项. ③ 以G 为等比中项的三个数可表示为：,,G
G Gq q
，体现了和谐性与对称性。
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