等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)

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(完整版)等比数列知识点总结

a1 n -mn 等比数列知识梳理：1、等比数列的定义：a n= q ( q ≠ 0) (n ≥ 2,且n ∈ N * ) n -1， q 称为公比2、通项公式：a = a q n -1 = a1 q n = A ⋅ B n (a ⋅ q ≠ 0, A ⋅ B ≠ 0) n 1 q1，首项： a ；公比： q推广：a = a nmq n -m ⇔ q n -m =a⇔ q = a naamm3、等比中项：（1）如果 a , A , b 成等比数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项，即： A 2 = ab 或 A = ±ab11 n n 1 n 1 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列 {a }是等比数列 ⇔ a2= a - ⋅ a +4、等比数列的前 n 项和 S n 公式：（1）当q =1时， S n = na 1（2）当q ≠1时，a (1 - q n )S ==n1- qa - a q1n1- q= a - a1 q n = A - A ⋅ B n = A ' B n - A ' 1- q 1- q（ A , B , A ', B ' 为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的 n ，都有n +1 = qa 或 n n +1 = q (q 为常数，a a n n≠ 0) ⇔ {a } n为等比数列a a nn a na（2）等比中项：a 2= a n +1 a n -1 (a n +1n -1 ≠ 0) ⇔ { } n为等比数列（3）通项公式：= A ⋅ B n ( A ⋅ B ≠ 0) ⇔{a }为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若a n= q ( q ≠ 0) (n ≥ 2,且n ∈ N * ) n -1或a n +1 = qa n ⇔ {a n } 为等比数列7、等比数列的性质：（1）当q ≠1时①等比数列通项公式a a nn n mt 3 a = a q n -1 = a1 q n = A ⋅ B n ( A ⋅ B ≠ 0) n 1q是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比 q ；②前n 项和a (1- q n ) a - a q n a a S = 1 = 1 1 1 - 1 q n = A - A ⋅ B n = A ' B n - A ' n1- q 1- q 1- q 1- q，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q 。

高中数学选择性必修二 4 3 1 1等比数列的概念和通项公式(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)

