等比数列前n项和求和公式ppt课件
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高一数学《等比数列的求和公式》PPT课件
a a q a ( 1 q) 1 n 1 ( q 1 ) ( q 1 ) q S 1 或 S 1 . q n n na ( q 1 ) na ( q 1 ) 1 1
n
1 11 例 1 ：求等比数列 ， ， ．．．的前 8 项的和 2 48
sn a1 a n q 1 q
当公比 q 1 时， S na n 1
a 1 (1 q ) ( q 1) Sn 1 q na 1 ( q 1)
n
an a q 1
n 1
Sn
a1 a n q ( q 1) 1 q . na ( q 1) 1
S S 2 S q 1 3 6 9
由 S S 2 S 得 3 6 9
a ( 1 q ） a ( 1 q） a ( 1 q ） 1 1 1 2 1 q 1 q 1 q
1 q 3 2 q 6 q 3 q 6 q 9
3
6
9
q q 4 2 q 7
a1 ( a1 q q q 4 ) 2 7
a a 2 a 2 5 8
a 2 ,a , a 成等差数列。 8 5
例5 某商场第1年销售计算机5000台，
如果平均每年的销售量比上一年增加
10％，那么从第1年起，约几年内可使 总销售量达到30000台（保留到个位）
分析：销售量与年份之 间的关系如下 y1 5000 ; y2 5000 5000 10%
a 2 ,q3 1
例 4 ：已知 Sn 是等比数列 {an } 的前 n项和， S3, S9 , S6成等差数列， 求证： a , a , a 成等差数列。 2 8 5
《2.5 等比数列的前n项和》 课件 1-优质公开课-人教A版必修5精品
1.19≈2.36 1.110≈2.60 1.111≈2.85
1.00499≈1.04 1.004910≈1.05 1.004911≈1.06
解:(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b, 由题设可知,1年后的设备为 a×(1+10%)-x=1.1a-x, 2年后的设备为 (1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),…, 10年后的设备为
题型三 等比数列的综合应用
【例3】 (12分) (2012年高考陕西卷)设{an}是公比不为1的等比数列,其前 n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
名师导引: (1)由a5,a3,a4成等差数列,列方程求解; (2)利用求和公式,等差中项证明. (1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1). 由a5,a3,a4成等差数列, 得2a3=a5+a4,……………………………………………………2分 即2a1q2=a1q4+a1q3.………………………………………………4分 由a1≠0,q≠0得,q2+q-2=0, 解得q1=-2,q2=1(舍去), 所以q=-2.………………………………………………………6分
法二 对任意 k∈N+,2Sk= 2a1(1 qk ) , 1 q
Sk+2+Sk+1= a1(1 qk 2 ) + a1(1 qk 1) = a1(2 qk 2 qk 1) ,
1 q
1 q
1 q
等比数列前n项公式2课件
（3）求证：数列{bn }是等比数列； （4）记 dn
an bn ,求{dn }的前 n项和 Sn 。
6
探究1：
1. 等比数列通项an与前n项和Sn的关系？
{an}是等比数列
Sn Aq B
n
其中A 0, q 1, A B 0.
练习1：
若等比数列{an}中，Sn＝m· 3n＋1，则
1 1 2 例3. 求和 : ( x ) ( x 2 ) y y
练习： 求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的前n项和。
5
0.999
n个9
99
1 (x n ) y
n
1 1 2 1 3 例4：求和Sn = 2( ) 3( ) 2 2 2
练习： 求和S n 1 3 2 5 2 7 2
-1 实数m＝__________.
7
探究2：
an 的 前n项 和, 已 知Sn 是 等 比 数 列
且S10 5, S20 15.
(1).求S30 ;
35
( 2).问S10 , S20 S10 , S30 S20
是否成等比数列?
结论： S n 是等比数列an 的前n项和，
Sn≠0，
2 3
1 n n( ) 2
n 1
(2n 1) 2
a2 6, a5 18，数列{bn } 例5已知数列{an }是等差数列，
1 的前 n项和是 Tn ，且 Tn bn 1 。 2
（1）求数列{an } 的通项公式；
4 , 求{cn } 的前 n 项的和An ； （2）记 cn an an 1
2.5 等比数列的前n项和(2)
an bn ,求{dn }的前 n项和 Sn 。
6
探究1：
1. 等比数列通项an与前n项和Sn的关系？
{an}是等比数列
Sn Aq B
n
其中A 0, q 1, A B 0.
