等比数列的性质
等比数列性质公式总结
等比数列性质公式总结什么是等比数列？它是一种按照一定比例递增或递减的数列，即每一项等于它的前一项乘以一个确定的常数。
等比数列的应用非常广泛，在商业经济、货币学、统计学、计算机科学、投资理财等诸多领域都有重要的作用。
因此，了解等比数列的性质与公式是分析复杂问题的基础。
本文主要从等比数列的特点、性质和公式三个方面，总结等比数列的性质与公式，帮助读者更好地掌握等比数列。
一、等比数列的特点等比数列是一种有规律的数列，其特点是每一项都等于它的前一项乘以一个确定的常数。
它的形式一般为：a1, a1q, a1q2 ,a1q3 , ... .里a1是等比数列的第一项，q是等比数列的公比，它大于0小于1或大于1小于无穷大。
二、等比数列的性质等比数列有许多性质，其中有几个比较重要，如果我们能够掌握它们，就可以更好地分析等比数列。
（1）等比数列的每一项都等于它的前一项乘以一个确定的常数；（2）等比数列的总和大于等于其最大项，反之，总和小于等于其最小项；（3）等比数列的均值的数字大小是由第一项和最后一项决定的；（4）当等比数列的公比q大于1时，其数列中的各项逐渐变大；当q等于1时，其数列中的各项保持不变；而当q小于1时，其数列中的各项逐渐变小。
三、等比数列的公式（1）等比数列的求和公式：Sn=a1(1-qn)/(1-q)（2）等比数列的求积公式：Pn=a1qn-1（3）等比数列的极限公式：Sn→∞, q<1时Sn→a1/(1-q); q>1时Sn→无穷大。
（4）等比数列的求平均数公式：M=(a1+an)/2四、等比数列的实例总结举例来说，设a1=1，q=2，我们就可以得到一个等比数列：1，2，4，8，16，…此时，利用等比数列的求和公式，我们可以求出这个等比数列前n项的和 Sn=1+2+4+…+2^(n-1)=(2^n-1)。
又比如，设a1=2，q=1/2，此时，可以得到一个等比数列：2，1，1/2，1/4，1/8，…求出其前n项的积Pn=2×1/2×1/4×…×1/2^(n-1)＝1/2^(n-1)。
等比数列的性质
用文字表示：一个数列，从第二项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个 常数，这个数列就叫做等比数列。
特性：等比数列中任意一项都等于前 一项乘以公比q。
定义中的注意事项：首项不能为0，公 比q也不能为0。
公比是等比数列中任意一项与它前一项的比值 公比的性质包括：当公比大于1时，数列是递增的；当公比小于1时，数列 是递减的；当公比等于1时，数列是常数列 公比的性质决定了等比数列的单调性和极限
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01 等 比 数 列 的 定 义 02 等 比 数 列 的 性 质 03 等 比 数 列 的 应 用 04 等 比 数 列 的 证 明 方 法 05 等 比 数 列 的 扩 展 知 识
等比数列的定义：一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的比 都等于同一个常数。
步骤：首先，通过观察和实验，从特殊情况出发，发现规律；然后，利用归纳推理，将 特殊情况逐步推广到一般情况；最后，得出结论。
应用：在等比数列的证明中，可以通过归纳法证明等比数列的性质。
注意事项：归纳法的结论不一定正确，需要经过严格的证明和验证。
假设等比数 列不成立
得出结论
推导出矛盾
证明等比数 列的性质
波的传播：等比数列描述波的传 播规律，如声波、电磁波等
电路分析：在分析RC电路、RL电 路等复杂电路时，等比数列可用 来描述电流和电压的变化规律
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放射性衰变：放射性物质的衰变 次数与等比数列相关，可用来计 算半衰期
振动与波动：等比数列描述简谐 振动的位移、速度和加速度等物 理量，以及波动中的相位和频率
在等比数列中，公比不能等于0，否则数列无意义
等比数列性质公式总结
等比数列性质公式总结
等比数列是数学中一种非常常见的数列，它的定义如下：若存在某一数a，且对于任意整数n，都有an+1=r×an（r为常数），则称{an}为等比数列，记作{an}=a1,a2,a3,a4...，其中a1为等比数列的首项。
等比数列性质公式总结如下：
（1）等比数列的每一项和第一项的比值都是一定的，即a2，a3，a4...的比值都是r；
（2）等比数列的等比中项数分别是：a2：a1=a3：a2=a4：a3=，依此类推；
（3）等比数列的和是关于首项和公比的函数：若S（n）为等比数列的和，a为等比数列的首项，r为等比数列的公比，则有：S（n）=a（1-r^n）/ 1-r；
（4）等比数列的积是关于首项和公比的函数：若P（n）为等比数列的积，a为等比数列的首项，r为等比数列的公比，则有：P（n）=ar^(n-1);
（5）若等比数列满足绝对值大小关系：|a1|>|a2|>|a3|>|a4|...，则等比数列的公比r必然是介于-1与1之间的；
（6）若等比数列的公比r>1，则此数列是一个增长的数列，即
随着n的逐渐增大，an会逐渐增大；若等比数列的公比r<1，则此数列是一个递减的数列，即随着n的逐渐增大，an会逐渐减小；若等
比数列的公比r=1，则此数列是一个平方数列，公比不变，即an=k，其中k为等比数列的均数。
以上就是等比数列的基本特性以及等比数列的性质公式总结，以便更好地理解等比数列的特性和规律。
等比数列的概念也出现在数学分析、几何学及其他多个理论中，在实际的学习和应用中也会用到等比数列，这就需要大家要掌握这些公式来进行解题。
等比数列性质公式总结
等比数列性质公式总结引言在数学中，数列是由一系列有序的数字按一定规律排列而成的序列。
其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
本文将重点总结等比数列的性质公式。
等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项（除首项外）都与它前一项成等比关系的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，那么该数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n-1)，其中an为第n项。
性质公式一：第n项公式等比数列的第n项公式可通过通项公式进行推导。