4.3.1.1等比数列的概念和通项公式知识点一等比数列的概念(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q ≠0)表示． (2)符号语言：a n ＋1a n ＝q (q 为常数，n ∈N *)【重点总结】(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列．(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．(3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略．要点二等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．【重点总结】(1)若G 是a 与b 的等比中项，则G a ＝bG，所以G 2＝ab ，G ＝±ab.(2)与“任意两个实数a ，b 都有唯一的等差中项A ＝a ＋b2”不同，只有当a 、b 同号时a 、b 才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是ab 与－ab ；当a ，b 异号时没有等比中项．(3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．要点三等比数列的通项公式设等比数列{a n }的公比为q ，则这个等比数列的通项公式是a n ＝11n a q (a 1，q ≠0且n ∈N *)．【重点总结】(1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列． (2)在公式a n ＝a 1q n －1中，有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a 1，q 为两个基本量．(3)对于等比数列{a n }，若q<0，则{a n }中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q>0，则数列{a n }各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列为{a n }，且满足a na n －1＝q (n ≥2，q 为不等于0的常数)，则这个数列是等比数列．( )(2)在等比数列{a n }中，若已知任意两项的值，则可以求出首项、公比和数列任一项的值．( ) (3)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(4)若一个数列从第二项开始，每一项都是它前后两项的等比中项，则这个数列是等比数列．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）×（4）× 2．(多选题)下列数列不是等比数列的是( )A ．2,22,3×22，… B.1a ，1a 2，1a3，…C ．s －1，(s －1)2，(s －1)3，…D ．0,0,0，… 【答案】ACD【解析】A 中，222≠3×2222，A 不是等比数列；B 中，1a 21a ＝1a 31a 2＝…，B 是等比数列；C 中，当s ＝1时，不是等比数列；当s ≠1时，是等比数列，所以C 不是等比数列；D 显然不是等比数列．故选ACD. 3．已知{a n }是等比数列，a 1＝1，a 4＝22，则a 3＝( ) A ．±2 B ．2 C ．－2 D ．4 【答案】B【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则有1×q 3＝22＝(2)3，∴q ＝2，∴a 3＝a 4q＝2，故选B.4．已知等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________. 【答案】－2n 或(－2)n【解析】∵a 1＝－2，a 3＝－8，∴a 3a 1＝q 2＝－8－2＝4，∴q ＝±2，∴a n ＝(－2)·2n －1或a n ＝(－2)·(－2)n －1，即a n＝－2n 或a n ＝(－2)n .题型一等比数列通项公式的求法及应用探究1 基本量的计算【例1】在等比数列{a n }中 (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .【解析】(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2，于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22-53n .(2)方法一：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ② 由②①得q ＝12，从而a 1＝32.又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6. 方法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，得a 1＝32.由a n ＝a 1q n －1＝1，得n ＝6. 【重点小结】 (1)由a 7a 4＝q 3便可求出q ，再求出a 1，则a n ＝a 1·q n －1.(2)两个条件列出关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再由a n ＝1求n ；也可以直接先由q ＝a 3＋a 6a 2＋a 5入手．【方法归纳】等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．探究2 等比数列的实际应用【例2】计算机的价格不断降低，若每台计算机的价格每年降低13，现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为( )A ．300元B ．900元C ．2 400元D ．3 600元【答案】C【解析】降低后的价格构成以23为公比的等比数列，则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100×⎝⎛⎭⎫233＝2 400(元)．【方法技巧】关于等比数列模型的实际应用题，先构造等比数列模型，确定a 1和q ，然后用等比数列的知识求解．【跟踪训练1】(1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q 等于( ) A ．－2 B ．1或－2 C ．1 D ．1或2 【答案】B【解析】a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2q 2＝2q ＋2q 2＝4，即q 2＋q －2＝0，解得q ＝1或q ＝－2，故选B.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，已知a 1＝6，a 1＋a 2＋a 3＝78，则a 2等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．36 【答案】B【解析】设公比为q ，由已知得6＋6q ＋6q 2＝78，即q 2＋q －12＝0解得q ＝3或q ＝－4(舍去)． ∴a 2＝6q ＝6×3＝18.故选B.(3)某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的________倍．【答案】1.259【解析】设这个林场今年的树木总量是m ，第n 年末的树木总量为a n ，则a n ＋1＝a n ＋a n ×25%＝1.25a n . 则a n ＋1a n＝1.25，则数列{a n }是公比q ＝1.25的等比数列．则a 10＝a 1q 9＝1.259 m.所以a 10a 1＝1.259.题型二等比中项【例3】已知等比数列的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项．【解析】设该等比数列的公比为q ，首项为a 1，因为a 2－a 5＝42，所以q ≠1，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168a 1q －a 1q 4＝42，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q ＋q 2)＝168a 1q (1－q 3)＝42①②因为1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2)，所以由②除以①，得q (1－q )＝14.所以q ＝12.所以a 1＝4212－⎝⎛⎭⎫124＝96.若G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962×⎝⎛⎭⎫1210＝9. 所以a 5，a 7的等比中项是±3. 【方法归纳】(1)首项a 1和q 是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法． (2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项．【跟踪训练2】如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9【答案】B【解析】∵－1，a ，b ，c ，－9成等比数列， ∴a 2＝(－1)×b ，b 2＝(－1)×(－9)＝9 ∴b <0，∴b ＝－3.又b 2＝ac ，∴ac ＝9.故选B.题型三等比数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．【解析】(1)当n ＝1时，S 1＝13(a 1－1)＝a 1，解得：a 1＝－12，当n ＝2时，S 2＝13(a 2－1)＝a 1＋a 2，解得a 2＝14.(2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12.又a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．【变式探究1】将本例中条件换为“数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1”，求证：{a n ＋1}成等比数列，并求a n .【解析】由a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2×2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n －1.【变式探究2】将本例中的条件换为“数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1”，求a n . 【解析】令a n ＋1－A ·⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤a n －A ·⎝⎛⎭⎫12n ，则a n ＋1＝13a n ＋A 3·⎝⎛⎭⎫12n ＋1. 由已知条件知A3＝1，得A ＝3，所以a n ＋1－3×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤a n －3×⎝⎛⎭⎫12n . 又a 1－3×⎝⎛⎭⎫121＝－23≠0，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －3×⎝⎛⎭⎫12n 是首项为－23，公比为13的等比数列．于是a n －3×⎝⎛⎭⎫12n ＝－23×⎝⎛⎭⎫13n －1，故a n ＝3×⎝⎛⎭⎫12n －2×⎝⎛⎭⎫13n . 【方法归纳】判定数列是等比数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是常数)或a na n －1＝q (q 是常数，n ≥2)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．【易错辨析】忽略等比数列各项的符号规律致错【例5】在等比数列{a n }中，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．－27 【答案】B【解析】由等比中项的性质得a 27＝a 5a 9＝81，∴a 7＝±9，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以a 7＝9，故选B. 【易错警示】 1. 出错原因没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得a 7＝±9，错选A. 2. 纠错心得在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．解此类题时要小心谨慎，以防上当.一、单选题1．已知等比数列{}n a 中，3a 是1a ，2a 的等差中项，则数列{}n a 的公比为（） A ．12-或1B ．12-C ．12D ．1【答案】A【分析】首先根据题意得到3122a a a =+，从而得到2210q q --=，再解方程即可. 【解析】由题知：3122a a a =+，所以221q q =+，即2210q q --=，解得12q =-或1q =.故选：A2．已知等比数列{}n a 满足2512,4a a ==，则公比q =（） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】B 【分析】由352a a q =即可求出．【解析】 352a a q =，即3124q =，解得12q =．故选：B ．3．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（） A ．29 B ．31 C ．33 D ．35【答案】B 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知可得q 和1a ，代入等比数列的求和公式即可【解析】因为 2312a a a =23114a q a a ==，42a ∴=，3474452224a a a a q +=⨯=+，所以11,162q a ==，551161231112S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，故选：B.4．