练习1：
若等比数列{an}中，Sn＝m· 3n＋1，则
1 1 2 例3. 求和 : ( x ) ( x 2 ) y y
练习： 求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的前n项和。
5
0.999
n个9
99
1 (x n ) y
n
1 1 2 1 3 例4：求和Sn = 2( ) 3( ) 2 2 2
练习： 求和S n 1 3 2 5 2 7 2
-1 实数m＝__________.
7
探究2：
an 的 前n项 和, 已 知Sn 是 等 比 数 列
且S10 5, S20 15.
(1).求S30 ;
35
( 2).问S10 , S20 S10 , S30 S20
是否成等比数列?
结论： S n 是等比数列an 的前n项和，
Sn≠0，
2 3
1 n n( ) 2
n 1
(2n 1) 2
a2 6, a5 18，数列{bn } 例5已知数列{an }是等差数列，
1 的前 n项和是 Tn ，且 Tn bn 1 。 2
（1）求数列{an } 的通项公式；
4 , 求{cn } 的前 n 项的和An ； （2）记 cn an an 1
2.5 等比数列的前n项和(2)
等比数列的前n项和PPT课件
讲授新课
1 2 22 23 24 263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
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分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
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分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
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分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
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分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
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等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, 它的前n项和是
a2,
a3,
…,
an这…种求和
的方法,就
是错位相
减法!
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等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是
∴当q≠1时，
①
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请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264) (1 2 22 23 263 )
高中数学必修5课件：第2章2-5-1等比数列的前n项和
数学 必修5
第二章 数列
4．在等比数列{an}中，a3－a1＝8，a6－a4＝216，Sn＝40. 求公比q，a1及n.
解析： 显然公比q≠1，由已知可得：
a1q2－a1＝8， aa11q115－－－qaq1nq＝3＝4201，6，
a1＝1， 解得q＝3，
n＝4.
数学 必修5
第二章 数列
等比数列前n项和的基本运算
第二章 数列
新课引入
一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿意，哪知富 人一口应承了下来，但提出了如下条件：在 30 天中，每天借给穷 人 10 万元．借钱第一天，穷人还 1 分钱，第二天，还 2 分钱，以 后每天所还的钱数都是前一天的 2 倍，30 天后，互不相欠．穷人 听后觉得很划算，本想一口气定下来，但又想到富人平时是吝啬 出了名的，怕上当受骗，所以很为难．本节课我们来想个办法帮 助这个穷人.
数学 必修5
第二章 数列
(2)由题意知：SS奇 奇＋ －SS偶 偶＝ ＝－ 802，40， ∴SS奇 偶＝ ＝－ －8106， 0. ∴公比q＝SS偶 奇＝－－18600＝2.
答案： (1)28
数学 必修5
第二章 数列
用错位相减法求数列的和
求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.
[思路点拨]
[规范解答] (1)当x＝0时，Sn＝0.
∴aa111111－ －－ －qqqq36＝ ＝7262， 3.
① ②
②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.
将q＝2代入①中得a1＝12， ∴an＝a1qn－1＝12·2n－1＝2n－2，即an＝2n－2.
数学 必修5
第二章 数列
(3)由Sn＝
a11－qn 1－q
等比数列求和PPT课件
你觉得国王是否真的很容易就能满足发明者的要求了吗？
1 陛下，赏小
2
22 23 24 25
26 27
人一些麦粒
就可以。
263
第1格： 1 第2格： 2
第3格： 22
第4格： 23
……
第63格： 262
第64格： 263
1 2 22 23 262 263 ?
那 究 竟 有 多 少 颗 麦 粒 呢？1、若等比数列的前n项和Sn= 3n-2 ，求通 项公式an.