设等比数列的首项为a，公比为r，那么第n项an可表示为：an = a * r^(n-1)这个公式可以帮助我们在已知公比和首项的情况下，快速计算出任意一项的值。
性质公式二：前n项和公式等比数列的前n项和公式可以帮助我们计算等比数列前n项的和。
设等比数列的首项为a，公比为r，那么前n项的和Sn可表示为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)性质公式三：通项公式与首项之间的关系在等比数列中，通项公式与首项之间存在一定的关系。
设等比数列的通项公式为an = a * r^(n-1)，那么首项a可表示为：a = an / r^(n-1)这个公式可以帮助我们在已知公比、任意一项的值以及项数的情况下，求解出首项的值。
性质公式四：公比和项数之间的关系在等比数列中，公比和项数之间也存在一定的关系。
设等比数列的通项公式为an = a * r^(n-1)，那么公比r可表示为：r = (an / a)^(1 / (n-1))这个公式可以帮助我们在已知首项、任意一项的值以及项数的情况下，求解出公比的值。
性质公式五：等比数列的特殊性质等比数列还有一些特殊性质，如首项为1，公比为正数，则数列的前n项和公式可以简化为：Sn = (1 - r^n) / (1 - r)其中，r不等于1。
总结等比数列是数学中常见的数列类型之一，我们通过总结上述性质公式，可以更好地理解和应用等比数列。
这些性质公式包括了等比数列的第n项公式、前n项和公式以及通项公式与首项之间的关系等。
等比数列的性质总结
1.等比数列的定义：()()*12,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比2.通项公式：()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m a a q-=，从而得n m n m a q a -=或n q =3.等比中项（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列⇔211n n n a a a -+=⋅4.等比数列的前n 项和n S 公式：(1)当1q =时，1n S na =(2)当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S qq --==--11''11n n n a a q A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）5.等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n n a a qa q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列（2）等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列（3）通项公式：()0n n a A B A B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列（4）前n 项和公式：()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为等比数列6.等比数列的证明方法依据定义：若()()*12,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列7.注意（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为q q8.等比数列的性质(1)当1q ≠时①等比数列通项公式()1110n n n n a a a q q A B A B q-===⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q q q q--==-=-⋅=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q(2)对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
等比数列的性质与应用
等比数列的性质与应用等比数列，又称为几何数列，是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的比等于一个常数，这个常数被称为公比。
等比数列常用的表示形式为：a，a*r，a*r^2，a*r^3，……等比数列的性质涉及到数列的通项公式、前n项和、无穷项和以及与其他数学概念的关系等方面。
在此，本文将从这些方面介绍等比数列的性质和应用。
一、数列的通项公式对于等比数列来说，其通项公式可以通过以下方式得出：假设第一项为a，公比为r。
首先，我们可以观察到每一项与其前一项之间的关系，即：第二项：a*r第三项：a*r*r = a*r^2第四项：a*r*r*r = a*r^3由此可见，等比数列的第n项可以表示为a*r^(n-1)。
二、前n项和计算等比数列的前n项和可以使用以下公式：前n项和 = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，a为等比数列的首项，r为公比。
这个公式可以通过数学归纳法得到证明。
三、无穷项和无穷项和是指等比数列所有项的和在n趋向于无穷时的极限值。
对于绝对值小于1的公比，等比数列的无穷项和存在并且可以通过以下公式计算得出：无穷项和 = a / (1 - r)这个公式也可以通过数学推导得到。
应用：等比数列在现实生活中有着广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 财务问题在财务领域中，利息、折扣和股价等问题往往涉及到等比数列。
例如，在银行存款中，如果某笔存款按照一定的年利率计算利息，并且每年将利息和本金一起再次存入银行，那么存款的金额就构成了一个等比数列。
2. 科学研究等比数列在科学研究中也有着广泛的应用。
例如，在生物学中，细胞的数量经常呈现出等比数列的规律。
通过研究和分析等比数列的性质，可以更好地理解和描述细胞的生长和变化过程。
3. 工程问题在工程问题中，等比数列常常用于计算材料的消耗和成本的增长。
例如，在建筑施工中，某种材料的每层用量都是前一层用量的3倍，那么每层用量就可以表示为一个等比数列。
等比数列的性质
