等比数列求和公式及性质
等比数列的性质和求和公式
等比数列的性质和求和公式等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。
在数学中，等比数列有自己独特的性质和求和公式，本文将详细介绍这些内容。
一、等比数列的性质1. 公比：等比数列中，任意两项之间的比值称为公比，通常用字母q表示。
公比q不为零，且常数项不为零时才能构成等比数列。
当q>1时，数列为递增的；当0<q<1时，数列为递减的。
2. 通项公式：等比数列中，第n项an与第一项a1之间存在以下关系：an = a1 * q^(n-1)3. 任意两项之比：等比数列中，第n项与第m项之间的比值可表示为：an / am = q^(n-m)4. 前n项和：等比数列的前n项和Sn可通过以下公式计算：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)二、等比数列的求解及应用1. 求解等比数列的常见问题：a) 已知首项a1和公比q，求第n项an：根据等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，代入已知的a1和q即可求得an；b) 已知首项a1和第n项an，求公比q：将已知的an代入等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，解方程即可求得q；c) 已知首项a1、公比q和项数n，求前n项和Sn：利用等比数列的求和公式Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)，代入已知的a1、q和n即可求得Sn。
2. 等比数列的实际应用：a) 财务分析：等比数列的求和公式可以应用于财务分析中的复利计算，用于计算投资收益等问题；b) 科学研究：等比数列可以用于描述一些自然界和社会现象中的增长和衰减规律，如生物种群的繁殖、细菌的增长等；c) 工程问题：等比数列可以应用于工程问题中的增长和递减模型，如工程材料的强度、电路中的电压等。
三、案例分析假设有一个等比数列的首项a1为2，公比q为3，项数n为4，我们可以通过等比数列的性质和求和公式来计算该等比数列的一些重要性质。
首先，根据等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，可以求得该数列的各项：a2 = 2 * 3^1 = 6a3 = 2 * 3^2 = 18a4 = 2 * 3^3 = 54其次，利用等比数列的求和公式Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)，可以求得前4项和：S4 = 2 * (3^4 - 1) / (3 - 1) = 2 * (81 - 1) / 2 = 40所以，该等比数列的第4项为54，前4项和为40。
等比数列求和公式及性质
26
例6 五洲电扇厂去年实现利税300万元， 计划在5年中每年比上年利税增长10%， 问从今年起第5年的利税是多少？这5年 的总利税是多少？（结果精确到万元）
等比数列的前n项和例题
解 每年的利税组成一个首项a1 300，公比 q 110%的等比数列.
从今年起,第5年的利税为: a6 a1q5 300 (1 10%)5 300 1.15 483(万元)
2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解：
a1
1, q 2,
1 (1 24 )
S4 1 2 15.
S10
1 (1 210 ) 1 2
1023
.
从第5项到第10项的和: S10 S4 1023 15 1008 .
3. 求等比数列 3 , 3 , 3 , 从第3项到第7项的和.
(一) 用等比定理推导 因为 所以
当 q = 1 时 Sn = n a1 5
(二）公式推导
Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1
= a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 =) a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
Sn=
(a1
an 2
)n
n(n 1) Sn na1 2 d
？
问题提出
小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月（30天）中小明 第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前 一天多贷1万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二 天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍， 試计算30天后两人各得的钱数.
等比数列求和的公式
等比数列求和的公式等比数列是指一个数列中每一项与它前一项的比值都相等的数列。
比如：1，2，4，8，16，……就是一个等比数列，因为第n项与第n-1项之间的比值都是2。
等比数列求和的公式可以帮助我们快速计算出这样一个数列中前n项的和。
公式所需的变量设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an。
公式等比数列的求和公式为：S= a1(1 - q^n) / (1 - q)其中 S 表示等比数列的前n项和。
根据这个公式，我们可以算出等比数列中前n项的和。
需要注意的是，若q=1，则公式失去意义，此时等比数列退化为等差数列，应当使用等差数列的求和公式。
下面，我们列举一些例子，以帮助大家更好地理解这个公式。
例子1：1，2，4，8，16，……是一个公比为2的等比数列。
求该数列的前5项和。
首先，根据公式，我们有：S= a1(1 - q^n) / (1 - q)代入等比数列的值：S= 1(1 - 2^5) / (1 - 2)计算得：S= 31因此，该等比数列前5项的和为31。
例子2：2，-4，8，-16，32，……是一个公比为-2的等比数列。
求该数列的前6项和。
同样使用求和公式：S= a1(1 - q^n) / (1 - q)代入等比数列的值：S= 2(1 - (-2)^6) / (1 - (-2))计算得：S= 126因此，该等比数列前6项的和为126。
例子3：1，3，9，27，……是一个公比为3的等比数列。
求该数列前4项的和。
此时，根据公式：S= a1(1 - q^n) / (1 - q)代入等比数列的值：S= 1(1 - 3^4) / (1 - 3)计算得：S= 40因此，该等比数列前4项的和为40。
需要注意的是，在使用等比数列求和公式时，一定要将公比的值算出来，否则将无法计算出正确的结果。
此外，公比也不能为0，否则数列中会有0，一旦出现0，公式也将失去意义。
等比数列 公式
等比数列公式
等比数列的公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1
为首项，r为公比，n为项数。
可以利用等比数列的公式求解问题，例如求和公式、通项公式等。
1.等比数列的求和公式：
Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项和。
2.求等比数列的项数：
如果已知数列前两项a1和a2，以及公比r，可以利用以下公式求
解项数n：
n = log(v)/log(r)，其中v为已知项数与a1的比值。
3.求等比数列的前n项和：
已知数列首项a1、公比r以及项数n，可以直接利用求和公式Sn
求解。
4.求等比数列中的任意项：
可以利用通项公式an = a1 * r^(n-1)求解。
5.拓展应用：
等比数列的概念也可以推广到小数、分数等数值形式的比值，即存在小数或分数形式的公比的等比数列。
此时公式仍然成立，只是公比r为小数或分数形式。
拓展到多次比值变化的情况，可以得到多项式数列（也称作等差-等比混合数列）等相关概念和公式。
等比数列的通项与求和公式
等比数列的通项与求和公式等比数列是数学中常见的一种数列形式，它的每一项与前一项的比值都是一个常数。
在等比数列中，我们可以通过一些公式来求解其通项和求和。
一、等比数列的定义与性质等比数列是指一个数列中，每一项与前一项的比值都是一个常数。
这个常数称为等比数列的公比，通常用字母q表示。
对于一个等比数列{a₁, a₂, a₃, ...}，它的公比为q，那么可以得到以下性质：1. 第n项与第m项的比值等于q的n-m次方，即aₙ/aₙ = q^(n-m)。
2. 等比数列的任意一项都可以表示为第一项乘以公比的n-1次方，即aₙ = a₁* q^(n-1)。
3. 等比数列的前n项和可以表示为第一项乘以公比的n次方减一，再除以公比减一，即Sₙ = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)。
二、等比数列的通项公式的推导为了推导等比数列的通项公式，我们可以利用等比数列的性质。
假设等比数列的第一项为a₁，公比为q，那么根据等比数列的性质2，第n项可以表示为aₙ = a₁ * q^(n-1)。
三、等比数列的求和公式的推导同样地，为了推导等比数列的求和公式，我们可以利用等比数列的性质。
假设等比数列的第一项为a₁，公比为q，那么根据等比数列的性质3，前n项和可以表示为Sₙ = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)。
四、等比数列的应用举例等比数列的通项公式和求和公式在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些应用举例：1. 财务投资：假设某人每年向银行存入1000元，年利率为5%。
那么他每年的存款金额就可以构成一个等比数列，其中第一项为1000，公比为1.05。
通过等比数列的通项公式，可以计算出第n年的存款金额。
而通过等比数列的求和公式，可以计算出n年内的总存款金额。
2. 科学实验：在某个科学实验中，每次实验的结果都是前一次实验结果的一半。
这个实验结果就可以构成一个等比数列，其中第一项为1，公比为0.5。
通过等比数列的通项公式，可以计算出第n次实验的结果。
等比数列及其求和公式
等比数列及其求和公式数列是数学中常见的一种序列，其中等比数列是一种特殊的数列。
在等比数列中，每一项与前一项的比值都保持不变，这个比值叫做公比。
等比数列常常出现在各个领域的问题中，如金融、科学、工程等。
等比数列的通项公式可以表达为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比，n表示项数。
通过这个通项公式，我们可以方便地计算等比数列的各项数值。
除了计算单独的项数外，我们还可以通过求和公式来计算等比数列的和。
等比数列的求和公式可以表达为：S = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中S表示等比数列的和，a1表示首项，r表示公比，n表示项数。
下面我们通过一个具体的例子来说明等比数列及其求和公式的应用。
例子：某公司的销售代表每天要拜访客户，第一天拜访了1个客户，之后每天拜访的客户数都是前一天的2倍。
现在我们需要计算该销售代表连续拜访第5天至第10天的总客户数。
首先，我们可以通过等比数列的通项公式计算出前10天的客户数：第1天：a1 = 1公比：r = 2客户数可以表示为：an = a1 * r^(n-1)第2天：a2 = a1 * r^1 = 1 * 2 = 2第3天：a3 = a1 * r^2 = 1 * 2^2 = 4第4天：a4 = a1 * r^3 = 1 * 2^3 = 8第5天：a5 = a1 * r^4 = 1 * 2^4 = 16第6天：a6 = a1 * r^5 = 1 * 2^5 = 32第7天：a7 = a1 * r^6 = 1 * 2^6 = 64第8天：a8 = a1 * r^7 = 1 * 2^7 = 128第9天：a9 = a1 * r^8 = 1 * 2^8 = 256第10天：a10 = a1 * r^9 = 1 * 2^9 = 512接下来，我们可以使用等比数列的求和公式计算第5天至第10天的总客户数：S = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，a1 = 1，r = 2，n = 10S = 1 * (1 - 2^10) / (1 - 2)= 1 * (1 - 1024) / (-1)= 1 * (-1023) / (-1)= 1023因此，销售代表连续拜访第5至第10天的总客户数为1023。
等比数列求和公式有哪些
等比数列求和公式有哪些高中数学的等比数列求和公式还有哪些同学知道呢?如果不知道，请往下看。
下面是由小编小编为大家整理的“等比数列求和公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。
1)等比数列：a(n+1)/an=q, n为自然数。
(2)通项公式：an=a1*q^(n-1);推广式：an=am·q^(n-m);(3)求和公式：Sn=n*a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1q^n)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即a-aq^n)(前提：q不等于 1)(4)性质：①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am·an=ap*aq;②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.(5)“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.(6)在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
首项a1,公比qa(n+1)=an*q=a1*q^(n )Sn=a1+a2+..+anq*Sn=a2+a3+...+a(n+1)qSn-Sn=a(n+1)-a1S=a1(q^n-1)/(q-1)1、等比数列的意义：一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数，即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)，这个数列叫等比数列，其中常数q 叫作公比。
如：2、4、8、16......2^10 就是一个等比数列，其公比为2，可写为(A2)的平方=(A1)x(A3)。
等比数列求和公式：Sn=n×a1 (q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)=a1(q^n-1)/(q-1)(q为公比，n为项数)等比数列求和公式推导：Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1)Sn-q*Sn=a1-a(n+1)(1-q)Sn=a1-a1*q^nSn=(a1-a1*q^n)/(1-q)Sn=(a1-an*q)/(1-q)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)3、数学：数学(mathematics)，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。
等比数列的概念与求和公式
等比数列的概念与求和公式等比数列，又称为几何数列，是数学中一种特殊的数列。
在等比数列中，每个数都是前一个数与一个常数的乘积得到的。
等比数列的概念及其求和公式是数学中基础且重要的内容。
本文将着重介绍等比数列的概念以及如何求解等比数列的和。
一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项成等比关系。
假设等比数列的首项为a₁，公比为r，那么数列中的任意一项可以表示为：a₂ = a₁ × ra₃ = a₂ × r = a₁ × r²a₄ = a₃ × r = a₁ × r³......aₙ = a₁ × r^(n-1)其中，a₂表示等比数列的第二项，a₃表示等比数列的第三项，依此类推，aₙ表示等比数列的第n项。
二、等比数列的求和公式对于一个有限的等比数列，我们希望求得所有项的和，即等比数列的部分和。
为了方便计算，我们用Sₙ来表示等比数列的前n项和。
那么，对于等比数列的求和，存在以下公式：Sₙ = a₁(1 - rⁿ) / (1 - r)其中，Sₙ表示等比数列的前n项和，a₁表示等比数列的首项，r表示等比数列的公比，n表示等比数列的项数。
三、求解等比数列的实例为了更好地理解等比数列及其求和公式的应用，让我们通过一个具体的例子进行演示。
例：求解等比数列1, 3, 9, 27, 81的前5项和。
解：根据等比数列的求和公式，我们可以将问题转化为代入公式计算，即：S₅ = a₁(1 - r⁵) / (1 - r)其中，a₁ = 1（首项），r = 3（公比），n = 5（项数）。
将这些值代入公式，我们可以得到：S₅ = 1(1 - 3⁵) / (1 - 3)= 1(1 - 243) / (-2)= 1(-242) / (-2)= 121因此，等比数列1, 3, 9, 27, 81的前5项和为121。
结语等比数列是数学中重要的概念之一，它在现实生活中的应用广泛，比如金融领域的利率计算、自然科学中的指数增长模型等。
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1-
qn
1
若：q≠1
Sn
a1(1 qn ) 1 q
若q=1, Sn na1
{a1(1-q n)
∴ Sn=
1-q
(q=1)
a n· 1 (q=1)
(一) 用等比定理推导 因为 所以
当 q = 1 时 Sn = n a1 6
(二）公式推导
Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1
练习:
（1）如果一个等比数列前5项的和等 于10，前10项的和等于50，那么它前 15项的和等于多少？
(2) 已知Sn是等比数列an 的
前n项和, 且Sn 48, S2n 60. 求S3n的值.
思考：
求和：Sn
1 2
2 4
3 4 8 16
n 2n
.
（提示：设 an
na1(q 1)
若{an}是等比数列 an kqn
（1） an am qnm
qnm an
（2）
am
若m n p q,
求q
则am an ap aq
（3）若数列 {an} 是等比数列，则 Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4习1
S 1. 根据下列条件，求相应的等比数列 an 的 n
(1)a1 3, q 2, n 6;
S6
3 (1 26 ) 1 2
189 .
(2)a1 2.4, q 1.5, n 5;
S5
2.4 [1 (1.5)5 ] 1 (1.5)
.
1、等比数列1，2，4，8，…从第5项到
第10项的和为
S
S10 S4
1 210 1 2
1 24 1 2
或 S a5 1 q6 1 q
24 1 26 1 2
2、求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的 前n项和。
3、求和：(x
1) (x2 y
3. 求等比数列 3 , 3 , 3 , 从第3项到第7项的和.
2 48
解： a1
3,q 2
1 2 , S7
3
1
1
7
2 2
1 1
381. 128
2
从第3项到第7项的和:
S7
3 2
3 4
381 128
9 4
153 128
10
1
1
1
10
Sn
a1(1 qn ) 1 q
S10
2 1
1
2
1023. 512
（2）已知等比数列{an}中，a1=2,q=3,求S3
解（2）S3
2 （1- 33）
1-3
26
例6 五洲电扇厂去年实现利税300万元， 计划在5年中每年比上年利税增长10%， 问从今年起第5年的利税是多少？这5年 的总利税是多少？（结果精确到万元）
练习3：一个等比数列的第3项与第4项分别是 12与18，求它的第1项与第2项
q a 解：设这个等比数列的第1项是 1 ，公比是 ，那么
消
a1q 2
a1q
3
12 18
a1
16 3
q
3 2
a2
a1q
16 3
3 2
8
元
16 答：这个数列的第1项与第2项分别为 与 8
2S30 2(1 2 22 23 229 ).
即2S30 2 22 23 L 229 230. S30 2S30 1 230
(2)
S30 1 230 S30 230 1 1073741823 分
≈1073.741万元
= a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
Sn
=
a1 ( 1 – 1–q
q
n
)
(q 1)
7
等比数列前n项求和公式
于是
Sn
na1, a1
(q a1q n
1 q
1), , (q
等比数列的前n项和例题
解 每年的利税组成一个首项a1 300，公比 q 110%的等比数列.
从今年起,第5年的利税为: a6 a1q5 300(110%)5 3001.15 483(万元)
这5年的总利润为:
S
a2(q5 1) q 1
300
1.1
1.15 1 1.1 1
1 1
40
3
等比数列的前n项和练习2-3
2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解：
a1
1, q 2,
1 (1 24 )
S4 1 2 15.
S10
1 (1 210 ) 1 2
1023
.
从第5项到第10项的和: S10 S4 1023 15 1008 .
若m+n=p+q, 则aman=apaq
Sn=
(a1
an 2
)n
n(n 1) Sn na1 2 d
？
问题提出
小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月（30天）中小明 第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前 一天多贷1万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二 天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍， 試计算30天后两人各得的钱数.
n 2n
n
1 2n
，其中n为等差数列，
1
2
n
为等比数列，公比为
1 2
，利用错位相减法求和.）
你能登上 月球吗?
能?!
只要你把你手上 的纸对折38次我就 能沿着它登上月球。
哇…
列式： M=1+2+4+8+…+237（页）
课堂小结： 1.等比数列前 n 项和公式推导中蕴含的思想方法以及
等比数列前n项求和公式
推导公式
a a q 已知： 等比数列 { n}， 1， ， n
求：Sn
解：Sn=a1+a2 + a3 +a4 + …+an
=a1+a1q +a1q2+a1q3 +…+a1qn-1
作 减
sq n=a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn
法
a a (1-q)Sn=
1 y2
)
(xn
1 yn )
14
an1 常数
1.定义：{an}为等比数列 ___an_____
2.通项公式：an __an___a_1q_n1
3推.前广n：项a和n 公_式a_m_q:_Sn_nm____
a1(1 qn 1 q
)
(q
1)
4.重要结论：
等差数列
等比数列
定义
an－an-1=d(n≥2)
an q an 1
(n≥2)
通项公式
等差（等比） 中项 下标和公式
Sn
an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
ab A= 2
an=a1·qn-1(q≠0) an=am·qn-m
G= ab
若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq
1).
na1, (q 1)
Sn
a1
anq
1 q
, (q 1).
已知a1,q, n时
已知a1,q, an时
通项公式: an=a1• q n-1
等比数列的前n项和例题
例5（1） 求等比数列 1，1 , 1 , 1 , 的前10项
的和.
248
解:
a1
1, q
1 ,n 2
公式的应用；
2.灵活运用等比数列求和公式进行求和，求和时注 意公比q 3.反思推导求和公式的方法——错位相减法，
可以求形如 xn yn 的数列的和，其中 xn 为 等差数列 ，yn 为等比数列.
布置作业:
课本p31习题1-3 B组2、3. 4
设小林30天得到的钱数T30
T30
123
30
(1 30)30 2
465(万元)
设小明30天得到的钱数S 30
S30 1 2 22 23 229（分）
引入新课
这种求和
同学们考虑如何求出这个和？
的方法,就
S30 1 2 22 23 229. 是(减1错)法位!相
解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，
得
an+1=4/5an
因此，数列{an}是首项a1=25,公比q=4/5的等比数列