2、在等比数列an中，Sm =20，S2m =60，求S3m。
3、在等比数列an中，S12 =255，其中奇数项的和
与偶数项的和之比为17:34，求公差 d。
性质1：若数列an为等比数列，则 Sm, S2m Sm, S3m S2m，...Sm 0也是等比数列。
a1 anq 1 q
当q=1时，Sn na1
na1 q 1
Sn
a1
1 qn
1 q
a1 anq ｑ１
1 q
例1 .写出等比数列-1，3，-9，27...的前n项 和公式并求出数列的前8项的和。
例2：一个等比数列的首项为 9 ，末项为 4，各项的和为
探究
错
等比数列的前n项和为
位
Sn a1 a2 a3...an1 an 相
qSn a2 a3 a3... an an1
减 法
①-②得： 1 q Sn a1 an1
当q≠1时，Sn
a1 an1 1 q
a1 1 qn
Sn 1 q
4
9
211，求数列的公比，并判断数列是由几项组成。 36
1 陛下，赏小
2
22 23 24 25
26 27
人一些麦粒
就可以。
263
第1格： 1 第2格： 2
第3格： 22
第4格： 23
……
第63格： 262
第64格： 263
1 2 22 23 262 263 ?
那 究 竟 有 多 少 颗 麦 粒 呢？1、若等比数列的前n项和Sn= 3n-2 ，求通 项公式an.
2、在等比数列an中，Sm =20，S2m =60，求S3m。
3、在等比数列an中，S12 =255，其中奇数项的和
与偶数项的和之比为17:34，求公差 d。
性质1：若数列an为等比数列，则 Sm, S2m Sm, S3m S2m，...Sm 0也是等比数列。
a1 anq 1 q
当q=1时，Sn na1
na1 q 1
Sn
a1
1 qn
1 q
a1 anq ｑ１
1 q
例1 .写出等比数列-1，3，-9，27...的前n项 和公式并求出数列的前8项的和。
例2：一个等比数列的首项为 9 ，末项为 4，各项的和为
探究
错
等比数列的前n项和为
位
Sn a1 a2 a3...an1 an 相
qSn a2 a3 a3... an an1
减 法
①-②得： 1 q Sn a1 an1
当q≠1时，Sn
a1 an1 1 q
a1 1 qn
Sn 1 q
4
9
211，求数列的公比，并判断数列是由几项组成。 36
等比数列的前n项和公式的性质及应用 课件
法二：设 b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a85，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a86，b3＝a3 ＋a6＋a9＋…＋a87， 因为 b1q＝b2，b2q＝b3，且 b1＋b2＋b3＝140， 所以 b1(1＋q＋q2)＝140，而 1＋q＋q2＝7，所以 b1＝20，b3＝q2b1＝ 4×20＝80. [答案] 80
探究二 等比数列的奇、偶项之和 [典例 2] 一个项数为偶数的等比数列，各项和是偶数项和的 4 倍， 前 3 项的积为 64，求此数列的通项公式．
[解析] 设数列{an}的首项为 a1，公比为 q，奇数项和、偶数项和分别 记为 S 奇、S 偶， 由题意知 S 奇＋S 偶＝4S 偶，即 S 奇＝3S 偶． ∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝SS偶奇＝13. 又 a1·a1q·a1q2＝64，∴a31q3＝64，即 a1＝12. ∴通项公式为 an＝12·13n－1＝4·13n－2.
法三：运用性质1－Smqm＝1－Snqn(q≠±1)． 由已知条件 S10＝10，S20＝30，易得 q≠±1， ∴1－S1q0 10＝1－S2q0 20，即1－10q10＝1－30q20，Байду номын сангаас∴q10＝2. 又1－S1q010＝1－S3q030，解得 S30＝70.
法四：运用性质 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k，…成等比数列． ∵S10，S20－S10，S30－S20 成等比数列， 而 S10＝10，S20＝30， ∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)， 即(30－10)2＝10×(S30－30)， ∴S30＝70.
等比数列的前 n 项和公式的性质及应用
1．若数列{an}为等比数列，Sn 为前 n 项和，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…， 仍构成 等比 数列，公比为 qn .
等差和等比数列的通项及求和公式PPT教学课件(1)
an
SS1n
S n 1
n n
1 2
3.在等差(比)数列中，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…，Skn-S(k-1)n… 成等差(比)数列.其中Sn为前n项的和.
