等比数列及其性质
等比数列的基本性质与求和公式
等比数列的基本性质与求和公式等比数列是数学中常见的一种数列，它的前后两项的比值始终保持不变。
等比数列具有许多重要的性质和求和公式，本文将对这些性质和公式进行详细介绍与解析。
一、等比数列的基本性质等比数列的基本性质包括公比、通项公式以及前n项和的公式。
1. 公比公比是等比数列中相邻两项的比值，通常用字母q表示。
对于等比数列{a1, a2, a3, ...}，公比q = a2/a1 = a3/a2 = ...。
公比q可以是正数、负数或零。
2. 通项公式等比数列的通项公式是指根据数列的首项和公比，可以得到任意项的数值表达式。
对于等比数列{a1, a2, a3, ...}，通项公式为an = a1 *q^(n-1)，其中n表示项数，an表示第n项。
通项公式可以帮助我们方便地计算等比数列中任意一项的数值。
3. 前n项和公式等比数列的前n项和公式是指根据数列的首项、公比和项数，可以得到前n项之和的表达式。
前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和。
这个公式的推导涉及到对等比数列求和的方法，下文我们将介绍这个求和方法的详细步骤。
二、等比数列的求和公式的推导为了推导等比数列的求和公式，我们可以从以下几个步骤入手：Step 1: 假设等比数列的首项为a1，公比为q。
Step 2: 将等比数列的前n项和用Sn表示。
Step 3: 将等比数列的首项a1与公比q对齐。
Step 4: 将等比数列展开为a1, a1*q, a1*q^2, ..., a1*q^(n-1)。
Step 5: 将等比数列反向展开为a1*q^(n-1), a1*q^(n-2), ..., a1*q^2,a1*q, a1。
Step 6: 将两个等比数列按位相减，并观察相减结果的特点。
Step 7: 将相减结果与等比数列前n项和Sn相加，并观察相加结果的特点。
Step 8: 确定等比数列的前n项和公式Sn。
什么是等比数列是什么意思
什么是等比数列是什么意思等比数列是说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数。
那么你对等比数列了解多少呢?以下是由店铺整理关于等比数列的内容，希望大家喜欢!什么是等比数列等比数列是说如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。
其中an中的每一项均不为0。
注：q=1 时，an为常数列。
等比数列的性质(1)若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。
(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。
(3)若“G是a、b的等比中项”则“G^2=ab(G≠0)”。
(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
(5)等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。
(6)若(an)为等比数列且各项为正，公比为q，则(log以a为底an 的对数)成等差，公差为log以a为底q的对数。
(7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。
注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
(8)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
等比数列求通项方法(1)待定系数法：已知a(n+1)=2an+3，a1=1，求an?构造等比数列a(n+1)+x=2(an+x)a(n+1)=2an+x，∵a(n+1)=2an+3 ∴x=3∴(a(n+1)+3)/(an+3)=2∴{an+3}为首项为4，公比为2的等比数列，所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3(2)定义法：已知Sn=a·2^n+b,，求an的通项公式?∵Sn=a·2^n+b∴Sn-1=a·2^n-1+b∴an=Sn-Sn-1=a·2^n-1等比数列实际应用等比数列在生活中也是常常运用的。
等比数列基本概念和性质
等比数列基本概念和性质1、等比数列的判断方法：()()*12,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比。
2、等比数列的通项：11n n a a q -= 或者n m n m a a q -= 。
3、等比数列的前n 和：(1) 当1q =时， 1n S na =；(2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --==-- 4、等比中项：若,,a A b 成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2A ab =。
性质：1、等比数列公比：1,(2)n n a q n a -=≥或n m n ma q a -= 2、通项的关系：当m n p q +=+时,则有m n p q a a a a =；当2m n p +=时，则有2m n p a a a =，其中*),,,(N q p n m ∈3、常见等比数列：{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}n k a ,{}n k a ⋅,{}k n a ,{}n n k a b ⋅⋅{}n n a b (k 为非零常数) 均为等比数列. 4、若{}n a 为等比数列,则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -⋅⋅⋅，成等比数列.5、 1）若{}n a 是公比为q 的等比数列,则n n m n m S S q S +=+⋅ 2）项数为偶数2n 的等比数列有：1S S q=奇偶。
1.已知}{n a 是首项为1的等比数列，公比2=q ，若前n 项和为127=n S ，则=n2. 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为3. 已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，5321=a a a ，10987=a a a ，则=654a a a ，=876a a a4. 设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，则=34a S5．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 .6. 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6= .7．已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a = .8. 已知数列{}n a 是等比数列，若210,30m m S S ==，则3m S =9. 在等比数列{}n a 中，若394,1a a ==，则6a = ；若3114,1a a ==，则7a =10. 在等比数列{}n a 中，()5615160,a a a a a a b +=≠+=，则2526a a += ；105106a a += ；11. 在等比数列{}n a 中，公比2q =，前99项的和9956S =，则36999a a a a +++⋅⋅⋅+= ；12. 设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则96S S = ；13．已知实数列是}{n a 等比数列,其中5547,14,,1a a a +=且成等差数列.求数列}{n a 的通项公式与前n 项和记为n S14. 已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+． （Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S 。
等比数列概念及性质
an am q
变通公式
nm
( n, m N )
*
性质1：设an , am为等比数列an 中任意两项， 且公比为q，则an am q
证明
nm
.