《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（）个． A ．12 B ．24 C ．36 D ．48【答案】D 【分析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，根据题意，由()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩求解. 【解析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，由题意得：123123453493a a a a a a a a ⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，即()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得132a q =⎧⎨=⎩，所以45148a a q ==，故选：D5．在等比数列{}n a 中，若1614a a a ⋅⋅为定值，n T 为数列{}n a 的前n 项积，则下列各数为定值的是（） A ．11T B ．12TC ．13TD ．14T【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式用1,a q 表示出1614a a a ，然后再分别表示出各选项中的积进行判断．【解析】设公比为q ，则()35133186161411111a a a a a q a q a q a q =⋅==为定值，即61a q 为定值，(1)112(1)211111n n n n n n n T a a q a qa qa q--+++-=⋅==，11555111111()T a q a q ==，不是定值，1211126621211T a q a q ⎛⎫== ⎪⎝⎭，不是定值，13786131311()T a q a q ==，是定值，1413131414221411()T a q a q ⨯==，不是定值．故选：C ．6．在各项都为正数的数列{}n a 中，首项12,n a S =为数列{}n a 的前n 项和，且()2121(42)0n n n S S a n ----=≥，则10S =（） A ．1022 B ．1024C ．2046D ．2048【答案】C 【分析】当2n ≥时，1n n n a S S -=-，故可以得到()()11220n n n n a a a a --+-=，因为120n n a a -+>，进而得到120n n a a --=，所以{}n a 是等比数列，进而求出102046S = 【解析】由()2121(42)0n n n S S a n ----=≥，得22140nn a a --=，得()()11220n n n n a a a a --+-=，又数列{}n a 各项均为正数，且12a =， ∴120n n a a -+>，∴120n n a a --=，即12nn a a -= ∴数列{}n a 是首项12a =，公比2q 的等比数列，其前n 项和()12122212n n nS +-==--，得102046S =，故选：C.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S a =-，则202120221S a +=（）A ．2B ．1C ．12D ．13【答案】B 【分析】由21n n S a =-，根据n a 与n S 的关系，得出{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【解析】由数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，当1n =时，可得11121a S a ==-，所以11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=，所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以202120212021122112S -==--，202120222a =，所以2021202211S a +=. 故选：B.8．在等比数列{}n a 中，()23122a a a a +=+，则数列{}n a 的公比q =（） A ．2 B ．1 C ．1-或1 D ．1-或2【答案】D 【分析】用1,a q 表示出已知等式后可得结论．【解析】由题意知()()211210a q q a q +-+=，所以()()120q q +-=，所以1q =-或2q.故选：D .二、多选题9．(多选题)已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法一定成立的是（） A ．若30a >，则20210a > B ．若40a >，则20200a > C ．若30a >，则20210S > D ．若30a >，则20210S <【答案】ABC【分析】根据等比数列通项式，前n 项和n S 代入即可得出答案. 【解析】设数列{}n a 的公比为q ，当30a >，则2018202130a a q=>，A 正确；当40a >，则2016202040a a q=>，B 正确. 又当1q ≠时，()20211202111a q qS -=-，当1q <时，2021202110,10,0q qS ->->∴>，当01q <<时，2021202110,10,0q q S ->->∴>，当1q >时，2021202110,10,0q qS -<-<∴>当1q =时，2021120210S a =>，故C 正确，D 不正确. 故选：ABC10．(多选题)若数列{a n }是等比数列，则下面四个数列中也是等比数列的有（） A ．{ca n }(c 为常数) B ．{a n ＋a n ＋1}C ．{a n ·a n ＋1)D ．{}3n a【答案】CD 【分析】A. 由c ＝0判断；B.q ＝－1时判断；CD.由等比数列的定义判断. 【解析】当c ＝0时，{ca n }不是等比数列，故A 错误；当数列{a n }的公比q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，{a n ＋a n ＋1}不是等比数列，故B 错误；由等比数列的定义，选项CD 中的数列是等比数列，故CD 正确. 故选：CD11．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n T 是{}n a 的前n 项之积，227a =，369127a a a ⋅⋅=，则当n T 最大时，n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】AB【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，求出q 的值，进而可求得数列{}n a 的通项公式，解不等式1n a ≥，求出n 的取值范围，即可得解.【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则33696127a a a a ⋅⋅==，可得613a =，13q ∴==，所以，225212733n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，令531n n a -=≥，解得5n ≤，故当n T 最大时，4n =或5.故选：AB.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．在等比数列{}n a 中，1521,8,n a a a S ==是数列{}n a 的前n 项和，若63k S =，则k =________．【答案】6【分析】由1521,8a a a ==，解得2q求解. 【解析】在等比数列{}n a 中，设公比为q ，因为1521,8a a a ==，所以48,0q q q =≠，解得2q，所以126312kk S -==-，解得6k =，故答案为：613．在正项等比数列{}n a 中，若13a 、312a 、22a 成等差数列，则2021202020232022a a a a -=-________．【答案】19【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，根据已知条件求出q 的值，再结合等比数列的基本性质可求得结果.【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为13a 、312a 、22a 成等差数列，则31232a a a =+，即211132a q a a q =+，可得2230q q --=，0q >，解得3q =，因此，()20212020202120202202320222021202019a a a a a a q a a --==--. 故答案为：19. 14．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若241,4n n a S b a a +==，数列{}n a 的通项公式为___________．【答案】21()2n n a -= 【分析】当1n =时，求得102b a =>，再由n n S a b =-+，得到11(2)n n S a b n --=-+≥，相减可得120n n a a --=，结合等比数列的通项公式，求得b ，进而求得数列的通项公式.【解析】由题意，正项数列{}n a 满足241,4n n a S b a a +==，当1n =时，可得1111a S a a b =++=，则102b a =>，由n n S a b =-+，则11(2,)n n S a b n n N +--=-+≥∈，两式相减可得120n n a a --=，所以1(22)1,n n n n N a a +-≥=∈，即数列{}n a 为公比为12的等比数列，所以2416,4b a a b ==，所以2441461a b a b =⨯=，解得4b =，所以122b a ==，所以数列{}n a 的通项公式为1121112()()22n n n n a a q ---==⨯=.故答案为：21()2n n a -=.四、解答题15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =，172n n S a ++=，2211log log n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2022n m T >对所有*n N ∈恒成立，求满足条件m 的最小整数值.【答案】（1）322n n a -= （2）674【分析】（1）利用递推公式，结合前n 项和与第n 项的关系、等比数列的定义进行求解即可；（2）根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行求解即可.（1）由题意172n n S a ++=，当2n ≥时，172n n S a -+=，两式相减得：17n n n a a a +=-，即：()182n n a a n +=≥，所以2n ≥时，{}n a 为等比数列又因为1n =时，217272216a S =+=⨯+=，所以218a a =，所以，对所有*n N ∈，{}n a 是以2为首项，8为公比的等比数列，所以132282n n n a --=⨯=；（2）由题知：32312212211log log log 2log 2n n n n n b a a -++==⋅⋅ ()()13231n n =-+11133231n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭所以12111111111134473231331n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭所以111202220221674167433131n T n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以满足2022n m T >恒成立的最小m 值为674.16．等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =. （1）求n a 与n b ；（2）求12111nS S S +++. 【答案】（1）33(1)3n a n n =+-=，13n n b -=（2）()231n n + 【分析】（1）由{}n b 的公比22S q b =及2212b S +=可解得3q =，由11b =则n b 可求，又由22S q b =可得29S =，26a =，213d a a =-=，则n a 可求；（2）由（1）可得3(1)2n n n S +=，则122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，故由裂项相消法可求12111nS S S +++. （1）等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =，222212S q b b S ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3q =，13n n b -=. {}n b 各项均为正数，∴3q =，13n n b -=.由23b =，得29S =，26a =，213d a a =-=，∴()3313n a n n =+-=. （2）3(1)3(1)322n n n n n S n -+=+=， 122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，12111211111132231n S S S n n ⎛⎫+++=-+-++- ⎪+⎝⎭ 2121313(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 17．已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝2a n －5，求证{a n －5}是等比数列．【答案】证明见解析【分析】由a n ＋1－5＝2(a n －5)结合等比数列的定义证明即可.【解析】证明：由a n ＋1＝2a n －5得a n ＋1－5＝2(a n －5)．又a 1－5＝－1≠0，故数列{a n －5}是首项为－1，公比为2的等比数列．。

