等比数列及其性质
等比数列的基本性质与求和公式
等比数列的基本性质与求和公式等比数列是数学中常见的一种数列，它的前后两项的比值始终保持不变。
等比数列具有许多重要的性质和求和公式，本文将对这些性质和公式进行详细介绍与解析。
一、等比数列的基本性质等比数列的基本性质包括公比、通项公式以及前n项和的公式。
1. 公比公比是等比数列中相邻两项的比值，通常用字母q表示。
对于等比数列{a1, a2, a3, ...}，公比q = a2/a1 = a3/a2 = ...。
公比q可以是正数、负数或零。
2. 通项公式等比数列的通项公式是指根据数列的首项和公比，可以得到任意项的数值表达式。
对于等比数列{a1, a2, a3, ...}，通项公式为an = a1 *q^(n-1)，其中n表示项数，an表示第n项。
通项公式可以帮助我们方便地计算等比数列中任意一项的数值。
3. 前n项和公式等比数列的前n项和公式是指根据数列的首项、公比和项数，可以得到前n项之和的表达式。
前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和。
这个公式的推导涉及到对等比数列求和的方法，下文我们将介绍这个求和方法的详细步骤。
二、等比数列的求和公式的推导为了推导等比数列的求和公式，我们可以从以下几个步骤入手：Step 1: 假设等比数列的首项为a1，公比为q。
Step 2: 将等比数列的前n项和用Sn表示。
Step 3: 将等比数列的首项a1与公比q对齐。
Step 4: 将等比数列展开为a1, a1*q, a1*q^2, ..., a1*q^(n-1)。
Step 5: 将等比数列反向展开为a1*q^(n-1), a1*q^(n-2), ..., a1*q^2,a1*q, a1。
Step 6: 将两个等比数列按位相减，并观察相减结果的特点。
Step 7: 将相减结果与等比数列前n项和Sn相加，并观察相加结果的特点。
Step 8: 确定等比数列的前n项和公式Sn。
高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质
高中数学知识点总结等比数列与等比数列的性质等比数列是数学中常见的一种数列，又被称为等比数列或几何数列。
在高中数学中，等比数列的概念及其性质是学习数列的重要一环。
本文将对等比数列以及等比数列的性质进行总结和讨论。
1. 等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
假设数列的首项为a，公比为r，那么等比数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n-1)其中，an为数列的第n项。
2. 等比数列的性质等比数列有许多特殊的性质，下面将逐一介绍。
2.1 等比数列的公比公比r是等比数列中非常重要的一个概念，它决定了数列的增长或衰减趋势。
当|r|>1时，等比数列呈现增长趋势，此时数列的绝对值逐项增大；当|r|<1时，等比数列呈现衰减趋势，此时数列的绝对值逐项减小；当|r|=1时，等比数列的绝对值保持不变。
2.2 等比数列的通项公式的推导等比数列的通项公式an = a * r^(n-1)可以通过递推关系式得出。
首先可以得到数列的第二项：a2 = a * r。
推导出来的通项公示能够方便我们计算等比数列中各项的大小。
同时，通过改变公比，我们可以观察等比数列的特点。
2.3 等比数列前n项和的计算等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式进行计算：Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1)这个公式也可以通过递推关系式的推导得出。
等比数列前n项和的计算在实际问题中具有重要的应用，可以帮助我们求解等比数列求和问题。
3. 等比数列的应用举例3.1 高度问题假设一个球从一定的高度往下落，每次反弹高度都是之前一次的一半。
如果求第n次反弹的高度，我们可以建立等比数列来描述这个过程。
首项为球的初始高度，公比为1/2，利用等比数列的通项公式即可求解。
3.2 利息问题在金融领域中，利息的计算经常涉及到等比数列。
例如，一笔钱每年按照固定的利率计算利息，那么每年的本金和利息的总额就构成了一个等比数列。
等比数列概念及性质
an am q
变通公式
nm
( n, m N )
*
性质1：设an , am为等比数列an 中任意两项， 且公比为q，则an am q
证明
nm
.
设等比数列an 的首项为a1 , 公比为q， 则有an a1q , am a1q
n 1 m 1
an nm nm 从而 q , 即an am q . am
例题3：一个等比数列的第3项和第4 项分别是12和18，求它的第1项和第2 项。
1.在等比数列{an}中，已知
a 3 20, a 6 160
求an.
四. 应用示例
例2.根据右图的框图,写出所打印 数列的前5项,并建立数列的递 推公式.这个数列是等比数列吗?
