等比数列基本题型汇总经典讲义
等比数列知识点总结典型例题
等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：〔1〕如果,,a A b 成等比数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个〔 〔2〕数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：〔1〕当1q =时，1n S na = 〔2〕当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---〔,,','A B A B 为常数〕 5、等比数列的判定方法：〔1〕用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列〔2〕等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 〔3〕通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：假设()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列7、等比数列的性质：〔2〕对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。
〔3〕假设*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。
(经典)讲义：等比数列及其前n项和
（经典）讲义：等比数列及其前n项和1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n＝a1·q n－1.Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，同乘q得：qS n＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1q n，两式相减得(1－q)S n＝a1－a1q n，∴S n＝a1?1－q n?1－q(q≠1)．7.1由a n＋1＝qa n，q≠0并不能立即断言{a n}为等比数列，还要验证a1≠0.7.2在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．8.等比数列的判断方法有：(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{a n}是等比数列．(2)中项公式法：在数列{a n}中，a n≠0且a2n＋1＝a n·a n＋2(n∈N*)，则数列{a n}是等比数列．632++若已“知三求二”.1.,成公比为的公比为q,成等比数列理解例题1:在等比数列中， （1）已知13,2,a q ==求66,a S ；（2）已知1112.7,,,390n a q a =-=-=求n ；（3）已知141,64,a a =-=求q 和4S ；（4）已知3339,22a S ==求1,a q ；分析:在等比数列中有五个重要量1,,,,,n n a a q n S 只要已知任意三个，就可以求出其他两个.其中1a 和q 两个最重要的量,通常要先求出1a 和q . 解:(1)55613296a a q ==⋅=.66161S =(2)n a (3) (4) a S ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ （2 2∴ 当知识体验:已知等比数列的五个量1,,,,n n a a q n S 中的任意三个求其他两个时,要用等比数列的通项公式以其及前n 项和公式.理解例题分析: 解法一: 2m m S S ⎧=⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩解法二: ②可利用等比数列中连续等段和成等比的性质即性质(1)求解.三、 例题（一） 题型分类全析1．等比数列前n 项和公式的基本运算例1：在等比数列的{}n a 中:31648,216,40,n a a a a S -=-==求公比q ,1a 及n . 思路直现:由已知两个条件，可建立关于1,a q 的方程组，分别解出1,a q 的值，代入n S 即可求出n .本题有关等比数列前n 项和的基本运算的考查.解:由已知可得 总结：在求数列的基本量问题时,把条件转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.例2 已知数列{}n a 是等比数列,其前n 项和n S ,若3692S S S +=,求该数列的公比q .思路直现:由已知两个条件，可建立关于1,a q 的方程组，分别解出1,a q 的值，代入n S 即可求出n . 解: 若1q =,则1n S na =,36111369S S a a a ∴+=+=,91218S a =,此时3692S S S +≠∴96320q q q --=,即63210q q --=,即33 故2笔记不明确,转化为关于1,a q 的方程组求解. 本题考查了等比数列前n 项和公式的运用和分类讨论的思想.因不知q 的2例3思路直现:解: {n a2,S S ∴故4S 4,S ∴笔记：次k 项和,成等比数列来解决3,n n S S ,例4 首项为1的等比数列的和为思路: 解： q ∴=故8n =阅题笔记：利用等比数列奇、偶项数和的性质简单明了，运算量较低.增根. 本题考查了等比数列的性质. 注意S qS =偶奇这个性质是在项数为偶数这一前提下成立的. 建议：巧用特例，熟记等差等比数列奇偶项的一些性质.3．某些特殊数列的求和例5: (1)已知数列{}n a 的通项公式2n n a n =+，求该数列的前n 项和n S ； (2)已知数列{}n a 的通项公式23n n n a =+，求该数列的前n 项和n S . 