教学内容【知识结构】1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0） 1︒“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0 2︒ 隐含：任一项00≠≠q a n 且“n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件． 3︒ q= 1时，{a n }为常数2.等比数列的通项公式1: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n3.等比数列的通项公式2: )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则ab G ab G Gba G ±=⇒=⇒=2， 反之，若G 2=ab ,则Gba G =，即a ,G ,b ∴a ,G ,b 成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0）6．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则k p n m a a a a = 在等比数列中，m+n=p+q ，k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？ 由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a 11k 11 --⋅==k p p q a a q a a221-+=⋅n m n m q a a a ，221-+=⋅k p k p q a a a则k p n m a a a a =7．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或0<q<1, 1a <0时, {n a }是递增数列;当q>1, 1a <0,或0<q<1, 1a >0时, {n a }是递减数列;当q=1时, {n a }是常数列;当q<0时, {n a }是摆动数列;【热身练习】求下列各等比数列的通项公式：1.1a =-2, 3a =-82.1a =5, 且21+n a =-3n a3.1a =5, 且11+=+n na a n n 解：1.242213±=⇒=⇒=q q q a an n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=∴--或 2.111)23(5523-+-⨯=∴=-==n n n n a a a a q 又：3.nn a a a a a a n n a a n n n n 1,,32,211123121-===∴+=-+以上各式相乘得：na n a n 11==【例题精讲】例1 已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列. 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别为：n n nn n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅.)()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n ==⋅⋅-++ 它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q 1q 2为公比的等比数列.例2 已知：b 是a 与c 的等比中项，且a 、b 、c 同号，求证：3,3,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成等比数列 证明：由题设：b 2=ac 得：22333)3(333ca bc ab bc b ab b c b a abc c b a ++=++=⨯++=⨯++ ∴3,3,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成等比数列例3 (1) 已知{n a }是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求3a a +(2) a≠c,三数a, 1, c 成等差数列，22,1,c a 成等比数列，求22c a ca ++解：(1) ∵{n a }是等比数列，∴ 2a 4a ＋23a 5a ＋4a 6a ＝(3a ＋5a )2＝25, 又n a >0, ∴3a ＋5a ＝5;(2) ∵a, 1, c 成等差数列, ∴ a ＋c ＝2,又a 2, 1, c 2成等比数列, ∴a 2 c 2＝1, 有ac ＝1或ac ＝－1, 当ac ＝1时, 由a ＋c ＝2得a ＝1, c ＝1,与a≠c 矛盾，∴ ac ＝－1, 62)(222=-+=+ac c a c a ∴ 3122=++ca c a .例4 已知无穷数列 ,10,10,10,1051525150-n ，求证：（1）这个数列成等比数列（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的101， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中证：（1）5152511101010==---n n n n a a （常数）∴该数列成等比数列（2）101101010154515===-+-+n n n n a a ，即：101+=n n a a （3）525151101010-+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴≥+q p ∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈--+51n 521010q p ，（第1-+q p 项） 例5 设d c b a ,,,均为非零实数，()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ， 求证：c b a ,,成等比数列且公比为d证一：关于d 的二次方程()()0222222=+++-+c b d c a b d b a 有实根， ∴()()()044222222≥++-+=∆c b b a c a b ，∴()022≥--ac b则必有：02=-ac b ，即ac b =2，∴c b a ,,成等比数列 设公比为q ，则aq b =，2aq c =代入()()024********=+++-+q a q a d aq a aq d q a a ∵()0122≠+a q ，即0222=+-q qd d ，即0≠=q d证二：∵()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ∴()()022222222=+-++-c bcd d b b abd d a ∴()()022=-+-c bd b ad ，∴b ad =，且c bd =∵d c b a ,,,非零，∴d bca b ==例6．