设等比数列an 的首项为a1 , 公比为q， 则有an a1q , am a1q
n 1 m 1
an nm nm 从而 q , 即an am q . am
例题3：一个等比数列的第3项和第4 项分别是12和18，求它的第1项和第2 项。
1.在等比数列{an}中，已知
a 3 20, a 6 160
求an.
四. 应用示例
例2.根据右图的框图,写出所打印 数列的前5项,并建立数列的递 推公式.这个数列是等比数列吗?
开始
A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否
例3.已知等比数列an 的首项为a1 , 公比为q，依次取出数列an 中所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？
变式1：如果依次取出a1 , a4 , a7 , a10 ,构成一个新数列， 该数列是否还是等比数列？
思考：你能得到更一般的结论吗？
① 1，-1，1，…，(-1)n+1 ；√
②1，2，4，6…；× ③a，a，a，…，a； ×
④已知a1=2，an=3an+1 ； √
⑤
m, 2m, 4m ,8m ,... ×
2
3
⑥2a，2a，2a，…，2a. √
2、求出下列等比数列中的未知项： 1 (1)2，a，8；(2)－4，b，c， . 2
思考2：公比q<0时，等比数列呈现怎样的特 点？ 正负交替
第二课时
二、新课
等比数列的性质与公式
等比数列的性质与公式数列是数学中常见的一种序列，根据元素之间的规律可以分为等差数列和等比数列等。
在本文中，我们将重点讨论等比数列的性质与公式。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中aₙ表示第n项的值。
二、等比数列的性质1. 公比的性质公比为r的等比数列中，如果r>1，则数列是递增的；如果0<r<1，则数列是递减的；如果r=1，则数列是恒定的。
2. 通项公式等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * r^(n-1)，通过该公式可以求出任意项的值。
3. 首项、公比与项数的关系根据等比数列的通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)，我们可以得到首项、公比和项数之间的关系：aₙ = a₁ * r^(n-1)a₂ = a₁ * rr = a₂ / a₁a₃ = a₁ * r^2...即等比数列的第n项等于首项乘以公比的n-1次方。
4. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和记为Sₙ，可以通过以下公式计算：Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)其中n表示项数。
三、等比数列的常见问题1. 求等比数列中某一项的值如果已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，我们可以通过通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)计算出该项的值。
2. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，可以通过前n项和的公式Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)求得。
3. 求等比数列的项数已知等比数列的首项a₁、公比r和某一项的值aₙ，可以通过项数的对数形式求得：n = logₐ( aₙ / a₁ ) + 1其中logₐ表示以a为底的对数运算。
四、等比数列的应用等比数列在实际问题中有着广泛的应用。
例如在金融领域，利率、汇率等都可以用等比数列的形式来描述；在自然科学研究中，细胞分裂、物种繁殖等也常常涉及等比数列的计算。
等比数列的概念与性质
等比数列的概念与性质等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项与同一常数的乘积。
等比数列的概念与性质在数学中占有重要地位，对于理解数列的变化规律以及解决实际问题都有着重要的意义。
一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项与同一常数的乘积。
设等比数列的首项为a，公比为r（r≠0），则等比数列的前n项可以用以下公式表示：an = a * r^(n-1)，其中n为项数。
二、等比数列的性质1. 公比的意义：公比决定了等比数列中相邻两项之间的比值关系。
当公比r大于1时，等比数列呈现递增趋势；当公比r小于1但大于0时，等比数列呈现递减趋势；当公比r等于1时，等比数列的各项相等。
2. 通项公式：等比数列的第n项可以使用通项公式an = a * r^(n-1)来表示，其中a 为首项，r为公比。
3. 前n项和的计算：等比数列的前n项和Sn可以使用等比数列求和公式来计算，公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中n为项数，a为首项，r为公比。