等比数列的性质总结

等比数列的性质总结1. 定义等比数列是指一个数列中每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列。

常数称为等比数列的公比。

等比数列通常用$a$表示首项，$q$表示公比。

2. 性质2.1 前项与后项的比在等比数列中，任意一项与其后一项的比等于公比$q$。

即对于数列中的第$n$项和第$n+1$项，有以下关系：$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$$2.2 通项公式等比数列的通项公式可以通过求解递推关系推导得到。

假设等比数列的首项为$a$，公比为$q$，则第$n$项为：$$a_n = a \cdot q^{n-1}$$2.3 任意项与首项的比在等比数列中，任意项与首项的比等于公比的$n-1$次方。

即对于数列中的第$n$项和第1项，有以下关系：$$\frac{a_n}{a} = q^{n-1}$$2.4 前$n$项和公式等比数列前$n$项和可通过求解部分和公式得到。

假设等比数列的首项为$a$，公比为$q$，则前$n$项和为：$$S_n = \frac{a(1 - q^n)}{1 - q}$$2.5 无穷项和当公比$|q| < 1$时，等比数列的无穷项和存在并为有限数。

无穷项和的计算公式为：$$S_{\infty} = \frac{a}{1 - q}$$3. 应用及例题等比数列的性质在数学问题的解答中具有广泛应用。

需要求解等比数列中的未知项、前$n$项和及判断等。

例题1：在等比数列$1, 2, 4, 8, \ldots$中，第7项的值是多少？在等比数列$1, 2, 4, 8, \ldots$中，第7项的值是多少？解答：根据等比数列的通项公式$a_n = a \cdot q^{n-1}$，首项$a=1$，公比$q=2$，第7项可以通过代入公式计算得到：根据等比数列的通项公式$a_n = a \cdot q^{n-1}$，首项$a=1$，公比$q=2$，第7项可以通过代入公式计算得到：$$a_7 = 1 \cdot 2^{7-1} = 64$$因此，等比数列中第7项的值为64。

