等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)
等比数列知识点总结与典型例题
1、等比数列的定义：()()*1
2,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：
()11110,0n n
n n a a a q q A B a q A B q
-==
=??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项：
（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q
S q
q
--=
=
-- 11''11n n n a a
q A A B A B A q q
=
-=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：
（1）用定义：对任意的n ，都有1
1(0){}n n n n n n
a a qa q q a a a ++==≠?或
为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若
()()*1
2,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质：
（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。
（3）若*
(,,,)
m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=???
等差和等比数列比较：
经典例题透析
类型一：等比数列的通项公式
例1．等比数列{}n a 中，1964a a ?=, 3720a a +=,求11a .
思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组，解出1a 和
q ，可得11a ；或注意到下标1937+=+，可以利用性质可求出3a 、7a ，再求11a .
解析：
法一：设此数列公比为q ，则8
191126
371164
(1)20
(2)
a a a a q a a a q a q ??=?=??+=+=??
由(2)得：241(1)20a q q +=..........(3) ∴10a >.
由(1)得：421()64a q = , ∴418a q = (4)
(3)÷(4)得：421205
82q q +==，
∴422520q q -+=,解得22q =或21
2
q =
当22q =时，12a =，1011164a a q =?=； 当21
2
q =
时，132a =，101111a a q =?=. 法二：∵193764a a a a ?=?=,又3720a a +=,
∴3a 、7a 为方程220640x x -+=的两实数根，
∴???==4
1673a a 或
??
?==16
4
73a a ∵2
3117a a a ?=, ∴2
71131a a a ==或1164a =.
总结升华：
①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；
②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）. 举一反三：
【变式1】{a n }为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。 【答案】±96
法一：设公比为q ，则768=a 1q 8，q 8=256，∴q=±2，∴a 6=±96； 法二：a 52=a 1a 9?a 5=±48?q=±2，∴a 6=±96。
【变式2】{a n }为等比数列，a n ＞0，且a 1a 89=16，求a 44a 45a 46的值。 【答案】64；
∵21894516a a a ==，又a n ＞0，∴a 45=4 ∴34445464564a a a a ==。
【变式3】已知等比数列{}n a ，若1237a a a ++=，1238a a a =，求n a 。 【答案】12n n a -=或32n n a -=；
法一：∵2132a a a =，∴312328a a a a ==，∴22a =
从而1313
5
,4a a a a +=??
=?解之得11a =，34a =或14a =，31a = 当11a =时，2q =；当14a =时，1
2
q =。 故12n n a -=或32n n a -=。
法二：由等比数列的定义知21a a q =，231a a q =
代入已知得2
1112
1117
8
a a q a q a a q a q ?++=????=?? 2
1331(1)7,
8
a q q a q ?++=???=??211(1)7,(1)2(2)a q q a q ?++=??=?
将12
a q
=
代入（1）得22520q q -+=， 解得2q =或12
q =
由（2）得112a q =??=?或1
4
12a q =???=?? ，以下同方法一。
类型二：等比数列的前n 项和公式
例2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q. 解析：若q=1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1.
因a 1≠0，得S 3+S 6≠2S 9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.
由3692S S S +=得，369111(1)(1)2(1)
111a q a q a q q q q ---+=
---， 整理得q 3(2q 6-q 3-1)=0，
由q≠0，得2q 6-q 3-1=0，从而(2q 3+1)(q 3-1)=0，
因q 3
≠1，故3
12q =-
，所以q =。
举一反三：
【变式1】求等比数列11
1,,,39
的前6项和。
【答案】
364
243
； ∵11a =，1
3
q =，6n =
∴66
6111331364112324313
S ?????-?? ???????????==?-=?? ???????-。 【变式2】已知：{a n }为等比数列，a 1a 2a 3=27，S 3=13，求S 5. 【答案】121
1219
或
； ∵32
2273a a =?=，31(1)1
13313
a q q q q -=?==-或，则a 1=1或a 1=9
∴5555191131213121S 113913
S ??? ?-??==-－或＝＝
－.
【变式3】在等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -?=，126n S =，求n 和q 。 【答案】1
2
q =
或2，6n =； ∵211n n a a a a -?=?，∴1128n a a =
解方程组1112866n n a a a a =??+=?，得1642n a a =??=? 或12
64n a a =??=?