解:(1)123n n S a a a a =++++ (2)笔记:例6思路:解：n S 笔记:的前n 考查数列的分组求和问题.例7:（2007天津）在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ． （Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n N *∈皆成立．思路直现: (1)由递推关系式构造出数列n a n -,并证明其是等比数列. (2)利用分组求和法求出{}n a 的前n 项和. (3)考虑用作差法证明. (Ⅰ)证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n N *∈．本小题考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式、不等式的证明 利用递推关所以数列{}n a n -是首项为111a -=，且公比为4的等比数列． (Ⅱ)解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=， 14n n a n -∴=+．(Ⅲ)证明：对任意的n N *∈，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭21(34)02n n =-+-≤．所以不等式14n n S S +≤，对任意n N *∈皆成立．笔记: 本题实际上第一步的证明起到一个提示的作用,即应从递推关系出发构造出n a n -的形式,并证明其为等比数列.例8: （3414n n n n a a b a --⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（I ）令n c （II 思路:(1) （II 阅题: 解答本题的方法,应整体考虑.系式证明数列成等比. 利用分组求和法求和 利用作差比较法证明不等式. 建议：学会解题的技巧，有时候题目的四、习题一、选择题1.（2008福建) 设{}n a 是公比为正数的等比数列，若151,16a a ==,则数列{}n a 前7项的和为A.63B.64C.127D.128 2.（2008浙江）已知{}n a 是等比数列，25124a a ==，，则12231n n a a a a a a ++++=A.16(14)n --B.16(12)n --C.32(14)3n --D.32(12)3n --3.（2008海南）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a = A. 2B. 4C.152 D. 1724．(2007陕西) 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32,14n n S S == 则4n S 等于A.80B.30C. 26D.16 5．（2006辽宁） 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于 A.122n +- B. 3n C. 2n D.31n -6.数列11111,2,3,4,24816的前n 项和为（ ）211n 111n -211n 11n 7.2n ++=B.112n --8.9 15n 712-2. C. 分析：{}n a 为等比数列，352a a q ∴=，311242q q ∴=⋅⇒=设1n n n b a a +=，{}n b ∴是首项为8，公比为14的等比数列.122311218[1()]324(14)1314n n n n na a a a a ab b b -+-+++=+++==--，3. C 分析: 414421(1)1215122a q S qa a q ---===-4. B 分析: {}n a 为等比数列，23243,,,n n n n n n n S S S S S S S ∴---成等比2322()()n n n nnS S S S S -=-即22222(14)(2)6n n n S S S -=-⇒=或24n S =-{}n a 各项均为正数，故2n n S S >，故26n S =，432,4,8,n n S S ∴-成等比，所以4316n n S S -=，430n S ∴=5. D 分析: 解：依题意，()f n 为首项为2，公比为328=的前4n +项和，根据等比数列的求和公式可得D6.C 分析：因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则2212112221(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a +++++++++=++⇒+=++⇒+=2(12)01n a q q q ⇒+-=⇒=，即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。
等比数列知识点及经典习题
等比数列知识梳理：1、等比数列的定义： ，q 称为 。
2、通项公式： ，首项：1a ；公比：q推广： 。
3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即： 或 。
注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，n S = ； （2）当1q ≠时，n S = 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}nn n a A BA B a =⋅⋅≠⇔为等比数列（4）前n 项和公式：A B A S n n -∙=. 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（1）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n mn m a a q-=，特别的，当1m =时，便得到等比数列的通项公式。