(经典)讲义：等比数列及其前n项和

（经典）讲义：等比数列及其前n项和1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n＝a1·q n－1.Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，同乘q得：qS n＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1q n，两式相减得(1－q)S n＝a1－a1q n，∴S n＝a1?1－q n?1－q(q≠1)．7.1由a n＋1＝qa n，q≠0并不能立即断言{a n}为等比数列，还要验证a1≠0.7.2在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．8.等比数列的判断方法有：(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{a n}是等比数列．(2)中项公式法：在数列{a n}中，a n≠0且a2n＋1＝a n·a n＋2(n∈N*)，则数列{a n}是等比数列．632++若已“知三求二”.1.,成公比为的公比为q,成等比数列理解例题1:在等比数列中，（1）已知13,2,a q ==求66,a S ；（2）已知1112.7,,,390n a q a =-=-=求n ；（3）已知141,64,a a =-=求q 和4S ；（4）已知3339,22a S ==求1,a q ；分析:在等比数列中有五个重要量1,,,,,n n a a q n S 只要已知任意三个，就可以求出其他两个.其中1a 和q 两个最重要的量,通常要先求出1a 和q . 解:(1)55613296a a q ==⋅=.66161S =(2)n a (3) (4) a S ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ （2 2∴ 当知识体验:已知等比数列的五个量1,,,,n n a a q n S 中的任意三个求其他两个时,要用等比数列的通项公式以其及前n 项和公式.理解例题分析: 解法一: 2m m S S ⎧=⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩解法二: ②可利用等比数列中连续等段和成等比的性质即性质(1)求解.三、例题（一）题型分类全析1．等比数列前n 项和公式的基本运算例1：在等比数列的{}n a 中:31648,216,40,n a a a a S -=-==求公比q ,1a 及n . 思路直现:由已知两个条件，可建立关于1,a q 的方程组，分别解出1,a q 的值，代入n S 即可求出n .本题有关等比数列前n 项和的基本运算的考查.解:由已知可得总结：在求数列的基本量问题时,把条件转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.例2 已知数列{}n a 是等比数列,其前n 项和n S ,若3692S S S +=,求该数列的公比q .思路直现:由已知两个条件，可建立关于1,a q 的方程组，分别解出1,a q 的值，代入n S 即可求出n . 解: 若1q =,则1n S na =,36111369S S a a a ∴+=+=,91218S a =,此时3692S S S +≠∴96320q q q --=,即63210q q --=,即33 故2笔记不明确,转化为关于1,a q 的方程组求解. 本题考查了等比数列前n 项和公式的运用和分类讨论的思想.因不知q 的2例3思路直现:解: {n a2,S S ∴故4S 4,S ∴笔记：次k 项和,成等比数列来解决3,n n S S ,例4 首项为1的等比数列的和为思路: 解： q ∴=故8n =阅题笔记：利用等比数列奇、偶项数和的性质简单明了，运算量较低.增根. 本题考查了等比数列的性质. 注意S qS =偶奇这个性质是在项数为偶数这一前提下成立的. 建议：巧用特例，熟记等差等比数列奇偶项的一些性质.3．某些特殊数列的求和例5: (1)已知数列{}n a 的通项公式2n n a n =+，求该数列的前n 项和n S ； (2)已知数列{}n a 的通项公式23n n n a =+，求该数列的前n 项和n S . 解:(1)123n n S a a a a =++++ (2)笔记:例6思路:解：n S 笔记:的前n 考查数列的分组求和问题.例7:（2007天津）在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n N *∈皆成立．思路直现: (1)由递推关系式构造出数列n a n -,并证明其是等比数列. (2)利用分组求和法求出{}n a 的前n 项和. (3)考虑用作差法证明. (Ⅰ)证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n N *∈．本小题考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式、不等式的证明利用递推关所以数列{}n a n -是首项为111a -=，且公比为4的等比数列． (Ⅱ)解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=， 14n n a n -∴=+．(Ⅲ)证明：对任意的n N *∈，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭21(34)02n n =-+-≤．所以不等式14n n S S +≤，对任意n N *∈皆成立．笔记: 本题实际上第一步的证明起到一个提示的作用,即应从递推关系出发构造出n a n -的形式,并证明其为等比数列.例8: （3414n n n n a a b a --⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（I ）令n c （II 思路:(1) （II 阅题: 解答本题的方法,应整体考虑.系式证明数列成等比. 利用分组求和法求和利用作差比较法证明不等式. 建议：学会解题的技巧，有时候题目的四、习题一、选择题1.（2008福建) 设{}n a 是公比为正数的等比数列，若151,16a a ==,则数列{}n a 前7项的和为A.63B.64C.127D.128 2.（2008浙江）已知{}n a 是等比数列，25124a a ==，，则12231n n a a a a a a ++++=A.16(14)n --B.16(12)n --C.32(14)3n --D.32(12)3n --3.（2008海南）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a = A. 2B. 4C.152 D. 1724．(2007陕西) 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32,14n n S S == 则4n S 等于A.80B.30C. 26D.16 5．（2006辽宁）在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于 A.122n +- B. 3n C. 2n D.31n -6.数列11111,2,3,4,24816的前n 项和为（）211n 111n -211n 11n 7.2n ++=B.112n --8.9 15n 712-2. C. 分析：{}n a 为等比数列，352a a q ∴=，311242q q ∴=⋅⇒=设1n n n b a a +=，{}n b ∴是首项为8，公比为14的等比数列.122311218[1()]324(14)1314n n n n na a a a a ab b b -+-+++=+++==--，3. C 分析: 414421(1)1215122a q S qa a q ---===-4. B 分析: {}n a 为等比数列，23243,,,n n n n n n n S S S S S S S ∴---成等比2322()()n n n nnS S S S S -=-即22222(14)(2)6n n n S S S -=-⇒=或24n S =-{}n a 各项均为正数，故2n n S S >，故26n S =，432,4,8,n n S S ∴-成等比，所以4316n n S S -=，430n S ∴=5. D 分析: 解：依题意，()f n 为首项为2，公比为328=的前4n +项和，根据等比数列的求和公式可得D6.C 分析：因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则2212112221(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a +++++++++=++⇒+=++⇒+=2(12)01n a q q q ⇒+-=⇒=，即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。