①将1642
n a a =??=?代入11n n a a q S q -=-，得1
2q =，
由11n n a a q -=，解得6n =；
②将1264
n a a =??=?代入11n n a a q
S q -=-，得2q =，
由11n n a a q -=，解得6n =。 ∴1
2
q =
或2，6n =。 类型三：等比数列的性质
例3. 等比数列{}n a 中，若569a a ?=,求3132310log log ...log a a a +++. 解析：
∵{}n a 是等比数列，∴110293847569a a a a a a a a a a ?=?=?=?=?=
∴1032313log log log a a a +++ 553123103563log ()log ()log 910a a a a a a =??=?== 举一反三：
【变式1】正项等比数列{}n a 中，若a 1·a 100=100; 则lga 1+lga 2+……+lga 100=_____________. 【答案】100；
∵lga 1+lga 2+lga 3+……+lga 100=lg(a 1·a 2·a 3·……·a 100) 而a 1·a 100=a 2·a 99=a 3·a 98=……=a 50·a 51
∴原式=lg(a 1·a 100)50=50lg(a 1·a 100)=50×lg100=100。
【变式2】在83和272
之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为
________。 【答案】216；
法一：设这个等比数列为{}n a ，其公比为q ，
∵183
a =，445127823a a q q ===?，∴48116q =，29
4q =
∴233
62341111a a a a q a q a q a q ??=??=?3
3
389621634????
=?== ?
???
??
。 法二：设这个等比数列为{}n a ，公比为q ，则183
a =，527
2a =，
加入的三项分别为2a ，3a ，4a ，
由题意1a ，3a ，5a 也成等比数列，∴2
3
8273632
a =?=，故36a =， ∴23
234333216a a a a a a ??=?==。
类型四：等比数列前n 项和公式的性质
例4．在等比数列{}n a 中，已知48n S =，260n S =，求3n S 。
思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k 项和，第2个k 项和，第3个k 项和，……，第n 个k 项和仍然成等比数列。 解析：
法一：令b 1=S n =48, b 2=S 2n -S n =60-48=12，b 3=S 3n -S 2n 观察b 1=a 1+a 2+……+a n ,
b 2=a n+1+a n+2+……+a 2n =q n (a 1+a 2+……+a n )， b 3=a 2n+1+a 2n+2+……+a 3n =q 2n (a 1+a 2+……+a n )
易知b 1,b 2,b 3成等比数列，∴2
2
23112348
b b b ===，
∴S 3n =b 3+S 2n =3+60=63. 法二：∵22n n S S ≠，∴1q ≠，
由已知得121(1)
481(1)601n n
a q q a q q
?-=?-?
?-?=?-?①② ②÷①得514n q +=，即1
4
n q = ③ ③代入①得
1
641a q
=-， ∴3133(1)1
64(1)6314
n n a q S q -==-=-。
法三：∵{}n a 为等比数列，∴n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等比数列， ∴2232()()n n n n n S S S S S -=-，
∴22
232()(6048)606348n n n n n S S S S S --=+=+=。
举一反三：
【变式1】等比数列{}n a 中，公比q=2, S 4=1,则S 8=___________. 【答案】17；
S 8=S 4+a 5+a 6+a 7+a 8=S 4+a 1q 4+a 2q 4+a 3q 4+a 4q 4=S 4+q 4(a 1+a 2+a 3+a 4)=S 4+q 4S 4=S 4(1+q 4)=1×(1+24)=17 【变式2】已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n , 且S 10=10, S 20=40,求：S 30=？ 【答案】130；
法一：S 10，S 20-S 10，S 30-S 20构成等比数列，∴(S 20-S 10)2=S 10·(S 30-S 20) 即302=10(S 30-40),∴S 30=130. 法二：∵2S 10≠S 20，∴1q ≠, ∵101)1(10110
=--=q
q a S ,20120(1)
401a q S q -=
=-, ∴1020
11,14
q q -=-∴10
3q =,∴511-=-q a ∴ 130)31)(5(1)
1(330130
=--=--=q
q a S .
【变式3】等比数列{}n a 的项都是正数，若S n =80, S 2n =6560，前n 项中最大的一项为54，求n.
