等比数列求和公式
等比数列求和公式
等比数列求和公式万年历2013年3月6日星期三10:43 癸巳年正月廿五设置闹钟站内搜索支持本站公益活动等比数列等比数列的通项公式等比数列求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。
(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)；推广式：an=am×q^(n-m)；(3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)(q为比值，n为项数）(4)性质：①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2(5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠0）".(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2）等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1)Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)(前提：q≠1)任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
等比数列的求和公式
等比数列的求和公式在数学中，等比数列是指一个数列中的各项依次相等的数之比保持不变。
求等比数列的和是数学中的一道常见问题，有一个通用的求和公式可以应用于求解。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。
那么等比数列的求和公式可以表示为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示前n项等比数列的和。
下面我们将通过一个例题来说明如何应用等比数列的求和公式。
例题：求等比数列1，2，4，8，16的前5项和。
解析：首先，我们可以将已知条件进行整理，得到a=1，r=2，n=5。
根据等比数列的求和公式，我们可以代入已知条件进行计算：Sn = 1 * (1 - 2^5) / (1 - 2)= 1 * (1 - 32) / -1= -31因此，等比数列1，2，4，8，16的前5项和为-31。
除了直接使用求和公式外，还可以通过拆分等比数列为几个部分来求解。
例如，对于例题中的等比数列1，2，4，8，16，我们可以将其拆分为以下部分进行求和：S1 = 1S2 = 1 + 2S3 = 1 + 2 + 4S4 = 1 + 2 + 4 + 8S5 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16观察可以发现，每一项的和可以通过前一项的和加上当前项来得到。
因此，我们可以利用这个规律，从第一项开始逐步求和，直到求得前n 项的和。
这个方法称为“递推求和法”。
以例题为例，我们可以通过递推求和法来求解：S1 = 1S2 = S1 + 2 = 1 + 2 = 3S3 = S2 + 4 = 3 + 4 = 7S4 = S3 + 8 = 7 + 8 = 15S5 = S4 + 16 = 15 + 16 = 31通过递推求和法，我们得到了前5项等比数列的和为31，与使用求和公式所得结果一致。
总结起来，等比数列的求和问题可以通过求和公式或递推求和法进行求解。
使用求和公式可以直接得到结果，递推求和法则需要逐步计算每一项的和。
根据实际情况选择合适的方法来解决问题。
等比数列的求和公式与性质
等比数列的求和公式与性质等比数列是数学中常见的一种数列形式，它的求和公式以及性质在数学问题的解决过程中非常有用。
本文将介绍等比数列的求和公式与性质。
一、等比数列的求和公式在等比数列中，后一项与前一项的比值常数称为等比数列的公比，用q表示。
若首项为a，公比为q，求和的项数为n时，等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算得出：Sn = a * [(1 - q^n) / (1 - q)]该公式称为等比数列的求和公式。
其中，a表示首项，q表示公比，n表示项数。
二、等比数列求和公式的推导我们来推导等比数列求和公式的过程。
设Sn为要求的等比数列的前n项和，首项为a，公比为q。
首先，我们将等比数列的前n项与公比q相乘得到新的数列，记为qSn，即：qSn = q * [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n)]（式1）然后，我们将等比数列的前n项与公比q相乘后再减去等比数列本身，记为Sn - (aq)，即：Sn - aqSn = [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n)] - [(aq^(n+1))]（式2）对于等比数列的括号中的每一项，我们将其都乘以公比q，得到：Sn - aqSn = [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n)] - [(aq^(n+1))]（式3）= [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n) + (aq^(n+1))] - [(aq^(n+1))]（式4）我们可以看到，等比数列的求和Sn减去公比q与Sn的乘积aqSn 后，得到的结果就是等比数列的前n项与其下一项aq^(n+1)之和。