等比数列知识点归纳总结图文

等比数列知识点归纳总结图文在数学中，等比数列是一种特殊的数列。

它是指从第二项开始，每一项与它的前一项的比相等的数列。

本文将对等比数列的相关知识点进行归纳总结，并以图文形式展示，帮助读者更好地理解和掌握等比数列的概念和性质。

1. 等比数列的定义等比数列是指从第二项开始，每一项与它的前一项的比相等的数列。

设等比数列的首项为a，公比为r，数列的通项公式为an=a×r^(n-1)。

其中，n表示数列中的第n项。

2. 等比数列的性质（1）通项公式：等比数列的通项公式是an=a×r^(n-1)，其中a表示首项，r表示公比，n表示项数。

（2）前n项和公式：等比数列的前n项和公式是Sn=a×(1-r^n)/(1-r)，其中a表示首项，r表示公比，n表示项数。

（3）比值性质：等比数列中，任意两项的比值都为常数，即an/an-1=r。

（4）倒数性质：等比数列中，任意两项互为倒数，即an与1/an-1互为倒数。

3. 等比数列的图文示例下面通过图文形式对等比数列进行示例，以加深对等比数列的理解和记忆。

（插入示例图片）图1是一个等比数列的示例图，首项a=2，公比r=3/2。

根据等比数列的通项公式an=a×r^(n-1)，我们可以计算出数列的前几个项如下：a1=2a2=2×(3/2)^1=3a3=2×(3/2)^2=4.5a4=2×(3/2)^3=6.75...由此可见，该数列每一项与前一项的比相等，且比值为3/2。

（插入示例图片）图2展示了等比数列的前n项和的计算过程，首项a=10，公比r=0.5。

根据等比数列的前n项和公式Sn=a×(1-r^n)/(1-r)，我们可以计算出数列的前几项和如下：S1=10S2=10×(1-(0.5)^2)/(1-0.5)=15S3=10×(1-(0.5)^3)/(1-0.5)=19.5S4=10×(1-(0.5)^4)/(1-0.5)=21.75...可以看出，数列的前n项和随着项数的增加而增加。

(完整版)等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)

等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：，称为公比()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且q 2、通项公式：，首项：；公比：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠1a q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或,,a A b A a b 2A ab =A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列是等比数列{}n a 211n n n a a a -+⇔=⋅4、等比数列的前项和公式：n n S （1）当时，1q =1n S na =（2）当时，1q ≠()11111n n n a q a a qS q q--==--（为常数）11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---,,','A B A B 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的，都有为等比数列n 11(0){}n n n n n na a qa q qa a a ++==≠⇔或为常数，（2）等比中项：为等比数列21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔（3）通项公式：为等比数列()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔6、等比数列的证明方法：依据定义：若或为等比数列()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且1{}n n n a qa a +=⇔7、等比数列的性质：（2）对任何，在等比数列中，有。

*,m n N ∈{}n a n m n m a a q -=（3）若，则。

特别的，当时，得*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈n m s t a a a a ⋅=⋅2m n k +=注：2n m k a a a ⋅=12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅等差和等比数列比较：经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列中，, ,求.{}n a 1964a a ⋅=3720a a +=11a 思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于和的二元方程组，解出1a q 和，可得；或注意到下标，可以利用性质可求出、，再求.1a q 11a 1937+=+3a 7a 11a 解析：法一：设此数列公比为，则q 8191126371164(1)20(2)a a a a q a a a q a q ⎧⋅=⋅=⎪⎨+=+=⎪⎩由(2)得：..........(3) 241(1)20a q q +=∴.10a >由(1)得： , ∴ (4)421()64a q =418a q =(3)÷(4)得：，42120582q q +==∴,解得或422520q q -+=22q =212q =当时，，；22q =12a =1011164a a q =⋅=当时，，.21q =132a =101111a a q =⋅=定义da a n n =-+1)0(1≠=+q q a a nn 递推公式da a n n +=-1；mda a n m n +=-q a a n n 1-=；mn m n q a a -=通项公式dn a a n )1(1-+=11-=n n q a a （0,1≠q a ）中项2kn k n a a A +-+=（0,,* k n N k n ∈）)0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=（0,,* k n N k n ∈）前n 项和)(21n n a a nS +=d n n na S n 2)1(1-+=()⎪⎩⎪⎨⎧≥--=--==)2(111)1(111q q qa a qq a q na S n n n 重要性质),,,,(*q p n m N q p n m a a a a q p n m +=+∈+=+),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈⋅=⋅法二：∵,又,193764a a a a ⋅=⋅=3720a a += ∴、为方程的两实数根，3a 7a 220640x x -+= ∴ 或⎩⎨⎧==41673a a ⎩⎨⎧==16473a a ∵, ∴或.23117a a a ⋅=271131a a a ==1164a =总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】{a n }为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。