【答案】∵
6560802=
n n S S ，∴1q ≠(否则2
1
2=n n S S ) ∴1(1)
1n n a q S q -=-=80 (1)
212(1)
1n n a q S q -=
-=6560.........(2)， (2)÷(1)得：1+q n =82,∴q n =81......(3) ∵该数列各项为正数，∴由(3)知q>1 ∴{a n }为递增数列，∴a n 为最大项54. ∴a n =a 1q n-1=54,∴a 1q n =54q, ∴81a 1=54q..........(4) ∴1542813a q q =
=代入(1)得2
(181)80(1)3
q q -=-， ∴q=3,∴n=4.
【变式4】等比数列{}n a 中，若a 1+a 2=324, a 3+a 4=36, 则a 5+a 6=_____________.
【答案】4；
令b 1=a 1+a 2=a 1(1+q)，b 2=a 3+a 4=a 1q 2(1+q),b 3=a 5+a 6=a 1q 4(1+q),
易知：b 1, b 2, b 3成等比数列，∴b 3=122b b =324
362
=4,即a 5+a 6=4.
【变式5】等比数列{}n a 中，若a 1+a 2+a 3=7,a 4+a 5+a 6=56, 求a 7+a 8+a 9的值。 【答案】448；
∵{a n }是等比数列，∴(a 4+a 5+a 6)=(a 1+a 2+a 3)q 3,∴q 3=8, ∴a 7+a 8+a 9=(a 4+a 5+a 6)q 3=56×8=448. 类型五：等差等比数列的综合应用
例5．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.
思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式. 解析：
法一：设成等差数列的三数为a-d, a,a+d.
则a-d, a, a+d+32成等比数列，a-d, a-4, a+d 成等比数列.
∴??
???+-=-++-=)2.().........)(()4()1.().........32)((2
2
d a d a a d a d a a 由(2)得a=8
162+d (3)
由(1)得32a=d 2+32d (4)
(3)代(4)消a ，解得8
3d =或d=8.
∴当83d =时,26
9
a =；当d=8时,a=10
∴原来三个数为92,9
26,9338
或2,10,50.
法二：设原来三个数为a, aq, aq 2，则a, aq,aq 2-32成等差数列，a, aq-4, aq 2-32成等比数列
∴?????-=--+=)2)......(
32()4()1........(3222
22
aq a aq aq a aq 由(2)得2
4
a q =
-，代入(1)解得q=5或q=13 当q=5时a=2；当q=13时29
a =
.
∴原来三个数为2，10，50或
9
2，926,9338. 总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d, a, a+d ；若三数成等比数列，可设此三数为y
x
，x, xy 。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a ，公比q 来解决问题反而简便。 举一反三：
【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.
【答案】为2，6，18或21050
,,999
-；
设所求的等比数列为a ，aq ，aq 2； 则 2(aq+4)=a+aq 2，且(aq+4)2=a(aq 2+32)； 解得a=2，q=3或2
9
a =
，q=-5； 故所求的等比数列为2，6，18或21050
,,999
-.
【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。 【答案】1、3、9或―1、3、―9或9、3、1或―9、3、―1
设这三个数分别为,,a
a aq q
，
由已知得22222
27
91a
a aq q a a a q q ???=??
??++=??22
231(1)91a a q q =????++=?? 得4298290q q -+=，所以29q =或219
q =
， 即3q =±或1
3
q =±
故所求三个数为：1、3、9或―1、3、―9或9、3、1或―9、3、―1。
【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数. 【答案】0，4，8，16或15，9，3，1； 设四个数分别是x,y,12-y,16-x
∴???-=--+=)
2).......(16()12()1.......(
1222
x y y y x y 由(1)得x=3y-12，代入(2)得144-24y+y 2=y(16-3y+12) ∴144-24y+y 2=-3y 2+28y, ∴4y 2-52y+144=0, ∴y 2-13y+36=0, ∴ y=4或9， ∴ x=0或15，
∴四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 类型六：等比数列的判断与证明
例6．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：log 5(S n +1)=n(n ∈N +),求出数列{a n }的通项公式，并判断{a n }是何种数列？
思路点拨：由数列{a n }的前n 项和S n 可求数列的通项公式，通过通项公式判断{a n }类型. 解析：∵log 5(S n +1)=n,∴S n +1=5n ,∴S n =5n -1 (n ∈N +), ∴a 1=S 1=51-1=4,
当n≥2时，a n =S n -S n-1=(5n -1)-(5n-1-1)=5n -5n-1=5n-1(5-1)=4×5n-1 而n=1时，4×5n-1=4×51-1=4=a 1, ∴n ∈N +时，a n =4×5n-1
由上述通项公式，可知{a n }为首项为4，公比为5的等比数列. 举一反三：
【变式1】已知数列{C n }，其中C n =2n +3n ，且数列{C n+1-pC n }为等比数列，求常数p 。 【答案】p=2或p=3； ∵{C n+1-pC n }是等比数列，
∴对任意n ∈N 且n≥2，有(C n+1-pC n )2=(C n+2-pC n+1)(C n -pC n-1)
∵C n =2n +3n ,∴[(2n+1+3n+1)-p(2n +3n )]2=[(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)]·[(2n +3n )-p(2n-1+3n-1)] 即[(2-p)·2n +(3-p)·3n ]2=[(2-p)·2n+1+(3-p)·3n+1]·[(2-p)·2n-1+(3-p)·3n-1]
整理得：1
(2)(3)2306
n n p p --??=,解得：p=2或p=3,
显然C n+1-pC n ≠0，故p=2或p=3为所求.
