高一等比数列及其性质

七错位相减法
1．推导等比数列前n项和的方法
一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
用公比q乘①的两边，可得
qSn＝a1＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn，②
由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
整理得Sn＝ (q≠1)．
2．我们把上述方法叫，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.
(2)由递推关系an＋1＝Aan＋B(A，B为常数，且A≠0，A≠1)求an时，由待定系数法设an＋1＋λ＝A(an＋λ)，可得λ＝ ，这样就构造了等比数列{an＋λ}．
等比数列
一 等比数列的概念
1．定义：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示(q≠0)．
2．递推关系
在数列{an}中，若 ＝q(n∈N*)，q为非零常数，则数列{an}是等比数列．
思考1 下列数列一定是等比数列的是________．
(1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；
(2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．
规律方法a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.
【试一试】在等比数列{an}中，
2．等比数列前n项和公式的使用
公比q≠1时，公式Sn＝ 适用于已知a1，q和项数n，而公式Sn＝ 更适用于已知a1，q和末项an，使用时依据条件灵活选用．
思考 设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1(n∈N*)，则f(n)等于( )
A. (8n－1)B. (8n＋1－1)C. (8n＋2－1)D. (8n＋3－1)
八 等比数列前n项和的变式
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝ ＝ ＝ ＝ － ；
当q＝1时，Sn＝．
2．当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝ ，它可以变形为Sn＝－ ·qn＋ ，设A＝ ，上式可写成Sn＝．由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．
五 等比数列的性质
1．如果m＋n＝k＋l，则有．
2．如果m＋n＝2k，则有am·an＝．
3．若m，n，p成等差数列，则am，an，ap成等比数列．
4．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为数列．
5．如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列 ，{an·bn}， ，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为 ，q1q2， ，|q1|.
思考1 已知等比数列{an}中，a1＝1，a3＝9，则a2＝______．
思考2 除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式．
四 等比数列的通项公式的推广
{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝，an＝m，n∈N*)．
思考1 如何推导an＝amqn－m?
思考2 若已知等比数列{an}中，q＝3，a3＝3，则a7＝____．
(1)定义法： ＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列．
(2)等比中项法：a ＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列．
(3)通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列．
【试一试】已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a －(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
2．Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)．
3．若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则 ＝q．
思考 在等比数列{an}中，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则S6等于( )
A．140 B．120 C．210 D．520
【知识梳理1】等比数列的通项公式及应用
例1在等比数列{an}中，
(1)1，3，32，33，…，3n－1，…；
(2)－1，1，2，4，8，…；
(3)a1，a2，a3，…，an，….
思考2 若数列{an}满足an＋1＝2an(n∈N*)，那么{an}是等比数列吗？
二等比中项的概念
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的，且G＝
三 等比数列的通项公式
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，该等比数列的通项公式为．
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．
思考 在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)且前n项和Sn＝3n－1＋k，则实数k等于________．
九 等比数列前n项和的性质
1．连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m)仍构成数列．(注意：q≠－1或m为奇数)
6．等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….
思考 在等比数列{an}中， ＝________，a5·a11＝________．
六 等比数列前n项和公式
1．等比数列前n项和公式
(1)公式：Sn＝
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．
(1)求a2，Βιβλιοθήκη 3；(2)求{an}的通项公式．
【知识梳理3】构造等比数列求数列的通项公式
例3已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
规律方法(1)已知数列的前n项和，或前n项和与通项的关系求通项，常用an与Sn的关系求解．
(1)已知a3＝2，a5＝8，求a7；
(2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an.
【知识梳理2】等比数列的判定与证明
例2已知f(x)＝logmx(m＞0且m≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…是首项为4，公差为2的等差数列，
求证：数列{an}是等比数列．
规律方法判断一个数列是不是等比数列的常用方法