因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
（2）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则 。
特别的，当2m n k +=时，得 (注：12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅) （3）数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列{}nka ，{}n k a ⋅，{}k n a ，{}n n k ab ⋅⋅，{}n n a b （k 为非零常数）均为 数列。
《等比数列》 讲义
《等比数列》讲义一、什么是等比数列在数学的世界里，等比数列是一种非常有趣且重要的数列形式。
那到底什么是等比数列呢？简单来说，等比数列就是从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。
这个常数就被称为公比，通常用字母 q 来表示（q≠0）。
例如，数列 2，4，8，16，32就是一个等比数列，因为每一项与前一项的比值都是 2，公比 q ＝ 2。
再比如数列 10，5，25，125，0625也是等比数列，公比 q ＝ 05。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式是研究等比数列的重要工具，它可以帮助我们快速求出数列中的任意一项。
通项公式为：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 an 表示第 n 项，a1 表示首项，q 表示公比，n 表示项数。
以等比数列 2，4，8，16，32为例，首项 a1 ＝ 2，公比 q ＝ 2。
那么第 5 项 a5 ＝ 2×2^（5 1) ＝ 2×2^4 ＝ 2×16 ＝ 32，与数列中的实际值相符。
通项公式的作用非常大，只要知道了首项、公比和项数，就可以轻松求出任意一项的值。
三、等比数列的性质1、等比中项如果在 a、b 两个数之间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a、b 的等比中项。
根据等比数列的定义可得：G^2 ＝ ab ，所以 G ＝±√（ab) 。
例如，在 2 和 8 之间插入一个等比中项 G，G ＝±√（2×8) ＝ ±4 。
2、若 m、n、p、q∈N+，且 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 am×an ＝ ap×aq 。
比如在等比数列 3，6，12，24，48中，a2×a5 ＝ 6×48 ＝ 288 ，a3×a4 ＝ 12×24 ＝ 288 ，两者相等。
四、等比数列的前 n 项和公式等比数列的前 n 项和公式有两种情况：当公比 q ＝ 1 时，Sn ＝ na1 。
2024年等比数列知识点总结与典型例题精华版
等比数列知识点总结与经典例题1、等比数列的定义：，称为公比()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且q ２、通项公式：，首项:;公比：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠1a q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=３、等比中项：（1）假如成等比数列，那么叫做与的等差中项，即:或,,a A b A a b 2A ab=A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个((2）数列是等比数列{}n a 211n n n a a a -+⇔=⋅4、等比数列的前项和公式：n n S （1）当初,1q =1n S na =（2）当初，1q ≠()11111n n n a q a a qS qq--==--（为常数）11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---,,','A B A B 5、等比数列的判定措施：（1)用定义：对任意的，都有为等比数列n 11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，(2）等比中项:为等比数列21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔(3)通项公式:为等比数列()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔6、等比数列的证明措施:依据定义：若或为等比数列()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且1{}n n n a qa a +=⇔7、等比数列的性质：(2）对任何，在等比数列中,有。
*,m n N ∈{}n a n m n m a a q -=（3)若，则。