进一步整理上述式子，化简得到：Sn - aqSn = (aqSn - aq^(n+1)) - [(aq^(n+1))]（式5）Sn - aqSn = aqSn - 2aq^(n+1)+ aq^(n+1)（式6）Sn - (aqSn) = Sn - (aq^(n+1) - aqSn)（式7）括号内的(aqSn)与Sn相减，得到：Sn - (aqSn) = (Sn - aqSn)（式8）再进一步，将式2与式8相结合，消除公式中的Sn-aqSn，得到：Sn - aqSn = (Sn - aqSn) - (aq^(n+1) - aqSn)（式9）Sn - aqSn = 0 - aq^(n+1)（式10）根据等比数列的定义，Sn - aqSn可以表示为Sn - aqSn = Sn*(1-q)，代入式10中，得到：Sn*(1-q) = 0 - aq^(n+1)（式11）将式11两边的Sn移到一边，得到：Sn = a * [(1 - q^n) / (1 - q)]（式12）经过推导，我们成功地得到了等比数列的求和公式。
等比数列求和公式和等差数列求和公式
等比数列求和公式和等差数列求和公式
等比数列求和公式：设等比数列的首项为a，公比为r，求前n项和为Sn，则等比数列求和公式为：
Sn=a*(r^n1)/(r1)
其中，n为项数。
举例说明：
假设有一个等比数列，首项a为3，公比r为2，求前5项的和。
根据等比数列求和公式，代入a=3，r=2，n=5：
S5=3*(2^51)/(21)
=3*(321)/1
=3*31
=93
所以前5项的和为93。
等差数列求和公式：设等差数列的首项为a，公差为d，求前n项和为Sn，则等差数列求和公式为：
Sn=n*(a+l)/2
其中，n为项数，l为最后一项（第n项）。
举例说明：
假设有一个等差数列，首项a为2，公差d为3，求前6项的和。
首先需要确定最后一项l，可以通过等差数列通项公式
an=a+(n1)*d来计算，代入a=2，d=3，n=6：
l=a+(n1)*d
=2+(61)*3
=2+5*3
=2+15
=17
然后，代入公式Sn=n*(a+l)/2，代入n=6，a=2，l=17：
S6=6*(2+17)/2
=6*19/2
=6*9.5
=57
所以前6项的和为57。
等比数列的求和公式与应用
等比数列的求和公式与应用等比数列是数学中常见的数列类型，它的特点是每一项与它的前一项的比都是相等的。
对于一个等比数列，求和公式是其中一个重要的概念。
本文将介绍等比数列的求和公式以及它的应用。
一、等比数列的求和公式对于一个等比数列，如果它的首项是a，公比是r，共有n项，那么它的求和公式为：S_n = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，S_n表示等比数列的前n项和。
二、等比数列求和公式的推导为了更好地理解等比数列求和公式的来源，我们来推导它。
假设等比数列的首项是a，公比是r，前n项和是S_n。
我们可以将等比数列按照如下形式进行反向排列：a * (1 - r^(n-1)), a * (1 - r^(n-2)), ..., a * (1 - r^2), a * (1 - r), a如果我们将这两列数列对应项相加，我们可以得到：(a * (1 - r^n) / (1 - r)) + (a * (1 - r^(n-1)) / (1 - r)) + ... + (a * (1 - r^2) / (1 - r)) + (a * (1 - r) / (1 - r)) + a经过简化，我们可以得到：S_n = (a * (1 - r^n) / (1 - r))这就是等比数列求和公式的推导过程。
三、等比数列求和公式的应用等比数列求和公式在数学和实际生活中都有广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用场景。
1. 财务计算等比数列求和公式可以用于财务计算中。
例如，某人每年的工资增长率是10%，他从毕业到退休共工作30年，那么他的总工资可以通过等比数列求和公式来计算。
2. 数学问题等比数列求和公式可以用于解决一些数学问题。
例如，有一种紧凑的存储设备，每年存储容量增长30%，现在要计算设备在未来5年的总存储容量，就可以使用等比数列求和公式。
3. 基金投资等比数列求和公式还可以应用于基金投资中。
例如，某基金每年的收益率是5%，如果一个人每年投资1000元，持续投资10年，那么他的投资总额可以通过等比数列求和公式来计算。
等比数列公式求和公式
等比数列公式求和公式等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。
等比数列的求和公式是指将等比数列的前n项求和的公式。
下面将详细介绍等比数列和求和公式的相关知识。
一、等比数列的定义等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，那么等比数列的通项公式为：an = a * r^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项。
二、等比数列的性质1. 等比数列的任意项与首项之比等于公比：a2/a1 = a3/a2 = ... = an/a(n-1) = r2. 等比数列的任意项与末项之比等于公比的n-1次方：an/a1 = r^(n-1)3. 等比数列的前n项和可以通过公式计算得到。