4. 无穷项和的计算：当公比的绝对值小于1时，等比数列的无穷项和可以通过求和公式求得：S∞ = a / (1 - r)，其中a为首项，r为公比。
5. 等比数列的性质：等比数列中的任意三项可以构成一个等比比例。
根据这个性质，可以使用等比数列来解决各种实际问题，如利润增长、贷款还款等。
三、等比数列的应用举例1. 财务管理：等比数列的概念和性质在财务管理中有广泛的应用。
例如，某公司的年度利润按等比数列增长，首年利润为10万元，公比为1.2。
我们可以利用等比数列的性质计算出第5年的利润为10万 * 1.2^(5-1) = 18.14万元。
2. 投资与滚动利息：等比数列的应用还可用于计算投资的滚动利息。
假设某人将1000元以5%的年利率存入银行，每年滚动利息再投入银行，求10年后的本息和。
我们可以利用等比数列的性质计算出10年后的本息和为1000 * (1.05^10) = 1628.89元。
等比数列的性质与应用
等比数列的性质与应用等比数列是数学中的一种特殊数列，它的性质和应用十分广泛。
在本文中，我将介绍等比数列的性质及其在实际问题中的应用。
1. 等比数列的定义与性质等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比相等的数列。
假设数列的首项为a，公比为r，那么它的第n项可表示为an = ar^(n-1)。
等比数列具有以下性质：a) 公比为零或正数时，数列递增；公比为负数时，数列递减；b) 数列中的任意项可以通过前一项与公比的乘积得到；c) 等比数列的前n项和可以用公式Sn = a(1-r^n)/(1-r)计算。
2. 等比数列的应用等比数列的性质在各个领域中都有着广泛的应用。
以下是其中几个重要的应用：2.1. 财务与投资在财务与投资领域，等比数列的应用尤为突出。
例如，计算利息、年金、股票投资等等，都可以基于等比数列的概念进行计算。
根据等比数列的定义以及性质，可以推导出各种金融公式，为理财人员提供便捷的计算方法。
2.2. 自然科学等比数列在自然科学领域中也有着广泛的应用。
例如，在生物学中，细胞的分裂、种群的增长等往往可以用等比数列来描述。
在物理学中，声音的强度、光的强度等都可以用等比数列来衡量。
2.3. 工程与建筑在工程与建筑领域，等比数列常被用于设计与构建过程中的各种问题。
例如，设计方密切关注物体的尺寸、比例是否满足等比关系；建筑师在设计建筑物的时候，也需要考虑材料的长宽比、高度比等等。
2.4. 统计学在统计学中，等比数列可用于描述人口增长、物品销售情况、市场份额等。
利用等比数列的性质，统计学家可以更准确地预测未来的趋势，做出科学的决策。
3. 等比数列问题的解决方法为了解决等比数列问题，通常可以采用以下几种方法：3.1. 直接计算法对于已知首项和公比的等比数列问题，可以直接使用等比数列的公式进行计算。
通过计算每一项的值或者前n项的和，可以得到问题的答案。
3.2. 求比方式有时候，问题给出的信息不够明确，无法直接使用等比数列的公式。
等比数列的概念与性质
等比数列的概念与性质等比数列是数学中常见且重要的数列之一。
在等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，这个比值称为公比。
本文将介绍等比数列的概念和性质，以及如何应用等比数列解决实际问题。
一、等比数列的概念等比数列是指数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
简而言之，等比数列满足以下条件：1. 第一项 a_12. 公比 r根据上述条件，等比数列的通项公式可以表示为 a_n = a_1 * r^(n-1)，其中 n 为项数。
二、等比数列的性质等比数列具有以下性质：1. 公比的符号决定数列的性质- 当公比 r 大于 1 时，数列是递增的。
- 当公比 r 介于 0 和 1 之间时，数列是递减的。
2. 等比数列的前 n 项和- 当公比 r 不等于 1 时，等比数列的前 n 项和可以表示为 S_n =a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)。
- 当公比 r 等于 1 时，等比数列的前 n 项和为 n * a_1。
3. 等比数列的无穷项和- 当公比 r 的绝对值小于 1 时，等比数列的无穷项和可以表示为 S = a_1 / (1 - r)。
- 当公比 r 的绝对值大于等于 1 时，等比数列的无穷项和不存在。
4. 等比数列的前 n 项平方和- 当公比 r 不等于 1 时，等比数列的前 n 项平方和可以表示为 S_n' = (a_1^2 * (1 - r^2n)) / (1 - r^2)。
- 当公比 r 等于 1 时，等比数列的前 n 项平方和为 n * a_1^2。
三、等比数列的应用举例等比数列广泛应用于实际问题的求解中。
以下是几个应用等比数列的例子：1. 存款问题假设某人每年将存款的一定比例保留，其余部分用于消费。
如果从第一年开始，每年的存款比上一年减少 20%，那么第 n 年的存款是多少？解：假设第一年的存款为 a_1，公比为 r = 1 - 20% = 0.8。
根据等比数列的通项公式 a_n = a_1 * r^(n-1)，可以得到第 n 年的存款为 a_n = a_1 * 0.8^(n-1)。