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课前热身
1.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应 年龄的统计数据如下表，观察表中数据的特点，用适当的数 填入表中空白( )内.
S’n ．
【解题回顾】
一般地，数列{an}与数列{|an|}的前n项和Sn与Sn：当ak≥0 时，有 Sn Sn；当ak＜0时，Sn Sn ( k =1，2，…，n).若在
a1，a2,…，an中，有一些项不小于零，而其余各项均小于零 ，设其和分别为S+、S-，则有Sn=S++S-，所以
Sn S S 2S Sn Sn 2S
He can play football, play table tennis, ride a bike and speak English.
What can’t Tony do?
He can’t swim . He can’t speak Chinese.
Listen and repeat
Betty can play the piano. Tony can play table tennis.
年龄(岁) 收缩压(水银柱 毫米) 舒张压(水银柱 毫米)
30 35 40 45 50 55 110 115 120 125 130 135 70 73 75 78 80 83
60 65 ( 140) 145
( 85 ) 88
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等 于（ D ）
Sports
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故事：
传说在古代印度，国王要奖赏国际象棋的发明者,发 明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2 个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在 第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦 粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格 子。请给我足够的粮食来实现上述要求”。国王觉得并不 难，就欣然同意了他的要求。你认为国王有能力满足发明 者的要求吗？
故事中的麦粒总数为：1.841019
约7000亿吨
大约是全世界一年粮食产量的459倍。 用这么多小麦能从地球到太阳铺 设一条宽10米，厚8米的大道！
2、等比数列前n项和公式的推导：
那么，我们如何来求一般等比数列的前n和呢？
a 1,a2,a3an
首项为 a 1 ， 公比为q的等比数列
S n a 1 a 2 a 3 a a n
,q1 ,q1
以及它的推导方法：错项相减法 课后应进一步熟练此公式，
并掌握它的基本应用。
谢谢观看！
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
II、新课讲解：
分析：由于每个格子里的麦粒数都是前一个格 子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个 格子里的麦粒数依次是
1,2,22,23,,263,
于是发明者要求的麦粒总数就是
1 2 2 2 2 3 2 6 2 2 6 .3
那么，我们怎样求这个值呢？
S 6 41 2 2 2 2 3 2 6 2 2 63
我们是否可以根据刚才的方法来推导一般等比数列的前n项和呢
na1
Sn a1 1qn
1q
a1 anq 1q
,q1 ,q1
1式中a 已 1,q,知 n,求 Sn
2式中已 a1,an 知 ,q,求 Sn
V、课时小结：
本节课应重a111 qqnn1 aa11 aqnq
传说在古代印度，国王要奖赏国际象棋的发明者,发 明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2 个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在 第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦 粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格 子。请给我足够的粮食来实现上述要求”。国王觉得并不 难，就欣然同意了他的要求。你认为国王有能力满足发明 者的要求吗？
故事中的麦粒总数为：1.841019
约7000亿吨
大约是全世界一年粮食产量的459倍。 用这么多小麦能从地球到太阳铺 设一条宽10米，厚8米的大道！
2、等比数列前n项和公式的推导：
那么，我们如何来求一般等比数列的前n和呢？
a 1,a2,a3an
首项为 a 1 ， 公比为q的等比数列
S n a 1 a 2 a 3 a a n
,q1 ,q1
以及它的推导方法：错项相减法 课后应进一步熟练此公式，
并掌握它的基本应用。
谢谢观看！
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II、新课讲解：
分析：由于每个格子里的麦粒数都是前一个格 子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个 格子里的麦粒数依次是
1,2,22,23,,263,
于是发明者要求的麦粒总数就是
1 2 2 2 2 3 2 6 2 2 6 .3
那么，我们怎样求这个值呢？
S 6 41 2 2 2 2 3 2 6 2 2 63
我们是否可以根据刚才的方法来推导一般等比数列的前n项和呢
na1
Sn a1 1qn
1q
a1 anq 1q
,q1 ,q1
1式中a 已 1,q,知 n,求 Sn
2式中已 a1,an 知 ,q,求 Sn
V、课时小结：
本节课应重a111 qqnn1 aa11 aqnq