【变式2】设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，C n =a n +b n ,证明数列{C n }不是等比数列. 【证明】设数列{a n }、{b n }的公比分别为p, q ，且p≠q
为证{C n }不是等比数列，只需证2
132C C C ?≠. ∵2222222111111()2C a p b q a p b q a b pq =+=++,
222222221311111111()()()C C a b a p b q a p b q a b p q ?=++=+++
∴2
213211()C C C a b p q ?-=-,
又∵ p≠q, a 1≠0, b 1≠0,
∴21320C C C ?-≠即2132
C C C ?≠ ∴数列{C n }不是等比数列. 【变式3】判断正误： (1){a n }为等比数列?a 7=a 3a 4； (2)若b 2=ac ，则a ，b ，c 为等比数列；
(3){a n }，{b n }均为等比数列，则{a n b n }为等比数列；
(4){a n }是公比为q 的等比数列，则2{}n a 、1n a ??????
仍为等比数列；
(5)若a ，b ，c 成等比，则log m a ，log m b ，log m c 成等差. 【答案】
(1)错；a 7=a 1q 6，a 3a 4=a 1q 2·a 1q 3=a 12q 5，等比数列的下标和性质要求项数相同； (2)错；反例：02=0×0，不能说0，0，0成等比； (3)对；{a n b n }首项为a 1b 1，公比为q 1q 2；
(4)对；2
21
12
11,1n n n
n
a a q a q a ++==；
(5)错；反例：-2，-4，-8成等比，但log m (-2)无意义. 类型七：S n 与a n 的关系
例7．已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足2
1056n n n S a a =++，且a 1，a 3，a 15成等比数列，
求数列{a n }的通项a n .
解析：∵21056n n n S a a =++， ①
∴21111056a a a =++，解之得a 1=2或a 1=3.
又21111056(2)n n n S a a n ---=++≥， ②
由①-②得221110()5()n n n n n a a a a a --=-+-，即11()(5)0n n n n a a a a --+--=
∵a n +a n-1＞0，∴a n -a n-1=5(n≥2).
当a 1=3时，a 3=13，a 15=73，a 1，a 3，a 15不成等比数列 ∴a 1≠3；
当a 1=2时，a 3=12，a 15=72，有a 32=a 1a 15， ∴a 1=2，∴a n =5n-3.
总结升华：等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是1
1(1)(2)n n
n a n a S S n -=?=?-≥?，尤
其注意首项与其他各项的关系. 举一反三：
【变式】命题1：若数列{a n }的前n 项和S n =a n +b(a≠1)，则数列{a n }是等比数列；命题2：若数列{a n }的前n 项和S n =na-n ，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为 个. 【答案】0；
由命题1得，a 1=a+b ，当n≥2时，a n =S n -S n-1=(a-1)·a n-1. 若{a n }是等比数列，则
2
1
a a a =，即
(1)a a a a b -=+， 所以只有当b=-1且a≠0时，此数列才是等比数列. 由命题2得，a 1=a-1，当n≥2时，a n =S n -S n-1=a-1， 显然{a n }是一个常数列，即公差为0的等差数列， 因此只有当a-1≠0，即a≠1时数列{a n }才又是等比数列.