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§6.3 等比数列
一．课程目标
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；
2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；
3.了解等比数列与指数函数的关系.
二．知识梳理
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q (q ≠0)表示. 数学语言表达式：a n
a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数).
(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝±ab .
2. 等比数列的通项公式及前n 项和公式
(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －
1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －
m .
(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q
1－q .
3.等比数列的性质
已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n .
(2)数列}{},{),}({n n n n b a a c a c ⋅≠⋅0（}{n b 是等比数列），}{2
n a ，}{
n
a 1
等也是等比数列。
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .
(4)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . (5)等比数列{a n }的单调性：
当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是递增数列； 当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是递减数列； 当q ＝1时，数列{a n }是常数列. (6)当n 是偶数时，q S S ⋅=奇偶; 当n 为奇数时，q S a S ⋅+=偶奇1
三．考点梳理
1.等比数列的概念及运算
例1.在单调递减的等比数列}{n a 中，若13=a ，2
5
42=+a a ，则1a ＝( ) A.2 B.4
C. 2
D.2 2
例2.公比不为1的等比数列}{n a 满足187465=+a a a a ，若91=m a a ，则m 的值为( ) A.8
B.9
C.10
D.11
例3.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.
2.等比数列的性质
例 1.(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________.
例2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9
S 6＝( )
A.2
B.7
3
C.83
D.3
例3.(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A.21 B.42
C.63
D.84
例4.设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A.150 B.－200 C.150或－200
D.400或－50
例5.在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A.12 B.13 C.14 D.15
例6.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2
n 等于( )
A.(3n －1)2
B.1
2
(9n －1) C.9n －1
D.1
4
(3n －1)
例7.在等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是________.
例8.已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则)
(log 9753
1a a a ++的值是( )
A ．－5
B ．－15
C ．5
D ．15
例9.在各项均为正数的等比数列{a n }中，121253+=-=a a ,，则73622
32a a a a a ++=
（ ）
A.8 B ．6 C ．4 D ．248-
例10.若等比数列}{n a 的前n 项均为正数，且5
12911102e a a a a =+，则
=+⋅⋅⋅++2021a a a ln ln ln _________.
例11.设等差数列}{n a 的前n 项和为S n ,若301163<<<<-a a ,,则9S 的取值范围是________.。