三、等比数列的求和公式等比数列的前n项和可以通过求和公式计算得到。
设等比数列的首项为a，公比为r，前n项和为Sn，则有以下求和公式：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)四、等比数列求和公式的推导下面通过推导，来证明等比数列求和公式的正确性。
计算等比数列的前n项和Sn：Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)将Sn乘以公比r：r * Sn = ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^n将等式两边相减：Sn - r * Sn = a - ar^n化简得：Sn * (1 - r) = a * (1 - r^n)再将等式两边除以(1 - r)，得到等比数列的求和公式：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)五、等比数列求和公式的应用等比数列求和公式在数学和实际问题中有着广泛的应用。
通过求和公式，我们可以快速求解等比数列的前n项和，从而简化计算过程。
在金融、工程、物理等领域中，等比数列求和公式也经常被使用。
六、例题解析下面通过一个例题来说明等比数列求和公式的具体应用。
例题：已知等比数列的首项为2，公比为0.5，求该等比数列的前10项和。
等比数列和的求和公式
等比数列和的求和公式
等比数列和的求和公式是一种计算等比数列和的有效方法，它可以有效地帮助人们计算出等比数列的总和。
等比数列是一种特殊条件下的数列，指的是每一项与它的前一项之比相同的数列，记为~{a_n}~。
等比数列的总和可以用公式~S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)~求得，其中
~q~是两项之比。
虽然使用等比数列和的求和公式不难理解，但仍有一些要指出的关键点。
首先，任意一个等比数列都有一个界定的常数~q~，如果~q=1~，那么这个等比数列就变
成了一个等差数列。
而当~q=0~时，前n项及其总和全部变为了a_1。
其次，等比
数列的总和也是有界的，即当~q=-1~时，等比数列的总和是收敛的，而当~q>1~时，等比数列的总和是正无穷的。
最后，如果求解等比数列的总和，可以考虑将等比数列分解为多个等差数列，然后使用等差数列求和公式计算出等比数列总和。
总之，等比数列和的求和公式是一个很有效的等比数列求和方式，也是许多数学计算的基础。
因此，熟悉和正确使用这一公式，对于人们掌握等比数列知识和解决类似问题来说是十分重要的。
等比数列求和公式例题
等比数列求和公式例题等比数列求和公式是求等比数列之和的公式。
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠0。
注：q=1 时，an为常数列。
利用等比数列求和公式可以快速的计算出该数列的和。
1、等比数列求和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1)。
通项公式：an=a1×q^(n-1)2、等差数列求和公式：Sn=na1+n(n-1)d/2。
3、文字公式：末项=首项+(项数-1)×公差；项数＝（末项－首项）÷公差+1；首项=末项-(项数-1)×公差；和=(首项+末项)×项数÷2；末项:最后一位数；首项:第一位数等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。
这个常数叫做等差数列的公差。
前n项和公式为: Sn=a1*n+ [n* (n-1)*d]/2或Sn= [n* (al+an)]/2。
等差数列：an=a1+(n-1)d；知道首尾==> Sn = (a1+an)n/2；知道首项==> Sn = [2na1+n(n-1)d]/2；等比数列：an = a1*q^(n-1)Sn = a1(1-q^n)/1-q当-1<q<1时，Sn非零当n趋于无穷，Sn = a1/1-q等差数列求和公式有①等差数列公式an=a1+(n-1)d、②前n项和公式为:Sn=na1 +n(n-1③若公差d= 1时:Sn=(a1+an④若m+n=p+q则:存在am+an=a⑤若m+n=2p则:am+an=2ap,以上n均等差数列是常见数列的一种可以用AP表示，如果一个数列从第二项起，每-项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差公差常用字母d表示。
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(q2－4)(q2－1)＝0.
(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0，
因为 q<1，解得 q＝－1 或 q＝－2.
当q＝－1时，代入①得a1＝2， 通项公式an＝2×(－1)n－1； 当q＝－2时，代入①得a1＝12， 通项公式an＝12×(－2)n－1. 综上，当q＝－1时，an＝2×(－1)n－1. 当q＝－2时，an＝12×(－2)n－1.
从而
Sn＝14×5n＋1－54或
1 Sn＝
080×[1－－56n]
11
.
(2)由 Sn＝a111－－qqn，an＝a1·qn－1 以及已知条件得
189＝a111－－22n， 96＝a1·2n－1，
∴a1·2n＝192，即 2n＝1a912，
∴189＝a1(2n－1)＝a1(1a912－1)， ∴a1＝3,2n－1＝936＝32，∴n＝6.