高中数学-等比数列练习题(含答案)
等比数列练习（含答案） 一、选择题 1.(广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得( )2 2 8 41112a q a q a q ?=,即2 2q =,又因为等比数列}{n a 的公比为 正数，所以q = 故212a a q = == ,选B 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{ n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n Λ则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 答案：A 4.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B 解析： 20 ,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S Θ 5.（四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是() A.(],1-∞- B.()(),01,-∞+∞U C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞U 答案 D 6.（福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.（重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A 8．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案：B 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6= （A ）3 × 44 （B ）3 × 44+1 （C ）44 （D ）44+1 答案：A 解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ． 10.(湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41 8 a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．111 22 - 答案 B 11.（湖北）若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且 310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 答案 D 解析 由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D 12.（浙江）已知{}n a 是等比数列，4 1 252= =a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=（ ） A.16（n --41） B.6（n --21） ,,a b c ,,c a b
2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)
数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②
等比数列经典例题
一、等比数列选择题 1．已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，10.2b =，1112 3 3n n n a b a ++=+，11344 n n n b a b +=+，则使0.01n n a b -<成立的最小正整数n 为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 2．在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ） A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项 3．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（ ） A ．2± B ．2 C ．3± D ．3 4．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11 0,,22 n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4 ?? ?? ? B ．20,3 ?? ?? ? C ．30,4?? ??? D ．20,3?? ??? 5．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++= （ ） A ．3 B ．505 C ．1010 D ．2020 6．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂. A ．55989 B ．46656 C ．216 D ．36 7．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（ ） A ．3 B ．12 C ．24 D ．48 8．已知等比数列{}n a 的前5项积为32，112a <<，则35 124 a a a + +的取值范围为（ ）
(完整版)等比数列的概念与性质练习题
等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=L 则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （ ） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++L ＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（ ） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为 ． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______．
等比数列例题解析
等比数列·例题解析 【例1】已知S n是数列{a n}的前n项和，S n＝p n(p∈R，n∈N*)，那么数列{a n}． [ ] A．是等比数列 B．当p≠0时是等比数列 C．当p≠0，p≠1时是等比数列 D．不是等比数列 分析由S n＝p n(n∈N*)，有a1=S1＝p，并且当n≥2时， a n=S n－S n-1＝p n－p n-1＝(p－1)p n-1 但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D． 说明数列{a n}成等比数列的必要条件是a n≠0(n∈N*)，还要注 【例2】已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．解∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比数列，公比q ∴2＝1·q2n+1 x1x2x3...x2n＝q.q2.q3...q2n=q1+2+3+ (2) 式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值． ∴a4＝2 【例4】已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，x n，使得a，x1，x2，…，x n，b成等比数列，求 证明设这n＋2个数所成数列的公比为q，则b=aq n+1 【例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2． 证法一∵a、b、c、d成等比数列 ∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc
∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2 =2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2) ＝a2－2ad＋d2 ＝(a－d)2＝右边 证毕． 证法二∵a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则： b＝aq，c＝aq2，d=aq3 ∴左边＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2 ＝a2－2a2q3＋a2q6 =(a－aq3)2 ＝(a－d)2=右边 证毕． 说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子．证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性． 【例6】求数列的通项公式： (1){a n}中，a1＝2，a n+1＝3a n＋2 (2){a n}中，a1=2，a2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n＝0 思路：转化为等比数列． ∴{a n＋1}是等比数列 ∴a n＋1=3·3n-1∴a n=3n－1 ∴{a n+1－a n}是等比数列，即 a n+1－a n=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1 再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，a n－a n-1=3·2n-2，