开始
A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否
例3.已知等比数列an 的首项为a1 , 公比为q，依次取出数列an 中所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？
变式1：如果依次取出a1 , a4 , a7 , a10 ,构成一个新数列， 该数列是否还是等比数列？
思考：你能得到更一般的结论吗？
① 1，-1，1，…，(-1)n+1 ；√
②1，2，4，6…；× ③a，a，a，…，a； ×
④已知a1=2，an=3an+1 ； √
⑤
m, 2m, 4m ,8m ,... ×
2
3
⑥2a，2a，2a，…，2a. √
2、求出下列等比数列中的未知项： 1 (1)2，a，8；(2)－4，b，c， . 2
思考2：公比q<0时，等比数列呈现怎样的特 点？ 正负交替
第二课时
二、新课
等比数列的概念和计算
等比数列的概念和计算等比数列是数学中重要的概念之一，它在各种实际问题中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍等比数列的概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和运用等比数列。
一、等比数列的概念等比数列是指一系列的数按比例递增或递减的数列。
它的特点是每个数都是前一个数与同一个非零常数的乘积。
设首项为a，公比为r，则等比数列的通项公式为：an = ar^(n-1)其中，an表示第n个数，r表示公比。
二、等比数列的性质等比数列有许多有趣的性质，下面我们来介绍几个常见的性质：1. 公比的性质：对于等比数列，如果公比r>1，那么数列是递增的；如果0<r<1，数列是递减的。
当r=-1时，数列交替增减；当r=1时，数列是等差数列。
2. 等比数列的比与比与项的关系：等比数列中，任意两项的比等于它们的比的m次方，即an/am=a^(n-m)。
3. 等比数列的前n项和：等比数列的前n项和公式为Sn=a(1-r^n)/(1-r)，其中S表示前n项和。
这个公式可以通过数列的递推关系和等差数列的求和公式推导得出。
三、等比数列的计算方法计算等比数列的各项值是数列问题中的重要环节，下面我们将介绍两种常见的计算方法。
1. 递推法：通过已知项计算下一项。
首先确定首项a和公比r，然后根据递推关系an = an-1 * r计算每一项的值。
这种方法适用于已知首项和公比的情况。
2. 公式法：利用等比数列的通项公式，直接计算任意项的值。
首先确定首项a和公比r，然后根据通项公式计算特定项的值。
这种方法适用于已知首项和公比，但需要计算某一特定项的情况。
四、应用举例等比数列在实际问题中有广泛的应用。
例如，金融领域中的复利计算就涉及到等比数列。
假设你存入一笔本金，每年的利率固定为r，那么n年后的本金总额可以表示为Sn=a(1-r^n)/(1-r)。
通过等比数列的计算，可以帮助我们了解到本金随时间的变化情况。
另外，等比数列还可以应用于计算机科学中的数据结构和算法设计中。
等比数列的性质与公式
等比数列的性质与公式数列是数学中常见的一种序列，根据元素之间的规律可以分为等差数列和等比数列等。
在本文中，我们将重点讨论等比数列的性质与公式。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中aₙ表示第n项的值。
二、等比数列的性质1. 公比的性质公比为r的等比数列中，如果r>1，则数列是递增的；如果0<r<1，则数列是递减的；如果r=1，则数列是恒定的。
2. 通项公式等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * r^(n-1)，通过该公式可以求出任意项的值。
3. 首项、公比与项数的关系根据等比数列的通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)，我们可以得到首项、公比和项数之间的关系：aₙ = a₁ * r^(n-1)a₂ = a₁ * rr = a₂ / a₁a₃ = a₁ * r^2...即等比数列的第n项等于首项乘以公比的n-1次方。
4. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和记为Sₙ，可以通过以下公式计算：Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)其中n表示项数。
三、等比数列的常见问题1. 求等比数列中某一项的值如果已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，我们可以通过通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)计算出该项的值。
2. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，可以通过前n项和的公式Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)求得。
3. 求等比数列的项数已知等比数列的首项a₁、公比r和某一项的值aₙ，可以通过项数的对数形式求得：n = logₐ( aₙ / a₁ ) + 1其中logₐ表示以a为底的对数运算。
四、等比数列的应用等比数列在实际问题中有着广泛的应用。
例如在金融领域，利率、汇率等都可以用等比数列的形式来描述；在自然科学研究中，细胞分裂、物种繁殖等也常常涉及等比数列的计算。
等比数列的概念与性质
等比数列的概念与性质等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项与同一常数的乘积。
等比数列的概念与性质在数学中占有重要地位，对于理解数列的变化规律以及解决实际问题都有着重要的意义。
一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项与同一常数的乘积。
设等比数列的首项为a，公比为r（r≠0），则等比数列的前n项可以用以下公式表示：an = a * r^(n-1)，其中n为项数。