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数． （1） 求1a 及n a ；（2）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（1）当1,111+===k S a n ，12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （2）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或例7在等差数列｛a n ｝中，若a 10＝0，则有等式a 1+a 2+…＋a n =a 1+a 2+…＋a 19－n （n ＜19，n ∈N )成立.类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9＝1，则有等式 成立答案：b1b2…b n＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）；解：在等差数列｛a n｝中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a n＋a20－n ＋a19－n＝2a10＝0，＝a n＋1所以a1＋a2＋…＋a n＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋a n＝－a19－a18－…－a n，＋1又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－a n＋1∴a1＋a2＋…＋a n＝－a19－a18－…－a n＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n，若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋a17－n，相应地等比数列｛b n｝中，则可得：b1b2…b n＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）。
等比数列的性质和计算
等比数列的性质和计算等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以一个常数的结果。
这个常数被称为公比，通常用字母q表示。
等比数列的性质和计算方法在数学中有着重要的应用。
一、等比数列的性质1. 公比与首项的关系：在等比数列中，公比q不等于0时，若首项为a，则第n项为an-1乘以公比q的n-1次方。
即，第n项为a * q^(n-1)。
2. 公比的绝对值小于1时：当公比q的绝对值小于1时（|q| < 1），等比数列的通项公式可以简化为：第n项为a * q^(n-1)，且随着项数的增加，数列逐渐趋近于0。
3. 公比的绝对值等于1时：当公比q的绝对值等于1时（|q| = 1），等比数列的通项公式可以简化为：若q = 1，则数列每一项都相等。
若q = -1，则数列的奇数项为相同的正数，偶数项为相同的负数。
4. 公比的绝对值大于1时：当公比q的绝对值大于1时（|q| > 1），等比数列的通项公式为：第n项为a * q^(n-1)，且随着项数的增加，数列的绝对值逐渐增大或减小。
二、等比数列的计算方法1. 求和公式：若公比q不等于1，则等比数列的前n项和为：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)，其中a为首项，q为公比。
2. 求数列中某一项：若已知等比数列的首项a和公比q，可以通过通项公式直接计算第n项。
3. 求等比数列的项数：若已知等比数列的首项a和公比q，以及数列中的某一项An，可以通过求对数的方法计算项数n。
4. 求等比数列的前n项和：若已知等比数列的首项a和公比q，以及数列的项数n，可以通过求和公式计算前n项和Sn。
例题一：已知等比数列的首项是3，公比是2，求该等比数列的第5项和前5项的和。
解：第5项：a * q^(n-1) = 3 * 2^(5-1) = 3 * 2^4 = 48。
前5项的和：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1) = 3 * (2^5 - 1) / (2 - 1) = 3 * (32 - 1) = 3 * 31 = 93。
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√
典型例题
例1若等比数列{an}满足a2a4 1
1 2
，则a1a5
1 2
;
a32 2 .
例2 已知数列{an}是等比数列，a3＋a7＝20， a1a9＝64，求a11的值．
性质应用
1.在等比数列a n中，已知a1 5, a9a10 100,
则a18 20
2.在等比数列bn中，b4 3,则该数列前七项
若m＋n＝ s＋t ， 则am·an ＝as·at.
若m＋n＝2k，
2
则am＋an＝2ak.
若m＋n＝2k， 则am·an＝ak2.
相同点
等式左右两边都有两项
不同点 等式左右两边都是两项的和 等式左右两边都是两项的积
{an} 中任意两项am ，an， {an} 中任意两项am ，an，
3 都有an＝ am ＋(n-m)d.
都有an＝ am ·q n-m
作业
作业:课时跟踪检测(十一)
等比数列的性质
学习目标 1. 复习等比数列的定义、公比、等比中项等概念，复习
等比数列的判定方法. 2. 类比等差数列的性质猜想并证明等比数列的性质. 3. 体会类比、分类讨论的数学思想以及归纳、猜想、证
明的过程.
复习回顾
1.等比数列的定义： 如果一个数列从 第2项 起，每一项与它的前 一项的 比 等于同一常数 ，那么这个数列叫 做等比数列.这个常数叫做等比数列的 公比 ， 公比通常用字母 q 表示( q≠0)
∴ am·an＝ ak·ak＝ak2
等比数列{an}的这两条 性质可以概括为：
下标之和相等，则通 项之积相等.
(3)对等差数列{an} 中 任意两项am , an，都有
an＝ am ＋(n-m)d.
证明：由等差数列{an} 的通项 公式得
an＝ a1 ＋(n-1)d
①
am ＝ a1 ＋(m-1)d
②
①- ②得
an - am ＝(n-m)d ∴ an＝ am ＋(n-m)d
猜想
(3)对等比数列{an} 任 意两项am , an，
都有an＝ am ·q n-m .
证明：由等比数列{an} 的通项 公式得
an ＝ a1·q n-1 ① am ＝ a1·q m-1 ② ① ÷ ②得 an ÷ am ＝ q n-m ∴ an＝ am ·q n-m
猜想
(1)在等比数列{an}中
若m＋n＝s＋t , 则 am·an ＝as·at .
证明：设等比数列{an} 的首项为
a1 ,公比为q,则
am·an ＝ a1·q m-1 ·a1·q n-1 ＝ a1·a1·q m+n-2 ＝ a1·a1·q s+t-2 ＝ a1·q s-1 ·a1·q t-1 ＝as·at
等差、等比数列的性质
性质
等差数列
若m＋n＝s＋t，
1
则am＋an＝as＋at.
若m＋n＝2k，
2
则am＋an＝2ak.
等比数列
若m＋n＝ s＋t ， 则am·an ＝as·at.
若m＋n＝2k， 则am·an＝ak2.
相同点
等式左右两边都有两项
不同点 等式左右两边都是两项的和 等式左右两边都是两项的积
则am＋an＝as＋at.
证明：设等差数列{an} 的首项为 a1 ,公差为d,则
am＋an＝ a1+ (m-1)d+a1 +(n-1)d ＝ 2a1+ (m+n-2)d ＝ 2a1+ (s＋t -2)d ＝ a1+ (s-1)d+a1 +(t-1)d ＝as＋at
思路：先把am、an用基本 量表示再求和
成等比数列 ，那么G叫做a与b的 等比中项 .
注意：1．G是a与b的等比中项，则a与b的符号 相同 ， 符号相反的两个实数不存在等比中项．
G＝ ab ，即等比中项有 两个 ，且互为 相反数 ．
2．当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项． 例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列.
4.等比数列的通项公式
注意：等比数列的任意一项和公比都不能为零！
2.在等比数列{an}中，对于公比q (1)若q 0,则{an}为正负相间摆动数列 ； (2)若q=1,则{an}为非零的常数列 ； (3)若{an}为单调数列，则 q>0且q≠1 ； (4)所有的奇数项符号 相同 ；
所有的偶数项符号 相同 .
3.如果在a与b中间插入一个数G，使a， G，b
之积为 37
3.在等比数列an中，a7 2, a9 8,则a8 _±__4
4.在等比数列an中，a6 2, a10 8,则a8 _4__
5.在等比数列an中，a3 4, a9 9,则a6 _±__6
小结
性质
1
等差、等比数列{an}通项公式的性质
等差数列
等比数列
若m＋n＝s＋t， 则am＋an＝as＋at.
(2)在等差数列{an}中 若m＋n＝2k，
则am＋an＝2ak.
证明： ∵ m＋n＝2k ＝k ＋ k
∴ am＋an＝ ak＋ ak＝2ak
等差数列{an}的这两条 性质可以概括为：
下标之和相等，则通项 之和相等.
猜想
(2)在等比数列{an}中 若m＋n＝2k， 则 am·an＝ak2 .
证明： ∵ m＋n＝2k ＝k ＋ k
(2)等比中项法： an2 an1 an1 (an≠0，n∈N*)⇔{an}
为等比数列．
(3) 通 项 公 式 法 ： an ＝ a1qn － 1( 其 中 a1 ， q 为 非 零 常 数 ， n∈N*)⇔{an}为等比数列．
新课讲授
1.等比数列的性质
(1)在等差数列{an}中 若m＋n＝s＋t ,
an＝a1·qn-1
注意：从方程的观点看等比数列的通项公式，an＝a1·qn-1 中包含了四个量an、a1 、 q 、n，已知其中的任意 三 个 量，可以求得另一 个量．
5.等比数列的判定
an1
an
(1)定义法： an ＝q(q为常数且q≠0)或 an1
＝q(q
为常数且q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列．3源自{an} 中任意两项am,
{an} 中任意两am,an，
an都有an＝ am ＋(n-m)d. 都有an＝ am ·q n-m
辨析
在等比数列{an}中，判断下列等式是否成立
(1)a3 a7 a1 a9 ×
(2)a3 a5 a8
×
(3)a5 a8 a6 a7
√
(4)a3 a7 a52