高中数学-等差等比数列经典例题以及详细答案
等差等比数列综合应用 【典型例题】 [例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。 解：等差数列为d a a d a +-,, ∴ ?????=++--=+?-2 2 )32)(()4()()(a d a d a a d a d a ∴ ?????=-+-+-=-) 2()(32)()1(168222222a d a d a a a d a ∴ 2 23232168a d a a =-++- 0432=-+d a 代入（1） 16)24(3 1 82+-?-=-d d 0643232=+-d d 0)8)(83(=--d d ① 8=d 10=a ② 38=d 9 26=a ∴ 此三数为2、16、18或92、910-、9 50 [例2] 等差数列}{n a 中，3931-=a ，76832-=+a a ，}{n b 是等比数列，)1,0(∈q ，21=b ，}{n b 所有项和为20，求： （1）求n n b a , （2）解不等式 2211601 b m a a m m -≤++++Λ 解：（1）∵ 768321-=+d a ∴ 6=d ∴ 3996-=n a n 2011=-q b 10 9 =q ∴ 1 )10 9( 2-?=n n b 不等式10 921601) (21 21??-≤++?+m a a m m m
)1(1816)399123936(2 1 +??-≤-+-? m m m m 0)1(181639692≤+??+-m m m 032122≤+-m m 0)8)(4(≤--m m }8,7,6,5,4{∈m [例3] }{n a 等差，}{n b 等比，011>=b a ，022>=b a ，21a a ≠，求证：)3(≥
(完整版)等比数列测试题含答案
§2.4等比数列练习 1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． 2、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项． 3、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=． 4、通项公式的变形：①n m n m a a q -=；②()11n n a a q --=；③1 1n n a q a -=；④n m n m a q a -=． 5、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ?=?；若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2 n p q a a a =?． 一.选择题：1.下列各组数能组成等比数列的是（ ） A. 111,,369 B. lg3,lg9,lg 27 C. 6,8,10 D. 3,- 2.等比数列{}n a 中，32a =，864a =，那么它的公比q =（ ） A. 4 B. 2 D. 12 3.已知{}n a 是等比数列，n a >0，又知243546225a a a a a a ++=g g g ，那么35a a +=（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4.等比数列{}n a 中，11a =，1q q ≠公比为且，若12345m a a a a a a =g g g g ，则m 为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5. “2 b a c =”是“a 、b 、c 成等比数列”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 6.若{}n a 是等差数列，公差0d ≠，236,,a a a 成等比数列，则公比为（ ） A.1 B. 2 C. 3 D. 4 二.填空题： 7.等比数列中，首项为 98，末项为13，公比为23 ，则项数n 等于 . 8.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 . 9.在等比数列{}n a 中，n a >0，()n N +∈且3698a a a =，则 22242628210log log log log log a a a a a ++++= . 10.若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为是 . ① {}2n a ② {}2n a ③ 1n a ?????? ④ {} lg n a 三.解答题 11.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，求56a a +. 12.已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.
数列综合练习题以及答案解析
数列综合练习题 一．选择题（共23小题） 1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（） A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4） 2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞） 3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（） A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负 4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（） A．2 B．lg50 C．10 D．5 5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（） A．B．C．D． 7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（） A．B．C．D．
8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（） A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，） 9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数： ①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|， 则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（） A．①②③④B．①④C．①②④D．②③ 10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（） A．③④B．①②④C．①③④D．①③ 11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（） A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2 12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（） A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣ 13．如果数列{a n}是等比数列，那么（） A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列 14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D． 15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（） A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C） 16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）
等比数列知识点总结与典型例题+答案