二、等比数列的性质1. 公比的意义：公比决定了等比数列中相邻两项之间的比值关系。
当公比r大于1时，等比数列呈现递增趋势；当公比r小于1但大于0时，等比数列呈现递减趋势；当公比r等于1时，等比数列的各项相等。
2. 通项公式：等比数列的第n项可以使用通项公式an = a * r^(n-1)来表示，其中a 为首项，r为公比。
3. 前n项和的计算：等比数列的前n项和Sn可以使用等比数列求和公式来计算，公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中n为项数，a为首项，r为公比。
4. 无穷项和的计算：当公比的绝对值小于1时，等比数列的无穷项和可以通过求和公式求得：S∞ = a / (1 - r)，其中a为首项，r为公比。
5. 等比数列的性质：等比数列中的任意三项可以构成一个等比比例。
根据这个性质，可以使用等比数列来解决各种实际问题，如利润增长、贷款还款等。
三、等比数列的应用举例1. 财务管理：等比数列的概念和性质在财务管理中有广泛的应用。
例如，某公司的年度利润按等比数列增长，首年利润为10万元，公比为1.2。
我们可以利用等比数列的性质计算出第5年的利润为10万 * 1.2^(5-1) = 18.14万元。
2. 投资与滚动利息：等比数列的应用还可用于计算投资的滚动利息。
假设某人将1000元以5%的年利率存入银行，每年滚动利息再投入银行，求10年后的本息和。
我们可以利用等比数列的性质计算出10年后的本息和为1000 * (1.05^10) = 1628.89元。
等比数列的性质与应用
等比数列的性质与应用等比数列是数学中的一种特殊数列，它的性质和应用十分广泛。
在本文中，我将介绍等比数列的性质及其在实际问题中的应用。
1. 等比数列的定义与性质等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比相等的数列。
假设数列的首项为a，公比为r，那么它的第n项可表示为an = ar^(n-1)。
等比数列具有以下性质：a) 公比为零或正数时，数列递增；公比为负数时，数列递减；b) 数列中的任意项可以通过前一项与公比的乘积得到；c) 等比数列的前n项和可以用公式Sn = a(1-r^n)/(1-r)计算。
2. 等比数列的应用等比数列的性质在各个领域中都有着广泛的应用。
以下是其中几个重要的应用：2.1. 财务与投资在财务与投资领域，等比数列的应用尤为突出。
例如，计算利息、年金、股票投资等等，都可以基于等比数列的概念进行计算。
根据等比数列的定义以及性质，可以推导出各种金融公式，为理财人员提供便捷的计算方法。
2.2. 自然科学等比数列在自然科学领域中也有着广泛的应用。
例如，在生物学中，细胞的分裂、种群的增长等往往可以用等比数列来描述。
在物理学中，声音的强度、光的强度等都可以用等比数列来衡量。
2.3. 工程与建筑在工程与建筑领域，等比数列常被用于设计与构建过程中的各种问题。
例如，设计方密切关注物体的尺寸、比例是否满足等比关系；建筑师在设计建筑物的时候，也需要考虑材料的长宽比、高度比等等。
2.4. 统计学在统计学中，等比数列可用于描述人口增长、物品销售情况、市场份额等。
利用等比数列的性质，统计学家可以更准确地预测未来的趋势，做出科学的决策。
3. 等比数列问题的解决方法为了解决等比数列问题，通常可以采用以下几种方法：3.1. 直接计算法对于已知首项和公比的等比数列问题，可以直接使用等比数列的公式进行计算。
通过计算每一项的值或者前n项的和，可以得到问题的答案。
3.2. 求比方式有时候，问题给出的信息不够明确，无法直接使用等比数列的公式。
等比数列的概念与性质
等比数列的概念与性质等比数列是数学中常见且重要的数列之一。
在等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。
本文将介绍等比数列的概念和性质，以及如何应用等比数列解决实际问题。
一、等比数列的概念等比数列是指数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
简而言之，等比数列满足以下条件：1. 第一项 a_12. 公比 r根据上述条件，等比数列的通项公式可以表示为 a_n = a_1 * r^(n-1)，其中 n 为项数。
二、等比数列的性质等比数列具有以下性质：1. 公比的符号决定数列的性质- 当公比 r 大于 1 时，数列是递增的。
- 当公比 r 介于 0 和 1 之间时，数列是递减的。
2. 等比数列的前 n 项和- 当公比 r 不等于 1 时，等比数列的前 n 项和可以表示为 S_n =a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
- 当公比 r 等于 1 时，等比数列的前 n 项和为 n * a_1。
3. 等比数列的无穷项和- 当公比 r 的绝对值小于 1 时，等比数列的无穷项和可以表示为 S = a_1 / (1 - r)。
- 当公比 r 的绝对值大于等于 1 时，等比数列的无穷项和不存在。
4. 等比数列的前 n 项平方和- 当公比 r 不等于 1 时，等比数列的前 n 项平方和可以表示为 S_n' = (a_1^2 * (1 - r^2n)) / (1 - r^2)。
- 当公比 r 等于 1 时，等比数列的前 n 项平方和为 n * a_1^2。
三、等比数列的应用举例等比数列广泛应用于实际问题的求解中。
以下是几个应用等比数列的例子：1. 存款问题假设某人每年将存款的一定比例保留，其余部分用于消费。
如果从第一年开始，每年的存款比上一年减少 20%，那么第 n 年的存款是多少？解：假设第一年的存款为 a_1，公比为 r = 1 - 20% = 0.8。
根据等比数列的通项公式 a_n = a_1 * r^(n-1)，可以得到第 n 年的存款为 a_n = a_1 * 0.8^(n-1)。
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知道其中的任意三个量，就可以求 出另一个量，即知三求一 .
我们称之为基本量法！
例2：在等比数列{an}中：
已知 a3 2 , a6 16 , 求an
解： an a1qn1
a6 a3
a1q5 a1q2
16 2
a1 q
an a1qn1
an amqnm
an21 anan2
若m+n=p+t(m,n,p,t ∈ N*),则aman=apat
一、等比数列的定义及 通项列
定义
如果一个数列从第2项 如果一个数列从第2
起，每一项与前一项 项起，每一项与它前
的差等于同一个常数， 一项的比都等于同一
3
2
32
2
3
3
2
解析：由题知，a8·a10=a4·a14=6,且a4+a14=5, 解得a4=2,a14=3,或a4=3,a14=2a1,8∴ a14 2 ,
a8 a4 3
或 a18 a1，4 故3 选C. a8 a4 2
六、总结：
• 复习内容：等比数列的定义、通项公式、性质。 本质就是复习数列项与项之间的关系——从定 义的相邻两项的关系、通项公式的第n项与首 项的关系、拓展到任意两项的关系最后到三项、 四项的关系。通过本节课的复习我们可以深入 的理解和掌握等比数列的实质。
例2：在等比数列{an}中：
已知 a3 2 , a6 16 , 求an
另解 :
Q an amqnm n, m N *
a6 a3q63 q3 16
2 q 2 an a3 qn3 2 2n3 2n2
三、等比中项
等差中项
等比中项
如果在a与b中间插入 一个数A，使a，A，b成 等差数列，那么A叫做a 与b的等差中项。
公式
引申 am a1 (m 1)d
an am (n m)d
可得
an am (n m)d
等比数列
an amqnm n, m N*
已知等比数列｛an｝中，公 比为q，则an与am（n,m ∈ N*） 有何关系？
an=a1qn-1
am=a1qm-1
an qnm am
可得
an amqnm n,m N*
通项 公式
an a1 (n 1)d
法1：不完全归纳法
推导 过程
a2 a1 d a3 a1 2d a4 a1 3d
……
由此归纳等差数列的通 项公式可得：
an a1 (n 1)d
等比数列
an a1q n1
法1：不完全归纳法
a2 a1
q a2
a1q
a3 a1q2
a4 a1q3
2012届JS高三第一轮复习 数学（文）
数列第五课时：
《等比数列及其性质》
俞雪峰
本节课的学习目的：通过复习探究等 比数列的项与项之间的几类关系使同 学们能较深入理解等比数列的本质， 从而为全面理解和掌握等比数列的有 关内容打下坚实的基础。
本节课的学习方法：与等差数列进行 比较，通过类比的方法复习等比数列。
• 复习方法：主要是类比（与等差数列类比进行 复习）的方法、兼顾了回顾、探究、讨论。
• 数学方法：转化的思想、函数与方程的思想
• 解题方法：基本量法、赋值法、归纳法、累加 法、累乘法、性质的灵活运用。
七、布置作业：
• 1、回顾本节课的有关内容。 • 2、校本训练二十五。 • 3、预习下一节课的内容：等比数列求
(判断一个数列是否为等 比数列的首选方法：定义)
an q(n 2) 或 an1 q(n N *)
an1
an
an 0
例3、已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1， 求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．
证明：∵Sn＝2an+1， ∴Sn+1＝2an+1+1，
∴Sn+1－Sn＝an+1 ＝(2an+1+1)－(2an+1)＝2an+1－2an. ∴ an+1 ＝2an+1－2an ∴an+1＝2an …… ① 又∵S1＝a1＝2a1+1，∴a1＝－1≠0. 由①式可知，an≠0，
an a1 (n 1)d , n N*
等比数列
an a1qn1
法2： 累乘 法
n 2 , a2 q a1
a3 q a2
a…n … q
an1
把这n-1个式子相乘，得： an a1qn1
当n=1时，上式成立 an a1qn1 , n N*
考点一：等比数列的基本 运算
例1：在等比数列{an}中：
和公式及其简单应用。
变式5-1
在等比数列{an}中，a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,则 m=( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
解析：am=a1a2a3a4a5=a53=(a1q2)5=q10=a11,故选C. 变式5-2
(2011·潍坊模拟)已知等比数列{an}的公比为正数，且
an amqnm
an21 anan2
若m+n=p+t(m,n,p,t ∈ N*),则aman=apat
五、课堂演练：
1. (教材改编题)在等比数列{an}中，a1=1,a5=9,则a3=( )
A. 3 B. -3 C. 3或-3 D.
3
解析：a23=a1a5=9,且a1,a3,a5同号，∴a3=3.故选A.
在等比数列{an}中：
an21 anan2
考点二、等比数列的判定
回顾：等比数列的常用判定方法
(1)aan＋n1＝q(q 为非零常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；
(2)an＝cqn(c，q 为非零常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列；
(3)an＋12＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
(1)已知a1 2, q 3, an 162, 求n;
(2)已知a1
3,
q
1 2
，求a5；
(3)已知a9
1 9
,q
1 3
, 求a1；
(4)已知a1 2, a5 8,求q
解题思路分析： an a1qn1
答案：（1）n= 5
3 （2）a5= 16
（3）a1=729 （4）q= 2
解后反思：
数列 定义 公差（比）
等 差 数 列 类比 等 比 数 列
n 2 , an an1 d
n 2 , an q q 0
an1
公差d R
公比q 0
通项公式 an a1 (n 1)d
引申 中项 性质
an am (n m)d
an1
an
an2 2
若m+n=p+t(m,n,p,t ∈ N*),则am+an=ap+at
解：由性质可得 a2a4=a3a3=a32 a4a6=a5a5=a52 所以 a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=36
例5 (2010·全国)已知各项均为正数的等比数列{an}，
a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( )
A.5 2 B. 7 C. 6 D. 4
2
分析:利用等比数列的性质求解；
等比数列的性质
等比数列的性质
等比数列的性质
如果在a与b中间插入 一个数G，使a，G，b成 等比数列，那么G叫做a与 b的等比中项。
A ab 2
1、两个数的等差中项只有一个 2、任意两个数都有等差中项
G ab
注意：1.两个数的等比中项有两个， 它们互为相反数；2.这两个数必须 满足同号的条件，即ab>0
在等差数列{an}中:
an1
an
an2 2
则：am ·an=ap ·at.
a1，a2，a3，……，an-2，an-1，an，……
a1+an=a2+an-1 =a3+an-2=…
a1an=a2an-1=a3an-2=…
考点三：等比数列性质的应用
例4、在等比数列{an}中，且an＞0，
a2a4+2a3a5+a4a6=36, 求a3+a5= _ 6 .
1 2
2
an
1 2n1 2
2n2
解后反思：利用通项公式由已知的基本量转化为解
方程组。所谓函数与方程的思想。
二、等比数列通项公式的引申
名称
等差数列
an am (n m)d n,m N*
已知等差数列｛an｝中，公 差为d，则an与am（n,m ∈ N*） 有何关系？
通项 an a1 (n 1)d
2. A.
已- 知1{anB}.是-2等比数C.列2,a2=2D,a. 5=
1,则公比q=(
4
1
)
2
2
1
解析:q3=a5 4 ∴1q,= .故1选D.
a3 2 8
2
3. (2011·济南山师附中模拟)在等比数列{an}中，
a8·a10=6,a4+a14=5,则aa188 等于( )
A. 2 B. C.3 或 D2. - 或3 -
a3a9=2a25,a2=2,则a1等于( )
A. 1 B. 2C. -
D. 22
解析:∵a3a9=2a25,∴a26=2a25,∴q2=2,∵q＞0,∴q= 2 , ∴a1= a2 2 ,故2选B.
q2
关于等比数列的性质与等差数列 的性质类似：随着复习的深入我 们可能会碰到以下一些性质。同 学们可以了解一下：
解：由等比数列的性质知a1a2a3=(a1a3)·a2=a32=5,