高中数学总结归纳等比数列的性质及应用

等比数列的性质及应用与等差数列一样，等比数列也有根据其概念或通项得出的一些重要性质，运用其性质可以使解题更为简便．一、若项数为3n 的等比数列(1)q ≠-前n 项和与前n 项积分别为nS '与n T '，次n 项和与次n 项积分别为2n S '与2n T '，最后n 项和与最后n 项积分别为3n S '与3n T '，则n S '，2n S '，3n S '成等比数列，n T '，2n T '，3n T '亦成等比数列．例1 已知一个等比数列的前n 项和为12，前2n 项和为48，求其前3n 项和．解：由题设，可知12n S '=，2481236n S '=-=， 22233610812n n n S S S ''∴==='．故该数列前3n 项的和为10848156+=．例2 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10301070S S ==，，求40S ．解：Q {}n a 成等比数列，10201030204030S S S S S S S ∴---，，，也成等比数列，即22010103020()()S S S S S -=-，解得2030S =或2020S =-（不合题意，舍去）．2302040302010()150S S S S S S +∴=+=-．二、一般地，如果t k p m n r ，，，…，，，，…皆为自然数，且t k p m n r +++=+++……（两边的自然数个数相等），那么当{}n a 为等比数列时，有t kp m n r a a a a a a =···…···…．例3 在等比数列{}n a 中，若99123992a a a a =···…·，求50a ．解：19929849515050a a a a a a a a ====Q ··…··， 999912399502a a a a a ∴==···…·，502a ∴=．三、公比为q 的等比数列，从中取出等距离的项组成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为mq （m 为等距离的项数之差）．例4 在等比数列{}n a 中，若12341a a a a =···，131415168a a a a =···，求41424344a a a a ···．解：由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为q ．设112341T a a a a ==···，4131415168T a a a a ==···， 34182T T q q ∴==⇒=．10101141424344121024T a a a a T q ∴====····．。

等比数列知识点归纳总结

等比数列知识点归纳总结等比数列是指一个数列中每一项与它的前一项的比值都相等的数列。

在等比数列中，我们可以通过一些重要的知识点来解决与数列相关的问题。

本文将对等比数列的概念、性质以及求和公式进行归纳总结。

一、等比数列的概念与性质1. 等比数列的概念：等比数列是指一个数列中，从第2项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数的结果。

2. 公比的概念：在等比数列中，这个常数被称为公比，通常用字母q表示。

3. 公比的计算：公比q可以通过相邻两项的比值来计算，即等于后一项除以前一项。

公比q = 第(n+1) 项 / 第n 项4. 等比数列的性质：（1）任意项与它前一项的比值都等于公比q；（2）等比数列中，任意两项的比值都相等。

二、等比数列的求和公式在解决与等比数列相关的问题时，求和是一个重要的方面。

通过求和公式，我们能够快速计算等比数列的前n项的总和。

以下是等比数列的求和公式：Sn = a1*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示前n项的和，a1表示第一项，q表示公比。

三、等比数列的常见问题解答1. 已知等比数列的首项a1和公比q，求出该数列的通项公式：通项公式可以通过逐项相除来得到。

假设通项公式为an，那么有：a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ... = q根据这个比值相等的关系，可以得到通项公式：an = a1*(q^(n-1))2. 已知等比数列的部分项求和：有时候我们需要计算等比数列中从第m项到第n项的和，可以利用通项公式将问题转化为前n项和减去前m-1项和的差值。

S(m,n) = Sn - S(m-1)其中，S(m,n)表示从第m项到第n项的和。

3. 已知等比数列的前n项和Sn，求出该数列的通项公式：在这种情况下，可以通过求和公式逆推得到通项公式。

首先将求和公式改写为关于q的方程，然后解方程求得q的值，最后代入通项公式中即可得到结果。

以上是关于等比数列的概念、性质、求和公式以及常见问题的解答。

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等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个。

（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列（3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（1）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。

（2）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。

特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ⋅= 注：12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅等差和等比数列比较：经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列{}n a 中，1964a a ⋅=, 3720a a +=,求11a .思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组，解出1a 和q ，可得11a ；或注意到下标1937+=+，可以利用性质可求出3a 、7a ，再求11a .总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】{a n }为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。

【变式2】{a n }为等比数列，a n ＞0，且a 1a 89=16，求a 44a 45a 46的值。

【变式3】已知等比数列{}n a ，若1237a a a ++=，1238a a a =，求n a 。

类型二：等比数列的前n 项和公式例2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q. 解析：若q=1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1.因a 1≠0，得S 3+S 6≠2S 9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.由3692S S S +=得，369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---，整理得q 3(2q 6-q 3-1)=0，由q≠0，得2q 6-q 3-1=0，从而(2q 3+1)(q 3-1)=0，因q 3≠1，故312q =-，所以q =。

举一反三：【变式1】求等比数列111,,,39的前6项和。

【答案】364243；∵11a =，13q =，6n =∴666111331364112324313S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-。

【变式2】已知：{a n }为等比数列，a 1a 2a 3=27，S 3=13，求S 5. 【答案】1211219或； ∵322273a a =⇒=，31(1)113313a q q q q -=⇒==-或，则a 1=1或a 1=9 ∴5555191131213121S 113913S ⎛⎫⨯ ⎪-⎝⎭==-－或＝＝－.【变式3】在等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -⋅=，126n S =，求n 和q 。

【答案】12q =或2，6n =； ∵211n n a a a a -⋅=⋅，∴1128n a a =解方程组1112866n n a a a a =⎧⎨+=⎩，得1642n a a =⎧⎨=⎩ 或1264n a a =⎧⎨=⎩①将1642n a a =⎧⎨=⎩代入11n n a a q S q -=-，得12q =，由11n n a a q -=，解得6n =；②将1264n a a =⎧⎨=⎩代入11n n a a qS q -=-，得2q =，由11n n a a q -=，解得6n =。

∴12q =或2，6n =。

类型三：等比数列的性质例3. 等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=,求3132310log log ...log a a a +++. 解析：∵{}n a 是等比数列，∴110293847569a a a a a a a a a a ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅= ∴1032313log log log a a a +++ 553123103563log ()log ()log 910a a a a a a =⋅⋅=⋅==举一反三：【变式1】正项等比数列{}n a 中，若a 1·a 100=100; 则lga 1+lga 2+……+lga 100=_____________. 【答案】100；∵lga 1+lga 2+lga 3+……+lga 100=lg(a 1·a 2·a 3·……·a 100) 而a 1·a 100=a 2·a 99=a 3·a 98=……=a 50·a 51∴原式=lg(a 1·a 100)50=50lg(a 1·a 100)=50×lg100=100。

【变式2】在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。

【答案】216；法一：设这个等比数列为{}n a ，其公比为q ，∵183a =，445127823a a q q ===⋅，∴48116q =，294q =∴23362341111a a a a q a q a q a q ⋅⋅=⋅⋅=⋅33389621634⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。

法二：设这个等比数列为{}n a ，公比为q ，则183a =，5272a =，加入的三项分别为2a ，3a ，4a ，由题意1a ，3a ，5a 也成等比数列，∴238273632a =⨯=，故36a =，∴23234333216a a a a a a ⋅⋅=⋅==。

类型四：等比数列前n 项和公式的性质例4．在等比数列{}n a 中，已知48n S =，260n S =，求3n S 。

思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k 项和，第2个k 项和，第3个k 项和，……，第n 个k 项和仍然成等比数列。

解析：法一：令b 1=S n =48, b 2=S 2n -S n =60-48=12，b 3=S 3n -S 2n 观察b 1=a 1+a 2+……+a n ,b 2=a n+1+a n+2+……+a 2n =q n (a 1+a 2+……+a n )， b 3=a 2n+1+a 2n+2+……+a 3n =q 2n (a 1+a 2+……+a n )易知b 1,b 2,b 3成等比数列，∴2223112348b b b ===，∴S 3n =b 3+S 2n =3+60=63. 法二：∵22n n S S ≠，∴1q ≠，由已知得121(1)481(1)601n na q qa q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩①② ②÷①得514n q +=，即14n q = ③ ③代入①得1641a q=-， ∴3133(1)164(1)6314n n a q S q -==-=-。

法三：∵{}n a 为等比数列，∴n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等比数列， ∴2232()()n n n n n S S S S S -=-，∴22232()(6048)606348n n n n n S S S S S --=+=+=。

举一反三：【变式1】等比数列{}n a 中，公比q=2, S 4=1,则S 8=___________. 【答案】17；S 8=S 4+a 5+a 6+a 7+a 8=S 4+a 1q 4+a 2q 4+a 3q 4+a 4q 4=S 4+q 4(a 1+a 2+a 3+a 4)=S 4+q 4S 4=S 4(1+q 4)=1×(1+24)=17 【变式2】已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n , 且S 10=10, S 20=40,求：S 30= 【答案】130；法一：S 10，S 20-S 10，S 30-S 20构成等比数列，∴(S 20-S 10)2=S 10·(S 30-S 20) 即302=10(S 30-40),∴S 30=130. 法二：∵2S 10≠S 20，∴1q ≠, ∵101)1(10110=--=qq a S ,20120(1)401a q S q -==-, ∴102011,14q q -=-∴103q =,∴511-=-qa ∴ 130)31)(5(1)1(330130=--=--=qq a S .【变式3】等比数列{}n a 的项都是正数，若S n =80, S 2n =6560，前n 项中最大的一项为54，求n.【答案】∵ 6560802=n n S S ，∴1q ≠(否则212=n n S S )∴1(1)1n n a q S q -=-=80 (1)212(1)1n na q S q-=-=6560.........(2)，(2)÷(1)得：1+q n =82,∴q n =81......(3) ∵该数列各项为正数，∴由(3)知q>1 ∴{a n }为递增数列，∴a n 为最大项54. ∴a n =a 1q n-1=54,∴a 1q n =54q, ∴81a 1=54q..........(4) ∴1542813a q q ==代入(1)得2(181)80(1)3q q -=-， ∴q=3,∴n=4.【变式4】等比数列{}n a 中，若a 1+a 2=324, a 3+a 4=36, 则a 5+a 6=_____________. 【答案】4；令b 1=a 1+a 2=a 1(1+q)，b 2=a 3+a 4=a 1q 2(1+q),b 3=a 5+a 6=a 1q 4(1+q),易知：b 1, b 2, b 3成等比数列，∴b 3=122b b =324362=4,即a 5+a 6=4.【变式5】等比数列{}n a 中，若a 1+a 2+a 3=7,a 4+a 5+a 6=56, 求a 7+a 8+a 9的值。