等比数列知识点总结与典型例题 2、通项公式: 4、等比数列的前n 项和S n 公式: (1)当 q 1 时，S n na i n ⑵当q 1时，5罟 5、等比数列的判定方法: 等比数列 等比中项：a n 2 a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0) {a n }为等比数列 通项公式：a n A B n A B 0 {a n }为等比数列 1、等比数列的定义: a n 1 a n 2,且n N * ， q 称为公比 n 1 a n ag a i B n a i 0,A B 0，首项：a 1;公比：q 推广：a n a m q a n a m a n m — \ a m 3、等比中项： （1）如果a, A, b 成等比数 那么A 叫做a 与b 的等差中项，即: A 2 ab 或 A ab 注意：同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个（ （2）数列a n 是等比数列 2 a n a n 1 a q q A'B n A' ( A, B,A',B'为常数) (1) 用定义：对任意的 都有a n 1 qa n 或旦口 q （q 为常数，a n 0） {a n }为 a n
6、等比数列的证明方法: 依据定义：若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ ｛a“｝为等比数列a n 1 7、等比数列的性质： (2) 对任何m,n N*，在等比数列｛a n｝中，有a. a m q n m。 (3) 若m n s t(m,n,s,t N*)，则a. a m a s a t。特别的，当m n 2k 时，得 2 a n a m a k注：3] a n a2 a n 1 a3a n 2 等差和等比数列比较: 经典例题透析 类型一：等比数列的通项公式
(完整版)等比数列经典例题范文
1.(2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B 。 【答案】B 2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公 比为正数，所以,故,选B 3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, , 则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解 析】由得得,再由 得 则,所以,.故选C 4.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n 项和，已知，，则等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 【解析】故选C. 135105a a a ++=33105a =335a =433a =432d a a =-=-204(204)1a a d =+-?=}{n a 3a 9a 2 5a 2a 1a 2 1 222q ( )2 2 8 41112a q a q a q ?=2 2q =}{n a q = 212a a q = == {}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 2 437a a a =2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++1230a d +=8156 8322 S a d =+ =1278a d +=12,3d a ==-10190 10602 S a d =+ =n S {}n a 23a =611a =7S 172677()7()7(311) 49.222 a a a a S +++= ===
等比数列知识点总结与典型例题-(精华版)
等比数列知识点总结与典型例 题-(精华版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义：()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab = 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的n ，都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若 ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质： （2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。
新课标高考数学题型全归纳：等比数列与等差数列概念及性质对比典型例题
等比数列与等差数列概念及性质对比 1．数列的定义 顾名思义，数列就是数的序列，严格地说，按一定次序排列的一列数叫做数列． 数列的基本特征是：构成数列的这些数是有序的． 数列和数集虽然是两个不同的概念，但它们既有区别，又有联系．数列又是一类特殊的函数．2．等差数列的定义 顾名思义，等差数列就是“差相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列． 这个定义的要点有两个：一是“从第2项起”，二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”．这两个要点，刻画了等差数列的本质． 3．等差数列的通项公式 等差数列的通项公式是：a n= a1＋（n－1）d ．① 这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程，又可将a n看作关于变量n的函数，这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具． 从发展的角度看，将通项公式①进行推广，可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质，并由此揭示等差数列公差的几何意义，同时也可揭示在等差数列中，当某两项的项数和等于另两项的项数和时，这四项之间的关系． 4．等差中项 A称作a与b的等差中项是指三数a，A，b成等差数列．其数学表示是： 2b a A + =，或2 A=a＋b． 显然A是a和b的算术平均值． 2 A=a＋b（或 2b a A + =）是判断三数a，A，b成等差数列 的一个依据，并且，2 A=a＋b（或 2b a A + =）是a，A，b成等差数列的充要条件．由此得，等差数列中从第2项起，每一项（有穷等差数列末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项． 值得指出的是，虽然用2A=a＋b（或 2b a A + =）可同时判定A是a与b的等差中项及A是b 与a的等差中项，但两者的意义是不一样的，因为等差数列a，A，b与等差数列b，A，a不是同一个数列． 5．等差数列前n项的和
等比数列经典例题透析
等比数列经典例题透析 类型一：等比数列的通项公式 例1．等比数列{}n a 中，1964a a ?=, 3720a a +=,求11a . 思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组，解出1a 和q ，可得11a ；或注意到下标1937+=+，可以利用性质可求出 3a 、7a ，再求11a . 总结升华： ①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量； ②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）. 举一反三： 【变式1】{a n }为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。 【变式2】{a n }为等比数列，a n ＞0，且a 1a 89=16，求a 44a 45a 46的值。 【变式3】已知等比数列{}n a ，若1237a a a ++=，1238a a a =，求n a 。 类型二：等比数列的前n 项和公式 例2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q. 解析：若q=1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1. 因a 1≠0，得S 3+S 6≠2S 9，显然q=1与题设矛盾，故q ≠1. 由3692S S S +=得，369111(1)(1)2(1) 111a q a q a q q q q ---+=---， 整理得q 3(2q 6-q 3-1)=0， 由q ≠0，得2q 6-q 3-1=0，从而(2q 3+1)(q 3-1)=0， 因q 3 ≠1，故3 1 2 q =-，所以342q =-。 举一反三： 【变式1】求等比数列11 1,,,39 的前6项和。 【变式2】已知：{a n }为等比数列，a 1a 2a 3=27，S 3=13，求S 5. 【变式3】在等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -?=，126n S =，求n 和 类型三：等比数列的性质 例3. 等比数列{}n a 中，若569a a ?=,求3132310log log ...log a a a +++. 举一反三： 【变式1】正项等比数列{}n a 中，若a 1·a 100=100; 则lga 1+lga 2+……+lga 100=_____________.