尤其的,当初，得 *(,,,)m n s t m n s t N +=+∈n m s t a a a a ⋅=⋅2m n k +=2n m k a a a ⋅=注:12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅等差和等比数列比较:经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1.等比数列中,， ,求．{}n a 1964a a ⋅=3720a a +=11a 思绪点拨:由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出有关和的二元方程组,解出和1a q 1a ，可得;或注意到下标，能够利用性质可求出、,再求.q 11a 1937+=+3a 7a 11a 等差数列等比数列定义da a n n =-+1)0(1≠=+q q a a nn 递推公式da a n n +=-1；mda a n m n +=-q a a n n 1-=；mn m n q a a -=通项公式dn a a n )1(1-+=11-=n n q a a （0,1≠q a )中项2kn k n a a A +-+=(0,,* k n N k n ∈))0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=（0,,* k n N k n ∈）前n 项和)(21n n a a nS +=dn n na S n 2)1(1-+=()⎪⎩⎪⎨⎧≥--=--==)2(111)1(111q q qa a qq a q na S n n n 重要性质),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈+=+),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈⋅=⋅解析：法一:设此数列公比为,则q 8191126371164(1)20(2)a a a a q a a a q a q ⎧⋅=⋅=⎪⎨+=+=⎪⎩由(２)得:..........(3） 241(1)20a q q +=∴.10a >由（1)得： , ∴ ．．..．．(4)421()64a q =418a q =(3）÷(4)得：, 42120582q q +==∴,解得或422520q q -+=22q =212q =当初,，；22q =12a =1011164a a q =⋅=当初,，．212q =132a =101111a a q =⋅=法二：∵,又,193764a a a a ⋅=⋅=3720a a += ∴、为方程的两实数根,3a 7a 220640x x -+= ∴ 或⎩⎨⎧==41673a a ⎩⎨⎧==16473a a ∵， ∴或.23117a a a ⋅=271131a a a ==1164a =总结升华:①列方程(组)求解是等比数列的基本措施，同时利用性质能够减少计算量;②解题过程中详细求解时，要设法降次消元,常常整体代入以达降次目标，故较多变形要用除法(除式不为零).举一反三:【变式１】{ａn }为等比数列，a １=３,ａ９＝76８，求a 6。
《等比数列》 讲义
《等比数列》讲义一、什么是等比数列在数学的奇妙世界里，等比数列是一个非常重要的概念。
那到底什么是等比数列呢？想象一下，有一组数，从第二项开始，每一项与它前一项的比值都相等，这个固定的比值被称为公比，用字母 q 表示。
这样的一组数，就被称为等比数列。
例如，数列 2，4，8，16，32……就是一个等比数列，因为每一项与前一项的比值都是 2，这里的公比 q 就是 2。
再比如，数列 10，5，25，125，0625……也是等比数列，公比 q 为05。
等比数列的通项公式是：＼（a_n ＝ a_1 ＼times q^｛n-1}＼），其中\（a_n\）表示第 n 项的值，＼（a_1\）表示首项。
这个通项公式非常重要，它就像是一把钥匙，能让我们轻松找到等比数列中任意一项的值。
二、等比数列的性质等比数列有很多有趣的性质，掌握了这些性质，能让我们更深入地理解和解决与等比数列相关的问题。
性质 1：如果\（m\），＼（n\），＼（p\），＼（q\）是正整数，且\（m ＋ n ＝ p ＋ q\），那么在等比数列中，＼（a_m ＼times a_n ＝a_p ＼times a_q\）。
比如说，在等比数列 2，4，8，16，32……中，如果\（m ＝ 2\），＼（n ＝ 4\），＼（p ＝ 1\），＼（q ＝ 5\），因为\（m ＋ n ＝ 2 ＋ 4 ＝ 6\），＼（p ＋ q ＝ 1 ＋ 5 ＝ 6\），所以\（a_2 ＼times a_4 ＝ 4 ＼times 16 ＝ 64\），＼（a_1 ＼times a_5 ＝ 2 ＼times 32 ＝ 64\），两者相等。
性质 2：在等比数列中，连续若干项的和构成的新数列也是等比数列。
例如，对于等比数列 1，2，4，8，16…… ，前两项的和是 3，前三项的和是 7，前四项的和是 15，它们构成的新数列 3，7，15……也是等比数列。
性质 3：若等比数列的公比\（q ＞ 1\），则数列单调递增；若\（0＜q ＜1\），则数列单调递减；若\（q ＜0\），则数列的项正负交替。
等比数列复习精品讲义
）
A.
n2 4
+
7n 4
B.
n2 3
+
5n 3
C.
n2 2
+
3n 4
D. n2 + n
4．等比数列的基本性质，(其中 m,n,p,q ∈ N ∗) （1）若 m + n = p + q ，则 am ⋅ an = ap ⋅ aq
（2）qn
−
m
=
an am
，
an2
=
an
−
m
⋅
an
+
m(n
∈
N
∗)
等比数列复习精品讲义
1．定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于
同一个常数 ，那么这个数列就叫做等比数列 ，这个常数叫做等比数列的公比 ；公 比通常用字母 q 表示 (q ≠ 0)，即：aan +n1 = q(q ≠ 0)．
2．递推关系与通项公式
递推关系： an + 1 = anq; 通项公式： an = a1 ⋅ qn − 1; 推广： an = am ⋅ qn − m
（
）
A. 12
B. 10
C. 8
D. 2 + log35
12．已知等比数列 {an} 满足 an > 0,n = 1,2, ⋯，且 a5 ⋅ a2n - 5 = 22n(n ≥ 3)，则当 n ≥ 1 时，log2a1
+ log2a3 + ⋯ +log2a2n - 1 =（
）
A. n(2n - 1)
）
A. 等差数列
（3）an 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列 .
《等比数列》 讲义
《等比数列》讲义一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如，数列2，4，8，16，32，就是一个等比数列，其公比q ＝2。
等比数列的通项公式为：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 a1 为首项，n 为项数。
二、等比数列的性质1、等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
根据等比数列的定义，有 G²＝ ab ，所以 G＝±√（ab) 。
2、通项公式的推广an ＝ am×q^（n m) （m，n 为正整数）3、若 m ＋ n ＝ p ＋ q （m，n，p，q 为正整数），则 am×an ＝ap×aq 。
例如，在等比数列中，若 a3×a7 ＝ 16 ，a4 ＋ a6 ＝ 10 ，因为 3 ＋7 ＝ 4 ＋ 6 ，所以 a3×a7 ＝ a4×a6 ＝ 16 ，联立 a4 ＋ a6 ＝ 10 ，可解出a4 ＝ 2 ，a6 ＝ 8 或 a4 ＝ 8 ，a6 ＝ 2 ，从而求出公比 q 。
4、等比数列的前 n 项和公式当 q ＝ 1 时，Sn ＝ na1 ；当q ≠ 1 时，Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q) 。
三、等比数列的判定方法1、定义法若 an ／ an 1 ＝ q （n ≥ 2，q 为常数且q ≠ 0），则数列{an}为等比数列。
2、等比中项法若 an²＝ an 1 × an ＋ 1 （n ≥ 2，an 1 ，an ，an ＋1 ≠ 0），则数列{an}为等比数列。
3、通项公式法若 an ＝ c×q^n （c，q 为非零常数），则数列{an}为等比数列。
四、等比数列的应用1、经济领域在金融领域，等比数列常用于计算复利。
等比数列及其前n项和考点与题型归纳
等比数列及其前n 项和考点与题型归纳一、基础知识1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.-(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列与指数型函数的关系当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1q·q n 可以看成函数y ＝cq x，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x的图象上；对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 11－q，则S n ＝－aq n＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x＋a 图象上一系列孤立的点．对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点．二、常用结论汇总——规律多一点设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．·(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *.(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m(k ，m ∈N *)．(4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 也是等比数列．(5)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . 考点一 等比数列的基本运算[典例] (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.%(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m .[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．]若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n1－2＝2n－1.由S m ＝63，得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.[题组训练]1．已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4D ．22~解析：选B 由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，则q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q＝4.2．(2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．32解析：选C 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.3．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，~则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 11－q 31－q ＝74，S 6＝a11－q 61－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案：32考点二 等比数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列． ^[证明] 因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ，所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n＝2. 因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．[解题技法].1．掌握等比数列的4种常用判定方法定义法 中项公式法 通项公式法 前n 项和公式法2．等比数列判定与证明的2点注意~(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．(2)证明一个数列{a n }不是等比数列，只需要说明前三项满足a 22≠a 1·a 3，或者是存在一个正整数m ，使得a 2m ＋1≠a m ·a m ＋2即可．[题组训练]1．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n －2n，证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列． 证明：因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2， 所以a 1＝2，由a 1＋a 2＝2a 2－4得a 2＝6. 由于S n ＝2a n －2n ，故S n ＋1＝2a n ＋1－2n ＋1，后式减去前式得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －2n，即a n ＋1＝2a n ＋2n，|所以a n ＋2－2a n ＋1＝2a n ＋1＋2n ＋1－2(2a n ＋2n)＝2(a n ＋1－2a n )，又a 2－2a 1＝6－2×2＝2，所以数列{a n ＋1－2a n }是首项为2、公比为2的等比数列．2．(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1.>∴数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．}∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1.由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．考点三 等比数列的性质考法(一) 等比数列项的性质[典例] (1)(2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( ) A ．－2＋22B ．－2}D ．－ 2 或2(2)(2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.(2)由分数的性质得到1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5.因为a 8a 1＝a 7a 2＝a 3a 6＝a 4a 5，所以原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5，又a 1a 2…a 8＝16＝(a 4a 5)4，a n >0，∴a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2.故选A.[答案] (1)B (2)A。
必修五 第二章 等比数列复习讲义
等比数列公式及性质运用一．基础知识梳理1.等比数列(1)定义：成等比数列}{)0,0,2(1n n n na q a n q a a ⇔≠≠≥=- (2)通项公式：11-=n n q a a (3)前n 项和⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n nn等比数列121111{}(0)(2,*)n nn n n n n n a a a q q a a a n n N a a q +--+⇔=≠⇔=≥∈⇔=.2.等比数列的性质① 若{}n a 、{}n b 是等比数列，则{}n ka 、{}n n a b 等也是等比数列； ② 111111(1)1111(1)(1)(1)(1)n n n n q q a a a a a q q q q na q na q S q q q ------==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨-+≠=≠⎪⎪⎩⎩③ m n l k m n l k a a a a +=+⇒=(反之不一定成立)； ④ 等比数列中232,,,m m m m m S S S S S --(注：各项均不为0)仍是等比数列.二．典例讲练题型1： 等比数列公式及性质的应用例1 （1）已知{}n a 为等比数列，32a =，24203a a +=，求{}n a 的通项公式。
（2）记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知166n a a +=，43128n a a -=，126n S =，求n 和公比q 的值。
变式1．已知等比数列{}n a 的公比=q －31,则86427531a a a a a a a a ++++++=______.变式2．已知数列{}n a 为等比数列，(1)若,252,0644342=++>a a a a a a a n 且求.53a a +(2)na a a a a aa 求,8,7321321==++例2（1）（08浙江）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ）（A ）16（n --41） （B ）16（n --21） （C ）332（n --41） （D ）332（n --21） （2）等比数列{}n a 中，93,a a 是方程20x x -+=２７６的两个根，则6a =（ ） A ．3 B ．±3 C ．± 3 D ．以上皆非变式1.等比数列{}n a 中，0n a >且5681a a =，则3132310log log log a a a +++的值是（ ）A ．20B ．10C ． 5D ．40变式2 设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x ++=的两根，则=+20072006a a _____.变式3 (1)在等比数列{n a }中，3,1101==a a 则98432a a a a a ⋯等于( ) A ．81 B ．27527 C. 3D ．243例3：在等比数列{}n a 中，若前10项的和10S =10，前20项和20S =30，求30S变式：(2009·辽宁卷)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S S =3，则69S S＝( ) A ．2 B.73 C.83D ．3变式：（2007陕西）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若S 10=2,S 30=14,则S 40等于（ ）（A ）80 （B ）30 (C)26 (D)16例4：等比数列{}n a 共有2n 项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则求公比q变式：数列{n a }的前n 项和=+++-=22221,12n n n a a a S 则（ ）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n变式：若等比数列{}n a 的前n 项之和S n =3n +a ,则a 等于（ ） A.3 B.1 C.0 D.－1变式：在等比数列{}n a 中，已知643524,64a a a a -==.求{}n a 前8项的和8S变式：等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ ；题型2：等比数列判定及证明例1已知数列{}n a 满足：lg 35n a n =+，试用定义证明{}n a 是等比数列.练习：数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+ ① 求证{1}n a +是等比数列； ② 求数列{}n a 的通项公式。
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9 等比数列相关概念理解及等比数列的判断
已知某种细胞分裂一次，可得到两个新的细胞，而新的细胞每个分裂一次都
可得两个新细胞，显然，分裂第n 次，可得n
2个新细胞，写成数列为：
2,4,8,16，……，该数列还是等差数列吗？它有什么特点呢？
显然，它不是等差数列，该数列的任意后一项除以前一项为同一个常数. 例 判断下列数列是否为等比数列
（1）n
n n a )3()1(1--=， （2）3)2(--=n n a ，
（3)
n n n a 2⨯= , (4) 1-=n a .
解： （1）为常数3)3()1()3()1(11
1-=--=-++n n n n n
n a a ，为等比数列}{a n ∴.
(2)为常数2)2()2(32
1-=--=--+n n n
n a a ,为等比数列}{a n ∴.
(3)不为常数n n n a a n n n
n 12221)(n 11+=⨯⨯+=++ ,不为等比数列}{a n ∴. (4)1111=--=+n
n a a 为常数，为等比数列}{a n ∴.
总结：判断或证明数列}{a n 是否是等比数列，可以求出n
n a a 1
+，再判断其是
否为常数.如果是常数，是等比数列，如果不是常数，则不是等比数列.
思考：数列，判断下列数列是等比为项数相等的等比数列}{},{n n b a
（1）}b {a n n （2）}{2n a （3）}{1+n n a a (4)}{n ka
(5)}{n n b a + (6)}{1++n n a a (7)}1
{n
a
(8)}{
n n
b a
(9) }2{+n a (10) }{2+n a
解：（1），（2），（3），（7），（8），（10）是等比数列，（4），（5），（6），（9）不是等比数列，其中（4）中，若0=k ，则不是等比数列，若0≠k ，则是等比数列.
例 求等比中项
（1）1-313与+的等比中项为2)13(1
3±=-+±）（. （2）
)0,0(2
24224≠≠++b a b a b b a a 与的等比中项为 )())((33224224ab b a b a b b a a +±=++±.
10. 等比数列通项公式问题
数列}{a n 是等比数列，则有1
1221---====n n n n q a q a q a a .
例 在等比数列}{a n 中，求下列问题
（1）74a ,3,27求-==q a ， （2）q a a 及求142a ,8,18==.
（3） q a a a a 及求12415,6,15a =-=-.
解：（1）13341)3)(1(,1)
3(27
---=∴-=-==
n n a q a a ，7297-=∴a . （2） ⎩⎨⎧====②8①
18314
12q a a q a a
②÷①得94
2
=
q
∴,32±=q 当,27a ①321-==得时，代入q .27a ①3
2
1=-=得时，代入q （2）⎪⎩
⎪⎨⎧=-=-②6①
15a 13114
1q a q a a q 由题可得 ②÷①得1561)1)(1()1(1222243=+=-+-=--q q q q q q q q q 221
,66152==+=∴q q q q 或解得，当16211==a q 时，；当121==a q 时，.
总结:等比数列}{n a 中，1
11,,,a -=n n n q a a a n q 之间有方程，利用该方程，可
以知三求一，又由于q 的次数较高，所以经常使用除法将其次数降低.
11等比数列的性质
若}{a n 为等比数列，公比为q,则有以下性质成立（1）m
n m n q a a -=.
（2）
n m l k a a a a n m l k N n m l k =⇔+=+∈.,,,,*且若.
例 在等比数列}{a n 中，已知128,5128374=+-=a a a a ，且公比为整数，求
10a .
解：5128374-==a a a a ，⎩⎨⎧=+-==∴128512
837483a a a a a a
解
得
)(4128
1284a 8
383舍去或⎩⎨⎧-==⎩⎨
⎧=-=a a a ，
25
3
8
-==∴a a q ，
5127310-==∴q a a .
思考：在各项为正数的等比数列}{a n 中，若
?log log log log ,9a 333231365=++++=n a a a a a 则
12 等比数列前n 项和问题
由古印度象棋发明者提出的一个“简单”要求说起，际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子”，国王觉得这个要求不高，
就答应了，而通过计算可得：1964632221084.11-22421⨯>=++++ （超
过7000亿吨），而目前世界年度小麦产量约6亿吨.那么上面这一等比数
列的和是怎么算出的呢？
一般地，对等比数列n n a a a a S ++++= 321 ①
n n n n n a a a q a q a q a q a S +++=++++=--132121a q ②
①-②得 （1-q ）n
n n q a a q a a S 111-=-=
当;1q 1na S n ==时，显然有当q q a S q n n --=≠1)
1(11时，.
总结：上述求等比数列和的方法称之为错位相减法. 例 已知}{a n 为等比数列，求解下列问题 （1）n S n q a 求,6,2,31===.
n a S S 求）（,126,14263==.
(3)15,44,2q a S 求=-=.
解：.93q -1)1(116=-=n
q a S ）（ （2）由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=⨯+==⨯+=12625661422331613d a S d a S 得 ⎩
⎨⎧==22a 1q ， n
n a 2=∴.
(3)44)2(1)
)2(1(515=----=a S 由,可得：4a 1=.
总结：等比数列中，n n S a n q a ,,,,1构成方程 ，利用该方程可以知三求二.
13 等比数列前n 项和的性质
若}{a n 为等比数列，其前项和为，则有以下性质:
（1）若依次每k 项之和组成一个新的数列 ,,,232k k k k k S S S S S --，其中每
一项均不为零，则它们依次组成一个公比为k q 的等比数列.
（2）设数列q S S n q =奇
偶则的等比数列，若项数为
为公比为,2}{a n ，其中
n n a a a S a a a S 2421231, ++=+++=-偶奇.
例 已知等比数列}{a n 的前n 项和为n S ，求证14217147S S S S S --，，也成等比数列.
证明：
14987147217,a a a a S S a a S +++=-+++= 777271a q a q a q +++= ，
1471421412116151421a q a q a q a a a S S +++=+++=- ，
)(77
7
147141421常数q S S S S S S S =-=--，
所以14217147S S S S S --，，也成等比数列. 例 在等比数列中，已知.,60,48n 32S S S n n 求== 解： .,12,48232x S S S S S n n n n n =-=-=设
由等比数列性质知n n n n n S S S S S 232,,--也是等比数列，
63,3,3x ,121248323=∴=-∴=⨯=∴n n n S S S x 解得.
思考题：已知等比数列}{a n 的前n 项和为n S ，?,36
936==S S
S S 则若 14 等比数列最大值问题
例 }{a n 为等比数列，的最大值求n a a a a a a a 214231,5,10=+=+. 解 设}{a n 的公比为q ，由已知可求得2
1
=
q ，.81=a 则2)7()4()2()3(211)2
1()21(,)21(8n n n n n n a a a a --++-+--==⨯= ， 借助于指数函数x x f )21()(=的性质有:当2
)7(n
n -取最小值时，2)7()21(n n -取最大值，可求得2
)7(43n
n n n -==时，或取最小值.此时n a a a 21最大，最大值为64.。