2.4.2
等比数列的求和公式 (第一课时)
新课讲解
等比数列前 n 项和公式 知识点
基本内容
基本 公式
等比数列 前 n 项和公 式
Sn＝naqa1≠111－1－qq＝qn1＝
a1－anq 1－q
根据 q 是否为 1，有两种形式
推导等比 错位相减法：解决由等比数列与
基本
两边乘公比，错
数列前 n 项 等差数列对应项的积组成的数
S4＝5S2，求{an}的通项公式．
解析：(1)S5＝a1[11－－－－12125]＝11⇒a1＝16， a5＝a1·q4＝16×(－12)4＝1.
(2)由题设知 a1≠0，Sn＝a111－－qqn(q<1)，
a1q2＝2 ①
则a11－q4＝5×a11－q2 ②
1－q
1－q
由②得 1－q4＝5(1－q2)，
例题讲解
类型一 等比数列前 n 项和公式的基本运算 [例 1] 在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求 Sn； (2)若 Sn＝189，q＝2，an＝96，求 a1 和 n.
a11＋q＝30， 解：(1)由题意知
a11＋q＋q2＝155，
解得a1＝5， q＝5，
a1＝180， 或q＝－56.
(2)由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1.
①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.
②
①－②得
(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1.
即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．
跟踪练习
1. 求和 Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann. 解：分a＝1和a≠1两种情况． 当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋ 2 1； 当a≠1时，Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann， 上式两边同乘以1a，得 1aSn＝a12＋a23＋…＋n－an 1＋ann＋1，
(2)求数列{an an+1 }的前 n 项和；
(3)求数列{(2n+1) an }的前 n 项和。
[例 4] 设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令 bn＝nan，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
解：(1)由已知得，当 n≥1 时， an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1 ＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2 ＝22(n＋1)－1. 而 a1＝2， 所以数列{an}的通项公式为 an＝22n－1.
7 2
.
(1)求{bn}的通向公式。
(2) 若cn=an.bn,n=1,2,3…..求；数列{cn}前n项和Tn
例题讲解
类型三 等比数列的综合应用
[例 5] 设数列{an}的相邻两项 an，an＋1 是方程
x2
bn x
(1)n 2
0 的两根，又
a1=2
求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
跟踪练习
1.
设数列{an1 a12nan ,14n为, n为偶奇数数，
bn=a2n-1
1 4
(1)求 a2，a3
方法
位相减
和的方法 列求和问题
公式理解
1．应用等比数列前 n 项和公式时应注意什么事项？
提示：在应用等比数列求和公式时，
应分 q＝1 与 q≠1 两种情况分别求解； 若 q≠1，要说明为什么 q≠1.
2．当 q≠1 时，等比数列的前 n 项和公式有两种 形式 Sn＝a111－－qqn及 Sn＝a11－－aqnq，应用时应如何选择？
[例 2] 已知等比数列{an}中，an>0，Sn＝80，S2n＝6560，则 前 n 项中最大项为 54，求 n.
跟踪练习
1. (1)等比数列{an}中，q＝－12，S5＝11，则 a1，a5 分别为(
)
A．14,1
B．16，－1
C．16,1
D．14，－1
(2)设等比数列{an}的公比 q<1，前 n 项和为 Sn，已知 a3＝2，
提示：已知 a1，q，n 且 q≠1 时用 Sn＝a111－－qqn， 已知 a1，q，an 且 q≠1 时，用公式 Sn＝a11－－aqnq.
3．等比数列前 n 项和的公式是如何推导的？
提示：设 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an① 则把①式两边同乘以 q 得： qSn＝a1q＋a2q＋a3q＋…＋an－1q＋anq qSn＝a2＋a3＋a4＋…＋an＋an＋1② ①－②得(1－q)Sn＝a1－an＋1 ∴当 q≠1 时，Sn＝a11－－aqn＋1＝a1(11－－qqn). 又当 q＝1 时，∵a1＝a2＝…＝an，∴Sn＝na1.
两式相减，得(1－1a)Sn＝1a＋a12＋…＋a1n－ann＋1， 即Sn＝aan－an1a－－n1a2 －1. 综上所述，得 Sn＝anan2n＋－a1n1a，－－an1＝a21－，1，a≠1.
2. 已知数列{bn}前n项和为Sn，且bn=2-2sn,
数列{an}是等差数列,a5=
5 2
, a7 =
答案：(1)C (2)见解析
2. 已知数列{an}等比 (1)若 S3+ S6= 2S9，求 q (2)若 a>0, 比较 S7 a8 与 S8 a7 的大小。
例题讲解
类型二 求和方法——错位相减法
[例 3]
设数列{an}等比，满足
a2＝
1 4
，a5＝2.
(1)求数列{a3n-1}的前 n 项和；