等比数列的前n项和例题详细解法
等比数列的前n项和例题详细解法?例题解析 【例1】设等比数列的首项为a(a＞0)，公比为q(q＞0)，前n项和为80，其中 最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，求a和q. 解：由S n=80，S2n=6560，故q≠1 ∵a＞0，q＞1，等比数列为递增数列，故前n项中最大项为an． ∴a n=aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q－1 ⑤ 由⑤，⑥联立方程组解得a=2，q=3 证∵Sn=a1＋a1q＋a1q2＋...＋a1q n-1 S2n=S n＋(a1q n＋a1q n+1＋...＋a1q2n-1)
=S n＋q n(a1＋a1q＋...＋a1q n-1)=S n＋q n S n=S n(1＋q n) 类似地，可得S3n=S n(1＋q n＋q2n) 说明本题直接运用前n项和公式去解，也很容易．上边的解法，灵活地处理了S2n、S3n与S n的关系．介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧． 【例2】一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数． 分析设等比数列为{a n}，公比为q，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q2，首项分别为a1，a1q． 解设项数为2n(n∈N*)，因为a1=1，由已知可得q≠1． 即公比为2，项数为8． 说明运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时，对公比q要分情况讨论．有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的．
等差等比数列练习题(含答案)
一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ） （A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列 {}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ） （A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则 y c x a +的值为 （ ） （A ） 2 1 （B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项， y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ） （A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列 （C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ） （A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则 （ ） （A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ） z y x 1,1,1成等差数列 （D ）z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有 （ ） ①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为 （ ） （A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足 5 524-+= n n B A n n ，则 13 5135b b a a ++的值为 （ ） （A ） 9 7 （B ） 7 8 （C ） 2019 （D ）8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ ） （A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列 的前n 项和为 （ ）
等比数列经典例题
等比数列经典例题 例1一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 答：这个数列的第1项与第2项分别是 . 8316 与 例2.三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。 2,,aq aq a ：解：设原来的三个数是 431= -+n n c c
问：如何用a 1和q 表示第n 项a n 1.叠乘法（累乘法） a 2/a 1=q a 3/a 2=q a 4/a 3=q … a n /a n-1=q 这n-1个式子相乘得a n /a 1=q n-1 所以 a n =a 1q n-1 2.不完全归纳法 a 2=a 1q a 3=a 2q=a 1q 2 a 4=a 3q=a 1q 3 … a n =a 1q n-1 1． 在等比数列{a n }中，已知 a 2＝2，a 4a 6＝256，则 a 8 等于（128） 2． 等比数列{a n }中，a 5＝3，则 a 2·a 8 等于（9） 3． 将 20,50,100 这三个数加上相同的常数，使它们成为等比数列， 则其公比是__ 5/3__. 4． 已知等比数列 a n /a 1 {a n }的公比 q ＝ －1 3，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8 ＝ （-3） 5． 在等比数列{a n }中，若 a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25. 求 a 3＋
a 5 的值． 6． 在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前三项的和为 21， 则 a 3＋a 4＋a 5＝( 84 ) 7． 在等比数列{a n }中，若 a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，则公比 q 值 的可能个数为( 4 ) 8． 已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前 n 项和，且 a 2＝3,4S 2＝S 4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证数列{2an }是等比数列； (3)求使得 S n ＋2>2S n 的成立的 n 的集合． 解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由题意得：??? ?? a 1＋d ＝3 4×(2a 1＋d )＝4a 1＋6d ， 解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. (2)依题意得，12 2n n a a -＝22n － 1 2 2n －3＝4， ∴数列{2n a }为首项为2，公比为4的等比数列， (3)由a 1＝1，d ＝2，a n ＝2n －1，得S n ＝n 2，∴S n ＋2>2S n ?(n ＋2)2>2n 2?(n －2)2<8，∴n ＝1,2,3,4，故n 的集合为：{1,2,3,4}．
数列解答题专练(含答案版)
数列高考真题汇编 1．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n -14n a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，(3分) 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(5分) (2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1) ＝(－1)n －1? ?? ??12n －1＋12n ＋1.(6分) 当n 为偶数时， T n ＝? ????1＋13－? ????13＋15＋…＋? ????12n －3＋12n －1－? ?? ??12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1 . 当n 为奇数时， T n ＝? ????1＋13－? ????13＋15＋…－? ????12n －3＋12n －1＋? ?? ??12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1 .(10分) 2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2 ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2 ＝n . 故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .